2024北京朝陽區(qū)初二（下）期末數(shù)學(xué)試題和答案

試題PAGE1試題2024北京朝陽初二（下）期末數(shù)學(xué)(選用)(考試時間90分鐘滿分100分)考生須知1．本試卷共6頁，共三道大題，25道小題．2．在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫學(xué)校名稱、班級、姓名和考號．3．試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效．4．在答題卡上，選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答5．考試結(jié)束，請將本試卷、答題卡和草稿紙一并交回．一、選擇題(共24分，每題3分)第1-8題均有四個選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個．1.下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）A. B. C. D.2.下列計算正確的是（）A. B.C. D.3.在中，的對邊分別為a，b，c，下列條件中可以判斷的是（）A. B.C. D.4.如圖，，相交于點(diǎn)O，下列兩個三角形的面積不一定相等的是（）A.和 B.和C.和 D.和5.在奧運(yùn)會跳水項(xiàng)目中，多名評委對同一位選手打分，去掉一個最高分和一個最低分后再計算該選手的成績．去掉這兩個分?jǐn)?shù)的前后，一定不發(fā)生變化的統(tǒng)計量是（）A.平均數(shù) B.中位數(shù) C.眾數(shù) D.方差6.滿足下列條件的四邊形一定是正方形的是（）A.對角線互相平分的四邊形 B.有三個角是直角的四邊形C.有一組鄰邊相等的平行四邊形 D.對角線相等的菱形7.下列函數(shù)的圖象是由正比例函數(shù)的圖象向左平移1個單位長度得到的是（）A. B. C. D.8.我們知道，四邊形具有不穩(wěn)定性．如圖，邊長為2的菱形的形狀可以發(fā)生改變，在這個變化過程中，設(shè)菱形的面積為y，的長度為x，則下列圖象中，可以表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）A. B.C. D.二、填空題(共24分，每題3分)9.若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是_________．10.寫出一個圖象經(jīng)過第二、三、四象限的一次函數(shù)表達(dá)式______．11.下表是某校排球隊隊員的年齡分布，該排球隊隊員的平均年齡是_________歲．年齡/歲12131415頻數(shù)113312.如圖，是的中位線，若的周長為10，則的周長為_________．13.如圖，在正方形的外側(cè)，作等邊三角形，則_______．14.如圖，在中，，P為射線上一點(diǎn)，若是等腰三角形，則的長為_________．15.直線一定經(jīng)過一個定點(diǎn)，這個定點(diǎn)的坐標(biāo)是_________．16.如圖1，華容道是一種古老的中國民間益智游戲，一些棋子緊密地擺放在矩形木框內(nèi)，其中有5個完全一樣的小矩形木塊代表“五虎上將”，它們有4個縱向擺放，1個橫向擺放，把其他棋子拿掉后，這5個小矩形木塊排列示意圖如圖2所示．若圖2中陰影部分面積為40，則一個小矩形木塊的對角線的長為_________．

三、解答題(共52分，第17-22題，每題5分，第23題7分，第24題7分，第25題8分)17.計算：．18.已知，求代數(shù)式的值．19.如圖，在矩形中，相交于點(diǎn)O，E為的中點(diǎn)，連接并延長至點(diǎn)F，使，連接．求證：四邊形是菱形．20.數(shù)學(xué)課上老師提出一個命題：如果四邊形和都是平行四邊形，則四邊形也是平行四邊形．下面是某同學(xué)根據(jù)自己畫出的圖形給出的證明過程．證明：因?yàn)槭瞧叫兴倪呅危裕忠驗(yàn)橐彩瞧叫兴倪呅?，所以．所以．即．所以四邊形是平行四邊形．討論后大家發(fā)現(xiàn)這個證明過程存在問題（1）請說明該同學(xué)證明中出現(xiàn)的問題；（2）給出正確的證明．21.如圖；在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象交于點(diǎn)A．（1）若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，求k的值；（2）若關(guān)于x的不等式有且只有2個正整數(shù)解，直接寫出k的取值范圍．22.某校舞蹈隊共16名學(xué)生，測量并獲取了所有學(xué)生的身高(單位：cm)，數(shù)據(jù)整理如下：a．16名學(xué)生的編號與身高：編號①②③④⑤⑥⑦⑧身高161162162164165165165166編號⑨⑩??????身高166167168168170172172175b．16名學(xué)生的身高的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)166.75mnc．分組方案：甲組隊員編號乙組隊員編號方案一①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩??????方案二①③⑤⑦⑨???②④⑥⑧⑩???方案三①③⑤⑦⑩???②④⑥⑧⑨???方案四①④⑤⑧⑨???②③⑥⑦⑩???（1）寫出表中m，n的值；（2）按照方案一分成的兩組中，學(xué)生身高更整齊的是(填“甲組”或“乙組”)；（3）如果分成的兩組學(xué)生的平均身高接近，且身高的方差也接近，則認(rèn)為這兩組學(xué)生的身高整體接近，在演出時舞臺呈現(xiàn)效果更好．在這四個分組方案中，舞臺呈現(xiàn)效果最好的是方案(填“一”“二”“三”或“四”)．23.《九章算術(shù)》卷九“勾股”中記載：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊，問水深、葭長各幾何．大意是：如圖，水池底面的寬丈，蘆葦生長在的中點(diǎn)O處，高出水面的部分尺．將蘆葦向池岸牽引，尖端達(dá)到岸邊時恰好與水面平齊，即，求水池的深度和蘆葦?shù)拈L度(1丈等于10尺)．（1）求水池的深度；（2）中國古代數(shù)學(xué)家劉徽在為《九章算術(shù)》作注解時，更進(jìn)一步給出了這類問題的一般解法．他的解法用現(xiàn)代符號語言可以表示為：若已知水池寬，蘆葦高出水面的部分，則水池的深度可以通過公式計算得到．請證明劉徽解法的正確性．24.如圖，E為正方形內(nèi)部一點(diǎn)，且，的延長線交于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，用等式表示線段的數(shù)量關(guān)系，并證明．25.如圖，某校研學(xué)小組在博物館中看到了一種“公道杯”，在這種杯子中加水超過一定量時，水會自動排盡，體現(xiàn)了“滿招損，謙受益”的寓意．該小組模仿其原理，自制了一個圓柱形簡易“公道杯”，確保向杯中勻速注水和杯中水自動向外排出時，杯中的水位高度的變化都是勻速的．向此簡易“公道杯”中勻速注入清水，一段時間后停止，再等水完全排盡．在這個過程中，對不同時間的水位高度進(jìn)行了記錄，部分?jǐn)?shù)值如下：時間(t/s)12345678水位高度(h/cm)2463根據(jù)以上信息，解決下列問題：（1）描出以表中各組已知對應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)；（2）當(dāng)t=s時，杯中水位最高，是cm；（3）在自動向外排水開始前，杯中水位上升的速度為；（4）求停止注水時t的值；（5）從開始注水，到杯中水完全排盡，共用時s．

參考答案一、選擇題(共24分，每題3分)第1-8題均有四個選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個．1.【答案】A【分析】本題考查最簡二次根式，掌握最簡二次根式的概念，如果一個二次根式符合下列兩個條件：被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，那么這個根式叫做最簡二次根式，是本題的解題關(guān)鍵．【詳解】解：A、是最簡二次根式，符合題意；B、被開方數(shù)含有開得盡的因數(shù)，不是最簡二次根式，不符合題意；C、被開方數(shù)含有分母，不是最簡二次根式，不符合題意；D、被開方數(shù)含有分母，不是最簡二次根式，不符合題意；故選：A．2.【答案】C【分析】本題主要考查了二次根式的四則運(yùn)算，熟知二次根式的四則運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、和不是同類二次根式，不能合并，原式計算錯誤，不符合題意；B、，原式計算錯誤，不符合題意；C、，原式計算正確，符合題意；D、，原式計算錯誤，不符合題意；故選：C．3.【答案】C【分析】本題主要考查了勾股定理逆定理，關(guān)鍵是掌握如果三角形的三邊長a，b，c滿足，那么這個三角形就是直角三角形，據(jù)此先求出兩小邊的平方和，再求出最長邊的平方，最后看看是否相等即可．【詳解】解：A、∵，∴，∴，即，故A不符合題意；B、∵，∴，∴，故B不符合題意；C、∵，∴，∴，故C不符合題意；D、∵，∴，∴，即，故D不符合題意；故選：C。4.【答案】D【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，根據(jù)現(xiàn)有條件無法得到和的面積相等，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，根據(jù)現(xiàn)有條件無法得到和的面積相等，故選：D．5.【答案】B【分析】此題主要考查了中位數(shù)、眾數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、方差的含義和判斷，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：中位數(shù)代表了這組數(shù)據(jù)值大小的“中點(diǎn)”，不易受極端值影響.【詳解】解：中位數(shù)為大小排序后中間1位數(shù)或者中間2位數(shù)的平均數(shù)，故去掉一個最大的數(shù)和最小的數(shù)后，排序中間的1位數(shù)或2位數(shù)仍在中間，沒有變化，故中位數(shù)不變．平均數(shù)，眾數(shù)，方差都可能變化．故選：B．6.【答案】D【分析】本題考查了正方形的判定，同時也考查了平行四邊形、矩形及菱形的判定，掌握這些四邊形的判定方法是關(guān)鍵．根據(jù)正方形的判定方法即可作出判斷．【詳解】解：A、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，不符合題意；B、有三個角是直角的四邊形是矩形，不符合題意；C、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，不符合題意；D、對角線相等的菱形是正方形，符合題意；故選：D．7.【答案】B【分析】本題主要考查了一次函數(shù)圖象的平移問題，根據(jù)“上加下減，左加右減”的平移規(guī)律求解即可．【詳解】解：把正比例函數(shù)的圖象向左平移1個單位長度得到的函數(shù)解析式為，故選：B．8.【答案】D【分析】本題考查了動點(diǎn)問題函數(shù)圖象，分析菱形形狀變化過程是解題的關(guān)鍵；過點(diǎn)A作于E，當(dāng)E點(diǎn)與B點(diǎn)重合時，，可判斷出此時面積最大，且隨著x的減小，面積減小，隨著x的增大，面積也增大，而前三個選項(xiàng)中圖象均不滿足；故可作出判斷．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作于E；當(dāng)E點(diǎn)與B點(diǎn)重合時，，則，此時面積最大，且為，當(dāng)A往右方向移動時，減小，也減小，而跟著減小，即隨著x由減小到接近0，但不為0，面積由4減小到接近0，但不為0；同理，隨著x的增大到，面積也增大到4，前三個選項(xiàng)中圖象均不滿足，只有移項(xiàng)D滿足；故選：D．二、填空題(共24分，每題3分)9.【答案】【分析】本題考查了二次根式有意義，即被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，進(jìn)行列式計算，即可作答．【詳解】解：∵在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴∴故答案為：10.【答案】答案不唯一，如【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖像，熟練掌握一次函數(shù)圖像的特點(diǎn)是解題關(guān)鍵．由一次函數(shù)圖像經(jīng)過的象限可得，，只需要寫出一個符合條件的答案即可．【詳解】解：∵一次函數(shù)圖像過第二、三、四象限，∴，，∴此題答案不唯一，如．故答案為：答案不唯一，如．11.【答案】14【分析】本題考查了求平均數(shù)；根據(jù)平均數(shù)公式直接計算即可．【詳解】解：該排球隊隊員的平均年齡是（歲）故答案為：14．12.【答案】5【分析】本題考查了三角形中位線定理，利用三角形中位線定理得的周長為的周長的一半，即可求解；掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：是的中位線，，的周長為；故答案為：5．13.【答案】30【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握這三種性質(zhì)是關(guān)鍵；由題意得是等腰三角形，則可求得的度數(shù)；同理可求得的度數(shù)，由即可求解．【詳解】解：正方形中，；為等邊三角形，，，，；同理，；；故答案為：30．14.【答案】或6或2【分析】由題意可求得；分三種情況考慮：；；即可．【詳解】解：，，由勾股定理得：；當(dāng)時，如圖，則；當(dāng)時，過點(diǎn)C作于E，如圖；則，，由勾股定理得：，；當(dāng)時，則，；而，即，，是等邊三角形，，；綜上，的長為或6或2．【點(diǎn)睛】本題考查了含30度直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，注意分類討論．15.【答案】【分析】、本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；變形為，既然過定點(diǎn)，則與k值無關(guān)，此時只有即可，由此可求得定點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：變形為，直線過定點(diǎn)，則與k值無關(guān)，，即，，即定點(diǎn)坐標(biāo)為；故答案為：．16.【答案】【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理；結(jié)合圖形建立關(guān)系式是解題的關(guān)鍵；設(shè)小矩形的長為a，寬為b，根據(jù)陰影部分面積為大矩形面積減去5個小矩形面積等于40，化簡得的值，由勾股定理即可求得小矩形的對角線長．【詳解】解：設(shè)小矩形的長為a，寬為b，則大矩形長為，寬為，由題意得：，化簡得，；即小矩形對角線的長為.故答案為：．三、解答題(共52分，第17-22題，每題5分，第23題7分，第24題7分，第25題8分)17.【答案】【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算；根據(jù)分別化簡二次根式、按單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則進(jìn)行計算，再合并同類二次根式即可．【詳解】解：．18.【答案】【分析】本題考查了二次根式的化簡求值，利用二次根式的性質(zhì)正確化簡是解題的關(guān)鍵；先化簡二次根式，再代入計算求值即可．【詳解】解：，，當(dāng)時，原式．19.【答案】見解析【分析】本題主要考查了菱形的判定，矩形的性質(zhì)，根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形先證明四邊形是平行四邊形，再由矩形對角線相等且互相平分得到，由此即可證明四邊形是菱形．【詳解】證明：∵E為的中點(diǎn)，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∵四邊形是矩形，∴，∴四邊形是菱形．20.【答案】（1）見解析（2）見解析【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定：（1）題中并沒有指明三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，則無法證明；（2）由平行四邊形對邊相等且平行得到，，進(jìn)而得到，由此即可證明四邊形是平行四邊形．【小問1詳解】解：∵題中并沒有指明三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，∴由并不能得到；【小問2詳解】證明：因?yàn)槭瞧叫兴倪呅危裕忠驗(yàn)橐彩瞧叫兴倪呅?，所以．所以．所以四邊形是平行四邊形?1.【答案】（1）2（2）【分析】（1）把點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2代入中，得A點(diǎn)坐標(biāo)，把A點(diǎn)坐標(biāo)代入中，即可求得k的值；（2）由（1）知，當(dāng)時，求得k的值為2；當(dāng)時，可求得k的值；結(jié)合圖形，當(dāng)k的值位于這兩者之間時，保證關(guān)于x的不等式有且只有2個正整數(shù)解．【小問1詳解】解：當(dāng)時，，則；把A的坐標(biāo)代入中，得，即；【小問2詳解】解：由（1）知，當(dāng)時，；當(dāng)時，，即，如下圖所示；把點(diǎn)B坐標(biāo)代入中，得，即；由圖知，當(dāng)時，關(guān)于x的不等式有且只有2個正整數(shù)解．故k的取值范圍為．22.【答案】（1）166；165（2）甲組（3）四【分析】（1）由a知，第⑧、⑨號隊員是處于中間位置的兩個數(shù)，由中位數(shù)的意義則可求得中位數(shù)m的值；找到出現(xiàn)次數(shù)最多的即可；（2）根據(jù)兩組中最大值與最小值的差即可作出判斷；（3）分別計算各個方案中每組的平均數(shù)，選擇平均數(shù)最接近的兩組，再計算出方案中兩個組的最大值與最小值的差，可判斷出數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，從而作出判斷．【小問1詳解】解：由a知，第⑧、⑨號隊員是處于中間位置的兩個數(shù)，則；從表中知，數(shù)據(jù)165出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)；故答案為：166；165；【小問2詳解】解：甲組中最大與最小數(shù)據(jù)的差為，乙組中最大與最小數(shù)據(jù)的差為，而，表明甲組的數(shù)據(jù)更接近平均數(shù)，即甲組的波動程度更小，學(xué)生身高更整齊；故選：甲；【小問3詳解】解：方案一：甲組平均數(shù)為：，乙組的平均數(shù)為：方案二：甲組平均數(shù)為：，乙組的平均數(shù)為：方案三：甲組平均數(shù)為：，乙組的平均數(shù)為：；方案四：甲組平均數(shù)為：，乙組的平均數(shù)為：；方案三、四中兩組的平均數(shù)更接近；而方案三中，甲組最大與最小的差為14，乙組中最大與最小的差為10；方案四中甲組最大與最小的差為11，乙組中最大與最小的差為10；表明方案四中兩組的方差更接近，故方案四舞臺呈現(xiàn)效果最好；故答案為：四．【點(diǎn)睛】本題考查了求中位數(shù)與眾數(shù)，計算平均數(shù)，根據(jù)最大與最小值的差判斷數(shù)據(jù)的波動程度，正確計算這些統(tǒng)計量是解題的關(guān)鍵．23.【答案】（1）12尺（2）見解析【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用；（1）設(shè)水池深度為x尺，則得蘆葦高度為尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解；（2）由水池深度，則得蘆葦高度為，由題意有：；由勾股定理即可得證．【小問1詳解】解：設(shè)水池深度為x尺，則蘆葦高度為尺，由題意有：尺；為中點(diǎn)，且丈尺，(尺)；在中，由勾股定理得：，即，解得：；即尺；答：水池的深度為12尺；【小問2詳解】證明：水池深度，則蘆葦高度為，由題意有：；為中點(diǎn)，且，；在中，由勾股定理得：，即，整理得：；表明劉徽解法是正確的．24.【答案】（1）見解析（2）