2015-2024年高考數(shù)學好題分類匯編：立體幾何大題綜合（原卷版）

冷泉21克體幾何大泉除合

十年考情-探規(guī)律

考點十年考情（2015-2024）命題趨勢

2024?全國新I卷、2024?全國甲卷、2024?北京卷、2024?天津卷、

2023?全國新I卷、2023?全國甲卷、2023?全國乙卷、2023?天津卷、

2022?全國新H卷、2022?全國甲卷、2022?天津卷、2022?北京卷空間中的平

2021?天津卷、2020?北京卷、2020?江蘇卷、2019?江蘇卷、行關系和垂

考點1空間中的平2019?天津卷、2019?天津卷、2019?全國卷、2019?全國卷、直關系依然

行關系（第一問）2018?江蘇卷2017.天津卷、2017?浙江卷、2017?全國卷是立體幾何

（10年10考）2017?全國卷、2017?江蘇卷、2016?四川卷、2016?江蘇卷、大題第一問

2016?天津卷、2016?全國卷、2016?山東卷、2016?全國卷、的命題熱點，

2015?江蘇卷、2015?天津卷、2015?天津卷、2015?四川卷要熟練掌握

2015?山東卷、2015?山東卷、2015.安徽卷

2015.福建卷、2015?北京卷空間中的距

2024?全國新H卷、2023?全國新II卷、2023?全國甲卷、2023?北京卷、離及表面積、

2022?全國甲卷、2022?全國乙卷、2022?浙江卷、2021?全國新I卷、體積的計算

2021?全國新H卷、2021?全國甲卷、2021?全國乙卷、2021?浙江卷同樣是命題

2020.海南卷、2020?天津卷、2020?浙江卷、2020?山東卷、熱點，異面直

2020?全國卷、2020?全國卷、2020?全國卷、2020?全國卷、線所成角、線

2020?全國卷、2019?江蘇卷、2019?北京卷、2019?北京卷面角、二面

考點2空間中的垂

2019?全國卷、2019?全國卷、2019?天津卷、2019?浙江卷、角、及其最值

直關系（第一問）

2019?全國卷、2019?全國卷、2018?江蘇卷、2018?北京卷、范圍等內容

（10年10考）

2018.北京卷、2018?全國卷、2018?浙江卷、2018?全國卷也是高頻考

2018?全國卷、2018?全國卷、2018?全國卷、2018?天津卷、點，同時也需

2017?山東卷、2017?全國卷、2017?天津卷、2017?全國卷、掌握方程思

2017?全國卷、2017?北京卷、2017?江蘇卷、2016?浙江卷想的應用

2016?北京卷、2016?全國卷、2016?北京卷、2016?山東卷、

2016?浙江卷、2016?天津卷、2016?全國卷、2016?全國卷、

2015?廣東卷、2015?江蘇卷、2015?重慶卷、2015?重慶卷

2015?浙江卷、2015?浙江卷、2015?全國卷、2015?全國卷、

2015全國卷、2015?天津卷、2015?陜西卷、2015?湖南卷、

2015?湖南卷、2015?湖北卷、2015?福建卷、2015?北京卷

2015?北京卷

考點3求空間中的

線段長度、點面距的2024?全國甲卷、2024?天津卷、2023?全國甲卷、2022?全國新I卷、

值及最值或范圍2021?全國乙卷、2019?全國卷、2018?全國卷

（10年6考）

2024?上海卷、2023?全國乙卷、2022?全國甲卷、2022?全國乙卷、

2021?全國新I卷、2021?全國甲卷、2021?全國乙卷、2020?全國卷、

考點4求空間中的2020.全國卷、2019?全國卷、2019?全國卷、2018?全國卷

體積、表面積的值及2017?上海卷、2017?全國卷、2017?北京卷、2017?全國卷、

最值或范圍2016?江蘇卷、2016?全國卷、2016?上海卷、2016?上海卷、

（10年10考）2016?全國卷、2016?全國卷、2015?重慶卷、2015?全國卷

2015?湖南卷、2015?湖南卷、2015?湖北卷

2015?福建卷、2015?北京卷

考點5異面直線所

2018?天津卷、2017?天津卷、2016?上海卷、2015?廣東卷、

成角及最值或范圍

2015?全國卷、2015?上海卷、2015?山東卷

（10年4考）

2024?天津卷、2024.上海卷、2023?全國甲卷、2022?全國甲卷、

2022?全國乙卷、2022?浙江卷、2022?天津卷、2021?浙江卷、

2020?海南卷、2020?天津卷、2020?北京卷、2020?浙江卷

考點6求線面角及2020?山東卷、2020?全國卷、2019?天津卷、2019?浙江卷、

最值或范圍2018?江蘇卷、2018?浙江卷、2018?全國卷、2018?天津卷、

（10年10考）2017?上海卷、2017?天津卷、2017?浙江卷、2017?北京卷

2016?浙江卷、2016?天津卷、2016?全國卷、2016?北京卷、

2016?天津卷、2015?廣東卷、2015?浙江卷、2015?天津卷、

2015?上海卷、2015?全國卷

2024?全國新H卷、2024.全國甲卷、2024.北京卷、2024.天津卷、

考點7求二面角及2023?全國新H卷、2023?全國乙卷、2023?北京卷、2023?天津卷、

最值或范圍2022.全國新I卷、2022?全國新H卷、2022.天津卷、2021.全國新H

（10年10考）卷

2021?全國甲卷、2021?全國乙卷、2021?天津卷、2020.天津卷、

2020.江蘇卷、2020?全國卷、2020.全國卷、2019?北京卷、

2019?全國卷、2019?全國卷、2019?全國卷、2018?北京卷

2018?全國卷、2017?山東卷、2017?全國卷、2016?天津卷、

2016?山東卷、2016?浙江卷、2016?全國卷、2016?全國卷、

2015?廣東卷、2015?重慶卷、2015?浙江卷、2015?四川卷

2015?陜西卷、2015?山東卷、2015?安徽卷

2015?福建卷、2015?北京卷

考點8已知異面直

線所成角、線面角、2024?全國新I卷、2023.全國新I卷、2021.全國新I卷、2021.北京

二面角求值或范圍卷、2017?天津卷、2017?全國卷、2015?天津卷、2015?湖南卷、

（方程思想）2015?湖南卷、2015?湖北卷

（10年5考）

分考點?精準練1

考點01空間中的平行關系（第一問）

1.（2024?全國新I卷?高考真題）如圖，四棱錐P-ABCD中，上4,底面A8CD,PA=AC=2,BC=l,AB=^.

（1）若ADLPB,證明：AO〃平面P3C；

2.（2024?全國甲卷?高考真題）如圖，在以A,B,C,D,E,尸為頂點的五面體中，四邊形ABC。與四邊形

ADEF均為等腰梯形，EF//AD,BC//AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=5,FB=24,M為AD的

中點.

⑴證明：8攸//平面CDE；

3.（2024?北京?高考真題）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，BC//AD,AB=BC=l,AD=3,點E在AD上,

^.PEJ_AD,PE=DE=2.

⑴若f為線段PE中點，求證：班7/平面PCD.

4.（2024?天津?高考真題）已知四棱柱ABC。-44Gol中，底面A8CD為梯形，AB//CD,4人，平面A8C。,

AD.LAB,其中AB=A4j=2,A￡>=OC=1.N是4G的中點，Af是。R的中點.

⑴求證〃平面CB也；

5.（2023?全國新I卷?高考真題）如圖，在正四棱柱ABCD-ABC中，48=2,44,=4.點兒,%。2，2分

別在棱片,CG,。，上，械=1,8員=2,CC?=3.

⑴證明：82c2〃4。2；

6.（2023?全國甲卷?高考真題）如圖，在三棱錐尸-ABC中，ABJ.BC,AB=2,BC=20,PB=PC=5

BP,AP,8c的中點分別為D,E,O,4。=石00,點尸在AC上，BFLAO.

7.（2023?全國乙卷?高考真題）如圖，在三棱錐尸—ABC中，ABJLBC,AB=2,BC=2^2,PB=PC=46,

3尸,AP,3C的中點分別為口耳。，點P在AC上，BFLAO.

8.（2023?天津?高考真題）如圖，在三棱臺ABC-AAG中，AA_L平面

ABC,AB±AC,AB=AC=AAl=2,AQ=1,M為3C中點.，N為AB的中點,

⑴求證：AN〃平面AMG；

9.（2022?全國新II卷?高考真題）如圖，PO是三棱錐尸-ABC的高，PA=PB,ABJ.AC,￡是PB的中點.

（1）證明：OE〃平面A4C；

10.（2022?全國甲卷?高考真題）小明同學參加綜合實踐活動，設計了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：

底面ABCD是邊長為8（單位：cm）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平

面都與平面ABCD垂直.

（1）證明：EF〃平面A3CD；

11.（2022?天津?高考真題）直三棱柱ABC-A片G中，AAi=AB=AC=2,AAl±AB,AC±AB,。為AA的

中點，E為AA的中點，/為。的中點.

s

⑴求證：EF〃平面ABC；

12.（2022?北京?高考真題）如圖,在三棱柱ABC-中，側面BCC畫為正方形,平面BCC.B,1平面ABBX\,

AB=BC=2,M,N分別為4耳，AC的中點.

（1）求證：肱V〃平面BCC/i；

13.（2021?天津?高考真題）如圖，在棱長為2的正方體ABC。-A耳GR中，E為棱BC的中點，F(xiàn)為棱CD

的中點.

（I）求證：2尸//平面AEC；

14.（2020?北京?高考真題）如圖，在正方體ABC。-44GA中，E為8月的中點.

AiBi

15.（2020?江蘇?高考真題）在三棱柱ABC-4B￡中，ABEIAC,B】CEI平面ABC,E,F分別是AC,B】C的中點.

（1）求證：E用平面A&Q；

16.（2019,江蘇?圖考真題）如圖，在直三棱柱ABC—A/B/C/中，D,E分別為BC,AC的中點，AB=BC.

求證：（1）48曲平面DEQ；

17.（2019?天津?高考真題）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABC。為平行四邊形，APCD為等邊三角

形，平面R4CL平面尸8,PA1CD,CD=2,"）=3,

(ffl)設G,“分別為P3,AC的中點，求證：G"〃平面PAD；

18.(2019?天津?高考真題)如圖，AE_L平面ABCD,CF//AE,AD//BC,

ADLAB,AB=AD=1,AE=BC=2.

（回）求證：3歹〃平面ADE；

19.（2019,全國?高考真題）如圖，直四棱柱ABCD-A/B/C/Di的底面是菱形，AAi=4,AB=2,fflBAD=60o,E,

M,N分別是8C,BBi,AiD的中點.

（1）證明：MM3平面CiDE；

20.（2019?全國?高考真題）如圖，直四棱柱ABCA-48/Qd的底面是菱形，44/=4,AB=2,0BAD=6O°,E,

M,N分別是8cBBi,4。的中點.

（1）證明：MNB平面。DE；

21.（2018?江蘇?高考真題）在平行六面體ABC。-A4G。中，AAi=AB,ABllB}Cl.

求證：CL）AB//平面A^C；

22.（2017?天津?高考真題）如圖，在三棱錐尸-ABC中，底面ABC,ZBAC=90°.^D,E,N分

別為棱以，PC,BC的中點，M是線段AD的中點，PA=AC=4,AB=2.

23.（2017?浙江?高考真題）如圖，已知四棱錐P-ABCD,EIPAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形,BC0AD,

CD0AD,PC=AD=2DC=2CB,E為PD的中點.

（I）證明：CEI3平面PAB；

p

24.（2017?全國?高考真題）如圖，四棱錐P-ABCD中，側面PAD是邊長為2的等邊三角形且垂直于底面A5CD,

AB=BC=-AD,ABAD=ZABC=90。，E是PD的中點.

2

（1）證明：直線CE〃平面皿；

25.（2017?全國?高考真題）四棱錐尸-ABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,

AB=BC=gAD,ZBAD=ZABC=90°.

（1）證明：直線3c〃平面上4￡）;

26.（2017?江蘇?高考真題）如圖，在三棱錐43co中，ABSAD,BCSBD,平面平面BC。，點、E,F（E與

A,D不重合）分別在棱AD,BD上，且E用A。.

A

求證：⑴E用平面ABC；

27.（2016?四川?高考真題）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA0CD,ADHBC,0ADC=0PAB=9O°,BC=CD=；AD.

（El）在平面PAD內找一點M,使得直線CMEI平面PAB,并說明理由；

28.（2016?江蘇?高考真題）如圖，在直三棱柱ABC-A1BC中，D,E分別為AB,BC的中點，點F在側棱BiB

上，且尸，

求證：（1）直線DE〃平面AiCiF；

29.（2016?天津?高考真題）如圖，正方形ABCD的中心為0,四邊形OBEF為矩形，平面OBEFEI平面ABCD,

點G為AB的中點，AB=BE=2.

（0）求證：EGI3平面ADF；

30.（2016?全國?高考真題）如圖，四棱錐中，出團底面ABC。，AD0BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,

M為線段上一點，AM=2MD,N為PC的中點.

p

/yy\、、、\\

c

(0)證明MM3平面

31.(2016?山東?高考真題)在如圖所示的圓臺中,AC是下底面圓。的直徑，EF是上底面圓6的直徑，F(xiàn)B

是圓臺的一條母線.

A

(0)已知G,H分別為EC,FB的中點，求證：GHEI平面ABC；

32.(2016?全國,高考真題)如圖，四棱錐尸-ABCD中，上4,平面ABCD,AD//BC,AB=AD=AC=3,

PA=BC=4,M為線段AD上一點，AM=2MD,N為PC的中點.

(1)證明MN〃平面BIB；

c

33.(2015?江蘇?高考真題)如圖，在直三棱柱.必。-4&G中，已知zlC_BC，圓窗=，微7，設.181的

中點為。，B^TBC^E.

AC

a，

Bi

求證：（1）醯那平面就到僦修'；

34.（2015?天津?高考真題）如圖，已知平面ABC,3BJ|44，AB=AC=3,3C=2j^J4=",,

58=2/,點E,F分別是BC,A片的中點.

（0）求證:EF回平面；

35.（2015?天津?高考真題）如圖，在四棱柱ABCD-ABIGA中，側棱4A，底面ABC。，ABJ.AC,AB=1,

AC=AAi=2,AD=CD=下,且點M和N分別為耳C和。Q的中點.

（1）求證：MN7/平面A5CD；

36.（2015,四川?高考真題）一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示，在正方體中,

設3C的中點為M,G”的中點為N

⑴請將字母尸,GH標記在正方體相應的頂點處（不需說明理由）

（2）證明：直線〃平面BDW

37.（2015?山東?高考真題）如圖，三棱臺尸—ABC中，AB=2DE,G,“分別為AG3C的中點.

(0)求證：8￡>〃平面FGH；

38.(2015?山東?高考真題)如圖，在三棱臺DEF-ABC中，A8=2￡>EG,H分別為AC,8C的中點.

B

(0)求證：8。//平面FGH；

39.(2015?安徽,高考真題)如圖所示，在多面體43aAeBA,四邊形四與2,，A8CD均為正方形,

E為3a的中點，過42E的平面交CA于F.

(0)證明：EF//B.C.

40.(2015?福建?高考真題)如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB1平面BEC,BE上EC,

AB=BE=EC,G,尸分別是線段BE,DC的中點.

⑴求證：GE7平面ADE；

41.（2015?北京?高考真題）如圖，在三棱錐V-ABC中，平面VAB，平面ABC,AVAB為等邊三角形,

AC±BCMAC=BC=V2，O,M分別為AB,VA的中點.

（1）求證：VB//平面MOC；

考點02空間中的垂直關系（第一問）

1.（2024?全國新n卷?高考真題）如圖，平面四邊形A8CD中，AB=8,CD=3,AD=573,ZADC=90°>

—?2—?—?1—?,—

4840=30°,點E,尸滿足4片=《4。，AF=-AB,將△?!￡尸沿EF翻折至！尸EF,使得尸C=46.

⑴證明：EFX.PD-,

2.（2023?全國新H卷?高考真題）如圖,三棱錐A—BCD中，DA=DB=DC,BD±CD,ZADB=ZADC=60,

E為BC的中點.

⑴證明：BC1.DA；

3.（2023?全國甲卷?高考真題）如圖，在三棱柱ABC-A4G中，平面ABC,48=90。.

ClBy

（1）證明：平面ACGA，平面B3℃；

4.（2023?北京?高考真題）如圖，在三棱錐尸-ABC中,PA_L平面ABC,PA=AB=BC=1,PCf.

/?

B

⑴求證：平面出8；

5.（2022?全國甲卷?高考真題）在四棱錐P-ABCD中，PD_L底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=6.

A--------------qB

（1）證明：BDYPA；

6.（2022?全國乙卷?高考真題）如圖，四面體ABCD中，ADLCD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E為AC的中

點.

⑴證明：平面BED_L平面AC。；

7.（2022?浙江?高考真題）如圖，已知ABCD和CDE/都是直角梯形，AB//DC,DCIIEF,AB=5,DC=3,

EF=l,ZBAD=ZCDE=60°,二面角尸-￡>C-B的平面角為60。.設M,N分別為AE,3C的中點.

EF

AB

⑴證明：FNLAD；

8.（2021?全國新I卷?高考真題）如圖，在三棱錐A-3CD中，平面平面3C。，AB=AD,。為BD

的中點.

（1）證明：OA1CD；

9.（2021?全國新H卷?高考真題）在四棱錐。-ABCD中，底面ABCD是正方形，若

AD=2,QD=QA=區(qū)QC=3.

Q

（1）證明：平面Qi。，平面ABC￡）；

10.（2021?全國甲卷,高考真題）已知直三棱柱ABC-A耳G中，側面用與臺為正方形，AB=BC=2,E,F

分別為AC和cq的中點，。為棱A片上的點.BF±\B{

（1）證明：BF1DE；

11.（2021?全國乙卷?高考真題）如圖，四棱錐尸-ABCD的底面是矩形，PD_L底面ABCD,M為3C的中點,

且尸3_LAM.

（1）證明：平面B4"_L平面PB￡＞；

12.（2021?浙江?高考真題）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，

Z.ABC=120°,AB=1,BC=4,PA=V15,M,N分別為8cpe的中點，PDLDC,PMLMD.

（1）證明：AB1PM；

13.（2020,海南?高考真題）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD_L底面ABCD.設平面斜。與平面PBC

的交線為/.

（1）證明：I_L平面PDC；

14.（2020?天津?高考真題）如圖，在三棱柱ABC-ABCi中，CG，平面ABC,ACrBC,AC^BC=2,CC1=3,

點。，E分別在棱AA和棱CG上，且AD=1CE=2,M為棱4中的中點.

（田）求證：CtM1BXD.

15.（2020?浙江?高考真題）如圖，三棱臺ABC—DEF中，平面ACFDI3平面ABC,MCB=I3ACD=45。，DC=2BC.

（I）證明：EFHDB；

16.（2020?山東?高考真題）如圖，四棱錐P48C。的底面為正方形，尸。回底面A3CD設平面與平面

P3C的交線為/.

p.

B

(1)證明：兩平面PDC；

17.(2020?全國?高考真題)如圖，在長方體ABCD-AAG"中，點E，歹分別在棱。2,8與上，且2DE=ED、,

BF=2FB『證明:

(1)當A3=3C時，EF1AC；

18.(2020?全國?高考真題)如圖，。為圓錐的頂點，0是圓錐底面的圓心，AASC是底面的內接正三角形,

P為。。上一點，回APC=90。.

(1)證明：平面力BEI平面％C；

19.(2020?全國?高考真題)如圖，。為圓錐的頂點，0是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE=AD.AABC

是底面的內接正三角形，P為。。上一點，PO=旦DO.

6

D

20.（2020?全國?高考真題）如圖，已知三棱柱ABC-4&G的底面是正三角形，側面B&QC是矩形，M,N

分別為BC,&G的中點，P為AM上一點.過&G和P的平面交AB于E,交AC于F.

（1）證明：AA1//MN,且平面44WNEI平面EB】QF；

21.（2020?全國?高考真題）如圖，已知三棱柱ABC-4B】G的底面是正三角形，側面BB】QC是矩形，M,N

分別為BC,Bq的中點，P為4W上一點，過&Q和P的平面交AB于E,交AC于F.

(1)證明:AA1BMN,且平面A/MMBEBiQF；

22.（2019?江蘇?高考真題）如圖，在直三棱柱ABC—中，D,E分別為2C,AC的中點，AB=BC.

求證：（1）1平面DEQ；

（2）BE^CiE.

23.（2019?北京?高考真題）如圖，在四棱錐P-ABCD中，24,平面ABC。，底部ABC。為菱形，E為CD

的中點.

（回）求證：2?；仄矫鍱4C；

（0）若0ABe=60°,求證：平面E4施平面PAE-

24.（2019?北京?高考真題）如圖，在四棱錐尸一A8C。中，陰田平面ABC。，AD0CD,AD0BC,PA=AD=CD=2,

PF1

BC=3.E為尸。的中點，點廠在尸C上，且拓="

（回）求證：CZM平面B4D；

25.（2019,全國?高考真題）圖1是由矩形ADE民即AABC和菱形BfGC組成的一個平面圖形，其中

AB=1,BE=BF=2,ZFBC=60°,將其沿AB,BC折起使得BE與所重合，連結。G,如圖2.

（1）證明圖2中的ACG,。四點共面，且平面A5cl平面BCGE；

26.（2019?全國?高考真題）圖1是由矩形ADEB,RfflABC和菱形8尸GC組成的一個平面圖形，其中48=1,

BE=BF=2,0FBC=6O°,將其沿AB,BC折起使得BE與3尸重合，連結DG,如圖2.

（1）證明：圖2中的A,C,G,。四點共面，且平面4803平面BCGE；

圖1圖2

27.（2019?天津?高考真題）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，APCD為等邊三角

形，平面PAC_L平面尸CD,PAVCD,CD=2,AD=3,

（團）設G,H分別為PB,AC的中點，求證：GH〃平面PAD；

（0）求證：24_L平面PCD；

28.（2019?浙江?高考真題）如圖，已知三棱柱ABC-ABC，平面A4&C，平面ABC,NABC=90。,

ZBAC=30°,AA=AC=AC,E,F分別是AC,Ag的中點.

(1)證明：EFJ.BC-,

29.(2019?全國?高考真題)如圖，長方體48co-42/00/的底面ABC。是正方形，點E在棱A4/上，B璉1EG.

(1)證明：8砸平面EB/。；

30.(2019?全國?高考真題)如圖，長方體ABCAA/B/OD/的底面ABC。是正方形，點E在棱A4/上,

BEBlECi.

(1)證明：平面E8/G；

31.(2018?江蘇?高考真題)在平行六面體ABC。-A耳G。中，AA,=AB,ABt1BtQ.

求證：(1)AB//平面ABC；

(2)平面AB耳A，平面ABC.

5

32.(2018?北京?高考真題)如圖，在三棱柱ABC-ABIG中，CG，平面ABC,D,E,F,G分別為AA，

AC,AG，8片的中點，AB=BC=下,AC=AAl=2.

(1)求證：AO3平面8所；

33.(2018?北京?高考真題)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD,平面ABCD,

PALPD,PA=PD,E、下分別為AD、尸B的中點.

(0)求證：PE1BC；

(0)求證：平面R4B_L平面PCD；

34.(2018?全國?高考真題)如圖，邊長為2的正方形ABC。所在的平面與半圓弧CD所在平面垂直，M是CZ)

上異于C,。的點.

(1)證明：平面AMD_L平面BMC；

35.（2018?浙江?高考真題）如圖，已知多面體42<7-42。］，44,4民6（7均垂直于平面

ABC,ZABC=120°,AA=4,QC=1,AB=BC=B1B=2.

（0）求證：平面A^IG；

36.（2018,全國?高考真題）如圖，在三棱錐尸一ABC中，AB=BC=2曰R4=P3=PC=AC=4,。為AC

的中點.

（1）證明：尸0,平面ABC；

P

37.（2018,全國?高考真題）如圖，在平行四邊形中，AS=AC=3,ZACM^90°,以AC為折痕將回

ACM折起，使點”到達點。的位置，且ABJ_D4.

38.（2018,全國?高考真題）如圖，在三棱錐尸—ABC中，AB=BC=2五,PA=P3=PC=AC=4,。為AC

的中點.

P

B

（1）證明：尸。，平面ABC；

39.（2018?全國?高考真題）如圖，四邊形A3CD為正方形，及尸分別為AO,BC的中點，以DF為折痕把△。回C

折起，使點C到達點P的位置，且PR，3尸.

（1）證明：平面尸￡戶，平面ABED；

40.（2018?天津?高考真題）如圖，在四面體ABC。中，0ABe是等邊三角形，平面A8C0平面AB。，點/為

棱A2的中點，AB=2,AD=2y/3,0BAD=9O°.

（0）求證：AD^BC；

41.（2018?全國?高考真題）如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其內部）以AB邊所在直線為

旋轉軸旋轉120。得到的，G是。尸的中點.

⑴設P是CE上的一點，且APEIBE,求13cBp的大?。?/p>

42.（2017?全國?高考真題）（2017新課標全國團理科）如圖，四面體A8CD中，AABC是正三角形，△ACD

是直角三角形，SABD^CBD,AB=BD.

（1）證明：平面ACD回平面ABC；

43.（2017?全國?高考真題）如圖，在四棱錐P-4BCD中，AB//CD,且/朋P=NCOP=90。.

（1）證明：平面出龐I平面B4。；

44.（2017?天津?高考真題）如圖，在四棱錐P-AfiCD中，AD_L平面PDC,AD\\BC,PDYPB,AD=1,

BC-3,CD=4,PD=2.

（I）求異面直線AP與BC所成角的余弦值；

（II）求證：9_1平面尸3。；

45.（2017?全國?高考真題）如圖，四面體ABC。中，B4BC是正三角形，AD=CD.

46.（2017?全國?高考真題）如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD,且/&LP=NCDP=90。.

（1）證明：平面平面PAD；

47.（2017?北京?高考真題）如圖，在三棱錐P—ABC中，PASAB,PASBC,ABSBC,PA=AB=BC=2,。為

線段AC的中點，￡為線段PC上一點.

⑴求證：PA^BD-,

⑵求證：平面平面B4C；

48.（2017?江蘇?高考真題）如圖，在三棱錐4BCD中，ABSAD,BC0BD,平面ABDI3平面BCD,點、E,F（E與

4。不重合）分別在棱A。，BD上，且EfHAD.

求證：⑴E用平面A8C；

⑵ADMC.

49.（2016?浙江?高考真題）如圖，在三棱臺ABC-DEF中，平面BCFEI3平面ABC,0ACB=9O°,BE=EF=FC=1,

BC=2,AC=3.

B

（0）求證：BFEI平面ACFD；

50.（2016?北京?高考真題）如圖，在四棱錐中，尸。一平面.鉆CD，AB//DC,DC±AC.

(0)求證：OC_L平面PAC；

(0)求證：平面尸AB_L平面PAC；

51.(2016?全國?高考真題)如圖，菱形ABC。的對角線AC與50交于點。，點EF分別在AD,CD上,

AE=CF,EF交BD于點H,將ADEF沿EF折起到AUEF的位置.

(0)證明：ACLHD-

52.(2016?北京?高考真題)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，平面PAD_L平面ABCD,PA±PD,PA=PD,

AB±AD,AB=1,AD=2,AC=CD=非.

P

(1)求證：尸D_平面PAB；

53.(2016?山東?高考真題)在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點，EF0DB.

(0)已知AB=BC,AE=EC.求證：AC0FB；

54.(2016,浙江?高考真題)如圖，在三棱臺ABC-OEF中，平面BCFE_L平面ABC,=90。,BC=2,

AC=3,BE=EF=FC=1.

(0)求證：3尸_1_平面ACfD；

55.(2016?天津?高考真題)如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,平面AED團平面ABCD,EF||AB,AB=2,BC=EF=1,

AE=A/6,DE=3,0BAD=6O9,G為BC的中點.

(0)求證：FG||平面BED；

(0)求證：平面BEDEI平面AED；

56.(2016?全國?高考真題)如圖，菱形ABCD的對角線AC與血)交于點O,AB=5,AC=6,點E,尸分別在

AD,CD±，,AE=CF=3，EF交BD千點、H,將ADEF沿斯折到AD,EF位置，OD，=回.

(1)證明：。月，平面ABC。；

D'

57.（2016?全國?高考真題）如圖，在以A,B,C,D,E,尸為頂點的五面體中，四邊形ABEF為正方形,

AF=2FD,ZAFD=90°,且二面角D—AF—E與二面角C-5E-尸都是60。.

（1）證明：平面平面EFDC；

58.（2015?廣東?高考真題）如圖，三角形△尸DC所在的平面與長方形A8CD所在的平面垂直，PD=PC

=4,AB=6,BC=3,點￡是CD的中點，點RG分別在線段A3、BC上，且AF=2EB,CG=2GB.

（1）證明：PELFG；

59.（2015?江蘇?高考真題）如圖，在直三棱柱.18。-a：4G中，己知尊?'=麒線，設.珥的

中點為。，B1CP\BC1=E.

求證：（i）DE平面一七4。］。；

⑵BC-__

77

60.（2015?重慶?高考真題）如圖，三棱錐P-ABC中，平面PAC_L平面ABC,ZABC=-,點D、E在線段AC

2

上，且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,點F在線段AB上，且EF〃BC.

(0)證明：AB_L平面PFE.

61.（2015?重慶?高考真題）如圖，三棱錐尸-ASC中，PC,平面

ABC,PC=3,ZACB=^.￡>,E分別為線段上的點，且CD=DE=四,CE=2EB=2.

（1）證明：DEI平面尸CD；

62.（2015?浙江?高考真題）如圖，在三棱錐ABC-A4G中，NBAC=90。，AB=AC=2,441=4,A］在底面

ABC的射影為BC的中點，D為81cl的中點.

G

63.（2015?浙江考真題）如圖，在三棱柱ABC-AMG-中，Z.BAC=90°,AB—AC—2,AA=4,A

在底面ABC的射影為BC的中點，。為BG的中點.

（1）證明：AD_L平面ABC；

64.（2015?全國?高考真題）如圖四邊形ABC。為菱形，G為AC與BD交點,平面ABC。,

（I）證明：平面AEC_L平面BE。；

65.（2015?全國?高考真題）（2015新課標全國團理科）如圖，四邊形ABC￡＞為菱形，0ABe=120。，E,尸是平

面ABC。同一側的兩點，8￡0平面A8CD,平面A8CD,BE=2DF,AE^EC.

（1）證明：平面AEC0平面AFC；

66.（2015?天津?高考真題）如圖,已知胡，平面ABC,5用||4幻AB=AC=3,5C=="〃

58=2/,點E,F分別是BC,A4的中點.

Bi

（0）求證:EF國平面；

（ffl）求證:平面.正±_平面

JT

67.（2015?陜西?高考真題）如圖1,在直角梯形ABCD中，AD//BC,ZBAD=-,AB=BC=1,AD=2,

E是AD的中點，O是AC與BE的交點.將AABE沿BE折起到AA^BE的位置，如圖2.

4(2)

但）證明：CD,平面AQC；

68.（2015?湖南?高考真題）如圖，直三棱柱ABC-A4G的底面是邊長為2的正三角形，E,尸分別是BC,CG

的中點.

（1）證明：平面AEF_L平面B[BCG；

69.（2015?湖南?高考真題）如圖，已知四棱臺ABC。-A耳6。的上、下底面分別是邊長為3和6的正方形,

AA=6,且AA，底面ABCD,點P,。分別在棱DD「BC上.

（1）若P是?！ǖ闹悬c，證明：AB.LPQ.

70.（2015?湖北?高考真題）《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，

將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉席.

如圖，在陽馬尸-ABCD中，側棱底面ABCD,且PD=CD,過棱PC的中點E,作ERLPB交PB

于點尸，連接DE,DF,BD,BE.

（國）證明：平面DEF.試判斷四面體3班F是否為鱉席，若是，寫出其每個面的直角（只需寫

出結論）；若不是，說明理由；

71.（2015?福建?高考真題）如圖，AB是圓。的直徑，點C是圓。上異于A8的點，PO垂直于圓O所在的

平面，且PO=OB=1.

（ffl）若。為線段AC的中點，求證AC,平面PDO；

72.（2015?北京?高考真題）如圖，在三棱錐V-ABC中，平面VAB_L平面ABC,AVAB為等邊三角形,

AC_LBC且AC=BC=應，O,M分別為AB,VA的中點.

C

（1）求證：VB〃平面MOC；

（2）求證：平面MOC_L平面VAB；

73.（2015?北京?高考真題）如圖，在四棱錐中，△AEF為等邊三角形，平面AEFL平面EFCB,

EF//BC,BC=4,EF=2a,NEBC=NFCB=60。，。為EF的中點.

考點03求空間中的線段長度、點面距的值及最值或范圍

1.（2024?全國甲卷?高考真題）如圖，AB//CD,CD//EF,AB=DE=EF=CF=2,CD=4,AD=BC=410,

AE=2行,M為O的中點.

2.（2024?天津?高考真題）已知四棱柱ABC。-A4G。中，底面A6CD為梯形，AB//CD,，平面ABCD,

ADJ.AB,其中A8=AA,=2,A。=DC=1.N是4G的中點，M是。2的中點.

⑴求證RN〃平面；

求平面與平面的夾角余弦值；

(2)CB{MBB\CG

⑶求點B到平面的距離.

3.(2023?全國甲卷?高考真題)如圖，在三棱柱ABC-AAG中，AC，平面ABC,NACB=90。.

(1)證明：平面ACC[AI_L平面；

設求四棱錐的高.

(2)AB=AlB,AAl=2,A-BB&C

4.(2022?全國新I卷?高考真題)如圖，直三棱柱ABC-A瓦G的體積為4,AABC的面積為20.

B

⑴求A到平面ABC的距離；

設。為的中點，平面平面與，求二面角人一如一。的正弦值.

(2)ACAAi=AB,ABC,ABA

5.(2021?全國乙卷?高考真題)如圖，四棱錐尸-ABCD的底面是矩形，底面ABC。，PD=DC=1,M

為BC的中點，且

R

(1)求BC；

(2)求二面角A-尸河-3的正弦值.

6.(2019?全國?高考真題)如圖，直四棱柱ABCD-A/B/CDi的底面是菱形，AAi=4,AB=2,SBAD=G00,E,

M,N分別是8C,BBi,AiD的中點.

DiCi

(1)證明：MA0平面CiDE；

(2)求點C到平面CiDE的距離.

7.(2018?全國?高考真題)如圖，在三棱錐尸—ABC中，AB=BC=2^2,PA=PB=PC=AC=4,。為AC

的中點.

(1)證明：尸0,平面ABC；

(2)若點M在棱BC上，且MC