2024年高三數(shù)學期末復(fù)習：圓錐曲線小題綜合（橢圓、雙曲線、拋物線）（附加）（40題）（解析版）

期末專題07圓錐曲線小題綜合（橢圓、雙曲線、拋物線）（附加）

（精選40題）

一、單選題

1.（22-23高二下?江蘇鎮(zhèn)江?期末）拋物線y=d的焦點坐標為（）

A.10,jB.',（）］C.（0。D.（1,0）

【答案】A

【分析】由拋物線方程求出P的值，從而可求出其焦點坐標.

【詳解】由于拋物線的方程為y=d,

所以2P=1,p=；,則光=；

所以拋物線y=V的焦點坐標是［。,［|,

故選：A.

2222

2.（22-23高二下?河北?期末）己知雙曲線工-匕=1與雙曲線----匚=1（0〈左＜9）,則兩雙曲線的（）

25925+k9—k

A.實軸長相等B.虛軸長相等C.離心率相等D.焦距相等

【答案】D

【分析】通過女的范圍，結(jié)合曲線，求解焦距，實半軸長，虛半軸長，判斷選項即可.

尤2V2

【詳解】±-±=1的實半軸的長為5,虛半軸的長為3,

259

22

實數(shù)太滿足?！醋螅?,曲線------J=i是雙曲線，

25+左9-k

實半軸的長為y/25+k，虛半軸的長為二I,

顯然兩條曲線的實軸的長與虛軸的長不相等，所以A、B均不正確；

焦距為：25，焦距相等，所以D正確；

離心率為：回和不相等，所以C不正確.

5425+k

故選：D.

3.（22-23高二下?湖北荊門?期末）過拋物線丁=?的焦點f作斜率為左（左＞0）直線/與拋物線交于A、B兩

點，與拋物線的準線相交于點C.若B為AC的中點，則上=（）

A.與B.V2C.2D.2V2

【答案】D

【分析】求出直線/的方程，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合已知點的關(guān)系求出交點橫坐標作答.

【詳解】拋物線9=4x的焦點尸（1,0）,準線方程為x=-l,直線/的方程為'=以尤-1）,

y=左（％一］）

由/=4x消去丫并整理得:百-州+次+八。，設(shè)2

4

則玉+%2=2+”>%1%2=1，而點c的橫坐標為T，又8是4。的中點，則有％1=2%2+1,

141

尤2>°，解得無1=2,無2=5，因此2+聲=2+不，又上>0,解得k=2&,

乙K乙

所以左=2夜.

故選：D

4.⑵-23高二下?福建泉州?期末）已知拋物線「：尸上的焦點為「過尸的直線/交「于點A5,分別在

11

點A3處作「的兩條切線，兩條切線交于點p,則石幣十大的取值范圍是（）

\PA\\PB\

a-（°』b-卜;cd-

【答案】c

【分析】

設(shè)直線/的方程為y=^+l,4不乂）,3（%,女）,與拋物線聯(lián)立可得%+9=4匕占9=-4,再利用求曲線上

一點的切線方程得過A8與：T相切的直線方程，再利用兩條直線的交點坐標得P（2Z,-1）,再利用兩點間的

距離公式計算得結(jié)論.

【詳解】顯然直線/的斜率存在，因此設(shè)直線/的方程為丁=丘+1,A（不乂）,3（%,%）,

y=kx+1

由得d—4Ax—4=0因止匕△=（-Uy+16=16〃+16>0,

x2=4y

故％+/=4k,xYx2=-4.

22

因為y=；,所以過A,B與「相切的直線方程分別為：丫=至_五、＞=至_迤

22424

x=±±=2匕

2

,即尸（2左,一1）,

.=_1

4

]1________1_________________]

所以I1尸砰—（七一2左）2+（飆+2）2+優(yōu)一2人）2+（5+2）2

]]

（無2+1）（考+4）+（無2+1）（%；+4）

2

_才+尤；+8_+^2）-2jqx2+8

=儼+1而；+4乂q+4）=儼+1）上/+4代+4）+間

16左2+16_1

64（左2+1）24（%2+1）.

因為ZeR,所以4儼+1卜4,因此。＜4（/+1）“，

11（11

所以后正+所的取值范圍是-

故選:C.

22

5.（22-23高二下?廣東?期末）已知雙曲線C：1r-2=1（。＞0,6＞0）的左、右焦點分別為6，B，。為坐

標原點，過耳作C的一條漸近線的垂線，垂足為。，且周=2a|0叫，則C的離心率為（）

A.72B.2C.75D.5

【答案】C

【分析】利用點到直線的距離公式求出|以|,利用勾股定理求出|。。|，由銳角三角函數(shù)得出cosNDO月=

在ADO為利用余弦定理可得出a、b、。的齊次方程，可解出雙曲線C離心率e的值.

【詳解】如下圖所示，雙曲線C的右焦點耳（-c,0）,漸近線4的方程為"-歿=0,

由勾股定理得\OD\=耳『一⑷耳『=一眇=a,

71ODa

在Rt^DO4中,/ODF\,cosZ.DOF,=------

1OF,c

在△DO七中，［OZ)|=a,|Z)用=2夜a,=

cosZDOF2=cos(7i-/DOF1)=-cosZ_DOFX=-—,

_\ob\+\OF2-\DF^_Q2+C2-8/

由余弦定理得cosZD。82

2\OD\-OF2\―2^

化簡得，c2=5a2,即c=6，因此，雙曲線C的離心率為e=￡=6，

a

故選：c.

【點睛】求解橢圓或雙曲線的離心率，一般有以下幾種方法：

①直接求出a、C,可計算出離心率；

②構(gòu)造。、c的齊次方程，求出離心率；

③利用離心率的定義以及橢圓、雙曲線的定義來求解.

22

6.（22-23高二下?福建福州?期末）設(shè)點及、工分別是橢圓C:》+方=1（。>6>0）的左、右焦點，點〃、N

在C上（/位于第一象限）且點〃、N關(guān)于原點對稱，若慳乂|=閨用|,|N用=3|M可，則C的離心率為

TipR師C1

A.D.-----------

4D?孚

【答案】B

【分析】分析可知，四邊形峭鶴為矩形，設(shè)惘閶=乙貝1]|初胤=3《/>0）,利用橢圓定義可得出2a與/的

等量關(guān)系，利用勾股定理可得出2c與t的等量關(guān)系，由此可得出橢圓的離心率的值.

【詳解】如下圖所示：

由題意可知，。為居工、的中點，則四邊形孫鶴為平行四邊形，貝"肛|=|"可=3|〃國,

又因為|MN|=|可可，則四邊形嗎Ng為矩形，

設(shè)|峭|=乙貝（町|=31t>0）,所以，2a=\MF^+\MF^=^t,

由勾股定理可得20=閨司|==，9/+產(chǎn)=師,

所以，該橢圓的離心率為6=竺=眄=巫.

2a4/4

故選：B.

22

7.（22-23高二下?廣西河池?期末）已知雙曲線C*-3=1（“>0,方>0）的左、右焦點分別是4B，焦距為2c,

1

以線段F匹為直徑的圓在第一象限交雙曲線C于點A,Sm^AFtF2=哼，則雙曲線C的漸近線方程為（）

A.y=±xB.y=±j3x

C.y=±2xD.y—±V2x

【答案】B

【分析】先根據(jù)圓的直徑得出垂直關(guān)系，再根據(jù)正弦值得出邊長，結(jié)合雙曲線定義可得2〃，計算漸近線即

可.

因為線段月入為直徑的圓在第一象限交雙曲線C于點A,

所以4片_LAK，sinNA丹為=

叫4用=叵業(yè),恒用_恒用=c=2a/=EZ="；.漸近線方程為y=±氐.

2V

故選:B.

2

8.（22-23高二下?廣東韶關(guān)?期末）已知點耳，K是雙曲線C:/-21=1的左、右焦點，點P是雙曲線C右

一3

支上一點，過點F?向/耳P區(qū)的角平分線作垂線，垂足為點。則點和點。距離的最大值為（）

A.2B.V?C.3D.4

【答案】C

【分析】延長工。，交尸［于點T,則可得1尸。=1尸耳I,再結(jié)合雙曲線的定義得16為=2,連接。。，貝U

\OQ\=^\FJ\^I,而|AO|為定值，所以由圖可知|BW|OQ|+|AO|,從而可求得結(jié)果.

【詳解】如圖所示，延長KQ,交尸片于點T,則因為尸。平分/耳「工，PQ^F.Q,所以|PT|=|尸耳|,

|明用2|，

2

因為P在雙曲線/-匕=1上，所以|尸月|-|「居1=2,所以|月7|=2,

3

連接。2,則1。。1=<1gT|=l,

因為|4。|=歷1=2,

所以|QA|V|O0+|AO|=2+1=3,當AQQ三點共線時取等號，

即點A（-V3,l）和點。距離的最大值為3,

故選：C

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查雙曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用已知條件結(jié)合雙曲線的性質(zhì)

可得=|跑W|OQ|+|AO|,考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.

2

9.（22-23高二下?廣東廣州?期末）已知雙曲線C:/-2L=1的左、右焦點分別為耳B，設(shè)點P為C右支上

3

一點，尸點到直線X=g的距離為d,過尸2的直線/與雙曲線C的右支有兩個交點，則下列說法正確的是（）

A.d+|P凰的最小值為2B.巴=通

d

c.直線/的斜率的取值范圍是（道,+8）D.△尸片耳的內(nèi)切圓圓心到y(tǒng)軸的距離為I

【答案】D

【分析】

根據(jù)題意作圖，結(jié)合雙曲線的焦點坐標、頂點坐標、漸近線方程，可得答案.

【詳解】由題意，＜2=1,c=^/l+3=2,可作圖如下:

對于A,由題意以及圖象可知：當P與右頂點重合時，d+怛司取得最小值為'-g]+a+c=3.5,故A錯

誤;

..1|尸6|+y2y/4x2-4x+l2x-l

對于B,^P（x,y）S.x>~,則丁=-------j------=----------J-=一f=2,故B錯誤;

2x----x----x----

對于C,由漸近線方程為、=±氐，過居的直線與雙曲線C的右支有兩個交點，

結(jié)合圖象可知：直線/的斜率的取值范圍為卜8,-6）［（也,+。），故C錯誤；

對于D,若內(nèi)切圓與三邊相切于。E，尸，如圖象所示，

則|PD|=|陽，閨4=|耳打，怩耳=|巴目，又|P同一|「闖=2a=2,

即國4+即-國目-四=\FtF\-\F2F\=2a=2,

由忸尸|=。+。=3,匡尸|=c-，=l,即歹與右頂點重合，易知△尸片鳥的內(nèi)切圓圓心到,軸的距離為1,故D

正確.

故選：D.

22

10.（22-23高二下?浙江杭州?期末）設(shè)橢圓C:二+與=l（a>b>0）的左右焦點分別為可，凡,P是橢圓上

ab

不與頂點重合的一點，記/為耳為的內(nèi)心.直線P/交X軸于A點，|畫|=1c,且西?延則橢

11416

圓C的離心率為（）

A.|B.—C.-D.在

2242

【答案】B

【分析】先利用角平分線性質(zhì)得到耦=固=，設(shè)|尸耳|=5乙則歸可=37,根據(jù)橢圓定義得到/=（,

然后利用平面向量的數(shù)量積和余弦定理即可求解.

【詳解】不妨設(shè)點尸位于第一象限，如圖所示，

因為/為△尸片月的內(nèi)心，所以上4為/耳尸鳥的角平分線,

因為|函卜;c,所以*但4=9

斤以附||第3

設(shè)歸￡|=5/,則|尸詞=3/,由橢圓的定義可知，歸耳|+|尸閭=8/=24,

可得芍，所以附I蘭，I*遣,

2

又因為兩.雨=|閡J喝cos/片尸鳥=^ax^a-cosZFlPF2=^a,

所以cos/￡P(guān)&=］，在△尸耳耳中，由余弦定理可得，

cos/尸江-附「+附『一廠閱81

"i「'2Mlp"15a215

-I-

所以〃=202,則

故選：B.

11.（22-23高二下?江蘇南京?期末）直線/過圓M:（元-5）2+/=1的圓心，且與圓相交于A,B兩點，尸為

22

雙曲線二-匕=1右支上一個動點，則麗.麗的最小值為（）

916

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】

求出圓的圓心加（5,0）,根據(jù)題意可得標=_加、卿可Nc-a,利用平面向量的線性運算可得

PAPB=|W|2-I,即可求解.

【詳解】H（X-5）2+/=1,圓心M（5,0）,半徑廠=1,

因為直線/過圓（%-5）2+/=1的圓心，且與圓相交于A,8兩點,

所以礪=-癥，又雙曲線工-y=1，則“=3,c=5,右焦點為（5,0）,

916

所以麗.麗=（麗+涼）.（兩'+礪）

=（PM+MA^-（PM-MA^=PM2-MA=^PM^-1,

X|W|>c-a,gp|W|>2,所以|而『-123,當點尸在右頂點時取等號,

即標而23，

所以麗.麗的最小值為3,

故選：D.

22

12.（22-23高二下?廣東深圳?期末）已知橢圓C:j+==l（a>b>0）的右焦點為尸，過原點的直線/與C交

ab

于A,B兩點，若WM,B.\AF\=3\BF\,則C的離心率為（）

A.巫B.巫C.2D,1

4553

【答案】A

【分析】設(shè)橢圓的左焦點為可，由橢圓的對稱性可得四邊形AEB月為矩形，再根據(jù)橢圓的定義求出|A片,|A司，

再利用勾股定理構(gòu)造齊次式即可得解.

【詳解】如圖，設(shè)橢圓的左焦點為耳,

由橢圓的對稱性可得|A￡|=忸可,忸制=,

所以四邊形珥為平行四邊形,

又AFLBF,所以四邊形AEBK為矩形，所以4耳，4尸,

由|AF|=3忸同，得|M|=3|筋|,

又|*+|A可=2a,所以|A胤=今|叫=￡,

在RtAAF￡中，由|M「+|A阡=,可「，

得±+虹=牝2,即至=4°2,所以￡=巫，

442a4

即C的離心率為?.

4

故選：A.

22

13.（22-23高二下?廣東汕頭?期末）已知橢圓方程亍+］=1,尸是其左焦點，點A。/）是橢圓內(nèi)一點，點尸是

橢圓上任意一點，若|PA|+|P同的最大值為最小值為。mm，那么。max+An=（）

A.4百B.4C.8D.8A/3

【答案】C

【分析】利用橢圓的定義轉(zhuǎn)化為|上4|-|尸尸|的最值問題，數(shù)形結(jié)合即可求解.

【詳解】由題意，設(shè)橢圓的右焦點為尸'（1,0）,連接尸尸'，

貝+1尸耳=|"|+（4-|尸尸［）=4+（|"］一|尸尸［）,

當點P在位置M時，|M-|PF'|取到最大值|A尸1,

當點尸在位置N時，|剛-|依1取到最小值，

所以|阿-|尸尸|的取值范圍是［-必尸即［-M］,

所以I+1P產(chǎn)|的最大值％ax=5,I叢1+1尸尸I最小值0^=3,

所以Dmax+Afa=8.

故選：C.

22

14.（22-23高二下?湖南?期末）如圖，已知月，耳是雙曲線C］-與=1的左、右焦點，P,。為雙曲線C上兩

ab

點，滿足GP〃工Q,且怩。=|耳乃=3國尸則雙曲線C的離心率為（）

A710R也「屈NA/W

A.D.C.D?

5232

【答案】D

【分析】根據(jù)雙曲線的定義和性質(zhì)分析可得r=。，進而可得一與尸'。=/與尸乙=90。，結(jié)合勾股定理運算求

解.

【詳解】延長與雙曲線交于點P,

因為耳尸〃耳P,根據(jù)對稱性可知區(qū)尸|=|耳尸［,

設(shè)舊與=|E則后尸|=阮。=3乙

可得國尸|一|41=2/=2°,即

所以|尸@=4"4a,則|04|=|0閶+2a=5a,國卜。9H=3a，

即|PQ『+閨川2=|仍「，可知/FpQ=ZF,PF2=90。，

在AP月工中，由勾股定理得|EP'「+閨P「=|K巴『，

即〃+（3a）2=4c2,解得0=（=萼.

故選：D.

【點睛】方法點睛：L雙曲線離心率（離心率范圍）的求法

求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a,b,。的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把6

用a,c代換，求e=￡的值；

a

2.焦點三角形的作用

在焦點三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來.

22

15.(22-23高二下?浙江?期末)雙曲線與=1,(a>0/>0)右焦點為歹，離心率為e,PO=kFO,(k>l),

ab

以尸為圓心，1尸尸1長為半徑的圓與雙曲線有公共點，則左-8e最小值為()

A.-9B.-7C.-5D.-3

【答案】A

【分析】先求出圓的方程，聯(lián)立方程組，由A20得出左的范圍，從而得解.

【詳解】由題意，右焦點l(c,O),

y,PO=kFd,(k>l),則尸儂,0),|尸尸

以P為圓心，1尸”為半徑的圓的方程為，

22

(尤-kcj+y=(k-1/c,

(x-kef+y2=c2

聯(lián)立方程組fj2，

L2b2

得c2x2-2kccrx+a2(2kc2-c2-Z?2)=0,

由圓與雙曲線有公共點，所以ANO,

即4k2c2a4-4c2a2(2既2-c2-/)？。，結(jié)合無=o?_/,

化簡為(h1)■+1)42c2?0,

由方程(h1)瞽+1)A2c2=0兩根為：

「2

匕=1,%=2--1=2/-1>1,

a

所以不等式的解為kVI,或左？2/1,

由已知，得k?2e21

所以左-8e22e2-1-8e=2(e-2)-9,

當e=2時，取得最小值-9.

故選：A

【點睛】解決本題關(guān)鍵是曲線與曲線的位置關(guān)系，用聯(lián)立方程組的方法，其中化簡是個難點.

二、多選題

2

16.（22-23高二下?江蘇南通?期末）雙曲線爐-*=1的離心率為e,若過點（2,2）能作該雙曲線的兩條切線,

則e可能取值為（）.

A.述B.V2

C.-D.2

42

【答案】AC

【分析】

設(shè)出切線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)過點（2,2）能作該雙曲線的兩條切線，求得a的取值范圍，即可求

得雙曲線的離心率的取值范圍，從而可得答案.

【詳解】

斜率不存在時不合題意，所以直線切線斜率一定存在，

設(shè)切線方程是＞一2=依X一2）,

（2

/一二=1

由彳a2得（/-/）尤2+4人（k-i）x-4伏-1）2-/=。，

y-2-k（x-2）

顯然/一人2=0時，所得直線只有一條，不滿足題意，所以

22

由△=0得163伏一+4（〃一/）[4伏-i）+a]=o,整理為3左2一8左+4+〃=o,

由題意此方程有兩不等實根,

2

所以A=64-12（4+02）＞0,a＜1,

7后

貝=1+/＜］（C為雙曲線的半焦距）,e=—=c<--

13

即l＜e〈叵，

3

左=±〃代入方程3左之一8左+4+〃=0,得々=±1,止匕時e=0，

綜上,e的范圍是（1,后

故選：AC

22

17.（22-23高二下?湖北咸寧?期末）已知耳，尸2為橢圓工+匕=1的左、右焦點，股為橢圓上的動點，則

43

下面四個結(jié)論正確的是（）

A.橢圓的離心率為:B.|叫口叫|的最大值為4

C.而?麗■的最大值為3D./隼叫的最大值為60。

【答案】BCD

【分析】由橢圓方程求出離心率可判斷A；由基本不等式可判斷B；由向量數(shù)量積的坐標運算可判斷C；當

點“為短軸的端點時，取得最大值，求出/片4可判斷D.

【詳解】由橢圓方程得a=2,b=y/3,：.c=l,因此片（-1,0）,月（1,0）,

選項A中，a-2,c=l,故e=g,A錯誤；

選項B中，阿耳卜河瑪區(qū)［㈣=4,當且僅當|孫|=|M可時取等號，B正確；

I2J

選項C中，令貝|麗?砥++故C正確；

選項D中，當點加為短軸的端點時，N用鳴取得最大值，此時加倒,?。?，

則tan芻"或=3，:1羋=30。,/陷的最大值為60。，D正確.

232

18.（22-23高二下?重慶渝中?期末）已知過點（2,0）的直線/交拋物線C:/=4x于A,8兩點，設(shè)4（%,%）,

3（9，%），尸點是線段AB的中點，則下列說法正確的有（）

A.%%為定值一8B.的最小值為4

C.%A|+%B|的最小值為2夜D.尸點的軌跡方程為y'2x-4

【答案】ACD

【分析】設(shè)直線42的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，可得兩根之和及兩根之積，再一一判斷即可.

【詳解】由題意可得直線A5的斜率不為0,設(shè)直線的方程為彳=沖+2,顯然A,3兩點在無軸的兩側(cè),

設(shè)％<°，且不>。，%>°，

[x=my+2日

聯(lián)立jy2_4x，整理可得y-4%-8=0,

2

顯然A>0,%+%=4機，X%=-8,占尤2=（"％）=4,xA+x2=m（yl+y2）+4=4m+4,所以A正確；

16

所以=gX2xIy-%1=+%）2-4y1%=Jl6療+3224夜,當且僅當機=。時取等號，所以B不正確；

因為％J,L=匹，所以"+“=胃+獸=—工二

XX

芯X2IX,I\X2\%％2l2

二（外+2）%一（沖1+2）%=X-%

王九22

=J（X+%；一句也二416m；+32=N26,當且僅當m=0時取等號，所以C正確；

x—2^^2I2

由題意可得AB的中點P（2療+2,2m），設(shè)尸（x,y）,則，

消參可得\j=]T，整理可得V=2X-4,所以D正確.

故選：ACD.

19.（22-23高二下?廣東深圳?期末）己知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點為產(chǎn)，準線為/,過歹的一條直線

與C交于A,8兩點，若點M在/上運動，則（）

A.當|AM|=|A同時，AM11

B.當[4^=|瓶|=|畫|時，[4^|=2忸尸|

C.當也J_跖時，AMI三點的縱坐標成等差數(shù)列

D.當你上奶時，|4〃卜忸叫22|/31忸耳

【答案】ACD

AF>i

【分析】由拋物線的定義可判斷A項,聯(lián)立直線A8方程與拋物線方程求得.、%,進而可求得正=

%

可判斷B項，由直角三角形性質(zhì)及拋物線的定義可判斷C項，設(shè)出點M坐標，計算可得左吹x心B=T,可

得叱，AB,運用等面積法、直角三角形性質(zhì)及基本不等式可判斷D項.

【詳解】對于選項A：如圖所示,

由拋物線定義可知，若|AM|=|A同，則AM,上故選項A正確;

對于選項B：如圖所示，

當|AM|=|A司=|MF|時，AAWF為正三角形,

所以直線48的傾斜角為三，

設(shè)直線AB的方程為y=可尤-mA（X],yJ,B（X2，y2）,

由廠沖-"可得/潦7=o,

y2=2px

yi=?，y2=_*~，

AF

所以就=3,故選項B錯誤;

Dr%

對于選項C：過點A3作直線垂直于/,垂足分別為A',8',作A3的中點N,如圖所示,

由選項B可知,

又因為例±MB,

所以|肱V|=g|A8|,

由拋物線定義可知|鈿|=|”|+忸刊=|441+忸用，

所以|“^=；（|44]+忸即，

所以M為A?的中點，

所以AM,3三點的縱坐標成等差數(shù)列，故選項C正確;

對于選項D：如圖所示，

設(shè)“「與%｝直線叱的斜率為左，直線48的斜率為新

則勺Lp,

22

X--X-/2P

由B項可知2玉-%7i2yf%+%，

2p2p

由選項C可知%+%=2%,

所以履=2p_P

X+%%

所以「行r

所以叱_LAB,

又因為例±MB,

所以B.\MF^\AF\-\BF\,

由基本不等式可得|A"|.忸M=|MFHA.=修司+忸尸I）.疝環(huán)函221A司?忸T，當且僅當|A尸1=18尸I時等

號成立.故選項D正確.

故選：ACD.

20.（22-23高二下?湖北?期末）“嫦娥五號”是中國首個實施無人月面取樣返回的月球探測器，是中國探月工

程的收官之戰(zhàn)，實現(xiàn)了月球區(qū)域著陸及采樣返回.如圖所示，月球探測器飛到月球附近時，首先在以月球球

心歹為圓心的圓形軌道I上繞月飛行，然后在尸點處變軌進入以下為一個焦點的橢圓軌道II上繞月飛行，

最后在。點處變軌進入以b為圓心的圓形軌道III上繞月飛行，設(shè)圓形軌道I的半徑為R,圓形軌道III的半

徑為,，則以下說法正確的是（）

B.橢圓軌道n的短軸長為倔

c.若「不變，則橢圓軌道n的離心率隨R的增大而增大

D.若R不變，則橢圓軌道II的離心率隨r的增大而增大

【答案】AC

【分析】根據(jù)圖中幾何關(guān)系列方程組求出mc,然后可得6,可判斷AB；分離常數(shù)，利用反比例函數(shù)的性

質(zhì)可判斷CD.

PQ=2a=R+r解得。=包R-r

【詳解】在橢圓中，由圖可知

a-c=QF=r22

所以b=一1與3=癡,所以2c=R-r,2b=2癡，A正確，B錯誤;

e=￡=］二=1-二，當"不變時，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)八R）=1-二在（。,+8）上單調(diào)遞增，

aR+rR+rR+r

C正確；

CR_FDROP

e=—=E=-1+二一，當尺不變時，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)/⑺=-1+不一在（0,+8）上單調(diào)

aR+rR+rR+r

遞減，D錯誤.

故選：AC

21.（22-23高二下?廣東江門?期末）已知拋物線丁=4了的焦點為尸，過焦點F的直線/交拋物線于A,8兩

點（其中點A在x軸上方），則（）

11

A-由十的

B.弦A8的長度最小值為1

C.以AF為直徑的圓與y軸相切

D.以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切

【答案】ACD

【分析】

由弦長公式計算可得選項A、B；C、D選項，可以利用圓的性質(zhì)，圓心到直線的距離等于半徑判定直線與

圓相切.

由題，焦點/（1,。），設(shè)直線/：%=》+1,4（%,另）,3（9,%），%>°，％<0,

x=ty+\、?

聯(lián)立'ny2-4"-4=0,A=16r+16>0,

y=4尤

%+%=4t,%%=-4,

IAF|=J（X[-1）-+y；=J廠y；+y；=1%I/I2+1,

同理可得，尸+

11|AF|+|BF|V?1二1(|?|+|%|)

麗+畫一\AF\-\BF\一(產(chǎn)+1)|必必1

=當==應(yīng)三值=生值=1,故A選項正確;

4〃+14，/+14〃+1

|A3|=|AF|+|8P|=#7T(lMl+|%|)=#7T(y「％)

=+%)-%%=4仁+1"4,故弦AB的長度最小值為4,B選項錯誤；

記"中點M(三卷]，則點聞到y(tǒng)軸的距離為d=|F|=怨，

由拋物線的性質(zhì)，|4尸|=占+1,1=：|4尸|,所以以AF為直徑的圓與y軸相切，故C選項正確；

\AB\=\AF\+\BF\=X]+X2+2,記A5中點N[七連，汽

則點N到拋物線的準線的距離d'=五*+l=士里處=必，故以為直徑的圓與拋物線的準線相切,

222

D選項正確.

故選：ACD.

【點睛】結(jié)論點睛：拋物線的焦點弦常見結(jié)論：

設(shè)AB是過拋物線y2=2px(p>0)焦點廠的弦，若A(無7,yi),B(X2,")，貝!I

2

n2

⑴網(wǎng)％=彳，%必=-P]

(2)弦長|A81==%+無2+P=2[(a為弦AB的傾斜角).

sin-a

(3)以弦AB為直徑的圓與準線相切.

(4)通徑：過焦點垂直于對稱軸的弦，長度等于20,通徑是過焦點最短的弦.

112

⑸國+畫=萬(定值)■

(6)以AF或BE為直徑的圓與y軸相切.

22

22.(22-23高二下?山西長治?期末)已知雙曲線C*f=l(a>0/>0)的左、右焦點分別為斗鳥，過點F?作

直線/垂直于雙曲線C的一條漸近線，直線/交雙曲線C于點若|岫|=3〃4|,則雙曲線C的漸近線方

程可能為（）

A1+\/5?-1+^

A.y=±---------xB.y=±------------x

22

C.y=±2+逐xD.y=±工

2

【答案】AB

【分析】當點M在第一象限時，由余弦定理化簡得，一2/一必=0,求得y=土上半X,當點M在第四象

限時，由余弦定理化簡得-2片+詔=0,求得y=±4|好X,即可求解.

【詳解】因為|國|-|曬|=2旬3；|=3|續(xù)|,所以==

根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨設(shè)直線/的斜率小于零,

b

如圖（1）所示，當點M在第一象限時，cosNMFzF—,

c

b

由余弦定理可得（3。）2=/+（2c）2-2。?2c?—,化簡得c2-2a2-ab=o,

c

解得2=比5（2=上@舍去），此時雙曲線c的漸近線方程為/二土出叵工,

a2a22

b

如圖（2）所示，當點/在第四象限時，cos/”工月二——，

C

b

由余弦定理可得（3〃）2=/+（2c）2+2。?2c?一,化簡得c2-2a2+ab=o,

c

解得2=士@（2=土更舍去），

a2a2

此時雙曲線C的漸近線方程為y=±zlpx.

故選：AB.

23.（22-23高二下?廣東茂名?期末）已知拋物線C：V=4x的焦點為/，準線為/,A為拋物線上任意一點,

點尸為A在/上的射影，線段尸尸交y軸于點瓦。為線段"的中點，則（）

A.AE±PF

B.直線AE與拋物線C相切

C.點Q的軌跡方程為V=2x-1

D./QEF可以是直角

【答案】ABC

【分析】分別應(yīng)用拋物線定義，直線與拋物線位置關(guān)系的判定，求軌跡方程的方法，向量法判斷垂直進行

求解.

【詳解】對于A選項，設(shè)準線與x軸交于點加，由拋物線知原點。為尸M的中點，/〃y軸，

所以E為線段PP的中點，由拋物線的定義知|”|=體8，所以AE_LPF,故A正確；

對于B選項，由題意知，E為線段P尸的中點，從而設(shè)g,yJ,/O,則石?,

直線AE的方程：丫=含（工+百），

與拋物線方程＞2=4x聯(lián)立可得：、=普［］+占］,

由犬=4為代入左式整理得：丁—2%'+才=0,所以A=4y；-4y；=0,

所以直線AE與拋物線相切，故B正確；

對于C選項,設(shè)點。（蒼y）,則點A（2x-l,2y）,

而A是拋物線C上任意一點，于是得（2y）2=4（2xT）,gpy2=2x-l,

所以點Q的軌跡方程為＞2=2x7,故C正確；

（t2+1）

對于D選項，因點。的軌跡方程為V=2x-1,貝IJ設(shè)Q1一

一一（戶+11

令石（0,加），有麗=（一切）,詼=亍,”相，

-?—,r+1(1￥11

EF?EQ=m92-tm~\-------=m——t+—?29+—>0,

212J42

于是得NQE廠為銳角，故D錯誤.

故選：ABC.

24.（22-23高二下?湖南?期末）已知雙曲線C：￡-4=1（。＞0,“0）的右焦點用（后0）到漸近線的距離為1,

ab~

尸為C上點，下列說法正確的是（）

A.C的離心率為好

2