云南省大理白族自治州大理市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)2024~2025學(xué)年上學(xué)期高二年級(jí)教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)考試數(shù)學(xué)試卷【考試時(shí)間：2025年1月14日09：00~11：00】（全卷四個(gè)大題，共19個(gè)小題，共4頁(yè)；滿(mǎn)分150分，考試用時(shí)120分鐘）注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)等在答題卡上填寫(xiě)清楚，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的相關(guān)信息，在規(guī)定的位置貼好條形碼.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).在試題卷上作答無(wú)效.3.非選擇題用黑色碳素筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無(wú)效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.第I卷（選擇題，共58分）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求解對(duì)數(shù)不等式得集合，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算求解.【詳解】，，所以.故選：C.2.若，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第（）象限.A.一 B.二C.三 D.四【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘方運(yùn)算可得，再由復(fù)數(shù)的幾何意義可得結(jié)論.【詳解】易知，由可得，可知對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，故選：C.3.已知函數(shù)，，則“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)在1,+∞上單調(diào)遞增等價(jià)條件，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】若函數(shù)在1,+∞上單調(diào)遞增，則，解得，所以“”是“函數(shù)在1,+∞上單調(diào)遞增”的必要不充分條件.故選：B.4.甲同學(xué)近10次數(shù)學(xué)考試成績(jī)情況如下：103，106，113，119，123，118，134，118，125，121，則甲同學(xué)這10次數(shù)學(xué)考試成績(jī)的第25百分位數(shù)是（）A.113 B.109.5C.106 D.103【答案】A【解析】【分析】利用百分位數(shù)定義即可求得結(jié)果.【詳解】已知數(shù)據(jù)按從小到大排列為：103，106，113，118，118，119，121，123，125，134，因?yàn)?，因此?5百分位數(shù)是第3個(gè)數(shù)113，故選：A.5.已知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，寫(xiě)出通項(xiàng)公式，結(jié)合題意，可得答案.【詳解】由題得，即，則，故選：A.6.已知，則（）A. B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】由條件，結(jié)合兩角差正切公式求，利用商的關(guān)系將所求表達(dá)式轉(zhuǎn)化為由表示的形式，代入可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以，解得，所以，故選：D.7.設(shè)，，，則的最小值為（）A. B.4 C. D.6【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式中常數(shù)代換技巧求解最值即可.【詳解】由題可得：，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，故的最小值為4.故選：B.8.已知正項(xiàng)數(shù)列滿(mǎn)足，若，則（）A. B.10 C. D.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)方程組法求得時(shí)，進(jìn)而，結(jié)合求解即可.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，兩式相減得：，，當(dāng)時(shí)，，，又，解得.故選：B二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知事件，發(fā)生的概率分別為，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若與互斥，則B.若與相互獨(dú)立，則C.若與相互獨(dú)立，則D.若發(fā)生時(shí)一定發(fā)生，則【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)互斥事件概率加法公式求解判斷A，根據(jù)獨(dú)立事件乘法公式和概率性質(zhì)求解判斷B，結(jié)合對(duì)立事件概率公式，利用獨(dú)立事件乘法公式求解判斷C，根據(jù)事件關(guān)系求解概率判斷D.【詳解】選項(xiàng)A：與互斥，則，正確；選項(xiàng)B：與相互獨(dú)立，所以，從而，正確；選項(xiàng)C：，正確；選項(xiàng)D：發(fā)生時(shí)一定發(fā)生，則，，不正確.故選：ABC.10.雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，.若點(diǎn)是關(guān)于的一條漸近線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，且恰在另一條漸近線(xiàn)上，則（）A.雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為B.雙曲線(xiàn)的離心率為C.的面積為D.若為雙曲線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，則到兩條漸近線(xiàn)的距離之積為定值【答案】CD【解析】【分析】對(duì)于A：根據(jù)題意可知漸近線(xiàn)的傾斜角分別為，，進(jìn)而可得漸近線(xiàn)方程；對(duì)于B：可知，進(jìn)而可求離心率；對(duì)于C：根據(jù)題意可得，，進(jìn)而可求面積；對(duì)于D：可得雙曲線(xiàn)方程為，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)辄c(diǎn)是關(guān)于的一條漸近線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，且恰在另一條漸近線(xiàn)上，可知，則漸近線(xiàn)的傾斜角分別為，，所以雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，由選項(xiàng)A可知，所以雙曲線(xiàn)的離心率為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)椋?，可知，且，在中，可得，，所以的面積為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由及，得，，則雙曲線(xiàn)的方程為.設(shè)Px0,所以到兩條漸近線(xiàn)的距離之積為，故D正確；故選：CD.11.已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比為，前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，則（）A.若數(shù)列是遞增數(shù)列，則B.當(dāng)時(shí)，數(shù)列是常數(shù)列C.當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使得恒成立D.若，則使得成立的的最大值為10【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)遞增的性質(zhì)列不等式求解判斷A，利用指數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)求出判斷B，利用等比數(shù)列求和公式求解判斷C，結(jié)合B選項(xiàng)及題意求得，，即可判斷D.【詳解】A：若數(shù)列是遞增數(shù)列，則當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，故A正確；B：，因?yàn)?，所以?shù)列不是常數(shù)列，故B錯(cuò)誤；C：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，故存在，使得恒成立，故C正確；D：因?yàn)?，若，則，，所以，所以，，，，所以，，則使得成立的的最大值為10，故D正確.故選：ACD.第II卷（非選擇題，共92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和模的坐標(biāo)公式，利用投影向量公式求解即可.【詳解】向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為.故答案為：13.圓錐的底面積為，其母線(xiàn)長(zhǎng)為，則該圓錐的體積為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)底面圓面積求出半徑，進(jìn)而求出圓錐的高，代入圓錐的體積公式即可求解.【詳解】圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為，底面半徑長(zhǎng)為，又，解得，故高，可得圓錐的體積為.故答案為：14.設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，直線(xiàn)與的一個(gè)交點(diǎn)為，，直線(xiàn)與的另一個(gè)交點(diǎn)為，則________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意聯(lián)立直線(xiàn)方程分別解出的坐標(biāo)，即可求得.【詳解】聯(lián)立消可得，解得或，即直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)為或，∵，∴，又，直線(xiàn)：，即，聯(lián)立，消可得，解得或，則，此時(shí).故答案為：四、解答題（共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）15.如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面和平面所成的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，證明出，，結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）利用空間向量法可求得平面和平面所成的夾角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】連接，因?yàn)榈酌?，底面是矩形，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，P0,0,1，，，所以，，，因?yàn)?，，所以，，又，、平面，所以平?【小問(wèn)2詳解】由（1）知平面的一個(gè)法向量為，，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則有，令，則，，故，所以，所以平面和平面所成夾角的余弦值為.16.一個(gè)圓切直線(xiàn)于點(diǎn)，且圓心直線(xiàn)上.（1）求該圓的方程；（2）過(guò)直線(xiàn)上一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，，求四邊形面積的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)直線(xiàn)垂直關(guān)系求出PM直線(xiàn)方程，與直線(xiàn)方程聯(lián)立求得圓心，再求出半徑即可得解；（2）先判斷直線(xiàn)與圓相離，然后利用對(duì)稱(chēng)性得四邊形面積為，結(jié)合垂線(xiàn)段最短利用點(diǎn)線(xiàn)距離求解即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為，則設(shè)過(guò)點(diǎn)的半徑所在的直線(xiàn)為，代入，可得，由解得所以.所以，所以圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榈街本€(xiàn)的距離為，所以直線(xiàn)與圓相離，由題意四邊形面積為，可得，當(dāng)與直線(xiàn)垂直時(shí)，最小，四邊形面積最小.由.所以四邊形面積的最小值為.17.設(shè)中的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求角；（2）若，，三邊成等比數(shù)列，角的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)，且，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，結(jié)合內(nèi)角和公式，誘導(dǎo)公式，輔助角公式化簡(jiǎn)后求解即可；（2）由條件根據(jù)等比中項(xiàng)性質(zhì)可得，由關(guān)系結(jié)合面積公式可得，再結(jié)合余弦定理可求，根據(jù)三角形面積公式求結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，所以，所以即，即，因?yàn)椋?，故，即，因?yàn)?，所以，?【小問(wèn)2詳解】∵，，三邊成等比數(shù)列，所以，①.∵，是的平分線(xiàn)，∴，又，∴，化簡(jiǎn)得：②.由余弦定理得，將①②代入上式可得：，∴.18.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)，且，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）判斷數(shù)列為等差數(shù)列，結(jié)合已知求出公差即可得的通項(xiàng)；再利用前項(xiàng)和與第的關(guān)系求出通項(xiàng).（2）由（1）的結(jié)論求出，再利用錯(cuò)位相減法求和即得.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，則，，于是數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，而，即，解得，因此；由數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，解得，因此數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，所以數(shù)列和的通項(xiàng)公式分別為，.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，，則有，兩式相減得，所以.19.已知和為橢圓上兩點(diǎn).（1）求橢圓的離心率；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于、兩點(diǎn)（、不在軸上）.（i）若的面積為，求直線(xiàn)的方程；（ii）直線(xiàn)和分別與軸交于、兩點(diǎn)，求證：為定值.【答案】（1）（2）（i）；（ii）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由已知可得出、的值，可得出的值，由此可得出橢圓的離心率；（2）（i）設(shè)、，設(shè)直線(xiàn)的方程為，將直線(xiàn)的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用三角形的面積公式可得出關(guān)于的等式，解出的值，即可得出直線(xiàn)的方程；（ii）求出、，以及直線(xiàn)、的方程進(jìn)而可得出點(diǎn)、的縱坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算可得出為定值.【小