高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊1.2　集合間的基本關(guān)系含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊1.2集合間的基本關(guān)系含答案1.2集合間的基本關(guān)系【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解集合之間的包含與相等的含義,能識別給定集合的子集、真子集.2.會判斷給定集合間的關(guān)系,并會用符號和Venn圖表示.3.在具體情境中,了解空集的含義.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理直觀想象數(shù)學(xué)抽象一、子集及相關(guān)概念1.Venn圖:用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合,這種圖稱為Venn圖.2.兩個集合之間的關(guān)系教材挖掘(P7觀察)任意兩個集合之間是否有包含關(guān)系?提示:不一定,如集合A={2,5},B={1,2,3},這兩個集合就沒有包含關(guān)系.版本交融(人BP10想一想)符號“∈”與符號“?”表達(dá)的含義相同嗎?提示:不同.“∈”表示元素與集合之間的關(guān)系,如1∈N;“?”表示集合與集合之間的關(guān)系,如{1,2,3}?{4,3,2,1};“∈”的左邊是元素,右邊是集合,“?”的兩邊均為集合.【教材深化】1.不能把“A?B”理解為“A是B中部分元素組成的集合”,因為集合A可能是空集,也可能是集合B.2.在真子集的定義中,A?B首先要滿足A?B,其次至少有一個x∈B,但x?A.3.若兩集合相等,則兩集合所含元素完全相同,與元素的排列順序無關(guān).4.含n個元素的集合有2n個子集,有(2n-1)個真子集,有(2n-2)個非空真子集.二、空集定義不含任何元素的集合叫做空集記法?規(guī)定空集是任何集合的子集,即??A版本交融(人BP10嘗試與發(fā)現(xiàn))為什么可以規(guī)定空集是任何集合的子集?提示:因為空集中不含任何元素,根據(jù)子集的定義,所以可以規(guī)定空集是任何集合的子集.三、子集的性質(zhì)1.任何一個集合都是它本身的子集,即A?A.2.對于集合A,B,C,若A?B,B?C,則A?C.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)集合{0}是空集.(×)提示:?是不含任何元素的集合,{0}是含有一個元素的集合,??{0}.(2)空集是任何集合的真子集.(×)提示:空集是空集的子集,但不是真子集.(3)若A?B,則B中至少有一個元素不屬于A.(√)提示:由真子集的概念可知.(4)若B?A,元素a?A,則a?B.(√)提示:因為B是A的子集,所以不屬于A的元素一定不屬于B.類型一求集合的子集、真子集(邏輯推理)【典例1】(1)填寫表格,回答后面的問題:集合元素個數(shù)所有子集子集個數(shù)?{a}{a,b}{a,b,c}①你能直接說出集合{a,b,c,d,e}的子集的個數(shù)嗎?②如果一個集合的元素個數(shù)為n,你能用n表示該集合子集、真子集的個數(shù)嗎?【解析】集合元素個數(shù)所有子集子集個數(shù)?0?1{a}1?,{a}2{a,b}2?,{a},,{a,b}4{a,b,c}3?,{a},,{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}8①集合{a,b,c,d,e}共有32個子集.②含n個元素的集合的子集共有2n個,真子集共有2n-1個.(2)已知集合A={-2,0,2,3},若集合B滿足{0,3}?B?A,則集合B可以為________________.

答案:{0,3},{-2,0,3},{0,2,3}【解析】因為集合B滿足{0,3}?B?A,所以B={0,3},{-2,0,3},{0,2,3}.【總結(jié)升華】求集合子集、真子集個數(shù)的三個步驟提醒:要注意兩個特殊的子集:?和自身.【即學(xué)即練】1.已知集合N={1,3,5},則集合N的非空真子集的個數(shù)為()A.5 B.6 C.7 D.8【解析】選B.集合N的非空真子集有{1},{3},{5},{1,3},{1,5},{3,5},共6個.2.(2024·日照高一檢測)已知集合A={(1,2),(2,1),(2,2)},試寫出A的所有子集,并指出哪些是真子集.【解析】因為A={(1,2),(2,1),(2,2)},所以A的子集有:?,{(1,2)},{(2,1)},{(2,2)},{(1,2),(2,1)},{(1,2),(2,2)},{(2,1),(2,2)},{(1,2),(2,1),(2,2)}.其中A的真子集為:?,{(1,2)},{(2,1)},{(2,2)},{(1,2),(2,1)},{(1,2),(2,2)},{(2,1),(2,2)}.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知非空集合P滿足:(1)P?{1,2,3,4,5};(2)若a∈P,則6-a∈P.符合條件的集合P的個數(shù)為_______.

答案:7【解析】由a∈P,6-a∈P,且P?{1,2,3,4,5}可知,P中元素在取值方面應(yīng)滿足的條件是1,5同時選,2,4同時選,3可單獨選,可一一列出滿足條件的全部集合P為{3},{1,5},{2,4},{1,3,5},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共7個.類型二集合間關(guān)系的判斷(邏輯推理)【典例2】(1)(教材P9T2改編)設(shè)M={菱形},N={平行四邊形},P={四邊形},Q={正方形},則這些集合之間的關(guān)系為()A.P?N?M?Q B.Q?M?N?PC.P?M?N?Q D.Q?N?M?P【解析】選B.因為有一個角是直角的菱形是正方形,所以正方形應(yīng)是菱形的一部分,因為正方形、菱形都屬于平行四邊形,所以它們之間的關(guān)系是Q?M?N?P.(2)(多選)下列各對集合之間滿足“A?B”的是()A.A={-1,1},B={(-1,1)}B.A={x|-1<x<4},B={x|x-5<0}C.A={x|x是正整數(shù)},B={x|x是非負(fù)數(shù)}D.A={x|x=2n-1,n∈N*},B={x|x=2n+1,n∈N*}【解析】選BC.選項A,集合A是數(shù)集,集合B是點集,無包含關(guān)系;選項B,集合A={x|-1<x<4},B={x|x<5},用數(shù)軸表示如圖所示,由圖可知A?B;選項C,正整數(shù)都是非負(fù)數(shù),故A?B;選項D,A={正奇數(shù)},B={不含1的正奇數(shù)},故B?A.【總結(jié)升華】判斷集合間關(guān)系的方法【即學(xué)即練】1.已知集合U,S,T,F的關(guān)系如圖所示,則下列關(guān)系中正確的是()A.S∈U B.S?TC.S?F D.F?T【解析】選B.由Venn圖,得S?U,S?T,S與F,F與T沒有包含關(guān)系.2.(多選)已知集合A={x|x2-2x=0},則有()A.??A B.-2∈AC.{0,2}?A D.A?{y|y<3}【解析】選ACD.由題意得A={0,2},且空集是任何集合的子集,故A正確;因為A={0,2},所以-2?A,{0,2}?A,A?{y|y<3},所以B錯誤,C,D正確.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知集合M=xx=k2+14A.M=N B.M?NC.M?N D.M與N的關(guān)系不確定【解析】選B.因為N=x=x或x=且M=xx=k2類型三根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1根據(jù)集合的相等關(guān)系求參數(shù)【典例3】(2024·煙臺高一檢測)已知M={2,a,b},N={2a,2,b2},若M=N,則a+b的值為_______.

答案:1或3【解析】由M=N,得a=2a解得a=0,b=1根據(jù)集合中元素的互異性,得a=0,b=0所以a+b=1或34【總結(jié)升華】根據(jù)集合的相等關(guān)系求參數(shù)的注意事項由集合相等求參數(shù)時要特別注意驗證集合中元素的互異性.【即學(xué)即練】若整數(shù)x,y能使{2x,x+y}={7,4}成立,則xy=_______.

答案:10【解析】若2x=7因為x,y為整數(shù),故舍去;若2x=4,x+y角度2根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)【典例4】(類題·節(jié)節(jié)高)(1)已知集合A={x|x>4},非空集合B={x|2a≤x≤a+3},若B?A,則實數(shù)a的取值范圍為_______.

答案:{a|2<a≤3}【解析】因為B≠?,根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸,則a+3≥2a,所以實數(shù)a的取值范圍為{a|2<a≤3}.(2)已知集合A={x|x<-1,或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若B?A,則實數(shù)a的取值范圍為_______.答案:{a|a<-4或a>2}【解析】當(dāng)B=?時,只需2a>a+3,即a>3;當(dāng)B≠?時,根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸,可得a+3≥2aa解得a<-4或2<a≤3,故實數(shù)a的取值范圍為{a|a<-4或a>2}.【總結(jié)升華】利用集合的包含關(guān)系求參數(shù)問題的關(guān)注點(1)題目原型:一般涉及兩個集合,其中一個是含參數(shù)的,另一個是具體的;(2)解題技法:借助數(shù)軸;(3)注意事項:弄清哪個集合是子集,注意對含參集合是否為空集的討論,不要忘記驗證端點值.【即學(xué)即練】1.已知集合A={-1,3,2a-1},集合B={3,a2},若B?A,則實數(shù)a=_______.

答案:1【解析】因為B?A,所以a2=2a-1,即(a-1)2=0,所以a=1.當(dāng)a=1時,A={-1,3,1},B={3,1},滿足B?A,故a=1.2.已知集合A={x|a-1≤x≤a+2},B={x|3<x<5},若B?A,則實數(shù)a的取值范圍為_________.

答案:{a|3≤a≤4}【解析】因為B?A,所以a所以3≤a≤4.1.3集合的基本運(yùn)算第1課時并集、交集【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解兩個集合的并集與交集的含義,會求兩個簡單集合的并集和交集.2.能使用Venn圖與數(shù)軸表達(dá)集合間的運(yùn)算,體會直觀圖形對理解抽象概念的作用.3.能夠利用集合并集與交集的性質(zhì)解決簡單的參數(shù)問題.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算直觀想象邏輯推理一、并集教材挖掘(P10)集合A∪B的元素個數(shù)等于集合A與集合B的元素個數(shù)和嗎?為什么?提示:不一定.當(dāng)集合A,B沒有公共元素時,A∪B的元素個數(shù)等于集合A,B的元素個數(shù)和;當(dāng)集合A,B有公共元素時,A∪B的元素個數(shù)小于集合A,B的元素個數(shù)和.版本交融(蘇教P14思考)A∪B=A可能成立嗎?提示:可能成立,若B?A,則A∪B=A.【教材深化】“x∈A或x∈B”這一條件包括下列三種情況:x∈A,但x?B;x∈B,但x?A;x∈A,且x∈B.用Venn圖表示如圖所示.二、交集版本交融(人BP15想一想)如果集合A,B沒有公共元素,那么它們的交集是什么?提示:它們的交集是空集.版本交融(蘇教P13思考)A∩B=A可能成立嗎?提示:可能成立.若A?B,則A∩B=A.三、并集、交集的性質(zhì)(1)A∪A=A,A∪?=A;(2)A∩A=A,A∩?=?.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)B?A∪B,A∩B?B.(√)提示:由并集、交集概念可知.(2)A∩B中的元素個數(shù)一定比A或B中的元素個數(shù)少.(×)提示:A=B時不成立.(3)若A∩B=C∩B,則A=C.(×)提示:若A={1,2,4},B={2,4},C={2,3,4},則A∩B=C∩B,但A≠C.(4)若x∈(A∪B),則x∈(A∩B).(×)提示:x不一定是A,B的公共元素.類型一并集運(yùn)算(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例1】(1)已知集合M={0,1,3},N={x|x=3a,a∈M},則M∪N=()A.{0} B.{0,3}C.{1,3,9} D.{0,1,3,9}【解析】選D.由題意,得N={0,3,9},故M∪N={0,1,3,9}.(2)(教材P14T1改編)設(shè)集合A={x|-1<x-1≤3},B={x|x-2≥7-2x},則A∪B=()A.{x|3≤x≤4} B.{x|x≥3}C.{x|x>0} D.{x|x≥0}【解析】選C.集合A={x|-1<x-1≤3}={x|0<x≤4},集合B={x|x-2≥7-2x}={x|x≥3}.如圖所示,所以A∪B={x|x>0}.【總結(jié)升華】求集合并集的基本方法(1)定義法:若集合是用列舉法表示的,可以直接利用并集的定義求解.(2)數(shù)形結(jié)合法:若集合是用描述法表示的由實數(shù)組成的數(shù)集,則可以借助數(shù)軸分析法求解.【即學(xué)即練】1.已知集合A={x|x2-3x=0},B={1,2,3},則A∪B=()A.{3} B.{1,2,3}C.{0,2,3} D.{0,1,2,3}【解析】選D.因為A={x|x2-3x=0}={0,3},所以A∪B={0,3}∪{1,2,3}={0,1,2,3}.2.已知集合A={x|x>1},B={x|x<-2},則A∪B=()A.? B.{x|x<-2或x>1}C.R D.{x|-2<x<1}【解析】選B.因為A={x|x>1},B={x|x<-2},如圖所示:則A∪B={x|x<-2或x>1}.【補(bǔ)償訓(xùn)練】集合A={(x,y)|x<0},B={(x,y)|y<0},則A∪B中的元素不可能在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選A.由題意得,A∪B中的元素是由橫坐標(biāo)小于0或縱坐標(biāo)小于0的點構(gòu)成的集合,所以A∪B中的元素不可能在第一象限.類型二交集運(yùn)算(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例2】(1)若A={x∈N|1≤x≤10},B={x∈R|x2+x-6=0},則圖中陰影部分表示的集合為()A.{2} B.{3}C.{-3,2} D.{-2,3}【解析】選A.易知A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={-3,2},題圖中陰影部分表示的集合為{2}.(2)(2024·綏化高一檢測)已知集合A={x|x>-1},B={x|x<3},則A∩B=()A.{x|-1<x<3} B.{x|x<3}C.{x|x>-1} D.?【解析】選A.因為集合A={x|x>-1},B={x|x<3},所以A∩B={x|-1<x<3}.【總結(jié)升華】求兩個集合交集的一般方法(1)明確集合中的元素.(2)元素個數(shù)有限時,利用定義或Venn圖求解,元素個數(shù)無限時,借助數(shù)軸求解.提醒:若所給集合中有一個不確定時,要注意分類討論,分類的標(biāo)準(zhǔn)取決于已知集合.【即學(xué)即練】1.已知A={(x,y)|x+y=3},B={(x,y)|x-y=1},則A∩B等于()A.{2,1} B.{x=2,y=1}C.{(2,1)} D.(2,1)【解析】選C.由x+y故A∩B={(2,1)}.2.若集合A={x|-5<x<2},B={x|-3<x<3},則A∩B等于()A.{x|-3<x<2} B.{x|-5<x<2}C.{x|-3<x<3} D.{x|-5<x<3}【解析】選A.在數(shù)軸上將集合A,B表示出來,如圖所示,由交集的定義可得A∩B為圖中陰影部分,即A∩B={x|-3<x<2}.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知集合A={x|3-x>0,3x+6>0},集合B={x|3>2x-1},則A∩B=_________答案:{x|-2<x<2}{x|x<3}【解析】解不等式組3得-2<x<3,則A={x|-2<x<3},解不等式3>2x-1得x<2,則B={x|x<2}.用數(shù)軸表示集合A和B,如圖所示,則A∩B={x|-2<x<2},A∪B={x|x<3}.類型三并集、交集運(yùn)算的應(yīng)用(邏輯推理)角度1實際應(yīng)用【典例3】(教材P35T11改編)某班有36名同學(xué)加入數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽小組,每名同學(xué)至多加入兩個小組,已知加入數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為26,15,13,同時加入數(shù)學(xué)和物理小組的有6人,同時加入物理和化學(xué)小組的有4人,則只加入物理小組的有_______人,同時加入數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有_______人.

答案:58【解析】由條件知,每名同學(xué)至多加入兩個小組,故不可能出現(xiàn)一名同學(xué)同時加入數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組.因為同時加入數(shù)學(xué)和物理小組的有6人,同時加入物理和化學(xué)小組的有4人,所以只加入物理小組的有15-6-4=5(人).設(shè)同時加入數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的人數(shù)為x,則只加入數(shù)學(xué)小組的人數(shù)為26-6-x=20-x,只加入化學(xué)小組的人數(shù)為13-4-x=9-x.又因為總?cè)藬?shù)為36,即20-x+x+6+4+5+9-x=36,所以44-x=36,解得x=8,即同時加入數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有8人.【總結(jié)升華】解決集合交集、并集實際問題的策略在解決集合交集、并集的實際應(yīng)用問題時,常常借助Venn圖,使抽象問題直觀化.【即學(xué)即練】某年級先后舉辦了數(shù)學(xué)、歷史、音樂講座,其中有75人聽了數(shù)學(xué)講座,68人聽了歷史講座,61人聽了音樂講座,17人同時聽了數(shù)學(xué)、歷史講座,12人同時聽了數(shù)學(xué)、音樂講座,9人同時聽了歷史、音樂講座,還有6人聽了全部講座,則聽講座的人數(shù)為_______.

答案:172【解析】由題意,作出Venn圖.由圖知聽講座的人數(shù)為52+48+46+11+6+3+6=172.角度2求參數(shù)問題【典例4】(易錯·對對碰)已知集合A={x|x≤-1或x≥3},B={x|a<x<4}.(1)若A∪B=R,則實數(shù)a的取值范圍為_________;

【解析】(1)利用數(shù)軸,畫出滿足A∪B=R的圖形,由圖可知,a≤-1.(2)若A∩B=?,則實數(shù)a的取值范圍為_______;

【解析】(2)當(dāng)a≥4時,集合B為空集,滿足題意;當(dāng)a<4時,如圖,A