2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)解答題：數(shù)列及其綜合應(yīng)用（6大題型）（解析版）

解拳發(fā)，微利及*除含Mi用

------------------------------------------------------------------------OLZEJ

題型一等差數(shù)列與等比數(shù)列證明..........................................................1

題型二分如橋化法求教列的前n項和.....................................................3

題型三裂事相消法求數(shù)列的前n41和.....................................................5

題型四帶位相成法求數(shù)列的前n項和.....................................................6

題型五數(shù)列與不等式標合問題............................................................9

題型六數(shù)列中的探究問題...............................................................11

必劇大題...............................................................................14

題型一等差數(shù)列與等比數(shù)列證明

S大題典例

1.(23—24高三下?內(nèi)蒙古包頭?三模)已知數(shù)列｛時｝的前n項和為Sn,ai=3,Sn=l+an+1.

(1)證明：數(shù)列K-1)是等比數(shù)列，并求S.；

⑵求數(shù)歹”"的前八項和北.

【答案】⑴證明見解析,Sn=2"+1；⑵黑=y-(y廠

【解析】(1)因為S.=1+an+1,又an+1=Sn+1—S”,所以Sn+1-2S?+l=0,整理得Sn+1-1=2(Sn-l).

由題意得Si—1=。1—1=2,

所以數(shù)列｛Sn—1｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故Sn—1=2九，即5九二2九+L

,.,,.f3.TL—1

⑵由⑴可斯=

LN>2-

當(dāng)71=1時，7]=」-=[,

電3

當(dāng)22時，《=(4)”'，所以北=/+(9+信)2+…+(4)”'，

當(dāng)n=1,代入北=日一(得)’1=1■滿足公式,

綜上力”r

解法指導(dǎo)

判斷數(shù)列是否為等差貨等比數(shù)列的策略???

1、將所給的關(guān)系進行變形、轉(zhuǎn)化，以便利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念進行判斷；

2、若要判斷一個不是等差（等比）數(shù)列，則只需說明某連續(xù)三項（如前三項）不是等差（等比）數(shù)列即可。

O變式訓(xùn)練

2.（24-25高三上?上海?期中）某人購買某種教育基金，今年5月1日交了10萬元,年利率5%,以后每年

5月1日續(xù)交2萬元，設(shè)從今年起每年5月1日的教育基金總額依次為電，&2，&3,…….

（1）寫出a?和a3,并求出“+］與冊之間的遞推關(guān)系式；

（2）求證:數(shù)列｛冊+40｝為等比數(shù)列，并求出數(shù)列｛狐｝的通項公式.

【答案】⑴<12=12.5,<13=15.125,冊+1=器％+2;⑵證明見解析，%=50?（器）-40

【解析】⑴5=10,的=的x（1+5%）+2—12.5,

a3=a2x（1+5%）+2=15.125

91

?e?Qn+i=冊X（1+5%）+2,/.an+1=—an+2

（2）、正明一%+1+40二4.+42=股（冊+40）=21

?an+40―an+40―an+40-20

。1+40=50

.??｛。八+40｝是以50為首項，卷為公比的等比數(shù)列.

zu

,冊+40=50.（器），二冊=50.（器）-40

3.（24-25高三上?山東淄博?月考）記S"為數(shù)列｛冊｝的前幾項和，已知S”=管+稼+1,"CN*.

（1）求出+a2,并證明｛an+an+1］是等差數(shù)列；

⑵求S2rl.

【答案】⑴出+電=6,證明見解析；（2）Sz九=4九2+2幾

【解析】（1）當(dāng)九=1時，SI=QI=4~+1+1,

解這個方程：Qi—=2,即當(dāng)=2,解得的=4.

當(dāng)72=2時，$2=。1+。2=?+4+1,

把Qi=4代入得4+。2=￡■+5,

移項可得。2—七=5—4,即=1,解得a2=2.

所以+電=4+2=6.

由$九=￡+求+1,可得$尸1二等+伍一iy+l（n>2）.

22

當(dāng)九>2時，an=Sn—Sn-i=+n+1—（%】+（vi—1）+1）.

22

展開得an=^~+n+1-—（n—2n+1）—1.

整理得期一等+2九一1,移項得號=—等+2九—1,即冊=—冊一1+4九一2.???

那么an+an-i=4n—2(n>2).

令，l=+an+1,則bn—4(n+1)—2=4n+2,bn-X—an-x+an=4n—2.

所以bn—bn-i—(4n+2)—(4n—2)=4(常數(shù)).

所以｛。九+%+J是等差數(shù)列.

⑵由Q九+Q九_1=4九一2可得：S2n=(。1+。2)+(。3+。4)+.一+(電九—1+十21?

因為冊+an+1=4n+2,所以a2k-i+a2k=4(2k)—2=8k—2(k=1,2,…,n).

則S2Tl=6+14+22+…+(8九—2).

所以S?,=九X6+也yX8.

22

展開得S2rl=6n+4n(n-1)=6n+4n—4n=4n+2n.

題型二分姐格化法求數(shù)列的前n項和

念大題典例

4.(24-25高三上?北京?月考)已知｛an｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，的=1,且電，a2,—3。3成等差數(shù)

列.

(1)求｛飆｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛an-n｝的前n項和Sn.

【答案】⑴a”=(三；(2)Sn=y[l-(y)"]--":九)

【解析】⑴設(shè)等比數(shù)列｛冊｝的公比為q>0,且s=1,

因為電，電，一3。3成等差數(shù)列，則2。2=Qi-3a3，

即2[=1-3/,解得9=；或q=-l(舍去)，

所以｛。九｝的通項公式為@=1乂(《~)=匕.

(2)由(1)可知：a—n——n,

n3kl

則Sn=(l-l)+(y-2)+(y-3)+???+(4-n)=(1+寺+^+…+/三)一(1+2+3…+一

1一(土)九(1+n)3「](1\n-|n(l+n)

=^ZI--------^=了[1_(至乂—L

13

所以SnT[1—仁力―當(dāng)初

解法指導(dǎo)

1、適用范圍:某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，注

意在含有字母的數(shù)列中對字母的討論.

2、常見類型：

(1)分組轉(zhuǎn)化法:若冊=勾土品，且｛勾｝,｛品｝為等差或等比數(shù)列：

⑵奇偶并項求和:通項公式為飆=2'"出?工’的數(shù)列，其中數(shù)列也｝，&｝是等比數(shù)列或等差數(shù)列。

[q,n為偶數(shù)???

S變式訓(xùn)練

5.（24-25高三上?河北衡水?月考）已知數(shù)列｛冊｝的前八項和為S"，電=13,冊+尸]?一數(shù).

[3%,幾為偶數(shù)

（1）證明:數(shù)列｛出九一1—12｝為等比數(shù)列；

（2）若S2n+i=16n+1469,求TZ的值.

【答案】（1）證明見解析；（2）6

【解析】⑴因為?=k一8,;I2數(shù)，

[3Q九,71為偶數(shù)

所以當(dāng)九>2,72eN*時，a2n-i-12=a2（n_1）+1—12=3a2n-2-12=3a（2n_3）+1—12=3（a2n-3-8）-12=3

（a2n-3—12）,

即九>2,九GN*時，a2n-i-12=3%（九T）_1—36,

又n=1時，電-12=13—12=1,

所以數(shù)列伍2-1—12｝為首項為1,公比為3的等比數(shù)列.

（2）由⑴知Q27-12=3-1，所以a2n=+12,

又由*=上一8：猊數(shù)，可得…=3”7+4,Q2,九CN*,

[3Q九，九為偶數(shù)

所以S2Ti+i=+。2+。3H-----ba2n+?2n+l=（。1+Q3H----^電九+1）+（。2+。4H-----Fa2n）

=[30+3+---+3"+12（n+l）]+（3°+3+---+3n-1+4n）=+16n+12=2x3n+16n+

1—31—3

11,

71

又S2n+1=16n+1469，所以2X3"+16n+11=16n+1469,整理得到3=729,解得n=6,

所以71的值為6.

6.（24-25高三上?海南?？?月考）已知數(shù)列｛aj是公差為3的等差數(shù)列,數(shù)列｛&J滿足d=1,與=

a

M>n^n+l+b“+i=nbn,

（1）求數(shù)列｛%｝,｛bn｝的通項公式；

（2）求數(shù)列｛（-l）"a?+M的前2九項和S2n.

【答案】⑴0n=3n—1bn=（'）;（2）S2n—3n+------x

【解析】（1）設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d,d=3,

anbn+1+吼+i=皿“中，令九=1,有a也+慶=濟，代入仇=1,N=白，得的=2,

所以數(shù)列｛Q/是首項為2,公差為3的等差數(shù)列，通項公式為an=2+3（n—l）=3n—1;

1

將冊=3n—1代入anbn+1+bn+1=nb”得3nbn+1=nbn9nEN\故有孕=J,

bn3

因此｛葭｝是首項為i,公比為寺的等比數(shù)列，丈=ix佶yt=傳yt.

⑵設(shè)cn=（—l）"%=（-L）"（3m—l）,

nn+1

71為奇數(shù)時，cn+cn+i=（—l）（3?i—1）+（—l）（3n+2）=—（3TZ—1）+（3n+2）=3,

（Ci+c）+（C3+C4）+.....+（c-l+c2n）+（bl+62+......2

:?s2rl=22n+匕九）

=（3+3+……+3）+=3n+1[1-f]=3n+1-1x（if.

1—3

題型三裂項相消法求數(shù)列的前n項和

S大題典例

7.（24-25高三上?湖北?期中）記S”是等差數(shù)列｛冊｝的前n項和，電=2,且a2—2,a3—4,（^—6成等比

數(shù)列.

⑴求冊和S.；

（2）若bnSn=2,求數(shù)列｛0｝的前20項和￡.

【答案】⑴斯=2n；Sn=n（n+1）;⑵n=患

【解析】⑴設(shè)等差數(shù)列｛a“｝的公差為d,則a?=2+（n-l）d,

由（0-3—4）2=（0-2—2）（0-4—6）,得（2d—2）2=d（3d—4）,即cP—4d+4=0,解得d=2,

所以。九=2",Sn==n（n+l）.

22

⑵由⑴知，S『n（?2+1）,又勾S九=2,則bn=-（------號）

n（n+l）'九n+11

因此黑=2［（；-；）+（；/）+（＞：）+…+（：―占）］=2（1一1），

所以&=2（-*）=那?

解法指導(dǎo)

1、用裂項法求和的裂項原則及規(guī)律

（1）裂項原則:一般是前邊裂幾項,后邊就裂幾項,直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止.

（2）消項規(guī)律:消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項,前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項.

【注意】利用裂項相消法求和時，既要注意檢驗通項公式裂項前后是否等價，又要注意求和時，正負項相

消消去了哪些項，保留了哪些項,切不可漏寫未被消去的項.

2、裂項相消法中常見的裂項技巧

⑴_1___⑵1J—_______

/n(n+fc)k'nn+k/vy4n2-l2v2n-l2n+l>

⑷2n+l=」

⑶______I______=xr_I___________1______

n(n+l)(n+2)2Ln(n+l)(n+l)(n+2)n2(n+l)2n2(n+l)2

⑸.+1=上口______

222(6)—^~Y(Vn+k-Vn)

n(n+2)4Ln("+2)?」Vrn+k+Vnk

]

n+1n--n+1

(2-l)(2-l)(2"+i-i)(2"-l)2"-l2-l

9變式訓(xùn)練

8.（24-25高三上?廣東深圳?模擬預(yù)測）若一個數(shù)列從第二項起，每一項與前一項的差值組成的新數(shù)列是

一個等差數(shù)列，則稱這個數(shù)列是一個“二階等差數(shù)列”，已知數(shù)列｛飆｝是一個二階等差數(shù)列，其中?=

1?2=3?3=6.

(1)求及｛a?｝的通項公式;?M

8a—4n

⑵設(shè)b“=n，求數(shù)列｛勾｝的前八項和S”.

8cbn—4n—1

【答案】（1）&4=10,a=n;（2）n+n

n22nd-1

【解析】（1）由Qi=1,。2=3,。3=6,得。2—Ql=2,。3—電=3,（。3—電）一（。2101）=1,

由數(shù)列｛廝｝是一個二階等差數(shù)列，得｛@+1—Qj是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列,

因此an+1—Q九=2+(n—l)xl=n+l,Q4=4+Q3=l°,

n2+n

當(dāng)口》2時，Q九=+(電—Q-1)+(恁—電)H---------H(a—廝-1)=1+2+3H-------\~n—

n2

71

ai=l滿足上式，則an=,

所以｛QJ的通項公式是4=W”.

n

⑵由⑴知…曰8a—比4n=8?.—44n7=A￡2=1+(21(12…

O2A/1/X.、'、'

___________M

2V2n-l2n+l

所以北二九+4(—T)+(卜+HUT)+…+(——2nW)]

1=nn

=n+-^-(l-_)+o-i-

2'27i+l)2TI+1

9.(24-25高三上?寧夏石嘴山?月考)已知數(shù)列｛%｝的首項為1,且a?+i=2a/nEN*).

(1)求數(shù)列｛a?｝的通項公式；

(2)若⑥=-一三------,求數(shù)列｛晨｝的前幾項和Tn.

(an+l)(an+i+l)

【答案】(l)a.=2"T；(2)黑=4

[解析】(1)因為數(shù)列｛④｝的首項為1,且an+1=2a?(nCN*),

所以數(shù)列｛%｝是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，

所以斯=2“T；

⑵由⑴知a“=2"T,

所以6=_________空______=_______空______=1__一

n1nn

”(a?+l)(a?+1+l)(2-+l)(2+l)2^+l2"+1'

加…F一11,11,,11_1111

所以以=------------------1-----------------------------------------1---------1-----------------------------------------=------------------------------------=---------------------------

20+12】+12X+122+12n-1+l2"+120+12"+122n+l

題型四錯位相減法求數(shù)列的前n項和

S大題典例

2

10.（24-25高三上?廣東廣州?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛an｝的前n項和公式為Sn=3n-2八,數(shù)列｛&?｝滿足

瓦=。1.

（1）求數(shù)列｛。九｝的通項公式；

（2）若％=2八（勾+1—勾）,求數(shù)列｛b｝的通項公式.

n???

【答案】(1)Q九=6九一5;⑵b九=8-6rli

[解析](1)由S"=3n2-2n可得九>2時，S*L=3(九一I)2-2(n-l),

22

故an=Sn-Sn-i=3n—2n—[3(n—I)—2(n—1)]=6n—5,

當(dāng)72=1時，QI=3—2=1也符合要求，

故為=6九一5,

(2)由冊=2以鼠+i—勾)可得第+1一氏=(6九一5)表,

故">2時，b—b—(K—bn—i)+(b-i—b_2)H--F(fe—&i)—(6n—11)—+(6n—17)—-H----F7x

nrnn222

—+1X—,

222'

則義(第一瓦)=(6n—11)++(6n-17)-^-+…+7x5+1x9,

相減可得「瓦)=一(6九-11)。+6[，+-+±+±]+；,

X/x__

故,(鼠一瓦)=-(6n-U)^+6-----11—+]*，

221_^L2

，2

化簡可得「瓦)=[■+二^1，故幻=8—專井，

當(dāng)？1=1時，仇=Qi=1也符合要求，故⑥=8—6九十1

解法指導(dǎo)

1、解題步驟

[展開S/=ar6]+a2?62+???+an-/6.-i+an?6n①J

(?)—qSn=al'b2+a2-b3+'-+an-1'bn+an-bn+1(g)J

口錯位相減

①-②:得(1-9)S/G1I1+G2也+…+Gn-14-1+Gn也

-I?-I~

>>>

一(%?b2+a2-63++?n-f6ra+gn-6n+1)

+9t,

=a1-b1+d(b2b3++bn)-anbn+1③

a-b+d(b+b+―+b)-a-b

求和S=--l--1---2---3-----n---n--n+1

n—-n------

2、注意解題“3關(guān)鍵”

①要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形.

②在寫出“SJ與"qSJ的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn-qSJ的表達式.

③在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比q=1和q/1兩種情況求解.

3、等差乘等比數(shù)列求和，令品=(An+B).”,可以用錯位相減法.

&=(A+B)q+(2A+B)q2+(34+B)qi+...+(An+B)qn①

234n+1

qTn=(A+B)q+(2A+B)q+(3A+B)g+...+(An+B)q②

①一②得：(1—必方=(A+B)q—(An+B)qn+1+A(q2+<f+...+q").

整理得：方=（

\q—1q—1(g-1)2嚴

9變式訓(xùn)練

11.（24-25高三上?貴州貴陽?月考）已知數(shù)列｛冊｝滿足：冊=2%—10,數(shù)列｛0｝滿足：瓦+佟+與+…

05

H--0-=5n,n￡N*.

5"T

（1）求數(shù)列｛&｝的前15項和打；

（2）求數(shù)列｛券）的前幾項和黑.

【答案】⑴130;（2）方=（—%+號）（春）”—粵

\/O7xO7O

【解析】（1）因為an=2n—10>0,解得?1>5,

所以S15=|。1|+|電|4----卜|。151二一（。1+電+。3+。4）+恁+卜。15

=S15-2S4=^^-2X^±^=13O.

（2）6!=5,???與+個_+白_---卜Ji=5n,

J3u

當(dāng)九>2時，仇+與+與H---卜"：=5（n—1）,

5525n-2

兩式相減，得—=5,即匕九=5n.

5九-1

又當(dāng)九二1時，仇=5符合題意，

所以勾=5%注=3”，

Tn—（—8）X）+（—6）X佶）4---F（2n—10）X佶）,

故（黑=（-8）X佶）+（-6）X償）4---F（2n-10）X（1）,

兩式相減得言Z,二（-8）x^-+2x仁j+2X+…+2x?『一（2n-10）x（《廣，

55v57v57v57v57

1+］

即47_8言［一（卷）］z210）xfr

1~~5

化簡得￡=（——+*（q一程

12.（24-25高三上?湖北?期中）已知｛an｝是公差不為0的等差數(shù)列，a」=21,且出，a2,成等比數(shù)列，數(shù)

列｛鼠｝滿足:鼠+1=40一3,且瓦=2出一1.

（1）求｛%｝和｛bn｝的通項公式；

（2）若方為數(shù)歹U｛蕓［｝的前幾項和，求方.

【答案】⑴廝=6n—3,勾=4"+imeN*）;（2）方=日一［?鱉士巨

oo4n

【解析】（1）設(shè)｛aj的公差為d（dWO），因為的，a2,as成等比數(shù)列，

所以Q1Q5=咫，即(21—3d)(21+d)=(21—2dy,

整理有：42d=7d2,解得d=0(舍)，d=6

所以電二。4—3d=3,an—ax-\-(九一1)d=6n—3;

因為bn+1=4bn—3,所以bn+1—1=4(bn—1),

又仇=2al—1=5,bi—1=4#0,

所以｛&-1｝為首項為4,公比為4的等比數(shù)列,

所以"一1=4",葭=4"+1(n6z")

_6n—3

（2）因為

n

bn-l4，

n

TI

方=之-6--n--—--3--=--3----?1---9----?1--1--5----?1-----1p6—3①,

4打44243

k=l4n

1^_3,9,15..6九一9+6n—3

②

n

了黑一至+至+…,,,+44九十i

1

兩式相減，得:,黑=金+￡+]+:+???+1-6n—3=f+6x-46TZ—3

4n+14計1

546n—3

42x4n4n+1

所以北=/義告一46n—3A_X.6n±5

XxA=

2x4nJ-4^+13334n

題型五數(shù)列與不等式掠合問題

念大題典例

13.（23—24高三下?河北邢臺?二模）已知數(shù)列｛a?｝的前九項和為S“，且S“=2冊—1,⑺>1）.

（1）求數(shù)列｛an｝的通項公式；

⑵求證：/+/+/H-----bg<2.

64243Qn

【答案】（1）冊=2-1;（2）證明見解析

【解析】（1）當(dāng)71=1時，Q1=2。1—1nQ1=1.

當(dāng)n>2時，Sh=2an—1,Sn_i—2an-i—1,兩式相減得：an—2an—2an-inan=2an_r.

所以｛an｝是以Qi=l為首項，以q=2為公比的等比數(shù)列.

所以冊=2九t.

l-2n1

（2）由（1）次口：&,==2"—1,所以!=

1-2bn2n-l

1

當(dāng)n=1時，￡-=1<2,

21-1

1

當(dāng)九>2時，2"T>1,故n

2a_12-2九一i2h—1

所以++￡+&+…+&<1+/+5+…+六』1^

,2

解法指導(dǎo)

數(shù)列與不等式是高考的熱點問題,其綜合的角度主要包括兩個方面:

???

一是不等式恒成立或能成立條件下，求參數(shù)的取值范圍:此類問題常用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為研究最值問

題來求解；

二是不等式的證明：常用方法有比較法、構(gòu)造輔助函數(shù)法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等。

S變式訓(xùn)練

14.（24—25高三上?吉林?模擬預(yù)測）已知數(shù)歹收涮的首項保=事且滿足冊+k卷’設(shè)第=《一L

⑴求證:數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列；

（2）若—+—~~■I-----1■-->2024,求滿足條件的最小正整數(shù)?1.

電

【答案】（1）證明見解析;（2）2024

冊+3

【解析】⑴?.?學(xué)二°71=?T_3(l-a?)

4an1

-14

bnX-1i4（i—斯）

Qn

幾=°一1=J,所以數(shù)列｛勾｝為首項為，公比為:■等比數(shù)列.

OJ1444

1

4

（2）由（1）可得+L"+——1\-----F

a2。3)Qn

即J-+J-+—+-■.+-—n=1一

電

+—+-?-+—=n+l-

電

n

而因為g=c+Lg=得y在（0,+oo）上均單調(diào)遞增，則n+1—隨著九的增大而增大,

要使工+工+」-+…+」->2024,即九+1一「>2024,則n>2024,

電電an

八的最小值為2024.

15.（24-25高三上?遼寧?開學(xué)考試）已知S”為數(shù)列｛冊｝的前幾項和，累為數(shù)列｛bj的前n項和，冊+2=

2a+1,?2為奇數(shù)

ti也

2Q?I+I-an,bn一=8,$5=15.

2%一1,九為偶數(shù)

⑴求｛冊｝的通項公式;

（2）若（九一S2n<2025,求n的最大值；

⑶設(shè)4=:，證明:春?夕4V4.

J-2n—^2n/i=l4

【答案】（l）Qh=n;（2）5;（3）證明見解析

【解析】（1）由每+2=2。九+1一冊,得冊+2—冊+1=冊+1—廝,所以數(shù)列｛。/為等差數(shù)列,

所以S5=5。3=15,所以。3=3.

又兒=20廠1=8,所以。4=4,

設(shè)｛4｝的公差為d,即卜=的［您=+解得，=1，

［。4=。1+3d=4,ld=l,

所以｛an｝的通項公式是an—n.

J2n+l,n為奇數(shù),

⑵由⑴知飆=",所以鼠二121,也為偶數(shù)，

_2九4+電力_2n(l+2n)_

S2rl—2—2—n(2n+1),

/、/、打(3+471—1)2(1—4n),、2(4n—1)

63-1-----b2r—1)+(62+64-1----------------------------1-----H---------------,

^n—(瓦+卜l^b2n)=:―1-=n(2n+l)

/1—4o

令四一52“=2(4；-1)<2025,得2?空<6077,

設(shè)服=2?4”,則數(shù)列｛或｝是遞增數(shù)列.

又6=2048V6077,又=2x4，=8192>6077,

所以?T,的最大值為5.

⑶由⑵知「五工力―’

設(shè)Qn是｛cn｝的前幾項和，則Q九+1—Qh=冊+1>0,所以｛QJ是遞增數(shù)列,

所以Qn>Q=ci=^~成立.

又Qi=5=2v],

所以當(dāng)九>2時，2?4八一2-4八=4"-2>0,所以2?善一2>4%

得品='x]3x2<3xJ_=J_

4n-l22-4n—224n4n

所以Q"V]+3月+±+…+工)=]+3]+:(1——

*2V42434九/21_1_24V4n-1'4

14

綜上李

乙1=1d

題型六數(shù)列中的探究問題

9大題典例

16.(23-24高三下?福建?模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛%｝的前八項和為S-1，數(shù)列｛”,｝滿足墾=且

Q.bJ勻為正整數(shù).

(1)是否存在數(shù)列｛冊｝，使得｛0｝是等差數(shù)列？若存在，求此時的Sn；若不存在，說明理由；

(2)若幻>勾_1，求｛。九｝的通項公式.

【答案】(1)存在，Sn—n\(2)an=1

【解析】⑴由題意易知，員=瓦=1,

Qi

業(yè)Q“01+02心—1

當(dāng)九=2時，------=慶=>。2=TT，

。2。2—1

由小,與均為正整數(shù)知，。2,①為正整數(shù)，

則當(dāng)且僅當(dāng)慶一1=1即匕2=2時，電=1,為整數(shù)，

若存在數(shù)列｛。九｝,使得｛bn｝是等差數(shù)列，則慶=濟+d=2=>d=1,

故晨=1+(?1—1)X1=71,此時鼠為整數(shù)，符合題意,

所以Sn-TLCLn，當(dāng)幾>2時，有Sn-i—(TI—l)6Z-n-i,

???

兩式相減得廝=TZQ九一（n—整理得（71—1）（。九一%_1）=0,

故一。九-1，

當(dāng)72=2時，電=Q1=1,故M=1,

經(jīng)檢驗，當(dāng)an=l時，bn—n,充分性成立，

故存在數(shù)列｛aj,使得｛bj是等差數(shù)列.

此時Sn—a^bn—n;

（2）法一、

因為Sn=anbn9當(dāng)九>2時，有5九_1=冊_16九_1,兩式相減，

整理得：an（bn-l）=Qr1T勾—1,

由遞增數(shù)列的題意與整數(shù)的性質(zhì)知，與一1>KT,

故一。九（匕71—1）>^rJ-^n—1,

因為勾.1W0,所以冊《冊_1,

則an<Qn_i&…&Qi=1,

因為QR為正整數(shù)，所以冊=1.

法二、

假設(shè)存在一個正整數(shù)m>3,使得am>2

=

則電=電=…=%i-l=1，StTTL—1,b-i==771—1,

7nm^m—1

則%=-T=+1<]4館_]=*_],不符合遞增數(shù)列的題意,

Q?TZ/

故假設(shè)錯誤,不存在這樣的正整數(shù)m>3,使得2,所以％=1.

解法指導(dǎo)

數(shù)列中的探究性問題實際上就是不定方程解的問題,對于此類問題的求解，通常有以下三種常用的

方法:①利用等式兩邊的整數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)的方法來加以判斷是否存在;②利用尋找整數(shù)的因數(shù)的

方法來進行求解;③通過求出變量的取值范圍，從而對范圍內(nèi)的整數(shù)值進行試根的方法來加以求解.

對于研究不定方程的解的問題，也可以運用反證法,反證法證明命題的基本步驟：

①反設(shè):設(shè)要證明的結(jié)論的反面成立.作反設(shè)時要注意把結(jié)論的所有反面都要寫出來，不要有遺

漏.②歸謬:從反設(shè)出發(fā)，通過正確的推理得出與已知條件或公理、定理矛盾的結(jié)論.③存真:否定反

設(shè),從而得出原命題結(jié)論成立.

S變式訓(xùn)練

17.（24-25高三上?天津?月考）已知等比數(shù)列｛冊｝的前n項和為S”,且a』=2Sn+2（九CN*）.

（1）求數(shù)列｛an｝的通項公式；

（2）在冊與an+1之間插入n個數(shù)，使這n+2個數(shù)組成一個公差為dn的等差數(shù)列.

2n-l

（i）求數(shù)列｛虞｝的通項及WX3+1）盛；

k=l

（w）在數(shù)列｛dJ中是否存在3項服，服,4（其中小，R,p成等差數(shù)歹U）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣

的3項;若不存在,請說明理由.

Ayon-1空K

【答案】⑴斯=2X3”T；(2)(iR=4Xf5任+1)/=2(323—1);⑻不存在,理由見解析.

九+11M

【解析】⑴???％+i=2S”+2(nCN*),

■■On-2s“T+2(nCN*),

Qa=

n+i—n2S“一2S“T=?a“,an+i=3an,q=3,

n-1

a2=2sl+2=2al+2,/.cij=2,：.an=2x3.

(2)⑴由題意可知：&=@+；即=2H二,)=全普，

n+1n+1n+1

(i)求數(shù)列｛辦｝的通項：d=4x3

nn+71',

2n—12n—1/~ok-12n—12n—1]X_Q2n—1\

￡(%+1)<4=￡(k+1)4=i；4X31=4f3-=4x―y———=2(32nT—1)；

k=lk=l用十工k=lk=l1—0

陶)假設(shè)在數(shù)列｛dn｝中存在3項服,或&(其中館，k,p成等差數(shù)列)成等比數(shù)列，

貝”dl-dmxd.p,

/4x3fc_14x3m_174X3〃T

'fc+1'm+1p+1

32—23771—1

則

(fc+1)2m+1

又k,p成等差數(shù)列,：.2k=m+p,

2k—2=Tn—1+p—1

化簡得：---^-7-=------------即(fc+l)2=(m+l)(p+l)

：.取+2k+1=mp+m+p+l,

：.A;2=mp，又：2k=m+p,

m=k=p,與已知矛盾，

r.數(shù)列｛dj中不存在3項篇,謙,四（其中m,成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.

18.（24-25高三上?江蘇無錫?期中）在下面"行、八列（nCN*）的表格內(nèi)填數(shù):第一列所填各數(shù)自上而下

構(gòu)成首項為L公差為2的等差數(shù)列｛%｝；第一行所填各數(shù)自左向右構(gòu)成首項為1,公比為2的等比數(shù)

列｛晨｝；其余空格按照“任意一格的數(shù)是它上面一格的數(shù)與它左邊一格的數(shù)之和”的規(guī)則填寫.設(shè)第2

行的數(shù)自左向右依次記為C"2,C3,■■■，cn.

第1列第2列第3列第八列

第1行12222n-1

第2行359

第3行5