中職高考數(shù)學一輪復習講練測7.3 平面向量的內(nèi)積（講）（解析版）

7.3平面向量的內(nèi)積【考點梳理】1．數(shù)量積的概念已知兩個非零向量a與b，我們把數(shù)量eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b_，即a·b＝__|a||b|cosθ___，其中θ是a與b的夾角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．a(chǎn)·b的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))與b在a的方向上的投影eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))cosθ的乘積．2．數(shù)量積的運算律及常用結論(1)數(shù)量積的運算律①交換律：a·b＝b·a；②數(shù)乘結合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．(2)常用結論①(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；②(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；③a2＋b2＝0?a＝0且b＝0；3．數(shù)量積的性質設a，b都是非零向量，e是與b方向相同的單位向量，θ是a與e的夾角，則①e·a＝|a|cosθ②a⊥b?a·b＝0.③當a與b同向時，a·b＝|a||b|；當a與b反向時，a·b＝－|a||b|特別地，a·a＝|a|2或eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a).④cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)4．數(shù)量積的坐標表示設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則①a·b＝x1x2＋y1y2；a2＝xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)；eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).②a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.考點一平面向量內(nèi)積的定義【例題】（1）已知向量，，若與的夾角為，則為（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】因為向量，，若與的夾角為，所以，故選：B.（2）若，，，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，，，得，所以，故選：C.（3）已知與均為單位向量，且與的夾角為，則（

）A．2 B． C． D．1【答案】D【解析】因為與均為單位向量，且與的夾角為，所以，故選：D.（4）若平面向量的夾角為，且，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對于選項A,,所以該選項不正確；對于選項B,,所以，所以該選項正確；對于選項C,,所以該選項不正確；對于選項D,，所以該選項不正確，故選：B.（5）若，且，則.【答案】【解析】因為，且，所以，故答案為：.（6）向量，滿足，，，則向量與夾角的大小為.【答案】【解析】設與夾角為，由得，即，又，，帶入得，故，因為，所以，故答案為：【變式】（1）已知向量與滿足，且，則與的夾角等于．【答案】【解析】依題意，，∴與的夾角為，故答案為：.（2）已知向量滿足，則（

）A．2 B． C．1 D．【答案】A【解析】因為，所以，解得.故選：A.（3）已知，且，則向量夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設向量的夾角為，因為，所以．故選：B.（4）已知等邊三角形ABC的邊長為2，則（

）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】因為向量的夾角為，所以，故選：B.（5）已知單位向量滿足，且，，則_________.【答案】2【解析】，故答案為：2.（6）平面向量與的夾角為，，則.【答案】【解析】，所以，故答案為：.考點二平面向量內(nèi)積的坐標運算【例題】（1）已知向量，若，則（

）A．4 B．4 C．1 D．1【答案】D【解析】因為向量，，所以，得，故選：D.（2）設向量，，則與的夾角等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設與的夾角為，因為，，所以，因為，所以，故選：A.（3）設向量，，且，則=（

）A．1或3 B．3 C．1或5 D．5【答案】C【解析】因為，所以，所以，所以，所以，所以或，故選：C.（4）已知向量，，且，則（

）A．6 B． C． D．【答案】D【解析】因為向量，，且，所以，所以，所以，所以，所以，故選：D.（5）已知向量，，若，則___________.【答案】【解析】因為，，所以，因為，所以，解得，故答案為：.（6）已知向量，，，若與垂直，則.【答案】【解析】由題意得：因為與垂直，所以，即，所以，解得，故答案為：.【變式】（1）已知，是兩個平面向量，，若，則．【答案】【解析】因為，所以，所以，故答案為：.（2）已知向量，，則______.【答案】5【解析】由，得，故答案為：5.（3）若向量，，已知與的夾角為，則實數(shù)k是．【答案】【解析】因為與的夾角為，所以，所以所以，故答案為：.（4）若向量，且與的夾角是銳角，則實數(shù)x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為與的夾角是銳角，所以且與不共線，即：，解得且，故選：D.（5）已知向量，，且與垂直，則實數(shù).【答案】或【解析】因為與垂直，所以，所以，所以，所以或，故答案為：或.（5）已知向量,，若的夾角為，則=.【答案】【解析】由,得,得，故答案為：.【方法總結】1．平面向量的加法、減法及數(shù)乘運算的結果仍是一個向量，但是平面向量數(shù)量積運算的結果不是一個向量，而是一個實數(shù)．2．注意平面向量的數(shù)量積與數(shù)的乘法的區(qū)別：在數(shù)的乘法中，若ab＝0，則a，b中至少有一個為0.但在向量的數(shù)量積中，由a·b＝0不能推得a＝0或b＝0，因為當兩個非零向量a，b垂直時，也有a·b＝0.應注意平面向量的數(shù)量積不滿足結合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．3．注意向量0與實數(shù)0的區(qū)別：0a＝0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a·0＝0≠0；0的方向是任意的，并非沒有方向．4．注意兩個非零向量a，b的夾角與a，b所在直線的夾角的區(qū)別．前者的取值范圍是[0，π]，后