2024-2025學年廣西桂林市高二年級上冊11月期中考試數(shù)學檢測試題（附解析）

2024-2025學年廣西桂林市高二上學期11月期中考試數(shù)學

檢測試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.已知直線/過原點且與直線7x+3y-l=0垂直，求直線/一個方向向量是（）

A.(-7,3)B.(3,-7)C.(3,7)D.(7,3)

2.設向量a=(3,2,間，3=(-1,2,1),若￡_1_5，則機=()

A.2B.1C.-1D.-2

3.已知點/(2,-1,0),5(1,-1,-1),向量2=求向量方與￡夾角的余弦值

()

lV21Jy

A.-V2B.—C.-D.--

222

4.設直線的方程為百cos4x-y+7=0?eR),則直線/的傾斜角a的取值范圍

)

712兀712兀八兀27711

A.B.一,—C._8,一O——,71)D.0,一U---j71

333333

5.2024年10月22日，我國在太原衛(wèi)星發(fā)射中心使用長征六號運載火箭，成功將天

平三號A（01）、B（01）,B（02）衛(wèi)星發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進入預定軌道，發(fā)射任務獲得

圓滿成功.該衛(wèi)星主要用于地面雷達設備標校和RCS測量，為地面光學設備成像試驗

和低軌空間環(huán)境探測監(jiān)視試驗提供支持，為大氣空間環(huán)境測量和軌道預報模型修正

提供服務.假設天平三號A（01）衛(wèi)星運動的軌道是以地球的球心為一個焦點的橢圓，已

知地球的直徑約為1.3萬千米，衛(wèi)星運動至近地點距離地球表面高度約1.35萬千

米，運動至遠地點距離地球表面高度約3.35萬千米，求天平三號A（01）衛(wèi)星運行的軌

跡方程可為（）

近地點//

一/遠地點

22

xy

A.—+—=1B+=1

98-fl?

c.-1D.J+j

1.3523.3523.521.22

6.如圖，在直三棱柱/BC-HB'C'中，AABC=90°,AB=BC=BB'=1,E、尸分別為

A'B',N3的中點，則直線FC到平面/EC'的距離為()

,,2丫2

7.若雙曲線4-土=1(〃>0)的漸近線與已知圓。:/+，-4)，+3=0相切，貝ij〃=

n2

()

A.y[6B.V3C.V2D.1

8.設為cR,過定點M的動直線尢v+y=0和過定點N的動直線x-2y+4+3=0交于點

O(x,y),則|0M|+|QN|的最大值是()

A.VsB.275C.V10D.2710

二、多選題(本大題共3小題)

9.直線/的方向向量為平面夕的法向量K則下列命題為真命題的是

()

A.若￡_L",則直線///平面a

B.若￡//[,則直線/J■平面a

C.若cosG，"=g,則直線/與平面&所成角的大小為三

/rr\1兀

D.若sin(a,”)=：,則直線/與平面a所成角的大小為三

10.已知圓C:(x-2y+(y—l)2=36,直線2x+(〃?+l)v-3m+l=0,則()

A.當機=1時，圓C上恰有兩個點到直線/的距離等于1

B.圓C與圓/+必+12工+10了+45=0恰有三條公切線

C.直線/恒過定點（-2,3）

D.直線/與圓C有兩個交點

11.已知方程加一+必=1表示的曲線為則（）

A.當0＜加＜1時，曲線E為焦點在X軸上的橢圓

B.當〃?＞1時，曲線E為焦點在x軸上的橢圓

C.當時，曲線E為焦點在V軸上的雙曲線

D.當坎＜-1時，曲線E為焦點在＞軸上的雙曲線

三、填空題（本大題共3小題）

12.過拋物線必=21（°＞0）的焦點尸的直線＞交于48兩點，則拋物線的

方程為.

13.如圖，已知￡、尸分別是四面體/3CD的棱力。、8C的中點，點G在線段EF

上，且EG=2GF,設向量AC=b,AD=c＞則四=（用｛用斯｝表

示）

14.已知點/（一1,0）,8（3,0）,若圓（x-加+加+2『=1上存在點尸滿足

PAPB=5＞則實數(shù)機的取值范圍是.

四、解答題（本大題共5小題）

15.2024年7月11日是鄭和下西洋620周年紀念日，也是第20個中國航海日.設立

“航海日”對于我國開發(fā)海洋、維護海權、加強海防、實現(xiàn)建設航天強國和海洋

強國的目的，有著十分深遠的戰(zhàn)略意義.在某次任務中，為了保證南沙群島附近海域

航行的安全，我國航海部門在南沙群島的中心島嶼。正西與正北兩個方向，分別設

立了觀測站42,它們與南沙群島中心島嶼。的距離分別為15海里和海里.某

時段，為了檢測觀察的實際范圍（即安全預警區(qū)），派出一艘觀察船V,始終要求

巡視行駛過程中觀察船M的位置到觀測站A的距離與南沙群島中心島嶼。的距離之

商為4.

t

~AOx

(1)求小船M的運動軌跡方程；

(2)為了探查更遠的范圍，航海部門又安排一艘巡艇，從觀測站A出發(fā)，往觀測站3方

向直線行駛，規(guī)定巡艇不進入預警區(qū)，求。的取值范圍.

22

16.已知橢圓C：=+鼻=1(。>6>0)的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,P為橢圓C上一

ab

點.

⑴若焦距為4五，點尸的坐標為求橢圓C的標準方程；

(2)若/片尸鳥=g,且長軸長為2n，△片心的面積為必，求b的值.

32

17.如圖，已知在四棱錐S-N8CD中，平面平面48cD,在四邊形ABCD中，

AB//DC,ZBAD=90°,在中，SA=SD=45,AB=AD=-CD=2,點￡1是棱SC

2

上靠近S端的三等分點.

S

⑴證明：SN//平面BDE；

(2)求平面與平面S8C夾角的余弦值.

18.已知點N的坐標為(-1,2),過點N的直線/與拋物線C：f=2?5>0)交于/、8

兩點，且加.礪=0，連接CW,直線/斜率與直線ON的斜率之積為-2.

y>

w/^

(1)求。的值；

(2)若線段AB的垂直平分線與拋物線C交于￡,尸兩點，求AOE廠的面積.

22

19.已知耳，片分別為雙曲線-彳=1(4>0,6>0)的左，右焦點，與無軸分別交

ab

于點A,B,它的一條漸近線的斜率為.且右焦點用到該漸近線的距離為倔

⑴求雙曲線M的方程；

⑵若過7(4,0)的直線與曲線M交于C,。兩點(C。不與兩個頂點重合)，記直線

AC,AD的斜率為匕，k2,證明：》為定值.

(3)若動點方在曲線M的左支上，定點乙(5,0),點尸為圓。:/+(y+3)2=l上一動

點，則求|即|+|明|的最小值.

答案

1.【正確答案】D

【詳解】由題可知，直線/過原點（0,0）與直線7x+3y-l=0垂直，

3

則直線/的斜率為

所以直線/的方程為3x-7y=0,

故其中一個方向向量討=（7,3）.

故選：D

2.【正確答案】C

【詳解】因為a_L刃，可得=-3+4+加=0，解得m=T.

故選：C.

3.【正確答案】B

【詳解】由題可知點的=（1,0,1）,

一-1

所以…=B巾A-a高2]V.2

故選：B.

4.【正確答案】D

【詳解】根據(jù)題意，直線的斜率為左=6cosOe[-6,百],由此得tanae[-6,6],

又因為ce[0,7t）,所以結合正切函數(shù)的單調性，可得ae0（uy,K）.

故選：D

5.【正確答案】A

【詳解】根據(jù)橢圓的定義，設長軸長為2a,焦距為2c,

由題可知,1.35+1.3+3.35=2。，即“=3萬千米，

因為天平三號A（01）衛(wèi)星，運動至近地點距離地球表面高度約1.35萬千米，地球半徑

為0.65萬千米，

則a—c=1.35+0.65=2,可得c=l萬千米，因止匕/=/一,2=32-12=8,

所以橢圓的方程為《+廿=1.

98

故選：A.

6.【正確答案】B

【詳解】在直三棱柱ZBC-HB'C'中，ZABC=90°,

如圖所示，以8'為原點建立空間直角坐標系，

因為/B=BC=38'=1,E、F分別為N?,N8的中點，

則4(0,1,1),5(0,0,1),E(0,g,0；尸C(IOO),

所以存=[(),一5一1),=赤=[(),一；,0),

/、，1?-XJ

設平面/EC'的法向量為元=x,y,z,貝lj—

n-EC'=Q

--y—z=0

2

即取z=—l,貝ljy=2,x=l,

x--y=0

2

所以為=(12-1)是平面/EC'的一個法向量,

又因為方=(0,-；,0

卜尸臼」o+(T+q一展

所以點F到平面/EC'的距離為

|?|a6

因為在直三棱柱/8C-4B'。中，E、尸分別為48',的中點,

則EFI/CC旦EF=CC,所以四邊形防CC'是平行四邊形，

所以CF〃C'E,又C'￡u平面/EC',CF<Z平面4EC',

所以。尸〃平面4EV,

則點F到平面/EC'的距離即為直線尸C到平面"EC'的距離.

故選：B.

7.【正確答案】A

【詳解】雙曲線E■-二=1(">0)的漸近線為了=±冬，即內土屑=0,

n272

不妨取〃x+=0,Elx2+y2—4y+3=0,即/+口―2)=1,

所以圓心為（0,2）,半徑丁=1,

依題意圓心（0,2）到漸近線”工±岳=0的距離上巴=1，

6+2

解得〃=y/6或n=-a（舍去）.

所以〃=y/6.

故選：A.

8.【正確答案】B

【詳解】對于動直線加+了=0可知其過定點M（0,0）,

動直線x—為+2+3=0,即x+3——1）=0,可知其過定點N（—3,1）,

且lx4+lx（-2）=0,因此兩條動直線相互垂直，

可知點Q的軌跡是以為直徑的圓，且|人叫=胸，

貝I]|0叫2+|QN「==10,

可得膽叫?QN|）qQMf+gNkio,當且僅當10M=|2叫=石時，等號成立,

則|。叫+lOM42君，所以|。閭+|。叫的最大值為26.

故選：B.

9.【正確答案】BD

【詳解】對于A,若則直線”/平面?；蛑本€/u平面“，A錯;

對于B,若￡/而，則直線/_L平面a,B對；

對于C,若cos3力=1,可知直線/與平面e所成角的正弦值為!，

22

則直線/與平面a所成角的大小為5,C錯;

6

對于D，右sina,幾——,則cos=—，

22

可知直線/與平面戊所成角的正弦值為立，

2

則平則直線/與平面a所成角的大小為三，D對.

故選：BD.

10.【正確答案】BCD

【詳解】對于A,當加=1時，直線/：%+＞一1=0,

圓心C（2,l）到直線/的距離為）」2要"=』,

而圓C半徑為6,因此只有4個點到直線/的距離等于1,故A錯誤；

對于B,圓x2+/+12x+10y+45=0的方程化為（x+6）2+（y+5）2=16,

其圓心為（-6,-5）,半徑為4,兩圓的圓心距為夕="2+6）2+（1+5『=10=6+4,

兩圓外切，因此它們有三條公切線，故B正確；

對于C,直線/的方程為2x+y+l+加（尸3）=0,

由彳2x+y+l，|=3'直線/恒過定點（一2,3）,故C正確；

對于D,（-2-2）2+（3-l『=20＜36,即定點（一2,3）在圓C內，

則直線/與圓C相交且有兩個交點，故D正確；

故選：BCD.

11.【正確答案】ACD

2

X2_

【詳解】對于A,根據(jù)題意知可化為了+了

m

當0〈加＜1時，則曲線E為焦點在X軸上的橢圓，故A正確；

m

鵬2-1

對于B,根據(jù)題意知用/+/=1,可化為工+'T,

m

當山＞1時，0＜1＜1,曲線E為焦點在V軸上的橢圓，故B錯誤；

m

2上7

對于C,根據(jù)題意知加x2+『=l,可化為V一二T,

m

當-1＜根＜0時，則-L＞1,曲線E為焦點在V軸上的雙曲線，故c正確；

m

2._i

對于D,根據(jù)題意知加尤2+必=1,可化為y-工=1,

m

當山<-1時，則曲線E為焦點在V軸上的雙曲線，故D正確.

m

故選：ACD

12.【正確答案】y2=4x,

【詳解】直線尸-6(x-l)過點(1,0),所以拋物線C：/=2px(p>0)的焦點廠(1,0),

所以]=l,p=2,2p=4,故拋物線的方程為了2=4無.

故/=4x

1-1-1一

13.【正確答案】-a+-b+-c.

336

【詳解】因為￡、尸分別是棱A。、的中點，且潴=2涉，

UUWUUTUUIT1UUITOuur1UUW[(UUTUUITUUT

所以4G=愈+5G=—4。+—既=—4。+-EA+AC+CF]

2323、>

1uuw7(1uuuruuor1uurAiuuuriuuw?uunizuuruuir

=-AD+-\——AD+AC+-CB\=-AD—AD^-AC-b-1AB-AC

23(22)233A(

1UUT1UUIT1UUIT

=-AB+-AC+-AD

336

1r11lr

=—a+-b-\■一c.

336

_1_1_1一

故答案為."+"+Jc

336

14.【正確答案】[1-V7,o]u[2,1+6]

【詳解】由題意可知：圓(％-加一1『+(>_加+2『=1的圓心為N(m+l,m-2),半徑

6=1,

設尸(%,力,則莎=(-1-%,-苗),尸5=(3-x,-y),

LlULULIL9八

因為尸/?尸3=/+必_2尤-3=5，整理可得(x-1)+/=9,

即點P在以河(1,0)為圓心，半徑4=3的圓上，

可知兩圓有公共點，貝由一々同加1/區(qū)外+2，即2?J/2+(切一a?44,

I冽2—2m20

整理可得<2C「，解得1-J7W加<0或2W加W1+V7，

m-2m-6<0

所以實數(shù)”?的取值范圍是[1-⑺,o]u[2,1+6].

故答案為.[1-b,o]u[2,1+力]

15.【正確答案】(I)(x-l)，y2=i6.

(2)a＞15.

【詳解】(1)根據(jù)已知條件設以。為坐標原點，而方為X，了軸的正方向，建立平面

直角坐標系，根據(jù)已知條件設桃(XJ)且/(-15,0),0(0,0),

\1V1/1\I------；----I------

由師=4有J(x+15)+j2=4y/x2+y2,

(x+15)2+j?=]6(x?+j?),

x2+30x+225+j2=16/+16y2；

15x2+15/-30x-225=0,

即X2+/-2X-15=0,

整理得(x-l『+j?=i6,它是以(LO)為圓心，4為半徑的圓.

所以小船M的運動的軌跡方程為：(X-1)2+/=16.

(2)由(1)可知4(-15,0),3(0,a)過N3的直線不過坐標原點且不與坐標軸垂直,

所以直線截距式方程為上+}=1(。＞0),

-15a

化為一般式方程為ax-15y+l5a=0(a＞0),

kz—0+15u\

根據(jù)題意，I,」＞4,解得。＞15,所以綜上可知。的取值范圍為。＞15.

Va+152

22

16?【正確答案”咤+?1

⑵V

【詳解】(1)已知山￡|=4夜，因為閨閭=2c,所以c=28，

22

點P(-3,1)在橢圓上,將其代入橢圓的1r+方=1(。＞6＞0),

可得可+￡=i，即2+：=i①，

a2b2ab-

又因為。2=/一尸，即/-/=8②，

聯(lián)立①②，整理得/-2/_8=0,解得從=4或〃=-2,

因為〃>(),所以〃=4,

所以r=b2+c2=4+8=12，

22

故橢圓C的標準方程為土+匕=1；

124

(2)因為/用專=?所以的面積S=；|P/P用sin：=日，

則\PFt\\PF2\=2,

因為長軸長為2a=2&，即°=而，

根據(jù)橢圓的定義得|尸耳|+|尸&=2卡,

所以(陷|+|尸居正=24,即附『+|尸￡『+2附歸列=24③，

由余弦定理可得閨閶2=|尸片『+|尸乙『-2|尸川在cos2,

整理得山外『=忸用2+|尸/聯(lián)一「用忸閭④，

聯(lián)立③④得：閨用『-24=-3盧片歸入即山聞2=18,

則閨用=3也，所以c=乎，

2(a/?丫q

在橢圓中有即62=(&)一*=-,

I2J2

解得6=逅.

2

17.【正確答案】(1)證明見解析

⑵近

17

【詳解】(1)取4D中點0,連接S。，過0點作OA/7//8,交8c于點M,

由題可知，SA=SD=45,AD=2,則S0=2,OA^OD=\,且SO_LN。，

因為/8=/。=工8=2,即CD=4,

2

又因為平面1s4。_L平面/BCD,平面"De平面48co=4D,SOu平面84D,

所以SO_L平面ABCD.

在四邊形/BCD中，AB!/DC,ABAD=90°,貝1J/8_L4O,

且（W///B,貝！|（W_L/D,

以點。為坐標原點，04。及；05分別為弘弘2軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,

則^(1,0,0),5(1,2,0)^(-1,4,0),￡>(-1,0,0),5(0,0,2),

可得而=（-1,4,-2）,且點E是棱SC上靠近S端的三等分點,

貝”豆可知

且加=（2,2,0）,?！?[1]-J,

m?DB=2x+2y=0

設平面5DE的一個法向量為成=(x,%z),貝卜一一244

m?DE=—xH——yd——z=0

I333

令X=l,則y=-l,z=；,可得應=[1,一1,；).

又因為或=(1,0,-2),則/.萬=1—1=0，

可得且“(Z平面8DE，所以S///平面3DE.

(2)由(1)易矢口就=(-2,2,0),無=(-1,4,-2),

,、fn-BC=-2a+26=0

設平面SBC的一個法向量為力=(。也c),則_,

n-SC=-a+4b-2e=0

令〃=2,則6=2,c=3,可得力=（2,2,3）.

設平面瓦龍與平面SBC夾角的為a,

3

I----1m-n?后

則milcosa=cos加洌=ii=可）一,

\m\-\n\葭后17

2

故平面與平面S3。的夾角的余弦值為近.

17

18.【正確答案】（l）P=]

（2）27

【詳解】（1）設2（勺,月）,以物力），直線/斜率為左,

由題可知：點0（0,0）,N（T2）,則直線ON的斜率為：勺“=5二彳=-2；

因為直線/斜率與直線ON的斜率之積為-2,

則koN-k--2,解得k=1,

又因為點N（-l,2）,過點N的直線/與拋物線C交于48兩點，

故直線/的方程為>-2=》+1,即產x+3,

聯(lián)立方程F,消去V可得尤2-2pr-6P=0,

[y=x+3

貝（IA=4p2+36p〉0,可得為+工2=2°,玉%2=-6p,

因為為.赤=0，則%%+M%=%工2+（%+3）（%+3）=0,

整理可得3（再+/）+2%/+9=0,即9+6pT2P=0,解得p=；.

（2）由題可知，直線EF垂直平分線段AB,

設線段48的中點為朋（無0，%）,直線跖的斜率為凝尸，

.,x+x3EI_3_9口口,,/391

由（z1x）知％=——^9=p=-,則為=迎+3=不+3=不，即7^|不，5卜

且原尸=-1,所以直線造的方程為卜-；=-卜-：|,即y=-x+6,

聯(lián)立方程廠=31'消去y可得/+3》-18=0,

[y=-x