數(shù)列求和復習（學生版）

數(shù)列求和：一、知識點梳理1.等差數(shù)列前項和2.等比數(shù)列前項和，注意公比含字母時一定要討論3.其他常用求和公式①；②③；④4.錯位相減數(shù)列的前n項和，其中別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.求和時一般在已知和式的兩邊都乘以組成這個數(shù)列的等比數(shù)列的公比；然后再將得到的新和式和原和式相減，轉化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和，這種方法就是錯位相減法。5.裂項相消這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應用.裂項法的實質是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.通項分解（裂項）如：（1）[一般]（2）（3）（4）（5）6.分組求和分組分解求和的基本思路：通過分解每一項重新組合，化歸為等差數(shù)列和等比數(shù)列求和.二、題型梳理【錯位相減法】【例1】.（23·24上·湖南·模擬預測）已知數(shù)列滿足．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．【例2】.（23·24高三上·廣東廣州·階段練習）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求通項公式；(2)在和之間插入1個數(shù)，使、、成等差數(shù)列；在和之間插入2個數(shù)、，使、、、成等差數(shù)列；…；在和之間插入個數(shù)、、…、，使、、、…、、成等差數(shù)列.若，且對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

【變式11】（23·24高二上·甘肅臨夏·期中）已知數(shù)列，且.(1)求的通項公式；(2)設，若的前n項和為，求.【變式12】（23·24高三上·山東濟寧·期中）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前n項和為，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．【變式13】（2023上·河南洛陽·高三洛陽市第一高級中學?？茧A段練習）已知數(shù)列的前n項和為，，.(1)求數(shù)列的前n項和；(2)令，求數(shù)列的前n項和.

【裂項相消法】【例1】。（23·24高三上·江蘇南通·階段練習）已知數(shù)列的前n項和為，，且．(1)求數(shù)列的通項公式：(2)已知等差數(shù)列滿足，其前9項和為63．令，設數(shù)列的前n項和為，求證：．【例2】。（23·24上·徐州·期中）在①，②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答下列問題.已知正項數(shù)列的前項和為，且__________，.(1)求的通項公式；(2)設為數(shù)列的前項和，證明：.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【變式21】（23·24上·寶山·階段練習）若數(shù)列的前項和滿足．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設，記數(shù)列的前項和為，證明：對任意的正整數(shù)，都有.【變式22】（2024上·甘肅白銀·高三?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足，．(1)設，證明：是等差數(shù)列；(2)設數(shù)列的前項和為，求．【變式23】（23·24高二上·甘肅酒泉·期中）已知等差數(shù)列中，，且成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)，求數(shù)列的前項和．

【分組求和法】【例1】．（23·24高三上·福建龍巖·期中）已知數(shù)列的前項和為，數(shù)列為等差數(shù)列，．(1)求的通項公式；(2)記，其中表示不小于的最小整數(shù)，如，求數(shù)列的前2023項和．【例2】．（23·24上·臨夏·期中）已知是數(shù)列的前n項和，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．【變式31】．（23·24上·長沙·階段練習）已知是等比數(shù)列，滿足，且成等差數(shù)列，數(shù)列滿足．(1)求和的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和．

【變式32】．（2023上·福建福州·高三校聯(lián)考期中）已知數(shù)列滿足：，數(shù)列為等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求和：．【放縮求和】【例1】．（23·24高三上·江蘇淮安·階段練習）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求證：數(shù)列的前項和.【變式41】．（23·24高三上·黑龍江·階段練習）已知數(shù)列的首項，是與的等差中項．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)證明：．

鞏固練習：1．（2023上·江西贛州·高三江西省大余中學校聯(lián)考期中）已知數(shù)列滿足.(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和及其最小值.2．（2023上·遼寧·高三遼寧實驗中學?？计谥校┮阎獢?shù)列的前項的和為，且，.(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)求數(shù)列前項的和.3．（2024上·山東威?！じ呷？茧A段練習）設數(shù)列的前項和為，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設數(shù)列的前項和為，求證：．

5．（2024上·福建福州