江蘇專用2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何8.4空間幾何體的表面積與體積教案含解析

PAGEPAGE1§8.4空間幾何體的表面積與體積考情考向分析考查簡潔幾何體的表面積與體積的計(jì)算，涉及空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，要求考生要有較強(qiáng)的空間想象實(shí)力和計(jì)算實(shí)力，以填空題為主，中低檔難度．1．側(cè)棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱，直棱柱的側(cè)面積公式是S直棱柱側(cè)＝ch，底面為正多邊形的直棱柱叫做正棱柱．柱體的體積公式是V柱體＝Sh.2．假如一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的正投影是底面中心，則該棱錐為正棱錐．正棱錐的側(cè)面積公式是S正棱錐側(cè)＝eq\f(1,2)ch′；錐體的體積公式為V錐體＝eq\f(1,3)Sh.3．正棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫做正棱臺(tái)，其側(cè)面積公式是S正棱臺(tái)側(cè)＝eq\f(1,2)(c＋c′)·h′；臺(tái)體的體積公式是V臺(tái)體＝eq\f(1,3)h(S＋eq\r(SS′)＋S′)．4．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面綻開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)；圓柱的側(cè)面積公式是S圓柱側(cè)＝cl＝2πrl，圓錐的側(cè)面積公式為S圓錐側(cè)＝eq\f(1,2)cl＝πrl，圓臺(tái)的側(cè)面積公式為S圓臺(tái)側(cè)＝eq\f(1,2)(c＋c′)l＝π(r＋r′)l.5．若球的半徑為R，則球的體積V＝eq\f(4,3)πR3，球的表面積S＝4πR2.概念方法微思索1．如何求旋轉(zhuǎn)體的表面積？提示求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時(shí)須要將曲面綻開為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面積之和．2．如何求不規(guī)則幾何體的體積？提示求不規(guī)則幾何體的體積要留意分割與補(bǔ)形，將不規(guī)則的幾何體通過分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解．題組一思索辨析1．推斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)多面體的表面積等于各個(gè)面的面積之和．(√)(2)臺(tái)體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體的體積之差．(√)(3)錐體的體積等于底面積與高之積．(×)(4)已知球O的半徑為R，其內(nèi)接正方體的邊長為a，則R＝eq\f(\r(3),2)a.(√)(5)圓柱的一個(gè)底面積為S，側(cè)面綻開圖是一個(gè)正方形，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是2πS.(×)題組二教材改編2．[P54T2]把3個(gè)半徑為R的鐵球熔成一個(gè)底面半徑為R的圓柱，則圓柱的高為________．答案4R解析設(shè)圓柱的高為h，則有πR2h＝3×eq\f(4,3)πR3，∴h＝4R.3．[P49T1]已知正三棱柱的底面邊長為3cm，側(cè)面的對(duì)角線長為3eq\r(5)cm，則這個(gè)正三棱柱的側(cè)面積是________cm2.答案54解析因?yàn)檎庵母邽閑q\r(3\r(5)2－32)＝6(cm)，所以側(cè)面積為3×3×6＝54(cm2)．4．[P54T3]一個(gè)正六棱錐的底面邊長為6cm，高為5eq\r(3)cm，則它的體積為________cm3.答案270解析體積V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×6×eq\f(1,2)×6×6×eq\f(\r(3),2)×5eq\r(3)＝270(cm3)．題組三易錯(cuò)自糾5．體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為________．答案12π解析由題意可知正方體的棱長為2，其體對(duì)角線為2eq\r(3)即為球的直徑，所以球的表面積為4πR2＝(2R)2π＝12π.6．已知某圓柱的側(cè)面綻開圖是邊長為2a，a的矩形，則該圓柱的體積為________．答案eq\f(a3,2π)或eq\f(a3,π)解析設(shè)圓柱的母線長為l，底面圓的半徑為r，則當(dāng)l＝2a時(shí)，2πr＝a，∴r＝eq\f(a,2π)，這時(shí)V圓柱＝2a·πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2π)))2＝eq\f(a3,2π)；當(dāng)l＝a時(shí)，2πr＝2a，∴r＝eq\f(a,π)，這時(shí)V圓柱＝a·πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,π)))2＝eq\f(a3,π).綜上，該圓柱的體積為eq\f(a3,2π)或eq\f(a3,π).題型一求空間幾何體的表面積1．(2024·全國Ⅰ改編)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為________．答案12π解析設(shè)圓柱的軸截面的邊長為x，則由x2＝8，得x＝2eq\r(2)，∴S圓柱表＝2S底＋S側(cè)＝2×π×(eq\r(2))2＋2π×eq\r(2)×2eq\r(2)＝12π.2．若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長都相等，其外接球的表面積是4π，則其側(cè)棱長為________．答案eq\f(2\r(3),3)解析依題意可以構(gòu)造一個(gè)正方體，其體對(duì)角線就是該三棱錐外接球的直徑．設(shè)側(cè)棱長為a，外接球的半徑為r.由外接球的表面積為4π，得r＝1，∴eq\r(3)a＝2r＝2，∴a＝eq\f(2\r(3),3).3．正六棱臺(tái)的上、下兩底面的邊長分別是1cm,2cm，高是1cm，則它的側(cè)面積為_______cm2.答案eq\f(9\r(7),2)解析正六棱臺(tái)的側(cè)面是6個(gè)全等的等腰梯形，上底長為1cm，下底長為2cm，高為正六棱臺(tái)的斜高．又邊長為1cm的正六邊形的中心到各邊的距離是eq\f(\r(3),2)cm，邊長為2cm的正六邊形的中心到各邊的距離是eq\r(3)cm，則梯形的高為eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)－\f(\r(3),2)))2)＝eq\f(\r(7),2)(cm)，所以正六棱臺(tái)的側(cè)面積為6×eq\f(1,2)×(1＋2)×eq\f(\r(7),2)＝eq\f(9\r(7),2)(cm2)．思維升華求空間幾何體表面積的留意點(diǎn)(1)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積留意連接部分的處理．(2)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題留意其側(cè)面綻開圖的應(yīng)用．題型二求空間幾何體的體積例1(1)(2024·宿遷模擬)如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，點(diǎn)P在棱CC1上，則三棱錐P－ABA1的體積為________．答案eq\f(9\r(3),4)解析三棱錐P－ABA1的體積等于三棱錐B－APA1的體積，點(diǎn)B到面APA1的距離為eq\f(3\r(3),2)，△APA1的面積為eq\f(9,2)，故三棱錐P－ABA1的體積為eq\f(9\r(3),4).(2)(2024·南京模擬)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，點(diǎn)D為側(cè)棱BB1上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)AD＋DC1最小時(shí)，三棱錐D－ABC1的體積為________．答案eq\f(1,3)解析幾何體綻開圖如圖所示：△ABD∽△ACC1，∴eq\f(BD,CC1)＝eq\f(AB,AC)，∵AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∴AC＝3，CC1＝3，∴BD＝1，則＝＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×2×1＝eq\f(1,3).思維升華空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略(1)若所給定的幾何體是可干脆用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可干脆利用公式進(jìn)行求解．(2)若所給定的幾何體的體積不能干脆利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．跟蹤訓(xùn)練1(1)(2024·江蘇南京一中調(diào)研)如圖所示，已知一個(gè)多面體的平面綻開圖由一個(gè)邊長為1的正方形和4個(gè)正三角形組成，則該多面體的體積是________．答案eq\f(\r(2),6)解析由綻開圖，可知該多面體是正四棱錐，底面正方形的邊長為1，側(cè)棱長也為1，∴該正四棱錐的高h(yuǎn)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(2),2)，∴其體積V＝eq\f(1,3)×12×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),6).(2)如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為________．答案eq\f(\r(2),3)解析如圖，分別過點(diǎn)A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連結(jié)DG，CH，簡潔求得EG＝HF＝eq\f(1,2)，AG＝GD＝BH＝HC＝eq\f(\r(3),2)，取AD的中點(diǎn)O，連結(jié)GO，易得GO＝eq\f(\r(2),2)，∴S△AGD＝S△BHC＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×1＝eq\f(\r(2),4)，∴多面體的體積V＝V三棱錐E－ADG＋V三棱錐F－BCH＋V三棱柱AGD－BHC＝2V三棱錐E－ADG＋V三棱柱AGD－BHC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)×2＋eq\f(\r(2),4)×1＝eq\f(\r(2),3).(3)如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為eq\r(3)，D為BC的中點(diǎn)，則三棱錐A－B1DC1的體積為________．答案1解析如題圖，因?yàn)椤鰽BC是正三角形，且D為BC中點(diǎn)，則AD⊥BC.又因?yàn)锽B1⊥平面ABC，AD?平面ABC，故BB1⊥AD，且BB1∩BC＝B，BB1，BC?平面BCC1B1，所以AD⊥平面BCC1B1，所以AD是三棱錐A－B1DC1的高．所以＝eq\f(1,3)·AD＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\r(3)＝1.題型三表面積和體積的綜合問題命題點(diǎn)1側(cè)面綻開圖的應(yīng)用例2(1)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝eq\r(5)，AA1＝3，M為線段BB1上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)AM＋MC1最小時(shí)，△AMC1的面積為________．答案eq\r(3)解析將直三棱柱ABC－A1B1C1沿棱BB1綻開成平面圖形，連結(jié)AC1到AC1與BB1的交點(diǎn)即滿意AM＋MC1最小，此時(shí)AC1＝eq\r(14)，MC1＝2eq\r(2)，AM＝eq\r(2)，∴cos∠AMC1＝eq\f(2＋8－14,2×\r(2)×2\r(2))＝－eq\f(1,2)，∴sin∠AMC1＝eq\f(\r(3),2)，∴＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×2eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).(2)(2024·無錫期末)已知圓錐的側(cè)面綻開圖是一個(gè)圓心角為120°且面積為3π的扇形，則該圓錐的體積等于________．答案eq\f(2,3)eq\r(2)π解析設(shè)圓錐側(cè)面母線長為l，底面半徑為r，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＝3r，,\f(1,2)×\f(2,3)π·l2＝3π，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＝3，,r＝1，))∴圓錐高h(yuǎn)＝eq\r(32－12)＝2eq\r(2)，∴V圓錐＝eq\f(1,3)π×2eq\r(2)＝eq\f(2,3)eq\r(2)π.命題點(diǎn)2和球有關(guān)的表面積、體積問題例3已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為________．答案eq\f(13,2)解析如圖所示，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點(diǎn)M.又AM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(5,2)，OM＝eq\f(1,2)AA1＝6，所以球O的半徑R＝OA＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2＋62)＝eq\f(13,2).引申探究1．本例若將直三棱柱改為“棱長為4的正方體”，則此正方體外接球和內(nèi)切球的體積各是多少？解由題意可知，此正方體的體對(duì)角線長即為其外接球的直徑，正方體的棱長即為其內(nèi)切球的直徑．設(shè)該正方體外接球的半徑為R，內(nèi)切球的半徑為r.又正方體的棱長為4，故其體對(duì)角線長為4eq\r(3)，從而V外接球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×(2eq\r(3))3＝32eq\r(3)π，V內(nèi)切球＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)π×23＝eq\f(32π,3).2．本例若將直三棱柱改為“棱長為a的正四面體”，則此正四面體的表面積S1與其內(nèi)切球的表面積S2的比值為多少？解正四面體棱長為a，則正四面體表面積為S1＝4×eq\f(\r(3),4)·a2＝eq\r(3)a2，其內(nèi)切球半徑r為正四面體高的eq\f(1,4)，即r＝eq\f(1,4)·eq\f(\r(6),3)a＝eq\f(\r(6),12)a，因此內(nèi)切球表面積為S2＝4πr2＝eq\f(πa2,6)，則eq\f(S1,S2)＝eq\f(\r(3)a2,\f(πa2,6))＝eq\f(6\r(3),π).思維升華(1)側(cè)面綻開圖體現(xiàn)的是一種轉(zhuǎn)化思想．用于找尋兩種狀況下圖形長度或角度間的關(guān)系．(2)球的有關(guān)問題，可作過球心的截面，以利于求球的半徑．跟蹤訓(xùn)練2(1)如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF＝eq\f(\r(2),2)，則三棱錐B－AEF的體積為______．答案eq\f(1,12)解析連結(jié)AC，BD，易知AC⊥平面BDD1B1，則V三棱錐B－AEF＝V三棱錐A－BEF＝eq\f(1,3)×eq\f(AC,2)×S△BEF＝eq\f(1,3)×eq\f(AC,2)×eq\f(1,2)×EF×BB1＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×1＝eq\f(1,12).(2)(2024·全國Ⅲ改編)設(shè)A，B，C，D是一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且其面積為9eq\r(3)，則三棱錐D－ABC體積的最大值為________．答案18eq\r(3)解析由等邊△ABC的面積為9eq\r(3)，可得eq\f(\r(3),4)AB2＝9eq\r(3)，所以AB＝6，所以等邊△ABC的外接圓的半徑為r＝eq\f(\r(3),3)AB＝2eq\r(3).所以三棱錐D－ABC高的最大值為2＋4＝6，所以三棱錐D－ABC體積的最大值為eq\f(1,3)×9eq\r(3)×6＝18eq\r(3).1．已知直四棱柱底面是邊長為2的菱形，側(cè)面對(duì)角線的長為2eq\r(3)，則該直四棱柱的側(cè)面積為________．答案16eq\r(2)解析由題意得，直四棱柱的側(cè)棱長為eq\r(2\r(3)2－22)＝2eq\r(2)，所以該直四棱柱的側(cè)面積S＝cl＝4×2×2eq\r(2)＝16eq\r(2).2.如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3cm，AD＝2cm，AA1＝1cm，則三棱錐B1－ABD1的體積為________cm3.答案1解析三棱錐B1－ABD1的體積＝＝eq\f(1,3)·A1D1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×1×2＝1.3．設(shè)棱長為a的正方體的體積和表面積分別為V1，S1，底面半徑和高均為r的圓錐的體積和側(cè)面積分別為V2，S2.若eq\f(V1,V2)＝eq\f(3,π)，則eq\f(S1,S2)的值為________．答案eq\f(3\r(2),π)解析由eq\f(V1,V2)＝eq\f(3a3,πr3)＝eq\f(3,π)，得a＝r，eq\f(S1,S2)＝eq\f(6a2,\r(2)πr2)＝eq\f(3\r(2),π).4．(2024·南京學(xué)情調(diào)研)已知圓柱M的底面半徑為2，高為6，圓錐N的底面直徑和母線長相等．若圓柱M和圓錐N的體積相等，則圓錐N的高為________．答案6解析設(shè)圓錐N的底面半徑為r，則它的母線長為2r，從而它的高為eq\r(3)r，由圓柱M與圓錐N的體積相等，得4π×6＝eq\f(1,3)πr2×eq\r(3)r，解得r＝2eq\r(3)，因此圓錐N的高h(yuǎn)＝eq\r(3)r＝6.5．(2024·南通、揚(yáng)州、泰州、淮安調(diào)研)已知圓錐的側(cè)面綻開圖是半徑為3，圓心角為eq\f(2π,3)的扇形，則這個(gè)圓錐的高為________．答案2eq\r(2)解析設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，因?yàn)閳A錐的側(cè)面綻開圖是半徑為3，圓心角為eq\f(2π,3)的扇形，且扇形的弧長等于底面圓的周長，故有2πr＝3×eq\f(2π,3)，解得r＝1，又圓錐的母線l＝3，所以h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(9－1)＝2eq\r(2).6．現(xiàn)有一個(gè)底面半徑為3cm，母線長為5cm的圓錐狀實(shí)心鐵器，將其高溫溶化后鑄造成一個(gè)實(shí)心鐵球(不計(jì)損耗)，則該鐵球的半徑是________cm.答案eq\r(3,9)解析圓錐的高為4cm，體積V圓錐＝eq\f(1,3)π×32×4＝12π(cm3)．設(shè)球的半徑為rcm，則eq\f(4,3)πr3＝12π，即r3＝9，所以r＝eq\r(3,9).7．《算術(shù)書》竹簡于上世紀(jì)八十年頭在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典著，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，該術(shù)相當(dāng)于給出圓錐的底面周長l與高h(yuǎn)，計(jì)算其體積V的近似公式V＝eq\f(1,36)l2h，它事實(shí)上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取3，那么，近似公式V≈eq\f(25,942)l2h相當(dāng)于將圓錐體積公式中的π近似取________．答案eq\f(157,50)解析V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2π)))2h＝eq\f(1,12π)l2h，由eq\f(1,12π)≈eq\f(25,942)，得π≈eq\f(157,50).8．將半徑為5的圓分割成面積之比為1∶2∶3的三個(gè)扇形作為三個(gè)圓錐的側(cè)面，若這三個(gè)圓錐的底面半徑依次為r1，r2，r3，則r1＋r2＋r3＝________.答案5解析半徑為5的圓的周長是10π，由題意知2πr1＋2πr2＋2πr3＝10π，所以r1＋r2＋r3＝5.9.如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝4，AA1＝6.若E，F(xiàn)分別是棱BB1，CC1上的點(diǎn)，則三棱錐A－A1EF的體積是________．答案8eq\r(3)解析過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，在正三角形ABC中，AB＝4，則CD＝2eq\r(3)，因?yàn)镃C1∥平面A1ABB1，則點(diǎn)F到平面A1ABB1的距離為2eq\r(3)，所以＝＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×eq\f(1,2)×4×6＝8eq\r(3).10．(2024·蘇州期末)一個(gè)長方體的三條棱長分別為3,8,9，若在該長方體上面鉆一個(gè)圓柱形的孔后其表面積沒有改變，則圓孔的半徑為________．答案3解析設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，該長方體上面鉆孔后其表面積少了兩個(gè)圓柱底面，多了一個(gè)圓柱側(cè)面．由題意，得πr2＋πr2＝2πrh，得r＝h.經(jīng)檢驗(yàn)，只有r＝3符合要求，此時(shí)在8×9的面上打孔．11.如圖，在三棱錐A－BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.(1)求證：CD⊥平面ABD；(2)若AB＝BD＝CD＝1，點(diǎn)M為AD中點(diǎn)，求三棱錐A－MBC的體積．(1)證明∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BD，AB∩BD＝B，AB?平面ABD，BD?平面ABD，∴CD⊥平面ABD.(2)解∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BD.∵AB＝BD＝1，∴S△ABD＝eq\f(1,2).∵點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，∴S△ABM＝eq\f(1,2)S△ABD＝eq\f(1,4).由(1)知，CD⊥平面ABD，∴三棱錐C－ABM的高h(yuǎn)＝CD＝1，因此三棱錐A－MBC的體積VA－MBC＝VC－ABM＝eq\f(1,3)S△ABM·h＝eq\f(1,12).12.如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)求證：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱錐P－ABCD的體積為eq\f(8,3)，求該四棱錐的側(cè)面積．(1)證明由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB∥CD，故AB⊥PD.又PD∩AP＝P，PD，AP?平面PAD，所以AB⊥平面PAD.又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.(2)解如圖，在平面PAD內(nèi)作PE⊥AD，垂足為E.由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥AD，AB⊥PE，AD∩AB＝A，AD，AB?平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD.設(shè)AB＝x，則由已知可得AD＝eq\r(2)x，PE＝eq\f(\r(2),2)x，由AB∥CD，AB＝CD，AB⊥AD，得四邊形ABCD為矩形．故四棱錐P－ABCD的體積VP－ABCD＝eq\f(1,3)AB·AD·PE＝eq\f(1,3)x3.由題設(shè)得eq\f(1,3)x3＝eq\f(8,3)，故x＝2.從而PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝PB＝PC＝2eq\r(2)，可得四棱錐P－ABCD的側(cè)面積為eq\f(1,2)PA·PD＋eq\f(1,2)PA·AB＋eq\f(1,2)PD·DC＋eq\f(1,2)BC2sin60°＝6＋2eq\r(3).13．已知三棱錐O—ABC的頂點(diǎn)A，B，C都在半徑為2的球面上，O是球心，∠AOB＝120°，當(dāng)△AOC與△BOC的面積之和最大時(shí)，三棱錐O—ABC的體積為________．答案eq\f(2\r(3),3)解析設(shè)球O的半徑為R，因?yàn)镾△AOC＋S△BOC＝eq\f(1,2)R2(sin∠AOC＋sin∠BOC)，所以當(dāng)∠AOC＝∠BOC＝90°時(shí)，S△AOC＋S△BOC取得最大值，此時(shí)OA⊥OC，OB⊥OC，OB∩OA＝O，OA，OB?平面AOB，所以O(shè)C⊥平面AOB，所以V三棱錐O—ABC＝V三棱錐C—OAB＝eq\f(1,3)OC·eq\f(1,2)OA·OBsin∠AOB＝eq\f(1,6)R3sin∠AOB＝eq\f(2\r(3),