陜西省2024年中考數(shù)學(xué)解答專項(xiàng)線段最值問(wèn)題練習(xí)

線段最值問(wèn)題(1)如圖①，已知⊙O及⊙O外一點(diǎn)C，請(qǐng)?jiān)凇袿上找一點(diǎn)P，使其到點(diǎn)C的距離最近；(2)如圖②，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4.點(diǎn)M和N分別從點(diǎn)B、C同時(shí)動(dòng)身，以相同的速度沿BC、CD方向向終點(diǎn)C和D運(yùn)動(dòng)．連接AM和BN，交于點(diǎn)P.請(qǐng)?jiān)趫D中畫出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑，并求出點(diǎn)P到點(diǎn)C的最短距離；(3)如圖③，AC為邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD的對(duì)角線，∠ABC＝60°.點(diǎn)M和N分別從點(diǎn)B、C同時(shí)動(dòng)身，以相同的速度沿BC、CA方向向終點(diǎn)C和A運(yùn)動(dòng)，連接AM和BN，交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P到直線CD的最短距離．第1題圖解：(1)如解圖①，連接OC交⊙O于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求；第1題解圖①(2)由題知BM＝CN，在△ABM和△BCN中，，∴△ABM≌△BCN(SAS)，∴∠AMB＝∠BNC，又∵∠PBM＝∠CBN，∴△PBM∽△CBN，∴∠BPM＝∠BCN＝90°，∴∠APB＝90°，如解圖②，連接AC、BD交于點(diǎn)O，取AB中點(diǎn)E，則以點(diǎn)E為圓心，BE為半徑的eq\o(BO,\s\up8(︵))即為點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑，連接EC交eq\o(BO,\s\up8(︵))于點(diǎn)F，則點(diǎn)P與點(diǎn)F重合時(shí)，點(diǎn)P到點(diǎn)C距離最近．第1題解圖②在Rt△BCE中，CE＝eq\r(BC2＋BE2)，∵BE＝eq\f(1,2)AB＝2，BC＝4，∴CE＝2eq\r(5)，∵EF＝B′E＝eq\f(1,2)AB＝2，∴CF＝CE－EF＝2eq\r(5)－2，∴點(diǎn)P到點(diǎn)C的最短距離為2eq\r(5)－2；(3)由題知BM＝CN.∵四邊形ABCD為菱形，且∠ABC＝60°，∴∠ACB＝eq\f(1,2)∠BCD＝60°，∴∠ABC＝∠ACB.在△ABM和△BCN中，，∴△ABM≌△BCN，∴∠AMB＝∠BNC，∴△BPM∽△BCN，∴∠BPM＝∠BCN＝60°，∴∠APB＝180°－∠BPM＝120°.如解圖③，分別作線段AB、BP的垂直平分線，兩線交于一點(diǎn)E，則以點(diǎn)E為圓心，EB為半徑的eq\o(BA,\s\up8(︵))為點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑．連接EC，交eq\o(BA,\s\up8(︵))于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)F點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)P到CD的距離最近．∵∠ABC＝∠ACB＝60°，且AB＝BC，∴△ABC是等邊三角形，∴CE為AB的垂直平分線，∴∠BCE＝30°，eq\o(BF,\s\up8(︵))＝eq\o(FA,\s\up8(︵))，∵∠BEC＝2∠BAP＝60°，第1題解圖③∴∠EBC＝90°，∴在Rt△EBC中，CE＝eq\f(BC,sin60°)＝eq\f(4,\f(\r(3),2))＝eq\f(8\r(3),3)，BE＝eq\f(BC,tan60°)＝eq\f(4,\r(3))＝eq\f(4\r(3),3)，又∵EF＝BE，∴CF＝CE－EF＝eq\f(4\r(3),3).∴點(diǎn)P到直線CD的最短距離為eq\f(4\r(3),3).問(wèn)題探究(1)請(qǐng)?jiān)趫D①的△ABC的邊BC上作一點(diǎn)P，使AP最短；(2)如圖②，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且滿意∠APB＝∠BPC＝∠APC.求證：點(diǎn)P到點(diǎn)A、B、C的距離之和最短，即PA＋PB＋PC最短；問(wèn)題解決(3)如圖③，某高校有一塊邊長(zhǎng)為400米的正方形草坪ABCD，現(xiàn)打算在草坪內(nèi)放置一對(duì)石凳及垃圾箱在P點(diǎn)處，使點(diǎn)P到B、C、D三點(diǎn)的距離之和最小，那么是否存在符合條件的點(diǎn)P？若存在，請(qǐng)作出點(diǎn)P的位置，并求出這個(gè)最短距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．第2題圖(1)解：如解圖①所示，過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為P，點(diǎn)P即為所求；第2題解圖(2)證明：如解圖②，將AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到A1B，將PB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到P1B，連接P1A1，P1P，A1A，A1B，依據(jù)作圖可知△AA1B和△PP1B均為等邊三角形，則PP1＝PB，∵△AA1B、△PP1B為等邊三角形，∴A1B＝AB，BP1＝BP，∠A1BA＝∠P1BP＝60°，∴∠A1BP1＋∠P1BA＝∠PBA＋∠P1BA，∴∠A1BP1＝∠PBA，∴△A1BP1≌△ABP，∴P1A1＝PA，∴P1A1＋PP1＋PC＝PA＋PB＋PC，連接A1C，依據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)P1A1＋PP1＋PC＝A1C時(shí)，PA＋PB＋PC最短，∵∠APB＝∠BPC＝∠APC＝eq\f(1,3)×360°＝120°，∴∠A1P1B＝∠APB＝∠BPC＝120°，又∵△BP1P為等邊三角形，∠A1P1B＋∠BP1P＝∠BPP1＋∠BPC＝180°，∴A1、P1、P、C四點(diǎn)共線，∴P1A1＋PP1＋PC＝A1C，∴當(dāng)∠APB＝∠BPC＝∠APC時(shí)，PA＋PB＋PC最短；(3)解：存在符合條件的點(diǎn)P.如解圖③，以CD為邊作等邊△CDE，再作△CDE的外接圓⊙O，連接BE，交⊙O于點(diǎn)P，此時(shí)PB＋PC＋PD最?。赑E上截取PQ＝PC.∵在等邊△CDE中，∠DCE＝∠CDE＝60°，∴∠CPE＝∠CDE＝60°(同弧所對(duì)的圓周角相等)，第2題解圖③∴△CPQ為等邊三角形，∴CQ＝CP，∠PCQ＝60°，∴∠PCD＋∠DCQ＝∠DCQ＋∠ECQ＝60°，∴∠PCD＝∠ECQ，又∵CD＝CE，PC＝QC，∴△PCD≌△QCE(SAS)，∴PD＝QE，∴PB＋PC＋PD＝PB＋PQ＋QE＝BE最小，理由如下：設(shè)點(diǎn)M為正方形ABCD內(nèi)隨意一點(diǎn)，連接BM，CM、DM，將△CMD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CGE，∵BE<GE＋GM＋MB＝MD＋MC＋MB，∴BE為PB＋PC＋PD的最短距離．在Rt△CEF中，∠ECF＝30°，CE＝400米，∴EF＝eq\f(1,2)CE＝200(米)，CF＝CE·cos30°＝200eq\r(3)(米)，∴BF＝BC＋CF＝400＋200eq\r(3)(米)，在Rt△BEF中