中職高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)4.1 指數(shù)函數(shù)（講）（解析版）

4.1指數(shù)函數(shù)【考點(diǎn)梳理】1．根式(1)n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.①正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，這時(shí)a的n次方根用符號(hào)eq\r(n,a)表示．②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)．這時(shí)，正數(shù)a的正的n次方根用符號(hào)eq\r(n,a)表示，負(fù)的n次方根用符號(hào)－eq\r(n,a)表示．正的n次方根與負(fù)的n次方根可以合并寫成±eq\r(n,a)．③負(fù)數(shù)沒有偶次方根．④0的n(n∈N*)次方根是0，記作eq\r(n,0)＝0．(2)根式：式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．(3)根式的性質(zhì)：n為奇數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝a；n為偶數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝|a|.2．冪的有關(guān)概念及運(yùn)算(1)零指數(shù)冪：a0＝1.這里a≠0.(2)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：a－n＝eq\f(1,an)(a≠0，n∈N*)．(3)正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：aeq\s\up6(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．(4)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：aeq\s\up6(-\f(m,n))＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．(5)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．(6)有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(aras＝________（a＞0，r，s∈Q），,（ar）s＝________（a＞0，r，s∈Q），,（ab）r＝________（a＞0，b>0，r∈Q）.))(ar＋sarsarbr)3．指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)定義一般地，函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)圖象a＞10＜a＜1定義域__R_值域(0，＋∞)性質(zhì)過定點(diǎn)(0，1)在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)4．冪函數(shù)（1）定義：一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．（2）幾個(gè)常用的冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)定義冪函數(shù)y＝xα(α∈R)圖象α＞0α＜0性質(zhì)(1)圖象過點(diǎn)(0，0)和(1，1)圖象過點(diǎn)(1，1)(2)在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而增大，即在(0，＋∞)上是增函數(shù)在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而減小，即在(0，＋∞)上是減函數(shù)(3)在第一象限內(nèi)，當(dāng)α＞1時(shí)，圖象下凸；當(dāng)0＜α＜1時(shí)，圖象上凸在第一象限內(nèi)，圖象都下凸考點(diǎn)一實(shí)數(shù)指數(shù)冪【例題】（1）（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】，故選：B.（2）下列運(yùn)算不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，成立，故B正確；對(duì)于C，，成立，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)且時(shí)，和無(wú)意義，故D錯(cuò)誤，故選：D．（3）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，故選：B.（4）化簡(jiǎn)(a>0)等于（

）A．6a B．－aC．－9a D．9a2【答案】C【解析】，故選：C.（5）下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化，正確的是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，故C正確；，故D錯(cuò)誤，故選：C.【變式】（1）將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是，故選：A.（2）下列各式中成立的一項(xiàng)（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，，D選項(xiàng)正確，故選：D.（3）下列運(yùn)算中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，故C正確；，故D錯(cuò)誤，故選：C.（4）．化簡(jiǎn)結(jié)果為（

）A．a(chǎn) B．b C． D．【答案】A【解析】根據(jù)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算公式，可得：，故選：A.（5）化簡(jiǎn)（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】，故選：D．考點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)【例題】（1）若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則等于（

）A．或 B．C． D．【答案】C【解析】由題意可得，解得，故選：C.（2）已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵是減函數(shù)，，所以，又，∴，故選：C．（3）若不等式成立，則a的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，在上遞減，所以，故選：B.（4）若函數(shù)（且）的圖像經(jīng)過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋援?dāng)，即時(shí)，函數(shù)值為定值0，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為.另解：因?yàn)榭梢杂上蛴移揭埔粋€(gè)單位長(zhǎng)度后，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到，由過定點(diǎn)，所以過定點(diǎn)，故選：B.（5）函數(shù)與的圖象（

）A．關(guān)于軸對(duì)稱 B．關(guān)于軸對(duì)稱C．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D．關(guān)于直線對(duì)稱【答案】B【解析】：設(shè)點(diǎn)在函數(shù)圖象上，則，則關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)滿足，所以點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，故選：B.【變式】（1）下列函數(shù)中是指數(shù)函數(shù)的是__________(填序號(hào))．①；②；③；④；⑤；⑥．【答案】③【解析】①的系數(shù)不是，不是指數(shù)函數(shù)；②的指數(shù)不是自變量，不是指數(shù)函數(shù)；③是指數(shù)函數(shù)；④的底數(shù)是不是常數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)；⑤的指數(shù)不是自變量，不是指數(shù)函數(shù)；⑥是冪函數(shù)．故答案為：③.（2）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，所以,故選：D.（3）函數(shù)的圖象大致為（

）A．B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以單調(diào)遞增，且恒過點(diǎn)，故A為正確答案，故選：A.（4）已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值總大于1，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，解得，故選：C．（5）對(duì)任意實(shí)數(shù)且關(guān)于x的函數(shù)圖象必過定點(diǎn)(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】∵且，∴1－a＞0且1－a≠1，故函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，過定點(diǎn)(0，1)，則過定點(diǎn)(0，5).故選：C.考點(diǎn)三冪函數(shù)【例題】（1）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，所以，則，又因?yàn)榈膱D象經(jīng)過點(diǎn)，所以，得，所以，故選：A.（2）若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則函數(shù)的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，所以，故選：A.（3）冪函數(shù)在x（0，+∞）上是減函數(shù)，則m＝（

）A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．1【答案】A【解析】∵冪函數(shù)，∴m2﹣m﹣1＝1，解得m＝2，或m＝﹣1；又x（0，+∞）時(shí)f（x）為減函數(shù)，∴當(dāng)m＝2時(shí)，m2+m﹣3＝3，冪函數(shù)為y＝x3，不滿足題意；當(dāng)m＝﹣1時(shí)，m2+m﹣3＝﹣3，冪函數(shù)為，滿足題意；綜上，，選：A．（4）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，由題意得，，解得，∴，∴為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減?！?，∴，解得或，故選:D.【變式】（1）現(xiàn)有下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】?jī)绾瘮?shù)滿足形式，故，滿足條件，共2個(gè)，故選：B.（2）已知冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則的解析式為=．【答案】【解析】由題意知，設(shè)冪函數(shù)的解析式為為常數(shù))，則，解得，所以.故答案為：.（3）若冪函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)m的值為．【答案】-2【解析】為冪函數(shù)，所以，解得：m=2或-2，當(dāng)m=2時(shí)，，定義域?yàn)?，故舍去；?dāng)m=-2時(shí)，，定義域?yàn)镽，符合題意，故答案為：-2.（4）冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且在上是增函數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．和【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，由冪函數(shù)性質(zhì)得，在上是減函數(shù)；所以當(dāng)時(shí)，，由冪函數(shù)性質(zhì)得，在上是常函數(shù)；所以當(dāng)時(shí)，，由冪函數(shù)性質(zhì)得，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,在上是增函數(shù)；所以當(dāng)時(shí)，，由冪函數(shù)性質(zhì)得，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,在上是增函數(shù)；故選：D.【方法總結(jié)】1．指數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)在應(yīng)用時(shí)，如果底數(shù)a的取值范圍不確定,則要對(duì)其進(jìn)行分類討論．2．比較兩個(gè)冪的大小，首先要分清是底數(shù)相同還是指數(shù)相同．如果底數(shù)相同，可利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；如果指數(shù)相同，可轉(zhuǎn)化為底數(shù)相同，或利用冪函數(shù)的單調(diào)性，也可借助函數(shù)圖象；如果指數(shù)不同，底數(shù)也不同，則要利用中間量．3．冪函數(shù)的圖象特征與指數(shù)的大小關(guān)系，大都可通過冪函數(shù)的圖象與直線x＝2或x＝eq\f(1,2)的交點(diǎn)縱坐標(biāo)的