山西省太原市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期中試卷（含答案）

山西省太原市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期中試卷姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、單選題1．復(fù)數(shù)1?i的共軛復(fù)數(shù)為（）A．?1+i B．?1?i C．1+i D．1?i2．已知向量a，b滿足|a|=2，A．6 B．8 C．10 D．123．已知復(fù)數(shù)z=(1?i)(3i?1)A．z的虛部為4B．復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限C．zD．|z|=24．已知向量a=(2，2)，b=(m，?1)，若A．15 B．55 C．335．已知一圓錐的母線長(zhǎng)為3，側(cè)面積為35A．2 B．5 C．4 D．106．在四邊形ABCD中，若AB+CD=A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．等腰梯形7．在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，且DF=CE，則BF?A．6 B．5 C．4 D．38．已知△ABC的面積為23，AB=2，∠B=π3A．3 B．23 C．329．用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，下列結(jié)論正確的是（）A．三角形的直觀圖是三角形B．平行四邊形的直觀圖是平行四邊形C．正方形的直觀圖是正方形D．菱形的直觀圖是菱形二、多選題10．已知復(fù)數(shù)z1、zA．|B．若|z1C．若z1z2=0，則z1、D．若z1≠0且z11．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(1，A．若OP∥BCB．若點(diǎn)P在BC上，則m+n=1C．若PA+PBD．若AP在AC方向上的投影向量是(2，1)12．半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.如圖，二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的，若它的所有棱長(zhǎng)都為2，則（）A．被截正方體的棱長(zhǎng)為2B．被截去的一個(gè)四面體的體積為4C．該二十四等邊體的體積為20D．該二十四等邊體外接球的表面積為8π三、填空題13．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1?i)z=22i，則z=14．如圖所示的圖案，是由圓柱、球和圓錐組成，已知球的直徑與圓柱底面的直徑和圓柱的高相等，圓錐的頂點(diǎn)為圓柱上底面的圓心，圓錐的底面是圓柱的下底面，則圖案中圓錐、球、圓柱的體積V圓錐：15．如圖，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時(shí)氣球的高是60m，則河流的寬度BC等于.16．已知向量|a|=|b|=a?b四、解答題17．已知復(fù)數(shù)z1=1+ai(a∈R)，且（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）設(shè)復(fù)數(shù)z2=b?i202318．如圖，在△ABC中，已知AB=2，AC=5，（1）用a，b表示（2）求|AP19．如圖，矩形O'A'B'C'（1）畫出平面四邊形OABC的平面圖，并計(jì)算其面積；（2）若該四邊形OABC以O(shè)A為軸，旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積和表面積.20．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知向量m=(2b?c，cosC)（1）求A；（2）若△ABC的面積為53，b=5，求sinBsinC21．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，（1）求A；（2）若△ABC的面積為33，求△ABC22．如圖所示，是一塊三角形空地，其中OA=3km，OB=33km，∠AOB=90°.當(dāng)?shù)卣?jì)劃將這塊空地改造成一個(gè)休閑娛樂場(chǎng)所，擬在中間挖一個(gè)人工湖△OMN，其中M、N在邊AB上，且∠MON=30（1）當(dāng)AM=32km（2）若要求挖人工湖用地△OMN的面積是堆假山用地△OAM面積的3倍，試確定∠AOM的大小.23．如圖所示，是一塊三角形空地，其中OA=3km，OB=33km，∠AOB=90°.當(dāng)?shù)卣?guī)劃將這塊空地改造成一個(gè)休閑娛樂場(chǎng)所，擬在中間挖一個(gè)人工湖△OMN，其中M，N在邊AB上，且∠MON=30°，挖出的泥土堆放在（1）若要求挖人工湖用地△OMN的面積是堆假山用地△OAM面積的3倍，試確定∠AOM的大?。唬?）為節(jié)省投入資金，人工湖△OMN的面積要盡可能小，問如何設(shè)計(jì)施工方案，可使△OMN的面積最??？最小面積是多少？

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，可知復(fù)數(shù)1?i的共軛復(fù)數(shù)為1+i.故答案為：C.

【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，可得答案.2．【答案】B【解析】【解答】a?(故答案為：B.

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義以及運(yùn)算律計(jì)算，可得答案.3．【答案】D【解析】【解答】因?yàn)閦=(1?i)(3i?1)則z的虛部為2，A不符合題意；復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(?4，z2|z|=16+4故答案為：D.

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，可得答案.4．【答案】B【解析】【解答】由已知可得，a?(a?2又a2=2所以有8?2(2m?2)=0，解得m=3，所以b=(3所以a?b=4所以，|a|=22所以，cos?故答案為：B.

【分析】由向量垂直的判斷方法分析可得m的值，進(jìn)而結(jié)合向量數(shù)量積的計(jì)算公式計(jì)算可得答案.5．【答案】A【解析】【解答】設(shè)該圓錐的底面半徑為r，高為h，圓錐的側(cè)面積為S=π×3r=35π，解得因此，該圓錐的高為h=3故答案為：A.

【分析】由側(cè)面積求出圓錐的底面圓半徑，利用勾股定理求出該圓錐的高.6．【答案】C【解析】【解答】因?yàn)閨AB?AD即AB2+AD易知AB、AD均為非零向量，則AB⊥AD，因?yàn)锳B+CD=0，則所以，四邊形ABCD為矩形.故答案為：C.

【分析】由AB+CD=7．【答案】D【解析】【解答】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則B(2，0)，設(shè)F(λ，2)，則DF=λ，所以BE=2?λ，E(2，所以，BF=(λ?2，2)所以，BF?所以當(dāng)λ=1時(shí)，有最小值3.故答案為：D.

【分析】以點(diǎn)B為原點(diǎn)，邊BC，BA所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)條件可設(shè)F(λ，2)，0≤λ≤2，E(2，2?λ)，然后可求出8．【答案】A【解析】【解答】由S△ABC=1所以BC=4.由余弦定理可得，AC所以AC=23由正弦定理ACsinB=故答案為：A.

【分析】先由三角形的面積公式可得BC=4，再由余弦定理可得AC=239．【答案】A,B【解析】【解答】由斜二測(cè)直觀圖的畫法規(guī)則，平行依舊垂改斜，橫等縱半豎不變，可知三角形的直觀圖還是三角形，A符合題意；平行四邊形的直觀圖仍然是平行四邊形，B符合題意；正方形和菱形的直觀圖是平行四邊形，CD不符合題意；故答案為：AB.

【分析】根據(jù)斜二測(cè)直觀圖的畫法規(guī)則，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，可得答案.10．【答案】A,C,D【解析】【解答】設(shè)z1=a對(duì)于A選項(xiàng)，z1所以，(|=2(因?yàn)?=a則(|z所以，|z對(duì)于B選項(xiàng)，若z1、z2中至少有一個(gè)為虛數(shù)，則z1對(duì)于C選項(xiàng)，若z1z2=0，假設(shè)z1、z則存在θ1、θ2∈R，使得z則z1因?yàn)閏os2(θ1所以，z1故假設(shè)不成立，所以，z1、z對(duì)于D選項(xiàng)，z1z2因?yàn)閦1≠0，則z1≠0，由C選項(xiàng)可知，故答案為：ACD.

【分析】利用復(fù)數(shù)模的幾何意義判斷選項(xiàng)A；由特殊例子判斷選項(xiàng)B；利用復(fù)數(shù)相等求解，即可判斷選項(xiàng)C；由復(fù)數(shù)模的性質(zhì)判斷選項(xiàng)D.11．【答案】A,C【解析】【解答】由題知，AB所以O(shè)PA中，因?yàn)镺P∥BC，所以2m+n+m+2n=0，即B中，BP=所以BP∥BC，所以2m+n?3+m+2n?2=0，即C中，PAPC因?yàn)镻A所以(即6?3m?6n=06?6m?3n=0，解得m=n=23D中，與AC同向的單位向量為ACAP在AC上的投影AP所以4m+5n?3所以4m+5n?3=5，即4m+5n=8，D不符合題意.故答案為：AC

【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算可判斷A，B；由向量相等建立方程組，求得m、n，可判斷C；先求得投影和與AC同向的單位向量，然后由投影向量列方程，變形可判斷D.12．【答案】A,C,D【解析】【解答】對(duì)于A項(xiàng)，由已知可推得，二十四等邊體的各個(gè)頂點(diǎn)均為正方體A1如圖1，則QP=2PC對(duì)于B項(xiàng)，如圖1，由A知，四面體C1?QPG是三條側(cè)棱兩兩垂直，且長(zhǎng)度為1的三棱錐，所以對(duì)于C項(xiàng)，正方體的體積為V1=2對(duì)于D項(xiàng)，如圖2，設(shè)球心為O，顯然O是正方體的中心，連結(jié)B2C1，取B2C因?yàn)镚，T分別是C1又OT=12A所以，在Rt△OTG中，有OG2=O所以，該二十四等邊體外接球的半徑R=OG=2，表面積為4π故答案為：ACD.

【分析】根據(jù)題意，將該二十四等邊體補(bǔ)形為正方體，結(jié)合正方體的幾何結(jié)構(gòu)，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，可得答案.13．【答案】?【解析】【解答】因?yàn)?1?i)z=22i，則故答案為：?2

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解出答案.14．【答案】1【解析】【解答】設(shè)底面圓的半徑為r，則圓柱的高為h=2r，球的半徑為r，所以，圓錐的體積V圓錐=13π所以，圖案中圓錐、球、圓柱的體積V圓錐故答案為：1：

【分析】利用圓錐、球和圓柱的體積公式求解，可得答案.15．【答案】120(【解析】【解答】由圖可知，∠DAB=15°∵tan15°=tan(45°?30°)=在RtΔADB中，AD=60∵DB=AD×tan15°=60×(2?在RtΔADC中，∠DAC=60°，AD=60∴DC=AD×∴BC=DC?DB=60河流的寬度BC等于120(3故答案為：120(3

【分析】在三角形ABD中，利用直角三角形的邊角關(guān)系求得DB的長(zhǎng)，再在在RtΔADC中，計(jì)算BC。16．【答案】[1?【解析】【解答】解：設(shè)向量a→，b→的夾角為θ，則由|a→|=|b→|=a→?b→=2，又a→·b→=a→·b→·cosθ=2解得cosθ=12，所以θ=60°，

故如圖所示，可設(shè)a→=1，3，b→=-1，3，c→=x，y，

17．【答案】（1）解：因?yàn)閦1∴z又z1∴3+a=0解得a=?3.（2）解：z2因?yàn)閺?fù)數(shù)z2所以b?3<03b+1>0解得?1所以b的取值范圍是(?1【解析】【分析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合純虛數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解出實(shí)數(shù)a的值；

(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解出實(shí)數(shù)b的取值范圍.18．【答案】（1）解：BN=（2）解：因?yàn)锳M，BN分別為BC，AC邊上的中線所以點(diǎn)P為△ABC的重心，則AP由于AM所以AP=|【解析】【分析】（1）根據(jù)向量代數(shù)運(yùn)算即可求出a，b表示BN；

（2）先證明出點(diǎn)P為△ABC的重心，則AP=19．【答案】（1）解：如圖1，設(shè)O'y'與B因?yàn)镺'C'=1，∠C?OABC的平面圖如圖2所示：則OD=2OS?OABC（2）解：由（1）可得，在Rt△ODC中，有OC所以，OC=3，所以AB=3.如圖3，分別過(guò)點(diǎn)B，C作OA及其延長(zhǎng)線的垂線，垂足為矩形FECB繞OA及其延長(zhǎng)線，旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)底面半徑r=OD=22，母線lRt△BEA繞OA，旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)底面半徑r=OD=22，母線l2=AB=3Rt△CFO繞OA及其延長(zhǎng)線，旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)底面半徑r=OD=22，母線l3=OC=3所以，旋轉(zhuǎn)形成的幾何體為圓柱挖去一個(gè)同底的圓錐，與一個(gè)同底的圓錐構(gòu)成的組合體.則旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積即等于圓柱的體積，減去挖去的圓錐體積，加上組合的圓錐的體積，所以，旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積V=πr旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的表面積即等于圓柱的側(cè)面積，加上兩個(gè)圓錐的側(cè)面積之和，所以S=2πrl【解析】【分析】(1)利用斜二測(cè)畫法的規(guī)則作出圖形，由面積公式計(jì)算平面四邊形OABC的面積；

(2)利用柱體的體積公式求出體積，分別求解圓錐、圓柱的側(cè)面積，再求旋轉(zhuǎn)體的表面積.20．【答案】（1）解：在△ABC中，A+B+C=π，∵向量m=(2b?c，cosC)與向量n由正弦定理可得(2sinB?sinC)cosA=sinAcosC，∴2sinBcosA=sin∵A、B∈(0，π)，則sinB>0，∴（2）解：由三角形的面積公式可得S△ABC=1由余弦定理a2=b由正弦定理asinA=b所以sinBsinC=5×4【解析】【分析】(1)利用向量共線定理、正弦定理即可得出A的值；

(2)由已知利用三角形的面積公式可求得bc=20，又b=5，解得c的值，利用余弦定理進(jìn)而可求a的值，利用正弦定理即可求解出sinBsinC的值.21．【答案】（1）解：在△ABC中，A+B+C=π，∵向量m與n向量共線，∴(2b?c)cosA=acosC，由正弦定理可得(2sinB?sinC)cosA=sinAcosC，∴2sinBcosA=sin(A+C)=sinB，又A∈(0，π)（2）解：因?yàn)镾=12bcsinA=3由余弦定理得：a2所以b+c=a所以a+b+c=a所以周長(zhǎng)的取值范圍是[63【解析】【分析】(1)根據(jù)向量m與n向量共線，得到2b-ccosA=acosC，由正弦定理可得(2sinB?sinC)cosA=sinAcosC整理后即可求解出A的值；

(2)根據(jù)三角形面積公式得到bc=12，再由余弦定理和基本不等式即可求解出△ABC22．【答案】（1）解：在△AOB中，因?yàn)镺A=3，OB=33，∠AOB=9則tan∠OAB=OBOA在△AOM中，OA=3，AM=32，由余弦定理得OM=O（2）解：設(shè)∠AOM=θ(0因?yàn)镾△OMN=3即ON=63在△AON中，由正弦定理ONsin6得ON=332cosθ，所以6由0°<2θ<120°，得2θ=30【解析】【分析】(1)在△AOM中，利用余弦定理，即可求出OM的長(zhǎng)度；