2024-2025學(xué)年天津市和平區(qū)高三10月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年天津市和平區(qū)高三10月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷

第I卷（共三部分；滿分150分）

一、選擇題（在每小題四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，本大題共9小題，每小題

5分，滿分45分）

1.集合Z=白卜2-X-6<O},集合8=十卜|<2},則-8=（）

A.（-2,3）B.（-oo,3）C.（-2,2）D.（0,2）

2.已知a,beR,則“2一〃<2"”是“力〉/”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.在一段時(shí)間內(nèi)，分5次測(cè)得某種商品的價(jià)格x（萬元）和需求量歹（t）之間的一組數(shù)據(jù)，繪

制散點(diǎn)圖如圖所示，利用最小二乘法求得相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為3=28.1-11.5x,根據(jù)上述

信息，如下判斷正確的是（）

A.商品的價(jià)格和需求量存在正相關(guān)關(guān)系Bj與x不具有線性相關(guān)關(guān)系

C.m=6D.價(jià)格定為1.9萬元，預(yù)測(cè)需求量大約為6.25t

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.b>c>a

6.已知4,B,。為球。的球面上的三點(diǎn)，圓。]為△48。的外接圓，若

AB=BC=AC=001=43,則球。的表面積為（）

A.16兀B.12兀C.9兀D.8TI

22

7.已知雙曲線C：——==1。>06>0,拋物線￡：/=4x的焦點(diǎn)為下，準(zhǔn)線為/,拋

物線E與雙曲線。的一條漸近線的交點(diǎn)為尸，且尸在第一象限，過尸作/的垂線，垂足為。,

若直線。尸的傾斜角為120。，則雙曲線C的離心率為（）

2A/3V21V7

A.——B.——C.—D.2

332

8.函數(shù)“x）=20sin2?x）+sin[20x+g],其中。>0,其最小正周期為兀，則下列

說法正確的是（）

A.刃=2

B.函數(shù)/（x）圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

5冗

C.函數(shù)/（X）圖象向右移。（0〉0）個(gè)單位后，圖象關(guān)于了軸對(duì)稱，則。的最小值為五

D.若xe0,^,則函數(shù)/（x）的最大值為6+1

—?2—?

9.如圖所示，在邊長為3的等邊三角形4BC中，AD=-AC,且點(diǎn)尸在以的中點(diǎn)。為

3

圓心，為半徑的半圓上，若BP=xBA+yBC,則下列說法錯(cuò)誤的是（）

-------13

B.BDBO=—

2

、V3

C.而?比存在最大值為9D.x+y的最大值為l+飛-

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)一個(gè)的給

3分，全部答對(duì)的給5分.

10.已知復(fù)數(shù)z滿足號(hào)=2i（其中i為虛數(shù)單位），則口=.

ll.（2x-J），的展開式中必/的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）

12.兩個(gè)三口之家進(jìn)行游戲活動(dòng)，從6人中隨機(jī)選出2人，則這2人來自同一個(gè)家庭的概率為

;若選出的2人來自同一個(gè)家庭，游戲成功的概率為06若來自不同的家庭，游戲成

功的概率為0.3,則游戲成功的概率為.

13.已知直線x+y-5=0與圓C：x?+歹2-41+2〉一加=0相交于4、8兩點(diǎn)，且

\AB\=4,則實(shí)數(shù)加=.

4

14.若且《log。b+31ogbQ=8,則。+方——的最小值為____.

b—1

/、—2a—11+4tz-a~,x<a,x「、

15.設(shè)aeR,函數(shù)={22與函數(shù)g（x）=ax在區(qū)間內(nèi)

恰有3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是.

三、解答題（本大題5小題，共75分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）

16.（本小題滿分14分）

在△45C中，內(nèi)角/、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知a=2,c=3,

2sinC=sin+cosAtanB.

（1）求角8的大??；

（2）求邊6；

(3)求sin(32+C)的值.

17.(本小題滿分15分)

如圖，邊長為2的等邊△PCD所在的平面垂直于矩形4BCD所在的平面，BC=26,

M為8c的中點(diǎn).

(1)證明：AMLPM■,

(2)求平面尸/”與平面D4四的夾角的大小;

(3)求點(diǎn)。到平面的距離.

18.(本小題滿分15分)

已知橢圓C：4+t=1(a>Z)>0)的離心率為也，過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線

a2b22

4與橢圓。交于4,B兩點(diǎn)、,且=直線4：y=左('—機(jī))加eR加〉；與橢圓

。交于以，N兩點(diǎn)

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知點(diǎn)尺］5，0,若麗7?麗是一個(gè)與左無關(guān)的常數(shù)，求實(shí)數(shù)冽的值.

19.(本小題滿分15分)

設(shè)｛%,｝是等比數(shù)列，｛2｝是遞增的等差數(shù)列，｛"｝的前〃項(xiàng)和為S“(〃eN*),%=2,

4=1,S4=Q］+='1+4.

(1)求數(shù)列｛4｝和也｝的通項(xiàng)公式；

(2)將數(shù)列｛%｝與數(shù)列｛〃｝的所有項(xiàng)按照從小到大的順序排列成一個(gè)新的數(shù)列，求此新數(shù)

列的前50項(xiàng)和；

(3)［x］表示不超過x的最大整數(shù)，&表示數(shù)列［(-1月也；］的前4〃項(xiàng)和，集合

A=\n幾w也+2,〃-N*共有4個(gè)元素,求X范圍.

/，+2,

20.(本小題滿分16分)

已知函數(shù)f(x)=(x+l)lnx,g(x)=

(1)求曲線y=/(x)在(1,/(l))處的切線方程；

(2)若/(x)〉g(x)對(duì)任意的X￡(l,+8)恒成立，求實(shí)數(shù)Q的取值范圍；

(3)若〃(％)=—Lg(x)有三個(gè)零點(diǎn)再，Xz，%3，且再＜%2＜、3，求證.

(3Q-1)(再+w+2)＜2

數(shù)學(xué)答案

一、單選題

題號(hào)123456789

答案CDDABABCD

二、填空題

Vio^221…/5°

10.——11.-4012./12.-/0.4,0.42/—15..14.515.{2}U-,3

2550?'（2

三、解答題

16.（本小題滿分14分）

（1）解：因?yàn)?sinC=sin4+cos/tan8,

ll」八.一.//sin5

所以2sme=sm/+cosAx-------

cos5

_sinAcosB+cosAsmB_sin（3+4）_sinC

cos5cos5cos5

所以2sinCcosB=sinC,

因?yàn)镃e（0,7i）,所以sinC>0,所以cosB二；

又8w（0,兀），所以8=5；

（2）在△45C中，由余弦定理及a=2,c：=3,B=~,

3

有/=/+02—2accos5=7,故6=近.

（3）由正弦定理一3—=—2—,可得sinZ=V3

丁

sinAsinB

2

因?yàn)閍<c,故cosZ=—j=.

V7

473

因此sin2/=2sinZcosZ=------,cos2^4==2COS2^-1=-.

77

所以，sin（3/+C）=sin[2N+'1ji]「1、1G3s

<H——X=---------

I2）7214

17.（本小題滿分15分）

(1)以。為原點(diǎn)，。/為x軸，。。為歹軸,

p

過。作平面4BCZ)的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則Z9a,0,0),Af^/2,2,0),P(0,1,73),

AM=(-42,2,0^,PM=(k/2,l,-V3)

而?麗=—2+2+0=0,所以

(2)因?yàn)槠矫?BCD的法向量布=(0,0,1),

又:W=G力，2,0),AP=(-272,1,73),

設(shè)平面PAM的法向量n=(x,y,z),

n-AM=-y/2x+2y=0

則<,取n=

n-AP=-242x+y+V3z=0

設(shè)平面PAM與平面ABCD夾角的大小為0,

|?-?|_V3_V2同、

coso-11=—r=——，所以e二一，

同A/624

jr

所以平面尸4M與平面43C。夾角的大小為一；(設(shè)答寫一即可)

4

(3)￡>=(0,0,0),通=62夜,0,0),

由(2)知平面尸的法向量3=3,1,道)，

\n-AE\42\/6

所以點(diǎn)。到平面PAM的距離d==3=上

WV63

18.(本小題滿分15分)

X=C,22

X2y2解得y=±工，故"=向2分

(1)聯(lián)立《

、/+L0°

又e=9=----，a1—b2-^-c1,聯(lián)立三式，解得a=b=l,c=1,

a2

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+y2=l.

2

［2

X2i

------FV=1

(2)設(shè)〃(苞,必)，N(X2，%)，聯(lián)立方程｛2,5消元得

y=k(x-m),

(1+2k2)x?-4mk2x+2k2ni?-2=0,

A=16祖2左4_4(1+2k2)(2Fm2-2)=8(2k2-m2k2+l)>0

4mk22m2k2-2

???X+X=------------7,=---------------r

912

121+211+2左2

RMRN=%-1"+"為=XE

22

yxy2=k(xj-m)(x2-m^=k^xrx2-m(^+x2)+加之］=左:2機(jī)左

(3m2-5m-2)k。-225

:.RM-RN=——十一

1+2左216

又菽?麗是一個(gè)與左無關(guān)的常數(shù)，:3機(jī)2—5機(jī)—2=—4,即3機(jī)2—5加+2=0,

2

???加］=1,m2=—,-14分

3,

,??冽,一，.,?加=1.當(dāng)加=1時(shí)，A>0,直線與橢圓。交于兩點(diǎn)，滿足題意.

42

19.(本小題滿分15分)

(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q,等差數(shù)列的公差為d(d>0),

2

4bl+6d=%+aq2+61=2/

由已知條件得x,即V

axq=2bl+2d2q=2+2d

q=iq=2

解得《(舍去)或<

d=0d=\

所以aa=qq"T=2",bn=bx+(?-l)t7=n

⑵數(shù)列｛%,｝與數(shù)列也｝都是遞增數(shù)列，n=5,%=32<50,〃=6,6=64>50,

2-2645x(1+45)

Q]++〃5=-----=62,4+Z72-I----1-“5-----------—1035,

1-22

新數(shù)列的前50項(xiàng)和為.1+2+2+3+4+4+5+6+…+45=62+1035=1097

(3)由題意可知：

T4K=例一瓦一及+b：)+例_憂-b；+公)+…+?_3-磯2-磯1+#"),

其中%_3-叱-2-瓦-1+4=(4〃-3)2-(4〃-2)2-(4〃-1)2+(4〃丫=4,

所以4,=4〃，4屋4+2=〃(〃+2),

aun+2乙2

集合[〃彳〈如0,〃eN*],設(shè)2=3),

2〃n2〃

則?！狣=(〃+1)(〃+3)_〃(〃+2)=-〃2+3,

〃+1〃2〃+i2〃2”+i

所以當(dāng)〃=1時(shí)，D?>D],當(dāng)〃22時(shí)，Z)2>D3>D4>???.

315335

計(jì)算可得4=3,D=2,D=—,D.=~,D=—,

122382532

353

因?yàn)榧嫌?個(gè)元素，—<2<-.

322

20.(本小題滿分16分)

(1)由函數(shù)/(x)=(x+l)lnx,可得/(1)=0

且/，(x)=l+』+lnx,則r(1)=2

X

曲線y=/(x)在(1,/(1))處的切線方程為2x—V—2=0

(2)當(dāng)X￡(l,+oo)時(shí)，/(%)>g(x)等價(jià)于—―>0

設(shè)/(x)=lnx—?jiǎng)t“X)=X2+2(1—2X+1,/(])=o

x+i%(x+iy

(i)當(dāng)a<2,xw(l,+oo)時(shí)，x2+2(1-tz)x+1>x2-2x+1>0,

故l'(x)>0,/(x)在(1,+oo)上單調(diào)遞增,因此/(x)〉0；

(ii)當(dāng)Q>2時(shí)，令/(x)=0得$=a—1—,x?=a-]+J(a-1)-1?

由馬>1和國工2=1得再<1，

故當(dāng)X￡（l,%2）時(shí)，，（三）<0,《X）在（I,%）單調(diào)遞減，因此力（%）<0.

綜上，a的取值范圍是(-oo,2]

(3)由〃(x)=0等價(jià)于alnx-^~j-=0,

V—1

令M(x)=alnx-----.注意到，M(1)=0,依題意，M(X)除了1之外，還有兩個(gè)零點(diǎn),

X+1

2

,，/、ax+(2a-2}x+aAzx9z、八

又由M(X)=-------------------*----,令v(x)=a*+(2a-2)x+a(x>0),

、x(x+l)

當(dāng)QVO時(shí)，V（X）<0恒成立，故這時(shí)"（X）在（0,+8）單調(diào)遞減，不合題意:

當(dāng)Q>0時(shí)，由題意，首先V（X）在（0,+8）上有兩個(gè)零點(diǎn)，

91

故A=（2Q—2）—44>0,解得0<a<],

2

設(shè)兩個(gè)零點(diǎn)為。和N，有4+5=—一2>0,4&=1>°，故可知。，玄均大于0，

a

由此可得"（X）在（0芯）單調(diào)遞增，（0,2）單調(diào)遞減，&2,+8）單調(diào)遞增，

而1￡恁,2），即“4）〉0，"（1）=0，“5）<0,

(J_A

■-y^—>0,

又因?yàn)閦/ea7+—<0,uea

e"+1k7e"+1

故（X）在（0,1）內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，在（1,+8）內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn),

又1為的