曲線坐標(biāo)系下流體力學(xué)基本方程組的推導(dǎo)

一、曲線坐標(biāo)系下連續(xù)性方程的推導(dǎo)第1頁(yè)，共15頁(yè)曲線坐標(biāo)系下流體力學(xué)基本方程組的推導(dǎo)一、曲線坐標(biāo)系下連續(xù)性方程的推導(dǎo)首先對(duì)有限體積內(nèi)的質(zhì)量運(yùn)動(dòng)運(yùn)用拉格朗日觀點(diǎn)并根據(jù)質(zhì)量守恒定律推導(dǎo)與坐標(biāo)系選取無(wú)關(guān)的微分形式的連續(xù)性方程：質(zhì)量守恒定律告訴我們，同一流體的質(zhì)量在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不生不滅。在流體中取由一定流體質(zhì)點(diǎn)組成的物質(zhì)體，其體積為，質(zhì)量為，則 為了與隨體符號(hào)區(qū)別開(kāi)來(lái)，這里用來(lái)表示對(duì)坐標(biāo)的微分。根據(jù)質(zhì)量守恒定律，下式在任一時(shí)刻都成立 根據(jù)公式：，得 因是任意取的，且假定被積函數(shù)連續(xù)，由此推出被積函數(shù)恒為0，于是有： 式就是與坐標(biāo)系選取無(wú)關(guān)的微分形式的連續(xù)性方程。下面將寫出它在曲線坐標(biāo)下的形式。因?yàn)? 所以 將式代入得到曲線坐標(biāo)下連續(xù)性方程的形式為： 二、曲線坐標(biāo)系下方程的推導(dǎo)二、曲線坐標(biāo)系下方程的推導(dǎo)首先根據(jù)動(dòng)量定理推導(dǎo)與坐標(biāo)系選取無(wú)關(guān)的微分形式的方程：圖1任取一體積為QUOTEτ的流體如圖1所示，設(shè)其邊界面為，根據(jù)動(dòng)量定理，體積中流體動(dòng)量的變化率等于作用在該體積上質(zhì)量力和面力之和。以表示作用在單位質(zhì)量上的質(zhì)量力分布函數(shù)，而表示作用于單位面積上的面力分布函數(shù)。圖1則作用在上和上的總質(zhì)量力和面力為及其次，體積內(nèi)的動(dòng)量是于是，動(dòng)量定理可寫成下列表達(dá)式： 利用公式，得： 再利用的是高斯公式得： 其中是應(yīng)力張量。將和式代入式，整理得：因任意，且假定被積函數(shù)連續(xù)，由此推出被積函數(shù)恒為0，即 式就是微分形式的動(dòng)量方程，易見(jiàn)，它與坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān)，下面將寫出它在曲線坐標(biāo)下的形式。因?yàn)楣? 上式中利用到等式：，，現(xiàn)在進(jìn)一步處理式右端的第二項(xiàng) ，根據(jù)定義有故 又 考慮到：將上面的式代入中，整理得， 同理 將，，表達(dá)式代入式，得因?yàn)樗运俣鹊碾S體導(dǎo)數(shù)同理可得所以式可簡(jiǎn)化為至此，我們將表示成曲線坐標(biāo)系下的形式了。在曲線坐標(biāo)系下表示成:最后，我們將表示成曲線坐標(biāo)系下的形式。應(yīng)力張量：，共九個(gè)量可以證明應(yīng)力張量是對(duì)稱張量，所以也可以將寫成其在曲線坐標(biāo)面上表示為由式得： 其中同樣把、、用式代替得 考慮到因此可將式化為：同理：將以上三式代入式，得 至此，已將、、全部表示成曲線坐標(biāo)系下的形式，將其都代入式，并考慮對(duì)應(yīng)項(xiàng)相等原則，有 式就是曲線坐標(biāo)系下的方程的具體形式。三、曲線坐標(biāo)系下能量方程的推導(dǎo)三、曲線坐標(biāo)系下能量方程的推導(dǎo)首先根據(jù)能量守恒定律推導(dǎo)與坐標(biāo)系選取無(wú)關(guān)的微分形式的能量方程：任取一包含點(diǎn)的體積為的流體，設(shè)其界面為，為的外法線單位矢量，如圖2。則能量守恒定律可以表述為：體積內(nèi)流體的動(dòng)能和內(nèi)能的改變率等于單位時(shí)間內(nèi)質(zhì)量力和面力所作的功加上單位時(shí)間內(nèi)給予體積的熱量，容易看到，體積內(nèi)動(dòng)能和內(nèi)能總和是：其中是單位質(zhì)量的內(nèi)能，而質(zhì)量力和面力所作的功則是及。單位時(shí)間內(nèi)由于熱傳導(dǎo)通過(guò)表面?zhèn)鹘o內(nèi)的熱量是，其中為熱傳導(dǎo)系數(shù)，故單位時(shí)間內(nèi)由于熱傳導(dǎo)通過(guò)傳入的熱量為。單位時(shí)間內(nèi)由于輻射或其它原因傳入的總熱量為，其中為由于輻射或其它原因在單位時(shí)間內(nèi)傳入單位質(zhì)量的熱量分布函數(shù)。能量守恒定律可以寫為： 根據(jù)公式，將上式中的隨體導(dǎo)數(shù)改寫為：此外根據(jù)奧高公式將中的面積分化為體積分：于是式可以寫為：因任意，且假定被積函數(shù)連續(xù)，由此推出被積函數(shù)恒為0，即： 雖然式是微分形式的方程，但是不夠簡(jiǎn)潔。下面我們推到更簡(jiǎn)潔的能量方程。 因?yàn)槭菍?duì)稱張量，所以有： 由張量分解定理得：可以寫成： 其中為對(duì)稱張量，為反對(duì)稱張量。從而可以改寫為： 又因?yàn)?，則可以改寫為：，將代入得： 在式左右兩邊點(diǎn)乘速度矢量，得：即： 將上式代入得：雖然式也是微分形式的方程，但是為了更好地寫出曲線坐標(biāo)下的形式，繼續(xù)利用本構(gòu)方程(在下一小節(jié)進(jìn)行推導(dǎo))寫出另一種微分形式的方程。將本構(gòu)方程代入中有：定義為耗損函數(shù)并將其代入上式得：當(dāng)斯托克頓假設(shè)成立時(shí)有，將其代入得：利用連續(xù)性方程得：，于是有： 由熱力學(xué)知識(shí)有：，為熵。將其代入上式得： 到處我們已經(jīng)推到出了我們所需要的能量方程了，下面將寫出它在曲線坐標(biāo)下的具體形式：先寫出的具體形式，再寫出的具體形式就可以寫出的具體形式。因?yàn)?，再根?jù)有：要寫出的具體形式必須先寫出對(duì)稱張量在曲線坐標(biāo)系下的形式。我們首先推導(dǎo)的表達(dá)式，過(guò)點(diǎn)做正交曲線坐標(biāo)系，在坐標(biāo)軸上取流體質(zhì)點(diǎn)組成的線段元，如右圖。于是：將代入代入上式得：由此推出于是其次我們有下標(biāo)1和2輪換得：兩式相加得：由此得：采取下標(biāo)輪換得方法可得及，綜合起來(lái)得到在曲線曲線坐標(biāo)下的形式： 另外分別將和式代入，即可得出在曲線坐標(biāo)系下的具體形式。將在曲線坐標(biāo)系下的具體形式和代入即可得出能量方程在曲線坐標(biāo)系下的形式為：其中由和決定。四、曲線坐標(biāo)系下本構(gòu)方程的推導(dǎo)四、曲線坐標(biāo)系下本構(gòu)方程的推導(dǎo)首先采用演繹法推導(dǎo)與坐標(biāo)與關(guān)的本構(gòu)方程：假定(1)：運(yùn)動(dòng)流體的應(yīng)力張量在運(yùn)動(dòng)停止后應(yīng)趨于靜止流體的應(yīng)力張量。故可以將應(yīng)力張量寫成各向同性部分和各向異性部分之和，即： 或者 其中是根據(jù)純力學(xué)考慮定義出來(lái)的運(yùn)動(dòng)流體的壓力函數(shù)，它不等于靜止流體的壓力函數(shù)，但當(dāng)運(yùn)動(dòng)靜止時(shí)趨于靜止流體的壓力函數(shù)；是除去后得到的張量，稱為偏應(yīng)力張量，但運(yùn)動(dòng)靜止時(shí)它趨于零；從或者可以看出偏應(yīng)力張量和應(yīng)力張量一樣是對(duì)稱二階張量。假定(2)：偏應(yīng)力張量的各分量是局部速度梯度張量各分量的線性齊次函數(shù)。故可以寫成：。假定(3)：流體是各向同性的，即流體的所有性質(zhì)如粘性、熱傳導(dǎo)等在每點(diǎn)的各個(gè)方向上都是相同的。將代入得： 因?yàn)?，是張量，則由張量識(shí)別定理有是四階張量，又因?yàn)槭菍?duì)稱張量，所以對(duì)指標(biāo)是對(duì)稱的。又根據(jù)假定(3)有是各向同性的，于是由公式：，其中是四階各向同性張量且關(guān)于指標(biāo)對(duì)稱得： 從看出對(duì)指標(biāo)也是對(duì)稱，這樣就可以證明右邊第二項(xiàng)為零。將代入得：將代入得：引入，并將其代入得： 式稱