第41屆全國中學(xué)生物理競賽決賽理論試題含解答

在β-衰變后生成的原子質(zhì)量為MD=209.982883amu。假如在β-衰變過程中除去釋放出β-1-l21+2晶格的熱振動問題常可簡化成耦合的彈簧振子問題?？紤]一個一維耦合彈簧振子系統(tǒng)模型。設(shè)有N波（行波）的形式（相鄰珠子振動的相位差為α)求解。下方的探測器探測的光強為零。這時入射光的能量去=reiδr,=teiδt，=eiφErs=C?Eip+dE上式中的2×2矩陣稱為分束器的反射干涉儀是通過光強的變化測量相位變化的一探測器的干涉光強，便可得到?φ的確定值(?π<軸以外的其它車體部分和車上站立的人簡化為質(zhì)量為M、長度為L的勻質(zhì)剛性細(xì)量損失。取z軸正向為豎直向上，x軸與輪軸平行，y軸與車行進(jìn)的方向平行。已知重力加速度大小為g。M’。對于合適的M’值，細(xì)桿傾角θ（在θ=0附近）和C可以做頻率相同的小振假設(shè)恒星的總能量主要來自原子物質(zhì)，在以下第（1234）問中可忽略輻射。（4）考慮恒星物質(zhì)的熱力學(xué)。假設(shè)恒星物質(zhì)的內(nèi)能密度u(r)與壓強p(r)滿足關(guān)系向外輻射的功率（光度）為L(r)，試給出溫度T(r)滿足的（7）假設(shè)恒星內(nèi)原子物質(zhì)的分壓隨半徑r的增大而減小。試估算恒星表面處光度L(R)的上界，結(jié)果用Δx、Δp分別是粒子的位移x、動量p的不確定度，是（2）由于量子效應(yīng)，一個振動角頻率為w的簡諧振子的基態(tài)能量為類似的，真空中角頻率為w的電些高頻電磁波模式幾乎不受導(dǎo)體板位置的影響，也個電磁力的大小不依賴于具體函數(shù)形式的選取。因此，考慮一個更一般的函數(shù)f(x)，它只需要滿足兩個條A.f(0)=1，1（1）依題意，母核P到子核ZD的β?衰變可表述為記母核的靜止質(zhì)量為mP、子核的靜止質(zhì)量為mD和電子的靜止質(zhì)量為me，假設(shè)衰變前母核處于靜止?fàn)顟B(tài)，由能量守恒知，該衰變過程的衰變能（包括衰變后除ZD、電子e-外的其它粒子的能量）可由母核、子2①mPMPZme,②mDMDZ1me③于是，β–衰變的衰變能Qβ-可以表示為：β(MPMD)c2④MP(Z,A)MD(Z1,A)這就是說，對于原子序數(shù)分別為Z和Z+1的兩個同（2）如果在這個衰變過程中不產(chǎn)生新的粒子，那么在PDemPc2EDEe0pDpepDpepKeEemec22④④2Ke24⑩⑩MPmPZPme⑦M(jìn)DmDZDme⑩ZPZD1⑩Ke[209.982883(2209.984130209.982883)2209.98288384209.984130⑩1.161MeV⑩【另解：忽略電子在原子中的結(jié)合能，2Bi核的質(zhì)量為mPMP83me209.984130830.000549209.938563amu⑩’它在β-衰變后生成的核2Po的質(zhì)量為mDMD84me209.982883840.000549209.936767amu⑦’ke來可以⑩’⑩’3】（3）按照假設(shè)PDe-而得到的衰變后電子的動能，與實驗中看到的電子動能的最大值相當(dāng)。所以第三個粒子（中微子）的靜止質(zhì)量應(yīng)該非常接近于0(≤0.03MeV/c2，接近此值的都算對*）否則的話實驗測得的電子的動能分布譜中的動能最大值就應(yīng)該明顯小于圖中的最QXQn(QpQe)0依題意，衰變前系統(tǒng)的角動量即中子的自旋，有n假定衰變后的粒子只有質(zhì)子p和電子e?。質(zhì)子和電子的自旋都為????根據(jù)題給的兩個角動量的合成法則，質(zhì)子和電子的總自旋，即衰變后產(chǎn)物的總角動量Lf=S=Sp+Self=sp?se,sp+se?式中的第一個可能值對應(yīng)于質(zhì)子和電子的自旋反向疊加，lf?式中的第二個可能值對應(yīng)于質(zhì)子和電子的自旋同向疊加，????兩個可能值⑦?都不等于其初始值?，與角動量守恒矛盾。為保證系統(tǒng)的總角動量守恒，則一定存在粒子?h（尚不排除）?4綜合上述，β–衰變的產(chǎn)物除了質(zhì)子和電子之外，如果還產(chǎn)生一個粒子，這個粒子一定是電中性的、自),更嚴(yán)格地，是電子型反中微子ve】。0=M2i?1+k(2x2i?1?x2i?x2i?2),(i=1,…,N)①0=m2i+k(2x2i?x2i+1?x2i?1),（2）按題意，當(dāng)彈簧環(huán)按本征模式做微振動時，所有珠子振動的角微振動都是穩(wěn)定的，它們之間的差別應(yīng)該只是振幅和相位的不同。根據(jù)對稱性，大珠子振動的振幅應(yīng)該相同，設(shè)為A；同理，小珠子振動的振幅也應(yīng)該相同，設(shè)為B。同樣，根據(jù)對稱性，相鄰珠子之間的振動相位差應(yīng)該相同，設(shè)為α。于是解的形式可取為x2i?1x1=Acoswt.⑤x0=x2N⑥2Nα=2nπ,n∈Z式中Z表示整數(shù)集合。由于α的取值有2π周期性，因此獨立的取值范圍可取為對應(yīng)的，n共有2N種取法：5已注意到，互為相反數(shù)的一對n給出的頻率是⑥⑩（3.2）顯然，所考慮的彈簧環(huán)是一個保守系統(tǒng)。系統(tǒng)的總能量E不隨時間⑦將③④式代入⑦式得dtsin2⑩這里φ可以是任意相位。將⑩式代入⑩式得該系統(tǒng)的平均勢能Ep與平均動能Ek相等因此，總能量Etot為k?由⑥⑩@式得x1為了找到滿足邊界條件?的解，注意到滿足方程①②的解③④實際上是沿圓環(huán)運動的行波的分段表示x2i?1=Acos[wt+φ0+knl2i?6x2i=Bcos[①t+φ0+knl2i]i=1,2,,N式中kn是波數(shù)，α由⑦式定出?且α?α???（5）在不依賴于μ的本征振動模式里，1號珠子不應(yīng)該振動，而這等價于第（4）問的因此，答案與第（4）問的相同。第（5）問2分*）1分**）1分。強必然最大，即探測器B會有最大光強。71=exp[i(δr+δm+δt2=exp[i(δt+δm+δr+klbottom)]（只寫出位相，振幅一樣大）②δr和δt分別是經(jīng)過分束器反射和透射帶來的位相增加，δm是全反鏡反射帶來的位相增加。、表示沿上=expi(δr+δm+δr+kltop)③=expi(δt+δm+δt+klbottom)④kltop?klbottom=kΔl=π⑤(Δl=ltop?lbottom)⑨⑨【解法二rt+rteik?l(略去E0)r2+t2eik?l=R+Tei2φeik?l(R=r2;T=t2)由】8（3）全反鏡改變偏振態(tài)的矩陣M④④⑥下面,表示沿著P和S方向的基矢量；I,IP偏振（基矢量，水平偏振）經(jīng)過該1/4 iφ快(iφ快(iφ快ei(φ慢?φ快)(+)222222快(i快,快(,iφ快iφ快(iφ快(iφ快ei(φ慢?φ快)(+)222222快(i快(i快快(,9??（5）對于透光方向水平的線偏振片，按照（4）中作???上式從右到左依次分別為入射光、反射鏡、第2A=[()(irPiδPirSiδS)[(1)3(irPiδPirSiδS)()]E0?上式從右到左代表入射光依次經(jīng)過分束器透射、3個反射鏡、45°線偏振、第二個分束器得此式于?式等價，表面上有個相位差，但只是光程差有個偏移，相當(dāng)于光程原點選取不同而已。因此IB干涉=2Re(B?2B)=rSrPtS可調(diào)節(jié)令其相位差記作?φ,則：??（7）由于探測器A給出cos(Δφ)，B給出sin(Δφa)記錄I,?I,作題解圖3c（或用示波器X_Yb)由I,I的比值得到tanΔφ;再由I第（7）問3分*）或（**）或（***）3分。（11.1）設(shè)C的圓形軌跡的圓心為D，以CD連線為轉(zhuǎn)動參照系s【此參照系可以看作一個和CD連線剛①N左+N右=Mg②③④s系的各坐標(biāo)軸的單位矢量i,j,k可用S系中的分量表示如下j=[sin(Ωt),cos(Ωt),0]細(xì)桿的主軸方向為b1=icosφ?ksinφ,b2=j，b3=isinφ+kcosφ,沿主軸方向的轉(zhuǎn)動慣量為I細(xì)桿,1=I細(xì)桿,2=ML2，I細(xì)桿,3=0，細(xì)桿對其質(zhì)心的角動量為=?MΩ(R2?RLsinφ+(sinφ)2)k?MΩ(Rr+??s(R?lsinφ)Ωj仍使用解法一中的坐標(biāo)系和單位向量i,j,k。注意在旋轉(zhuǎn)參考系中，i,j,k為常向量。旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系相對于靜止系的角速度向量為(?Ωk)。與（1.1）中的計算類似，細(xì)桿的慣性力??（2）由質(zhì)心運動定理得，地面對平衡車的兩個車輪的總摩擦力f滿足I=mr2④⑥由角動量定理得，車內(nèi)發(fā)動機對兩個車輪共輸出相對于輪軸的扭矩τ(θ)滿足τ(θ)?fr=2Iβ⑩由題意，細(xì)桿傾角θ保持不變，因此f和τ(θ)也保持不變。C點做勻加速直線運動。在隨C點平動的加速參照系內(nèi)，細(xì)桿的加速度為零，細(xì)桿繞端點C點的力矩滿足平衡條件其中，τ,(θ)與τ(θ)互為正反力矩⑩⑩?(0,y(t),r)，則細(xì)桿質(zhì)心在t時刻的位置為?在隨C點平動的加速參照系內(nèi)，車體細(xì)桿相對于C點的轉(zhuǎn)動方程為由?式得，細(xì)桿質(zhì)心加速度的y分量為地面對平衡車的兩個車輪的總摩擦力f為??由角動量定理得，車內(nèi)發(fā)動機對兩個車輪共輸出相對于輪軸的扭矩τ(θ)滿足2Iβ=τ(θ)?fr??式形式和⑩式相同，但在不同的條件得到。由【在隨C點平動的加速參照系內(nèi)，車體細(xì)桿相對于C點的轉(zhuǎn)動方程為由⑩式得，細(xì)桿質(zhì)心加速度的y分量為地面對平衡車的兩個車輪的總摩擦力f為??????,?,?,?,由角動量定理得，車內(nèi)發(fā)動機對兩個車輪共輸出相對于輪軸的扭矩τ(θ)滿足2Iβ=τ(θ)?frM′整體r(gtanθ??=τ(θ)?(cosθ??sinθ?2)化簡得關(guān)于θ的微分方程?(M′整體??Lr=?M′整體rgtanθ+(M′整體?+1)τ(θ)+sinθ?2?’M>M′（1）如題解圖5a，取半徑r處與徑向垂直的面元dS（圖中僅畫出了面元的側(cè)面以O(shè)為頂點，dS為橫截面作一錐體。對于球?qū)ΨQ質(zhì)量分布的恒星，當(dāng)錐體的側(cè)其中p(r)為r處的恒星物質(zhì)密度，而m(r)為②0由p(r)的定義或直接將②式兩邊對r4τr2p③由①③式得，在平衡狀態(tài)下m(r)與p(r)滿足⑤③⑤式即為在平衡狀態(tài)下m(r)與p(r)滿足的微分方程。p(R)0m(R)M恒星中心壓強的最小值（下界）如⑩式右端所示。由于r=0和p(R)0，上式第一個等號右邊第一項消失為0。EEE0，totintgrav其中總勢能Egrav由⑥式給出，而總內(nèi)能Eint為REintu(r)4τr2dr0(y1)u(r)p(r)⑥⑦⑧⑩⑩⑩④④⑥⑩⑦⑩如果恒星穩(wěn)定、不會解體，則要求?式應(yīng)被滿足。注意到Egrav<0，由?式知，Y應(yīng)滿足的條件是?（5）光子氣體的內(nèi)能密度urad可由普朗克黑體輻射能示，其中dS是體積元的底面的面積，cdt是體積元的側(cè)面母線的長度。若光子氣體的光壓為prad，它在dt時間內(nèi)作用對面元dS的沖量為dIpraddSdt?率為v的光子在dt時間內(nèi)，在面元dS上轉(zhuǎn)移的動量在dS?它正比于一個頻率為v的光子的能量hv。各個頻率的光子在dt時間內(nèi)光子在面元dS上轉(zhuǎn)移的動量在dS方?式中是單位立體角內(nèi)的光子氣體的內(nèi)能密度。沖量I實際上是光子在dt時間內(nèi)光子在面元dS上轉(zhuǎn)移的總動量在dS方向的投影之和00c4τ4τ