江蘇省南通市如皋市2024-2025學年高一上學期期末數(shù)學試題 含解析

2024—2025學年度高一年級第一學期期末教學質量調(diào)研數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先分別求出兩個集合的解集，再根據(jù)集合的運算可求出結果.【詳解】對于不等式，解得，所以，對于不等式，即，解得，所以，所以.故選：B.2.已知函數(shù)則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由分段函數(shù)的性質結合特殊角的余弦值求解即可；【詳解】由分段函數(shù)的定義域可得，，所以.故選：C3.已知扇形的圓心角為，面積為4，則扇形的周長為（）A.10 B.8 C.6 D.4【答案】B【解析】【分析】求出扇形的半徑和弧長，即可求得答案.【詳解】設扇形的半徑為r，則，則扇形的弧長為，故扇形周長為，故選：B4.（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪以及對數(shù)的運算法則，即可求得答案.【詳解】，故選：C5.函數(shù)，則的零點所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用換元法求出函數(shù)的解析式，判斷函數(shù)單調(diào)性，結合零點存在定理，即可求得答案.【詳解】令，則化為，即，該函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，即，故的零點所在的區(qū)間為.故選：D6.已知冪函數(shù)（），在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)．若，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由冪函數(shù)的單調(diào)性結合不等式求出，再由同角的三角函數(shù)和二倍角的正弦計算即可；【詳解】由題意可得，解得，又，所以，所以，，所以，所以，所以，即，因為，，所以，所以，所以.故選：A.7.定義在R上的函數(shù)，若，，，則a，b，c的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由復合函數(shù)的單調(diào)性結合對數(shù)的運算和三角函數(shù)的單調(diào)性可得.【詳解】由復合函數(shù)的單調(diào)性可得在為單調(diào)遞減函數(shù)，又，而，即故.故選：B8.有一塊半徑為2（單位：cm）的半圓形鋼板，計劃裁剪成等腰梯形的形狀，它的下底是半圓的直徑，上底的端點在圓周上．該等腰梯形的周長y（單位：cm）的最大值為（）A.4 B. C.8 D.10【答案】D【解析】【分析】作于E,連接，易證∽，設，將梯形各邊表示出來，得到周長的函數(shù)關系式，即可求得結果.詳解】如圖,作于E，連接，因為為直徑，所以，在與中,，所以∽，所以，即.設，所以，所以，于是，由于，所以，解得.故所求的函數(shù)為.當時，有最大值10.故選：D二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列命題為真命題的有（）A.“”是“”的既不充分也不必要條件B.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為C.“，”是“”的充分不必要條件D.函數(shù)的最小值為5【答案】AC【解析】【分析】對于A，注意到，同時成立，由此即可判斷A正確；對于B，注意到復合函數(shù)定義域即可判斷B錯誤；對于C，從兩個方面說明即可；對于D，由平方關系、基本不等式即可判斷.【詳解】對于A，注意到同時有，，這表明“”是“”的既不充分也不必要條件，故A正確；對于B，當時，無意義，故B錯誤；對于C，一方面：當，時，，另一方面：注意到，但不是的整數(shù)倍，故“，”是“”的充分不必要條件，故C正確；對于D，函數(shù)，由于，故D錯誤.故選：AC.10.通過等式（，）我們可以得到很多函數(shù)模型，例如將a視為自變量x，b視為常數(shù)，那么c就是a（即x）的函數(shù)，記為y，則，也就是我們熟悉的冪函數(shù)．事實上，由這個等式還可以得到更多的函數(shù)模型．若令，（e是自然對數(shù)的底數(shù)），將a視為自變量x（，），則b為x的函數(shù)，記為，下列關于函數(shù)的敘述中正確的有（）A.B.，C.若，且m，n均不等于1，，則D.若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)m的值為0【答案】ACD【解析】【分析】先根據(jù)題意得出的解析式，根據(jù)計算易于判斷A，B兩項，對于C項，可根據(jù)已知推出，結合基本不等式判斷；對于D項，則需要等價轉化，運用參變分離法，分區(qū)間討論得出的范圍進行判斷.【詳解】由題意知，則，對于A，，A正確；對于B，，，不妨取，則，B錯誤；對于C，，且m，n均不等于1，由得，即，結合可知，則，故，當且僅當，即時等號成立，C正確；對于D，當時，，則由恒成立，得恒成立，即恒成立，令，則，設，由于在上單調(diào)遞減，故，則，故；當時，，結合題意可知得恒成立，即恒成立，此時令，同理可得，由于在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，則，故，綜合上述可知m的值為0，D正確，故選：ACD11.對于函數(shù)（），下列說法正確的是（）A.當時，函數(shù)在上有且只有一個零點B.若函數(shù)在單調(diào)遞增，則的取值范圍為C.若函數(shù)在時取最小值，在時取最大值，且，則D.將函數(shù)圖象向左平移個單位得到的圖象，若為偶函數(shù)，則的最小值為2【答案】ABD【解析】【分析】由正弦函數(shù)的單調(diào)性可得A、B正確；由正弦函數(shù)的周期和誘導公式可得C錯誤；由圖象平移結合偶函數(shù)的性質可得D正確.【詳解】對于A，當時，，令，則，當，為正弦函數(shù)的遞減區(qū)間，此時，所以有解，且只有一個零點，故A正確；對于B，，因為單調(diào)遞增，所以，解得，又，所以，故B正確；對于C，由題可得，所以，故，此時，令，則，故，所以，故C錯誤；對于D，，若為偶函數(shù)，則，解得，所以當時，的最小值為2，故D正確；故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知命題“，使得”為假命題，則實數(shù)a的范圍為________．【答案】【解析】【分析】利用已知得到真命題，結合二次函數(shù)的單調(diào)性求解即可；【詳解】由題意可得命題“，使得”為真命題，即在上有解，令，，則，在為減函數(shù)，所以，所以，即實數(shù)a的范圍為.故答案為：.13.已知，且，則___________.【答案】##【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關系可求得的值，再結合誘導公式可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】∵，∴，∵，∴．所以,∴.故答案為：14.若正實數(shù)x，y滿足，則的最小值________．【答案】【解析】【分析】將已知等式變形，得到，再由基本不等式求解即可；【詳解】因為，變形為，令，該函數(shù)為R上的增函數(shù)，則，可得，即，所以，則，當且僅當，即時取等號.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是能夠利用已知等式變形后觀察兩邊為對稱形式，構造函數(shù)，利用單調(diào)性得到.四、解答題：本題共5小題，共77分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）若的解集為，求a，b的值；（2）若方程在上有解，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意確定為的兩個根，由韋達定理即可求解；（2）將原問題轉化為在上有解，換元后結合二次函數(shù)性質即可求解.【小問1詳解】由的解集為，可知為的兩個根，故，解得；【小問2詳解】方程在上有解，即在上有解，即在上有解，令，則，故實數(shù)a的取值范圍為.16.已知函數(shù)為奇函數(shù)．（1）求實數(shù)a的值并指出函數(shù)的單調(diào)性（不需證明）；（2）解關于x的不等式．【答案】（1）；函數(shù)在上單調(diào)遞增（2）答案見解析【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)的性質可得實數(shù)a的值，再由復合函數(shù)的單調(diào)性可得判斷的單調(diào)性；（2）由函數(shù)的單調(diào)性解抽象函數(shù)不等式，再利用換元法結合對數(shù)的運算對討論即可；【小問1詳解】因為函數(shù)為奇函數(shù)，定義域為，所以，此時，，滿足題意，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】由（1）可得函數(shù)上單調(diào)遞增，所以，即，令，即，即，當時，，即，因為恒成立，所以解得，當時，，即，解得；當時，，解集為空集；當時，，即，解得；綜上，當時,不等式解集為;當時，不等式的解集為；當時，解集為；當時，解集為.17.已知函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象向右平移，再向上平移m（），得到函數(shù)的圖象．若對任意的，都有成立，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由圖象結合正弦函數(shù)的周期，最值，單調(diào)遞減區(qū)間可得；（2）由圖象平移得到，再將問題轉化為當時，恒成立，然后結合正弦函數(shù)的單調(diào)性求解即可；【小問1詳解】由圖象可得，，所以，所以，又，所以，又，所以，所以，令，可得，所以單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】，因為對任意的，都有成立，即當時，恒成立，由可得，此時，由可得，此時，所以，解得.18.如圖，在直角坐標系中，點P是單位圓上的動點，過點P作x軸的垂線，垂足為M，過O作射線交的延長線于點Q，使得，記，，且．（1）若，求值；（2）已知函數(shù)，，記的最小值為．若，求m的值及此時的最大值．【答案】（1）（2）；此時的最大值為【解析】【分析】（1）由同角的三角函數(shù)關系求出，再由三角函數(shù)定義確定點坐標，再由面積關系得到點，然后由三角函數(shù)定義求出，最后結合誘導公式化簡；（2）由同角的三角函數(shù)關系結合正弦函數(shù)的值域和換元法，利用二次函數(shù)的性質討論對稱軸的范圍得到，從而可得.【小問1詳解】，，則，由三角函數(shù)的定義可得，又，即，得，所以，即，所以，所以，【小問2詳解】，設，，則，所以原函數(shù)化為，對稱軸為，當時，；當時，；當時，，綜上，，因為，所以，解得；或，解得（舍）或（舍），或，解得（舍），所以，此時，，對稱軸為，所以當時，，即此時的最大值為.19.已知函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且滿足為偶函數(shù)，為奇函數(shù)．（1）求函數(shù)，的解析式；（2）求函數(shù)的值域；（3）若（）在上有三個零點，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）利用函數(shù)的奇偶性，即可求解；（2）化簡可得的表達式，結合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得值域；（3）化簡得到解析式，討論脫去絕對值符號，繼而討論a的取值范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性，結合題意列出相應不等式組，即可求得答案.【小問1詳解】由題意知，。因為函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，故，，可得，；【小問2詳解】對于，