2023-2024學(xué)年蘇科版八年級數(shù)學(xué)上冊解題技巧：勾股定理與面積問題、方程思想壓軸題七種模型（解析版）

專題11解題技巧專題：勾股定理與面積問題、方程思想壓軸

題七種模型全攻略

..【考點導(dǎo)航】

目錄

尸;I

寫【典型例題】.............................................................................1

【類型一二角形中，利用面積求斜邊上的高】.................................................1

【考點二結(jié)合乘法公式巧求面積或長度】.....................................................6

【考點三巧妙割補求面積1...................................................................................................9

【考點四“勾股樹”及其拓展類型求面積1............................................................................13

【考點五幾何圖形中的方程思想一折疊問題（利用等邊建立方程）】............................19

【考點六幾何圖形中的方程思想一公邊問題（利用公邊建立方程）1..........................................25

【考點七實際問題中的方程思想】..........................................................28

尸Q

LA【典型例題】

【類型一三角形中，利用面積求斜邊上的高】

例題：（2023春,新疆阿克蘇?八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）若一個直角三角形的兩條直角邊長分別是5cm和12cm,

則斜邊上的高為多少（）

【答案】D

【分析】設(shè)斜邊上的高為km,利用勾股定理可求出斜邊的長，利用面積法即可求出。的值，可得答案.

【詳解】團直角三角形的兩條直角邊分別為5cm,12cm,

A.12B.24C.6D.5

【答案】D

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出8D,再用勾股定理求解即可.

【詳解】解：如圖所示

根據(jù)題意得，AB=AC=13,BC=24,AD±BC.

S1BD=-BC=12,

2

在Rt_AT>5中，根據(jù)勾股定理得，AD2+BD2=AB\

0AD=VAB2-BD2=7132-122=5-

即：底邊上的高為5,

故選：D.

【點睛】此題主要考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，正確作出圖形、熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是關(guān)

鍵.

3.（2022?全國?八年級課時練習(xí)）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1.點A、B,C都在格點上,

若BD是0ABe的高，則BD的長為.

【答案】遞##3石

55

【解析】

【分析】

根據(jù)勾股定理計算AC的長，利用面積差可得三角形ABC的面積，由三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】

】解：由勾股定理得：AC=4+4。=2后，

05AABC=3X4-；x1x2-；x3x2-；x2x4=4,

^AC-BD=4,

01x275BD=4,

回配）=逑，

5

故答案為：生5.

5

【點睛】

本題考查了勾股定理，三角形的面積的計算，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

4.（2023春?安徽合肥?八年級?？计谀┤鐖D所示，在邊長為單位1的網(wǎng)格中，71BC是格點圖形，求ABC

9

【答案】—ABC中A3邊上的高為；

【分析】如圖所述，過點A作AD,BC的延長于點。，過點C作CE/AS于點E,可得AD,BC,3。的長,

在RtA4B￡＞中，可求出A3的長，根據(jù)SMcngBCADngABCE,即三角形的等面積法即可求解.

【詳解】解：如圖所述，過點A作AOL8C的延長于點O,過點C作CE1AB于點E,

\A

回一ABC是格點圖形，每個小正方形的邊長為單位1,

0AD=3,BC=3,應(yīng)）=4,

團在RtAABD中，AB=yjAD2+BD2=732+42=5>

0S=-BCAD=-ABCE,

.ARC22

BCAD3x39

團CE=

AB~~T~5

9

0ABC中A3邊上的圖為不

【點睛】本題主要考查格點三角形，勾股定理，等面積法求高等知識的綜合，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=8,在八四“中，DE是AB邊上的高，DE=12,S^ABE=60.

⑴求BC的長.

⑵求斜邊AB邊上的高.

【答案】⑴3c=6

⑵斜邊A8邊上的高是4.8

【分析】（1）根據(jù)在△ABE中，DE1是AB邊上的高，DE=12,S^ABE=60,可以計算出A3的長，然后根

據(jù)勾股定理即可得到AB的長；

（2）根據(jù)等面積法，可以求得斜邊A2邊上的高.

【詳解】（1）解：（1）團在ZXABE■中，OE是AB邊上的高，DE=12,S^ABE=60,

回世產(chǎn)=60,即言12=60,解得AB=10,

團在RtAABC中，NC=90?,AC=8,

0BC=ylAB2-AC2=A/102-82=6；

（2）解：作CF人AB于點R

AC?CBAB.CF

0AB=1O,AC=8,BC=6,

2~2

8x6WxCF

0——=

2-2

解得CF=4.8,即斜邊AB邊上的高是4.8.

【點睛】本題考查勾股定理，三角形的面積，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

6.（2023秋?全國?八年級專題練習(xí)）在ABC中，ZC=90°,AC=3,CB=4,C。是斜邊AB上高.

⑴求ABC的面積；

⑵求斜邊AB；

⑶求高CO.

【答案】⑴ABC的面積為6

⑵斜邊AB為5

⑶高8的長為￡12

【分析】(1)根據(jù)三角面積公式底乘高除以2求出即可.

(2)根據(jù)勾股定理求出A3.

(3)根據(jù)等面積法求出高CD.

【詳解】(1).ABC的面積=」xACxBC=」x3x4=6.

22

故一ABC的面積是6；

(2)在RtABC中，ZC=90°,AC=3,CB=4,

0AB=732+42=5；

(3)B—xACxBC=—xCDxAB,

22

0—x3x4=—x5xCD,

22

解得co=192.

故高CD的長為q12.

【點睛】此題考查了求三角形面積、勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟悉三角形面積公式、勾股定理.

【類型二結(jié)合乘法公式巧求面積或長度】

例題：已知在RJABC中，ZC=90°,ZA,/B,NC所對的邊分別為a,b,c,若a+6=10cm,c=8cm,則RjABC

的面積為()

A.9cm2B.18cm2C.24cm2D.36cm2

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可知，RtA5C的面積為次?，結(jié)合已知條件，根據(jù)完全平方公式變形求值即可

【詳解】

解：HLA5C中，NC=90。,NA,ZB,NC所對的邊分別為〃，b,c,

/.c^+b2=c2

團〃+Z?=10cm,c=8cm

團2〃b=（Q+Z?y_（/+/）=（〃+b）2一/=100-64=36

12

-SABC=-ab=9cm

故選：A.

【點睛】

本題考查了勾股定理，完全平方公式變形求值，解題的關(guān)鍵是完全平方公式的變形.

【變式訓(xùn)練】

1.在，ABC中，A。是BC邊上的高，AD=4,AB=4y/]0,AC=5,貝l|715c的面積為（）

4.18B.24C.18或24D.18或30

【答案】D

【解析】

【分析】

由勾股定理分別求出8。和CD,分A。在三角形的內(nèi)部和AO在三角形的外部兩種情況，由三角形面積公式計算即可.

【詳解】

解：在尺回48。中，

22

由勾股定理得：BO=A/A8-AD=12,

在RtSACD中，

由勾股定理得：CD=JAC?-a。？=/2-42=3，

分兩種情況：

①如圖1,當A。在1MBe的內(nèi)部時，BC=12+3=15,

則EL4BC的面積BCxAD=；xl5x4=30；

②如圖2,當4。在HABC的外部時，BC=12-3=9,

則0ABe的面積=；BCxAD=；x9x4=18；

綜上所述，HABC的面積為30或18,

故選：D.

【點睛】

本題考查的是勾股定理、三角形面積以及分類討論等知識，熟練掌握勾股定理，進行分類討論是解題的關(guān)鍵.

3.直角一ABC三邊長分別是x,x+1和5,貝kABC的面積為.

【答案】6或30

【解析】

【分析】

根據(jù)AABC是直角三角形，則在中分類討論，運用勾股定理即可求出答案.

【詳解】

解：A43c是直角三角形，則在AA3C中即可運用勾股定理，不確定x+1與5哪一個大，所以討論：

(1)若x+l<5,則存在f+(x+l)2=52,

解得x=3,

SAABC=g*3x4=6；

(2)若x+l>5,貝ij(尤+1)2-爐=52,

解得x=12

SAABC=^x5xl2=30.

AABC的面積為6或30.

故答案為：6或30.

【點睛】

本題主要考查直角三角形中勾股定理的應(yīng)用，本題中討論x+1與5的大小是解題的關(guān)鍵.

【類型三巧妙割補求面積】

例題：(2023春?河南許昌?八年級?？计谥?如圖，在四邊形A8CD中，已知？390?,ZACB=30°,AB=6,

AD=13,CD=5.

(1)求證：ACD是直角三角形；

(2)求四邊形ABCD的面積.

【答案】⑴見解析

⑵18有+30

【分析】⑴根據(jù)30。角的直角三角形的性質(zhì)得到AC=2AB=12,再根據(jù)跟勾股定理的逆定理即可得證;

(2)根據(jù)勾股定理得到BC=6g,再利用三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：E?B90?,ZACB=30°,AB=6,

0AC=2AB=12,

在/ACO中，AC=12,AD=13,CD=5,

回52+122=132,BPAC1+CD2=AD2,

0ACO是直角三角形；

(2)解：團在,ABC中，?B90?,AB=6,AC=12,

^BC=4AC1-AB1=A/122-62=6A/3，

=~BC1AB,倉眩百6=18百，

又回SVACD=gAC-CD=Jx5xl2=30,

國S四邊舷"CD=*^AABC+S&ACD=1+30.

回四邊形ABCD為186+30.

【點睛】本題考查勾股定理，勾股定理的逆定理，30。角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積.熟練掌握勾

股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?八年級?？计谥校┤鐖D所示，是一塊地的平面圖，其中AD=4米，CD=3米，

48=13米，BC=12米，ZADC=90°,求這塊地的面積.

【答案】24平方米

【分析】連接AC,根據(jù)勾股定理求出=5米，根據(jù)4。2+3。2=鈿2,ZACB=90。，根

據(jù)直角三角形的面積公式求出結(jié)果即可.

【詳解】解：如圖，連接AC,如圖所示:

AC=dAlf+CD?=5米,

AB=13米，3C=12米，

AC2+BC2=AB2,

ZACB=90°,

:?這塊地的面積為：

S^,ABC~S^ACD=AC-BC-^AD-CD

=—x5xl2——x3x4

22

=24（平方米）.

【點睛】本題主要考查了勾股定理和逆定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，在一個直角三角形

中，兩條直角邊分別為服6,斜邊為C,那么.如果一個三角形的三條邊a、b、c滿足4+>2=02,

那么這個三角形為直角三角形.

2.（2023春?安徽馬鞍山?八年級?？计谀┮阎?。，b,c是..ABC的三邊，且”=2豆，b=3瓜,C=A/66.

⑴試判斷..ABC的形狀，并說明理由；

⑵求ABC的面積.

【答案】（1）ABC是直角三角形，理由見解析

（2）9&

【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理進行計算即可求解；

（2）根據(jù)三角形的面積公式進行計算即可求解.

【詳解】（1）解：ABC是直角三角形.理由：

團/=（2班）=12,。2=（3指）=54,c2=^A/66^=66,

^\a2+b2=c2,

EABC是直角三角形，且NC是直角；

（2）解：,A5C的面積=?28x3"=9&.

【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.

3.（2023春?山東范澤?八年級校考階段練習(xí)）四邊形草地ABCZ）中，己知AB=3m,BC=4m,CD=12m,

ZM=13m,且/ABC為直角.

⑴求這個四邊形草地的面積；

⑵如果清理草地雜草，每平方米需要人工費20元，清理完這塊草地雜草需要多少錢?

【答案】⑴36m2

⑵清理完這塊草地雜草需要720元錢

【分析】（1）連接AC,根據(jù)勾股定理求出AC,再根據(jù)勾股定理逆定理得出-4CDR0°,最后根據(jù)

S四邊形ABC。=S^ABC+即可求解;

(2)根據(jù)每平方米需要人工費20元，即可解答.

【詳解】(1)解：連接AC,

0AB=3m,BC=4m,/ABC為直角，

22

0AC=>JAB+BC=A/32+42=5(m),

0CD=12m,ZM=13m,

0AC2+CD2=52+122=169=AD2,

*ACD=90°,

回S四邊形ABCD=SABC+SACD=-AB-5C+—AC-C￡>=—x3x4+-x5xl2=36(m-).

（2）解：20x36=720（元），

答：清理完這塊草地雜草需要720元錢.

【點睛】本題主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形兩直角邊的平方和

等于斜邊平方，兩邊平方和等于第三邊平方的三角形是直角三角形.

4.（2022春?重慶蒙江?八年級?？茧A段練習(xí)）計算：如圖，每個小正方形的邊長都為1.

⑴求線段。與BC的長；

⑵求四邊形ABCD的面積；

（3）求證：48=90。.

【答案】（1）BC=2百，CD=45

⑶見解析

【分析】（1）根據(jù)勾股定理解答即可；

（2）運用分割法解答即可；

（3）連接30,根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可.

【詳解】（1）回每個小正方形的邊長都為1,

團3。=物+不=2后，CD=j22+F=行

（2）S四邊形MCD=5x5--xlx5——xlx4—1x1--xlx2--x2x4

2222

=25---2-l-l-4

2

29

2

(3)連接3D,

回班＞=打+42=5,

0BC2+CD2=（2扃+（可=25,BD2=52=25,

^BC2+CD2=BD2,

回△3CD是直角三角形，且為斜邊，

0ZBCD=9O°.

【點睛】此題考查勾股定理和勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理得出各邊的長解答.

【類型四“勾股樹”及其拓展類型求面積】

例題：（2023秋?重慶渝中?八年級重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┤鐖D，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形

都是直角三角形，若正方形A、B、C、。的面積分別是6、10、4、6,則最大正方形E的面積是（）

A.20B.26C.30D.52

【答案】B

【分析】根據(jù)正方形的面積公式并結(jié)合勾股定理，能夠?qū)С稣叫蜛,B,C,。的面積和即為最大正方形

的面積即可.

【詳解】解：如圖：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得：

=SA+SB+Sc+SD

=6+10+4+6

=26

故選艮

【點睛】本題考查勾股定理，熟悉勾股定理的幾何意義是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?廣西柳州??？家荒＃┤鐖D，NBDE=90。,正方形BEGC和正方形AFED的面積分別是289和225,

則以3D為直徑的半圓的面積是（）

【答案】B

【分析】利用勾股定理求出3D,再求半圓的面積即可.

【詳解】解：回正方形BEGC和正方形的面積分別是289和225,

0BE2=289,DE2=225,

0ZBDE=90°,

^BD=4BE1-DE1=A/289-225=8，

回以為直徑的半圓的面積為：x/=8萬；

故選艮

【點睛】本題考查勾股定理.熟練掌握勾股定理，是解題的關(guān)鍵.

2.（2023春?全國?八年級專題練習(xí)）如圖，以Rt.ABC的三邊向外作正方形，其面積分別為工,邑，邑且

5=4,S?=8,貝US3=___________;以RJABC的三邊向外作等邊三角形,其面積分別為H,邑,S3,則H,邑,邑

三者之間的關(guān)系為___________.

【答案】12;51+52=53

【分析】首先根據(jù)正方形面積公式得到三個正方形的面積與RzaABC的三邊關(guān)系，然后根據(jù)勾股定理找到

E/WRC的三邊之間的關(guān)系，并由此得到三個正方形的面積關(guān)系，最后算出S3的值；第二空同理根據(jù)正三角

形面積公式與勾股定理，得到Si,S2,S3三者之間的關(guān)系，完成解答.

【詳解】解：0AC、BC、A8都是正方形的邊長，

SS^AC2,S2=B。,S^AB2,

又fflABC是直角三角形，

0AC2+BC2=AB2,

回53=4+8=12,

又SR他18C三邊向外作等邊三角形，其面積為Si,Sz,S3,

0Si=-xACxACx—=—xAC2,

224

同理可得：&=—xBC2,S=—xAB2,

434

fflABC是直角三角形，

0AC2+BC2=AB2,

團Si+S2=S3.

故答案是：12,Si+S2=S3.

【點睛】本題考查勾股定理和正方形、正三角形的計算，解題的關(guān)鍵在于靈活運用勾股定理.

3.（2023春?八年級課時練習(xí)）已知：在RtABC中，NC=90。，/A、/B、NC所對的邊分別記作。、b、

c.如圖1,分別以.ABC的三條邊為邊長向外作正方形，其正方形的面積由小到大分別記作豆、邑、S3,

貝I］有5|+邑=$3,

⑴如圖2,分別以ABC的三條邊為直徑向外作半圓，其半圓的面積由小到大分跖、邑、S3,請問5+邑與

S3有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

⑵分別以直角三角形的三條邊為直徑作半圓，如圖3所示，其面積由小到大分別記作51、S2Sa,根據(jù)（2）

中的探索，直接回答4+S2與S3有怎樣的數(shù)量關(guān)系；

⑶若RtA5c中，AC=6,BC=8,求出圖4中陰影部分的面積.

【答案】⑴品+邑=$3,證明見解析

（2冏+邑=$3

⑶24

22

【分析】（1）由扇形的面積公式可知5=。萬AC"S2=^-7rBC,S3=^AB,在R/a43c中，由勾股定理

888

得AC2+BC2nA4,即SI+S2=S3；

（2）根據(jù)（1）中的求解即可得出答案；

（3）利用（2）中的結(jié)論進行求解.

【詳解】（1）解：①Sj+S=—7ia1+—71b2,5——TCC1

28o38

根據(jù)勾股定理可知：cr+b1=c1,

H+星=$3；

(2)解：由(1)知，同理根據(jù)根據(jù)勾股定理：a2+b2=c2,從而可得每+S?=S3；

(3)解:由(2)知5陰影=S[+邑-⑸-S4ABC)=以.。=/x6x8=24.

【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是對勾股定理的熟練掌握及靈活運用.

4.(2023春?江西南昌?八年級南昌市第三中學(xué)校考期中)勾股定理是人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方

國家稱之為畢達哥拉斯定理.在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)

學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖"(如圖1),后人稱之為"趙爽弦圖"，流傳至今.

圖5圖6圖7

⑴①如圖2,3,4,以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，面積分

別為豆，邑，S3,利用勾股定理，判斷這3個圖形中面積關(guān)系滿足1+邑=S3的有個.

②如圖5,分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個月牙形圖案(圖中陰影部分)的面積分別為加,

邑，直角三角形面積為S3,也滿足S|+Sz=S3嗎？若滿足，請證明；若不滿足，請求出S-邑，色的數(shù)量

關(guān)系.

(2)如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這

一過程就可以得到如圖6所示的〃勾股樹〃.在如圖7所示的〃勾股樹〃的某部分圖形中，設(shè)大正方形M的邊

長為定值相，四個小正方形A,B,C,。的邊長分別為b,c,d,則/+從+，+/=.

【答案】⑴①3；②滿足，證明見解析

⑵加2

【分析】（1）設(shè)兩直角邊分別為尤，y,斜邊為z,用x,y,z分別表示正方形、圓、等邊三角形的面積,

根據(jù)V+y2=z2,求解如S2,S3之間的關(guān)系，進而可得結(jié)果；②根據(jù)

??_\2）y2）ab（21_。6,53=二’可得耳+52-53；

，+?->=------------1-------------1-------------------=-----2

1222222

12222

（2）由題意知，SA=a,SB=b,Sc=c,SD=d,（SA+5B）+（5C+5D）=SM=m,代入求解即可.

【詳解】（1）①解：設(shè)兩直角邊分別為％,九斜邊為z,

222

則圖2中，S[=x9S2=yfS3—z,

團J+,2=z2,

團y+S?=S3,故圖2符合題意；

圖3中，"I）G?"If）-?"13Q

128228328

冏7TX27vy2萬（一+丁）冗吩

121------1——=—------------，

8888

0^+52=53,故圖3符合題意；

圖4中，S,=-x?x?sin60°=,S2=/y?y?sin60。="丫,S.=-z?z?sin60°=,

124224324

閉后?氐2二6產(chǎn)力二層：

4444

回S]+S2=S3,故圖4符合題意；

回這3個圖形中面積關(guān)系滿足4+S?=S3的有3個，

故答案為：3；

②解：滿足，證明如下：

卡日百立上n2722乃乃[2]Trf->l弋_ab

由題后知a?+"2=/,_^2J（2）ab\2JabS3=—,

-------------1-------------1-------------------=—2

1222222

0S1+S2=S3；

22222

（2）解：由題意知，SA=a,SB=b,Sc=c,SD=d,（SA+SB）+（SC+SD）==m,

回〃2+〃+。2+/=療，

故答案為：m2.

【點睛】本題考查了勾股定理，勾股樹.解題的關(guān)鍵在于正確的表示各部分的面積.

【類型五幾何圖形中的方程思想一折疊問題（利用等邊建立方程）】

例題：（2023春?河南許昌?八年級統(tǒng)考期中）已知直角三角形紙片ABC的兩直角邊長分別為6,8,現(xiàn)將ABC

按如圖所示的方式折疊，使點A與點8重合，則CE的長是（）

【答案】B

【分析】根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)可知，AE=BE,設(shè)4￡=無，則=CE=8-x,再RtBCE中利用

勾股定理即可求出CE的長度.

【詳解】解：回△AOE翻折后與汨完全重合，

^AE=BE,

設(shè)AE=x,貝！|3E=x,CE=8-x,

囪在Rt-BCE中，CE2=BE2-BC2,

即（8—X）。=x?—6?,

7

解得，x=->

4

7

0C￡=-.

4

故選：B

【點睛】本題考查了圖形的翻折變換，解題中應(yīng)注意折疊是一種對稱變換，屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性

質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?湖北咸寧,八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，有一塊直角三角形紙片，NC=90。，AC=4,BC=3,

將斜邊A3翻折，使點B落在直角邊AC的延長線上的點E處，折痕為AD,則的長為（）

35

A.—B.1.5C.—D.3

43

【答案】c

【分析】利用勾股定理求得AB=5,由折疊的性質(zhì)可得AB=AE=5,DB=DE,求得CE=1,設(shè)DB=DE=x,

則CD=3-x,根據(jù)勾股定理可得『+（3-力2=*,進而求解即可.

【詳解】解：團NC=90。，AC=4,BC=3,

回43=招+不=5,

由折疊的性質(zhì)得，AB=AE=5,DB=DE,

0CE=1,

設(shè)DB=DE=x,貝!]CD=3-x,

在用CED中，l2+（3-x）2=x2,

解得x=|,

故選：C.

【點睛】本題考查勾股定理、折疊的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

2.（2023春?山東苗澤?八年級統(tǒng)考期中）如圖，中，?B90?,AB=4,BC=6,將ABC折疊,

使點C與AB的中點O重合，折痕交AC于點交BC于點N,則線段CN的長為.

【答案】y/31

【分析】由折疊的性質(zhì)可得DN=CN,根據(jù)勾股定理可求DN的長，即可求CN的長.

【詳解】解：D是AB中點，AB=4,

:.AD=BD=2,

將ABC折疊，使點C與A3的中點。重合，

:.DN=CN,

:.BN=BC-CN=6-DN,

在中，DN2=BN2+DB2,

.-.CN2=(6-CN)2+22,

:.CN=—,

3

故答案為：得.

【點睛】本題考查了翻折變換(折疊問題)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，中點的定義以及方程思想，綜合性較

強.

3.(2023,遼寧葫蘆島?統(tǒng)考二模)如圖，在Rt^ABC中，NC=9()o,NA=30。,3c=2,點。是AC的中點，

點E是斜邊上一動點，沿/定所在直線把VADE翻折到一AZ見的位置，AO交AB于點歹.若△BA'F為

直角三角形，則AE的長為.

【答案】1或g

【分析】分/跳4=90。和/B4'產(chǎn)=90。兩種情形分類討論，當/母a=90。時，根據(jù)

ZC=90°,ZA=30°,BC=2,點。是AC的中點，算出AD=CO=括,根據(jù)N3E4'=90。以及翻折性質(zhì)得出

E4=E。，/D￡A=120。,即可解答；當ZBA'F=90°時，作EH±BA交A9的延長線于H,設(shè)AE=x,

在Rf_EHA!和R"BEH中用勾股定理即可解答.

【詳解】解：如圖，當ZBR1'=9O。時，

在中，

ZA=30°,BC=2

\AB=2BC=4,AC=2^/3,

QAD=CD,

AD=CD=y/3,

ZAFD=90°,

二.NAD月=60。，

/./EDA=NEDF=30。,

:.ZA=ZEDA=3Q°,

AD_A/3

EA=ED,ZDEA=120°,AE==1.

g一百

如圖，當N5A尸=90。時，作EHLBA交ABf的延長線于H,設(shè)AE=x,

CDA

ZDA'5=30。，

/.ZEAH=60°,

在比EHA'中,A'H==A'E=LX,EH=CA'H=^x,BE=4—X,

222

在mBEH中,

EH2+BH2=BE\

~~x+(2+gx]=(4-X)2,

解得x=|,

綜上所述，滿足條件的AE的值為1或g，

故答案為：1或二.

【點睛】本題考查翻折變換、勾股定理、特殊直角三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵

是學(xué)會用分類討論的思想解決問題，屬于中考?？碱}型.

4.（2022秋?河北張家口?八年級統(tǒng)考期中）在，ABC中，NC=9O。，點D、E分別在AC、AB邊上（不與端

點重合）.將VADE沿DE折疊，點A落在A的位置.

（1汝口圖①，當A與點8重合且BC=3,48=5.

①直接寫出AC的長；

②求△3CD的面積.

⑵當/A=37。.

①A與點E在直線AC的異側(cè)時.如圖②，直接寫出NA'￡5-NA'DC的大小；

②A與點E在直線AC的同側(cè)時，且AA'DE的一邊與BC平行，直接寫出NADE的度數(shù).

71

【答案】⑴①4；②/

1O

⑵①74。；②NADE的度數(shù)分別為45。，26.5°

【分析】（1）①直接根據(jù)勾股定理即可求出AC的長；②設(shè)CD=x,貝|AD=3￡>=4-x,根據(jù)勾股定理求

出x的值，再根據(jù)三角形面積公式即可求解；

（2）①根據(jù)三角形的外角定理可得NAM=NA+NAFE,ZAFE=ZA'+ZADF,即可求解；②根據(jù)題意

進行分類討論：當4。〃比1時，當AE〃3C時，即可進行解答.

【詳解】（1）解：①在RtZXABC中，由勾股定理得，AC=y/AB2-BC2=752-32=4-

②設(shè)CD=x,貝i」AD=4-x,

團將VADE沿DE折疊，點A落在A的位置，

^\AD=BD=4-xf

在Rt5co中，由勾股定理得，32+X2=（4-X）2,

7

解得：X）

O

c1c721

團S/\RCD=_X3X-=--

△BCD2816

(2)解：①回將VADE沿QE折疊，點A落在4的位置，ZA=37°,

0ZAf=37°,

回NA'EB=NA+NAFE=37°+NAFE,

團ZAFE=ZA'+ZA'DF1=37°+ZA'D尸，

0ZAEB=37°+ZAFE=37°+(37°+ZADF)=74°+ZADF,

0ZA,EB-ZA,DC=74°；

QAD〃BC,ZC=90°,

SZADA=90°,

E1VADE由一ADE折疊所得,

0NADE=-/ADA=45°；

2

當AE〃3C時，如圖：

0ZA=37°,NC=90°,

0ZB=90°-37°=53°,

E1VADE由_A'￡>E折疊所得,

團NA=NA'=37°,

^\AE'//BC,

0ZB=ZA,EB=53°,

回ZAM4'=180°—ZA'—ZA'EB=90°,即ABJ_A'O,

0ZAZM*=90°-ZA=53°,

0ZADE=-NADA=26.5°.

2

綜上：ZADE的度數(shù)分別為45。，26.5°.

【點睛】本題主要考查了勾股定理，三角形那個的內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵

是掌握勾股定理內(nèi)容，根據(jù)勾股定理建立方程求邊的長度；掌握三角形是內(nèi)角和為180。，三角形的外角等

于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和，平行線的性質(zhì).

【類型六幾何圖形中的方程思想一公邊問題（利用公邊建立方程）】

例題：如圖，在0ABe中，AB=10,BC=9,AC=17,則BC邊上的高為

【答案】8

【解析】

【分析】

作交BC的延長于點。，在Rt.ADB中，AD2+DB2=AB2,在Rt-ADC中,AD?=AC?,根

據(jù)A5,-DB2=AC2-DC?列出方程即可求解.

【詳解】

如圖，作AC8C交BC的延長于點。，

A

則AO即為BC邊上的高，

在RtADB中，AD1+DB2=AB2,

在RtADC中,AD?+DC?=3,

:.AB2-DB2=AC2-DC2,

AB=IO,BC=9,AC=17,

.?.1O2-DB2=172-（DB+9）2,

解得DB=6,

AD=y/AB2-DB2=7102-62=8

故答案為：8.

【點睛】

本題考查了勾股定理，掌握三角形的高，直角三角形是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.己知：如圖，在中，ZC=90°,AT）是一ABC的角平分線，8=3,BD=5,則AC=

【分析】作JDEIM，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=CD=3,勾股定理求出BE,證明

Rt一ACD三RtAED（HL）,推出AC=AE,設(shè)AC=AE=x,根據(jù)勾股定理列出方程即可求出AC.

【詳解】解：作OE2AB于點E,如圖，

團在一ABC中，ZC=90°,AD是ABC的角平分線，CD=3,

團DE=CD=3，

回=J5?—3?=4,

團DC=DE,AD=AD,

團RtACD=RtAED(HL),

回AC=AE,

設(shè)AC=AE=x,則AB=4+x,BC=3+5=8,

在直角三角形A5c中，根據(jù)勾股定理可得：AC2+BC2=AB2,

即V+82=(X+4)2,解得:x=6,

即AC—6；

【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識，屬于常見題型，熟

練掌握上述知識，利用勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，在Rt^ABC和RtaADE中，ZB=ZD=90°,AC=AE,BC=DE,延長BC,OE交于點

⑴求證：點A在的平分線上；

⑵若AC〃皿AB=12,BM=18,求BC的長.

【答案】⑴見解析

(2)5

【分析】(1)連接AM,證明RtABC=RtADE(HL),可得筋=">,根據(jù)角平分線的判定即可解決問題;

(2)證明CM=AC,設(shè)3C=x,所以CM=AC=18-x,根據(jù)勾股定理即可解決問題.

【詳解】(1)證明：如圖，連接AAf,

w

在RtAABC和RtAADE中，

0ZB=ZD=9O°,AC=AE,BC=DE,

.'.RtABC=RtA￡)E(HL),

AB=AD，

AB1.BM,AD±DM,

平分N3MD,

???點A在ZBMD的平分線上；

(2)解：AC//DM,

:.ZCAM=ZAMD,

:.ZAMB=Z.CAM,

:.CM=AC,

設(shè)5C=%,

.,.CM=AC=18—x,

在RtZVIBC中，AB2+BC1=AC-,

.-.122+r=(18-x)2,

x=5.

BC=5.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是得到

RtABC=RtAZ>E(HL).

【類型七實際問題中的方程思想】

例題：(2022?全國?八年級)明朝數(shù)學(xué)家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫了一首計算秋千繩索長度的詞

《西江月》："平地秋千未起，踏板一尺離地，送行二步恰竿齊，五尺板高離地......”翻譯成現(xiàn)代文為：如圖,

秋千繩索OA懸掛于。點，靜止時豎直下垂，A點為踏板位置，踏板離地高度為一尺(AC=1尺).將它往

前推進兩步（E施OC于點E,且EB=10尺），踏板升高到點8位置，此時踏板離地五尺（BO=CE=5尺）,

則秋千繩索（OA或。8）長尺.

29

【答案】y

【解析】

【分析】

設(shè)。2=0A=x（尺），在MA02E中利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題.

【詳解】

解：設(shè)08=0A=x（尺），

在吊AOBE中，O8=x,OE=x-4,BE=W,

ELr2=102+（x-4）2,

29

Ete=——，

2

29

回04或OB的長度為萬（尺）.

29

故答案為：—.

【點睛】

本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?全國?八年級課時練習(xí)）如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推開雙門，雙門間隙的距離

為2寸，點C和點。距離門檻AB都為1尺（1尺=10寸），則AB的長是（）

2寸

O

圖1圖2

A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸

【答案】C

【解析】

【分析】

取AB的中點。，過。作于E,根據(jù)勾股定理解答即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：取A8的中點O,過。作。ELAB于E,如圖2所示:

由題意得：OA=OB—AD=BC,

設(shè)OA=OB=AO=BC=r寸,

則AB=2r（寸），OE=10寸，OE=gcz）=l寸,

：.AE=（r-1）寸,

在RtAADE中,

AE1+DE2=AD2,即（r-1）2+102=',

解得：r=50.5,

.?.2r=101（寸）,

.?.48=101寸,

故選：C.

2寸

D