費馬點問題與應(yīng)用講義-高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

三角形的費馬點問題與應(yīng)用基本原理1.費馬點：如圖1，點M為△ABC內(nèi)任意一點，連接AM、BM、CM，當(dāng)M與三個頂點連線的夾角為120°時，MA+MB+MC的值最小.圖1圖2注意：上述結(jié)論成立的條件是△ABC的最大的角要小于120o，若最大的角大于或等于120o，此時費馬點就是最大角的頂點A.（通常只考查三角形的最大頂角小于120°）證明：如圖2，以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN．∵△ABE為等邊三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．在△AMB與△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）．連接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN為等邊三角形．∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴當(dāng)E、N、M、C四點共線時，AM+BM+CM的值最小．此時，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．2.費馬點的應(yīng)用主要集中在兩個方面：（1）.計算到三角形三個頂點距離之和最小的情形；（2）.已知費馬點，利用相關(guān)結(jié)論，即費馬點與三角形三個頂點的連線所成的夾角均為120度.（3）.特別地，若三角形為直角三角形（），若點為費馬點，結(jié)合余弦定理和勾股定理，一定有：，整理可得：，即.4.若的三內(nèi)角均小于，則，其中$x,y,z$表示的費馬點到頂點$A,B,C$的距離。證明記，由可得在中，，化簡為同理可得以上三式相加得5.嵌入不等式一般地，若三角形的三邊為，面積為，為給定的正實數(shù)，則有：，當(dāng)且僅當(dāng)取等.二．典例分析例1．費馬點是指三角形內(nèi)到三角形三個頂點距離之和最小的點.當(dāng)三角形三個內(nèi)角均小于時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三角形三邊的張角相等均為.根據(jù)以上性質(zhì)，的最小值為（

）A． B． C． D．解析：由題的幾何意義為點到點的距離之和的最小值.由題可知，此時，且在軸上.故.，.故的最小值為，故選：D例2．若的三個內(nèi)角均小于，點滿足，則點到三角形三個頂點的距離之和最小，點被人們稱為費馬點.根據(jù)以上性質(zhì)，已知是平面內(nèi)的任意一個向量，向量滿足，且，則的取值可以是（

）A． B． C． D．解析：因為，，設(shè)，，，則，即為點到三點的距離之和，則是等腰銳角三角形，如圖：

由費馬點的性質(zhì)可知，當(dāng)點滿足時，點到三角形三個頂點的距離之和最小，所以，則的最小值.故選：AB例3．著名的費馬問題是法國數(shù)學(xué)家皮埃爾德費馬（16011665）于1643年提出的平面幾何極值問題：“已知一個三角形，求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最?。辟M馬問題中的所求點稱為費馬點，已知對于每個給定的三角形，都存在唯一的費馬點，當(dāng)?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，則使得的點即為費馬點．已知點為的費馬點，且，若，則實數(shù)的最小值為___________．解析：根據(jù)題意，點為的費馬點，的三個內(nèi)角均小于，所以，設(shè)，所以在和中，，且均為銳角，所以所以由正弦定理得：，，所以，，因為所以，因為，所以，所以，所以，故實數(shù)的最小值為.故答案為：例4．著名的費馬問題是法國數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費馬（1601－1665）于1643年提出的平面幾何極值問題：“已知一個三角形，求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小”費馬問題中的所求點稱為費馬點，已知對于每個給定的三角形，都存在唯一的費馬點，當(dāng)△ABC的三個內(nèi)角均小于120°時，則使得的點P即為費馬點．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為，且．若是的“費馬點”，．(1)求角；(2)若，求的周長；(3)在（2）的條件下，設(shè)，若當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解析：（1）由已知，得，由正弦定理，得，即，即，由于，所以，所以.（2）設(shè)，則．所以，由得：，即，由余弦定理得，，即，即，又，聯(lián)立解得．所以的周長為.（3）設(shè)，由（2）在中，由余弦定理得，聯(lián)立求解可得，所以，所以，，即，令，由對勾函數(shù)性質(zhì)知在上單調(diào)遞減，所以．即的取值范圍為．例5．“費馬點”是由十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費馬提出并征解的一個問題，該問題是：“在一個三角形內(nèi)求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最?。币獯罄麛?shù)學(xué)家托里拆利給出了解答：當(dāng)?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，使得的點即為費馬點；當(dāng)有一個內(nèi)角大于或等于時，最大內(nèi)角的頂點為費馬點．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右焦點為，直線交于兩點，點在上．當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時，的費馬點的坐標(biāo)為．(1)求的方程；(2)當(dāng)為的右頂點時，若，求與軸的交點的坐標(biāo)；(3)當(dāng)過點時，記的費馬點為，，，的面積分別為，求的最小值．解析：（1）因為在上，所以，又因為的費馬點的坐標(biāo)為，所以，所以，所以，所以的方程為.（2）如圖：當(dāng)為右頂點時，．設(shè)，若的斜率不存在時，因為，所以.不妨設(shè)的直線方程為，代入橢圓方程整理得，由得，故的方程為，此時直線過；若的斜率存在時，設(shè)的方程為，由得，則由，因為，，所以，符合題意，所以直線與軸的交點坐標(biāo)為．（3）如圖：設(shè)的方程為，因為過點，所以．由變形得，即，所以，整理得，所以，即．當(dāng)中有一條直線斜率不存在時，也滿足．．因為，所以，即．令，則，所以．因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，即．所以當(dāng)時，的最小值為．三．習(xí)題演練1．十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家、被譽為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王的皮埃爾?德?費馬提出一個著名的幾何問題：已知一個三角形，求作一點，使其與這個三角形的三個頂點的距離之和最?。谫M馬提出的這個問題中所求的點被稱為費馬點，其答案如下：當(dāng)三角形的三個角均小于時，費馬點為三角形的正等角中心，即該點與三角形三個頂點的連線兩兩成角；當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于時，費馬點為三角形最大內(nèi)角的頂點．已知中，，，分別是角，，所對的邊，且，．(1)求角的大小；(2)若點為的費馬點，求的值．解析：（1）由，及正弦定理得，因為，所以，消去得．因為，故或，而根據(jù)題意，故不成立，所以，又因為，代入得，所以．（2）由（1）可知，，結(jié)合三角形內(nèi)角和性質(zhì)可知，的三個內(nèi)角均小于，結(jié)合題設(shè)易知點P一定在的內(nèi)部．由余弦定理可得，解得，所以，所以．2．1643年法國數(shù)學(xué)家費馬曾提出了一個著名的幾何問題：已知一個三角形，求作一點，使其到這個三角形的三個頂點的距離之和最?。拇鸢甘牵寒?dāng)三角形的三個角均小于時，所求的點為三角形的正等角中心（即該點與三角形的三個頂點的連線段兩兩成角），該點稱為費馬點．試用以上知識解決下面問題：(1)在中，若，，；①求的面積；②點P為的費馬點，求；(2)在中，若，點Q為的費馬點，，求實數(shù)t的最小值．解析：（1）①在中，，，，由正弦定