湖北省十堰市丹江口市第二中學2024-2025學年高二下學期開學考試數(shù)學試卷（含答案）

湖北省十堰市丹江口市第二中學2024-2025學年高二下學期開學考試數(shù)學試卷注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.直線的斜率為（）A. B. C. D.-32.橢圓的短軸長為（）A. B. C. D.3.從標有1，2，3，4，5的五張卡片中無放回隨機抽取兩張，則抽到的兩張卡片數(shù)字之和是6的概率為（）A. B. C. D.4.已知平面α的一個法向量為，則AB所在直線l與平面α的位置關(guān)系為（）.A. B.C. D.l與α相交但不垂直5.高階等差數(shù)列是數(shù)列逐項差數(shù)之差或高次差相等的數(shù)列，中國古代許多著名的數(shù)學家對推導高階等差數(shù)列的求和公式很感興趣，創(chuàng)造并發(fā)展了名為“垛積術(shù)”的算法，展現(xiàn)了聰明才智如南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法商功》一書中記載的三角垛、方垛、芻甍垛等的求和都與高階等差數(shù)列有關(guān)如圖是一個三角垛，最頂層有個小球，第二層有個，第三層有個，第四層有個，則第層小球的個數(shù)為（）A. B. C. D.6.已知等比數(shù)列滿足，，則數(shù)列前8項的和（）A. B. C. D.7.如圖，在四棱錐A﹣BCDE中，AD⊥平面BCDE，底面BCDE為直角梯形，DE∥BC，∠CDE＝90°，BC＝3，CD＝DE＝2，AD＝4．則點E到平面ABC的距離為（）A. B. C. D.28.折紙是一種以紙張折成各種不同形狀的藝術(shù)活動，折紙大約起游于公元1世紀或者2世紀時的中國，折紙與自然科學結(jié)合在一起，不僅成為建筑學院的教具，還發(fā)展出了折紙幾何學成為現(xiàn)代幾何學的一個分支.如圖，現(xiàn)有一半徑為4的圓紙片(A為圓心，B為圓內(nèi)的一定點)，且，如圖將圓折起一角，使圓周正好過點B，把紙片展開，并留下一條折痕，折痕上到A，B兩點距離之和最小的點為P，如此往復，就能得到越來越多的折痕，設(shè)P點的軌跡為曲線C.在C上任取一點M，則△MAB面積的最大值是（）A.2 B.3 C. D.二、多選題（本題共3小題，每題6分，共18分；全部選對得6分，多選對多得分，選錯得0分）9.已知事件A，B發(fā)生的概率分別為，，則下列說法正確的是（）A.若B發(fā)生時A一定發(fā)生，則B.若A與B互斥，則A和B都不發(fā)生的概率為0.5C若，則A與B相互獨立D.若A與B相互獨立，則10.下列選項正確的是（）A.若直線與平行，則與的距離為B.過點且和直線平行的直線方程是C.“”是“直線與直線互相垂直”的必要不充分條件D.直線的傾斜角的取值范圍是11.已知A，B為雙曲線的左、右頂點，分別為雙曲線的左、右焦點，離心率為2且焦點到漸近線的距離為為雙曲線上不同于頂點的動點，則下列選項正確的是（）A.雙曲線的方程為B.直線與雙曲線有兩個交點C.直線PA，PB的斜率之積為3D.若，則的面積為三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.雙曲線的右焦點到漸近線的距離為_______.13.如圖，二面角等于是棱上兩點，分別在半平面內(nèi)，，且，則__________.14.設(shè)為數(shù)列的前項和，已知，對任意，都有，則的最小值為______四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.某校高一年級設(shè)有籃球訓練課，期末對學生進行籃球四項指標（往返運球上籃、一分鐘投籃、四角移動、比賽）考核，滿分100分．參加考核的學生有40人，考核得分的頻率分布直方圖如圖所示．（1）由頻率分布直方圖，求出圖中t值，并估計考核得分的第40百分位數(shù)；（2）為了提升同學們的籃球技能，校方準備招聘高水平的教練．現(xiàn)采用分層抽樣的方法（樣本量按比例分配），從得分在內(nèi)的學生中抽取5人，再從中挑出兩人進行試課，求至少一人來自的概率．16.已知等比數(shù)列的各項滿足，若，且，，成等差數(shù)列．（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．17.如圖，在△ABC中，D，E分別為AB，AC的中點，O為DE的中點，AB=AC=2，BC=4．將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE平面BCED，如下圖．（Ⅰ）求證：A1OBD；（Ⅱ）求直線A1C和平面A1BD所成角的正弦值；18.已知的圓心在軸上，且經(jīng)過點和．（1）求的標準方程；（2）過點的直線與交于兩點．①若，求直線的方程；②求弦最短時直線的方程．19.已知，分別是橢圓的左、右頂點，P（異于點A，B）是C上的一個動點，面積的最大值為2．（1）求橢圓C的方程；（2）記直線PA，PB的斜率分別為，，求的值；（3）直線l交橢圓C于M，N兩點（異于A，B兩點），直線AM，AN的斜率分別為，，且，證明：直線MN過定點．參考答案1-8【答案】C【答案】B【答案】A【答案】A【答案】B【答案】D【答案】C【答案】D9.【答案】BCD10.【答案】AD11.【答案】AC12.【答案】213.【答案】14.【答案】##15.【答案】（1），77.5．（2）．16.【答案】（1）（2）17.（Ⅰ）因為，分別為中點，故可得，故為等腰三角形，又為中點，故可得，又因為平面A1DE平面BCED，且交線為，又平面，故平面，又平面，故.即證.（Ⅱ）過作，由（Ⅰ）可知平面，又平面，故可得，又因為//，故可得.綜上所述：兩兩垂直，故以為坐標原點，分別為軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：故可得，則設(shè)平面的法向量為，故可得，即，取，可得.故.又，故可得設(shè)直線A1C和平面A1BD所成角為，故可得.則直線A1C和平面A1BD所成角正弦值為.18.【小問1詳解】設(shè)圓心坐標為，依題意可得：，解得；則該圓的圓心為，半徑為；故的標準方程為：；【小問2詳解】①由過點的直線與交于兩點，設(shè)圓心到直線的距離為,由，可得，；當直線的斜率不存在時，直線方程為，滿足題意；當直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，即，解得，故直線的方程為，即.綜上可知，直線的方程為或；②依題意可知點在圓內(nèi)，如下圖所示：設(shè)圓心到直線的距離為，由弦長公式可得，顯然當取得最大值時，即時，此時，即當時，弦最短，易知，因此直線的斜率為，可得直線的方程為，即.19.【小問1