高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第四講 三角函數(shù)（2大考向）(原卷版)

第四講三角函數(shù)（2大考向）一：考情分析命題解讀考向考查統(tǒng)計高考對三角函數(shù)的考查，基礎(chǔ)方面是掌握三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式。重點是三角恒等變換和三角函數(shù)的圖像、周期性、單調(diào)性、奇偶性、對稱性、最值等。三角恒等變換位于三角函數(shù)與數(shù)學(xué)變換的結(jié)合點上，高考會側(cè)重綜合推理能力和運算能力的考查，體現(xiàn)三角恒等變換的工具性作用，以及會有一些它們在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。這需要同學(xué)熟練運用公式，進(jìn)一步提高運用聯(lián)系轉(zhuǎn)化的觀點去處理問題的自覺性，體會一般與特殊的思想、換元的思想、方程的思想等數(shù)學(xué)思想在三角恒等變換中的作用。三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)2022·新高考Ⅰ卷，62023·新高考Ⅰ卷，152024·新高考Ⅰ卷，72022·新高考Ⅱ卷，92023·新高考Ⅱ卷，162024·新高考Ⅱ卷，9三角恒等變換2023·新高考Ⅰ卷，82024·新高考Ⅰ卷，42022·新高考Ⅱ卷，62023·新高考Ⅱ卷，72024·新高考Ⅱ卷，13二：2024高考命題分析2024年高考新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷都考查到了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)及三角恒等變換。其中Ⅰ卷、Ⅱ卷的三角恒等變換都結(jié)合了兩角和差的公式，屬于常規(guī)題型，難度一般。Ⅰ卷在考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)時，結(jié)合了具體函數(shù)圖像的畫法，Ⅱ卷則是考查了零點、對稱性、最值、周期性等基本性質(zhì)。三角函數(shù)的考查應(yīng)關(guān)注：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、和角差角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、應(yīng)用三角公式進(jìn)行化簡、求值和恒等變形及恒等證明。預(yù)計2025年高考還是主要考查三角恒等變換中的倍角公式、和差公式、輔助角公式及圖像與性質(zhì)中的對稱性和零點問題。三：試題精講一、單選題1．（2024新高考Ⅰ卷·4）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2024新高考Ⅰ卷·7）當(dāng)時，曲線與的交點個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．6 D．8二、多選題3．（2024新高考Ⅱ卷·9）對于函數(shù)和，下列說法正確的有（

）A．與有相同的零點 B．與有相同的最大值C．與有相同的最小正周期 D．與的圖像有相同的對稱軸三、填空題4．（2024新高考Ⅱ卷·13）已知為第一象限角，為第三象限角，，，則.高考真題練一、單選題1．（2022新高考Ⅰ卷·6）記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點中心對稱，則（

）A．1 B． C． D．32．（2023新高考Ⅰ卷·8）已知，則（

）．A． B． C． D．3．（2022新高考Ⅱ卷·6）若，則（

）A． B．C． D．4．（2023新高考Ⅱ卷·7）已知為銳角，，則（

）．A． B． C． D．二、多選題5．（2022新高考Ⅱ卷·9）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱，則（

）A．在區(qū)間單調(diào)遞減B．在區(qū)間有兩個極值點C．直線是曲線的對稱軸D．直線是曲線的切線三、填空題6．（2023新高考Ⅰ卷·15）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個零點，則的取值范圍是．7．（2023新高考Ⅱ卷·16）已知函數(shù)，如圖A，B是直線與曲線的兩個交點，若，則．

知識點總結(jié)一、三角函數(shù)基本概念1、弧度制（1）定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度．正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0．（2）角度制和弧度制的互化：，，．（3）扇形的弧長公式：，扇形的面積公式：．2、任意角的三角函數(shù)（1）定義：任意角的終邊與單位圓交于點時，則，，．（2）推廣：三角函數(shù)坐標(biāo)法定義中，若取點P是角終邊上異于頂點的任一點，設(shè)點到原點的距離為，則，，三角函數(shù)的性質(zhì)如下表：三角函數(shù)定義域第一象限符號第二象限符號第三象限符號第四象限符號＋＋－－＋－－＋＋－＋－記憶口訣INCLUDEPICTURE"\\\\張紅\\f\\原文件\\2019\\一輪\\數(shù)學(xué)\\A版理\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"\\\\張紅\\f\\原文件\\2019\\一輪\\數(shù)學(xué)\\A版理\\右括.TIF"INET：三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．二、同角三角函數(shù)基本關(guān)系1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：．（2）商數(shù)關(guān)系：；三、三角函數(shù)誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角正弦余弦正切口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限【記憶口訣】奇變偶不變，符號看象限，說明：（1）先將誘導(dǎo)三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫作；（2）無論有多大，一律視為銳角，判斷所處的象限，并判斷題設(shè)三角函數(shù)在該象限的正負(fù)；（3）當(dāng)為奇數(shù)是，“奇變”，正變余，余變正；當(dāng)為偶數(shù)時，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可．四、兩角和與差的正余弦與正切①；②；③；五、二倍角公式①；②；③；六、降次（冪）公式知識點四：半角公式七、輔助角公式（其中）．八、正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)（下表中）函數(shù)圖象定義域值域周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間遞減區(qū)間無對稱中心對稱軸方程無注：正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸之間的距離是；正（余）弦曲線相鄰兩個對稱中心的距離是；正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸與對稱中心距離；九、與的圖像與性質(zhì)（1）最小正周期：．（2）定義域與值域：，的定義域為R，值域為[-A，A]．（3）最值假設(shè)．①對于，②對于，（4）對稱軸與對稱中心．假設(shè)．①對于，②對于，正、余弦曲線的對稱軸是相應(yīng)函數(shù)取最大（?。┲档奈恢茫?、余弦的對稱中心是相應(yīng)函數(shù)與軸交點的位置．（5）單調(diào)性．假設(shè)．①對于，②對于，（6）平移與伸縮由函數(shù)的圖像變換為函數(shù)的圖像的步驟；方法一：．先相位變換，后周期變換，再振幅變換，不妨采用諧音記憶：我們“想欺負(fù)”（相一期一幅）三角函數(shù)圖像，使之變形．方法二：．先周期變換，后相位變換，再振幅變換．注：在進(jìn)行圖像變換時，提倡先平移后伸縮（先相位后周期，即“想欺負(fù)”），但先伸縮后平移（先周期后相位）在題目中也經(jīng)常出現(xiàn)，所以必須熟練掌握，無論哪種變化，切記每一個變換總是對變量而言的，即圖像變換要看“變量”發(fā)生多大變化，而不是“角”變化多少．【三角函數(shù)常用結(jié)論】1、利用可以實現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用可以實現(xiàn)角的弦切互化．2、“”方程思想知一求二．3、兩角和與差正切公式變形；．4、降冪公式與升冪公式；．5、其他常用變式．6、拆分角問題：①；；②；③；④；⑤．注意：特殊的角也看成已知角，如．7、關(guān)于三角函數(shù)對稱的幾個重要結(jié)論（1）函數(shù)的對稱軸為，對稱中心為；（2）函數(shù)的對稱軸為，對稱中心為；（3）函數(shù)函數(shù)無對稱軸，對稱中心為；（4）求函數(shù)的對稱軸的方法；令，得；對稱中心的求取方法；令，得，即對稱中心為．（5）求函數(shù)的對稱軸的方法；令得，即對稱中心為名校模擬練一、單選題1．（2024·江蘇南通·三模）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2024·山東濟(jì)南·三模）若，則（

）A．1 B． C．2 D．3．（2024·重慶·三模）已知，且，則（）A． B． C． D．4．（2024·浙江·三模）若，則（

）A． B．C． D．5．（2024·河北保定·二模）已知，則（

）A． B． C． D．6．（2024·湖北荊州·三模）已知，則的值為（

）A． B． C． D．7．（2024·山東青島·三模）為了得到的圖象，只要把的圖象上所有的點（

）A．向右平行移動個單位長度 B．向左平行移動個單位長度C．向右平行移動個單位長度 D．向左平行移動個單位長度8．（2024·天津濱海新·三模）已知函數(shù)，關(guān)于該函數(shù)有下列四個說法：（1）函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱（2）函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱（3）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有4個零點（4）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增以上四個說法中，正確的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．49．（2024·河北石家莊·三模）已知角滿足，則（

）A． B． C． D．210．（2024·重慶·三模）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，若，則（

）A． B． C． D．11．（2024·安徽合肥·三模）已知，則（

）A． B． C． D．12．（2024·江西九江·三模）若，則（

）A． B． C． D．13．（2024·江蘇宿遷·三模）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是的一個單調(diào)增區(qū)間B．是的一個對稱中心C．在上值域為D．將的圖象向右平移個單位，再向下平移一個單位后所得圖象的函數(shù)解析式為14．（2024·黑龍江·三模）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有3條對稱軸，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．15．（2024·河北·三模）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則周期的最小值是（

）A． B． C． D．二、多選題16．（2024·山東威?！ざ＃┮阎瘮?shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞減B．將圖象上的所有點向左平移個單位長度后得到的曲線關(guān)于y軸對稱C．在上有兩個零點D．17．（2024·云南昆明·三模）已知函數(shù)的最小正周期大于，若曲線關(guān)于點中心對稱，則下列說法正確的是（

）A． B．是偶函數(shù)C．是函數(shù)的一個極值點 D．在單調(diào)遞增18．（2024·湖南長沙·三模）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的最大值為2B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．不等式的解集為D．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是19．（2024·湖南衡陽·三模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．方程的解為，20．（2024·河南·三模）已知函數(shù)的最小正周期為，則下列說法正確的有（

）A．的圖象可由的圖象平移得到B．在上單調(diào)遞增C．圖象的一個對稱中心為D．圖象的一條對稱軸為直線21．（2024·廣西欽州·三模）已知函數(shù)，則下列命題正確的是（

）A．的最小正周期為B．的圖象關(guān)于直線對稱C．若，則D．將的圖象往右平移1個單位長度后可以得到函數(shù)的圖象22．（2024·河北秦皇島·三模）已知函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù)； B．是周期為的周期函數(shù)；C．在上單調(diào)遞增； D．的最小值為.23．（2024·安徽蕪湖·三模）已知，下面結(jié)論正確的是（

）A．時，在上單調(diào)遞增B．若，且的最小值為，則C．若在上恰有7個零點，則的取值范圍是D．存在，使得的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于軸對稱三、填空題24．（2024·全國·二模）已知，則.25．（2024·安徽合肥·三模）已知，則.26．（2023·黑龍江佳木斯·三模）已知，，則．27．（2024·黑龍江·三模）已知，則.28．（2024·江西宜春·三模）已知，且，則．29．（2024·北京·三模）已知函數(shù)，若是偶函數(shù)，則；若圓面恰好覆蓋圖象的最高點或最低點