小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(四年級)30講

分析與解：通常的做法是將這10個數(shù)直接相加.

小學(xué)奧數(shù)根底教程（四年級）但這些數(shù)雜亂無章，直接相加既繁且易錯。觀察這

第1講速算與巧算（一）些數(shù)不難發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)雖然大小不等，但相差不大。

第2講速算與巧算（二）我們可■以選擇一個適當?shù)臄?shù)作“基準”，比方以

第3講高斯求和“80”作基準,這10個數(shù)與80的差如下：

第4講4,8,9整除的數(shù)的特征6,-2,-3,3,11,-6,12,-11,4,-5,其中“一”

第5講棄九法號表示這個數(shù)比80小。于是得到

第6講數(shù)的整除性（二）總和=80X10+（6-2-3+3+11-

第7講找規(guī)律（一）=800+9=809。

第8講找規(guī)律（-）實際計算時只需口算，將這些數(shù)與80的差逐

第9講數(shù)字謎（一）一累加。為了清楚起見，將這一過程表示如下：

第10講數(shù)字巡（二）通過口算，得到差數(shù)累加為9,再加上80X10,

第11講歸一問題與歸總問題就可口算出結(jié)果為809。

第12講年齡問題例1所用的方法叫做加法的基準數(shù)法。這種方

第13講雞兔同籠問題與假設(shè)法法適用于加數(shù)較多，而且所有的加數(shù)相差不大的情

第14講盈虧問題與比擬法（一）況。作為“基準”的數(shù)（如例1的80）叫做基準數(shù),

第15講盈虧問題與比擬法（二）各數(shù)與基準數(shù)的差的和叫做累計差，由例1得到：

第16講數(shù)陣圖（一）總和數(shù)-基準數(shù)X加數(shù)的個數(shù)+累計差，

笫17講數(shù)陣圖（二）平均數(shù)一基準數(shù)?累計差+加數(shù)的個數(shù)，

第18講數(shù)陣圖（三）在使用基準數(shù)法時，應(yīng)選取與各數(shù)的差較小的

第19將乘法原理數(shù)作為基準數(shù)，這樣才容易計算累計差。同時考慮

第20講加法原理（一）到基準數(shù)與加數(shù)個數(shù)的乘法能夠方便地計算出來，

第21講加法原理（二）所以基準數(shù)應(yīng)盡量選取整十、整百的數(shù)。

第22講復(fù)原問題（一）例2某農(nóng)場有】（）塊麥田，每塊的產(chǎn)量如下（單位:

第23講復(fù)原問題（二）千克）：

第24講頁碼問題462,480,443,420,473,429,468,439,475,

第25講智取火柴461。求平均每塊麥田的產(chǎn)量。

第26講邏輯問題（一〕解：選基準數(shù)為450,那么

第27講邏輯問題（二）累計差=12+30—7-30+23—21+18—11+

第28講最不利原那么25+11

第29講抽屜原理（一）=50,

第30講抽屜原理（二）平均每塊產(chǎn)量=450+50+10=455（千克）。

答：平均每塊麥田的產(chǎn)量為455千克。

第講速算與巧算（一）

1求一位數(shù)的平方，在乘法口訣的九九表中已經(jīng)

計算是數(shù)學(xué)的根底，小學(xué)生要學(xué)好數(shù)學(xué)，必須被同學(xué)們熟知，如7X7=49（七七四十九）。對于

具有過硬的計算本領(lǐng)。準確、快速的計算能力既是兩位數(shù)的平方，大多數(shù)同學(xué)只是背熟了10?2（）的

一種技巧，也是一種思維訓(xùn)練，既能提高計算效率、平方，而21?99的平方就不大熟悉了。有沒有什

節(jié)省計算時間，更可以鍛煉記憶力，提高分析、判么竅門，能夠迅速算出兩位數(shù)的平方呢？這里向同

斷能力，促進思維和智力的開展。學(xué)們介紹-?種方法一一湊整補零法c所謂湊整補零

我們在三年級已經(jīng)講過一些叫那么運算的速法，就是用所求數(shù)與最接近的整卜數(shù)的差，通過移

算與巧算的方法，本講和下一講主要介紹加法的基多補少，將所求數(shù)轉(zhuǎn)化成一個整十數(shù)乘以另一數(shù)，

準數(shù)法和乘法的補同與同補速算法。再加上零頭的平方數(shù)。下面通過例題來說明這一方

例1四年級一班第一小組有io名同學(xué)，某次數(shù)學(xué)法。

測驗的成績（分數(shù)）如下：例3求29,和82?的值。

86,78,77,83,91,74,92,69,84,75。解：29'=29X29

求這10名同學(xué)的總分。=129+1）X（29-1）+12

=30X28+1=80X60+80X6+80X4+8X4

=840+1=80X160+6+4)+8X4

=84U=80X(604-10)+8X4

822=82X82=8X(6+1)X100+8X4o

=(82-2)X(82+2)+22于是，我們得到下面的速算式：

=80X84+4由上式看出，積的末兩位數(shù)是兩個因數(shù)的個位

=6720+4數(shù)之積,本例為8X4；積中從百位起前面的數(shù)是“個

=6724o位與十位相同的因數(shù)"的十位數(shù)與“個位與十位之

由上例看出，因為29比30少1,所以給2寸補"和為10的因數(shù)"的十位數(shù)加1的乘積，本例為8

L這叫"補少”；因為82比￡0多2,所以從82X(6+1)。

中“移走”2,這叫"移多”。因為是兩個相同數(shù)例677X91=?

相乘，所以對其中一個數(shù)“移多補少〃后，還需要解：由例3的解法得到

在另一個數(shù)上“找齊〃。本例中，給一個29補1,由上式看出，當兩個因數(shù)的個位數(shù)之積是一位

就要給另一個29減1：給一個82減了2,就要給數(shù)時，應(yīng)在十位上補一個0,本例為7X1=07。

另一個82加上2。最后，還要加上“移多補少”的用這種速算法只需口算就可以方便地解答出

數(shù)的平方。這類兩位數(shù)的乘法計算。

由湊整補零法計算35?,得練習(xí)1

35X35=40X30+52=1225。這與三年級學(xué)的個位數(shù)1.求下面10個數(shù)的總和：

是5的數(shù)的平方的速算方法結(jié)果相同。165,152,168,171,148,156,169,161,157,

這種方法不僅適用于求兩位數(shù)的平方值，也適149o

用于求三位數(shù)或更多位數(shù)的平方值。2.農(nóng)業(yè)科研小組測定麥苗的生長情況，量出12株

例4求993?和2()04?的值。麥苗的高度分別為(單位：厘米)：

解：993^=993X99326,25,25,23,27,28,26,24,29,27,27,

=(993+7)X(993-7)+7225o求這批麥苗的平均高度。

=1000X986+493.某車間有9個工人加工零件，他們加工零件的個

=986000+49數(shù)分別為：

=986049。68,91,84,75,78,81,83,72,79。

20042=2004X2004他們共加工了多少個零件？

=(2004-4)X(2004+4)+424.計算：

=2000X2023+1613+16+10+11+17+12+154-12+16+13+12o

=4016000+165.計算以下各題：

=4016016o(1)372；⑵532；(3)9f；

下面，我們介紹一類特殊情況的乘法的速算方(4)682：(5)108?；(6)397%

法。6.計算以下各題：

請看下面的算式：(1)77X28；(2)66X55；

66X46,73X88,19X44。(3)33X19；(4)82X44；

這幾道算式具有一個共同特點，兩個因數(shù)都是(5)37X33：(6)46X99o

兩位數(shù)，一個因數(shù)的十位數(shù)與個位數(shù)相同，另一因練習(xí)1答案

數(shù)的十位數(shù)與個位數(shù)之和為10。這類算式有非常簡1.1596。2.26厘米。

便的速算方法。3.711個。4.147。

例588X64=?5.(1)1369；(2)2809：(3)8281；

分析與解：由乘法分配律和結(jié)合律，得到(4)4624；(5)11664；：6)157609o

88X646.(1)2156；(2)3630；(3)627；

=(80+8)X[60+4)⑷3608；(5)1221；(6)4554。

=(80+8)X60+(80+8)X4

第2講速算與巧算(二)

=80X60+8X60+80X4+8X4

上一講我們介紹了一類兩位數(shù)乘法的速算方由例2看出,在“頭互補、尾相同”的兩個兩位數(shù)

法，這一講討論乘法的“同補”與"補同”速算乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個因數(shù)的個位數(shù)之積

法。(不夠兩位時前面補0,如3X3=09),積中從百

兩個數(shù)之和等于10,那么稱這兩個數(shù)互補。在位起前面的數(shù)是兩個因數(shù)的十位數(shù)之積加上被乘

整數(shù)乘法運算中，常會遇到像72X78,26X86等數(shù)(或乘數(shù))的個位數(shù)?！把a同〃速算法簡單地說

被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同或互補，或被乘數(shù)與就是：

乘數(shù)的個位數(shù)字相同或互補的情況。72X78的被乘積的末兩位數(shù)是“尾X尾”，前面是“頭X頭+尾”。

數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同、個位數(shù)字互補，這類式例1和例2介紹了兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的“同補〃或

子我們稱為“頭相同、尾互補”型：26X86的被乘“補同”形式的速算法。當被乘數(shù)和乘數(shù)多于兩位

數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字互補、個位數(shù)字相同，這類式時?，情況會發(fā)生什么變化呢？

子我們稱為“頭互補、尾相同〃型。計算這兩類題我們先將互補的概念推廣一下。當兩個數(shù)的和是

目，有非常簡捷的速算方法，分別稱為“同補”速10,100,1000,…時，這兩個數(shù)互為補數(shù)，簡稱

算法和“補同〃速算法?；パa。如43與57互補，99與1互補，555與445

例1(1)76X74=?(2)31X39=?互補。

分析與解：本例兩題都是“頭相同、尾互補"在一個乘法算式中，當被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾

類型。位數(shù)相同，后面的幾位數(shù)互補時，這個算式就是“同

(1)由乘法分配律和結(jié)合律，得到補”型，即”頭相同，尾互補'型。例如

76X747077X7023,,因為被乘數(shù)與乘數(shù)的前兩位數(shù)相

=(7+6)X(70+4)同，都是70,后兩位數(shù)互補，77+23=100,所以

=(70+6)X70+(7+6)X4=70X70+6X70

是“同補”型。又如52,231X232,,,

+70X4+6X4

=70X(70+6+4)+6X4等都是“同補”型。

=70X[70+10)+6X4當被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)互補，后面的幾位數(shù)

=7X(7+1)X100+6X4o相同時，這個乘法算式就是“補同”型，即"頭互

于是，我們得到下面的速算式：

補，尾相同"型。例如，I54X271,

(2)與(1)類似可得到下面的速算式：

由例1看出，在“頭相同、尾互補”的兩個兩

58614X586西等都是“補同”型.

位數(shù)乘法中，積的木兩位數(shù)是兩個因數(shù)的個位數(shù)之

積(不夠兩位時前面補0,如1X9=09),積中從在計算多位數(shù)的“同補”型乘法時，例1的方

百位起前面的數(shù)是被乘數(shù)(或乘數(shù))的十位數(shù)與十法仍然適用。

位數(shù)加1的乘積?！巴a”速算法簡單地說就是：例3(1)702X708=?(2)1708X1792=?

積的末兩位是“尾X尾”，前面是“頭X(頭+1)〃。解：(1)

我們在三年級時學(xué)到的15X15,25X25,…，(2)

95X95的速算，實際上就是“同補〃速算法。計算多位數(shù)的“同補”型乘法時，將“頭X(頭

例2(1)78X38=?(2)43X63=?+1)〃作為乘積的前幾位，將兩個互補數(shù)之積作為

分析與解：本例兩題都是“頭互補、尾相同"類型。乘積的后幾位。

(1)由乘法分配律和結(jié)合律，得到注意：互補數(shù)如果是n位數(shù)，那么應(yīng)占乘積的后2n

78X38位，缺乏的位補“0”。

=(70+8)X[30+8)在計算多位數(shù)的“補同”型乘法時，如果“補”

=(70+8)X30+(70+8)X8與“同"，即"頭"與"尾"的位數(shù)相同，那么例

=70X30+8X30+70X8+8X82的方法仍然適用(見例4)：如果“補〃與"同”

=70X30+8X(304-70)+8X8的位數(shù)不相同，那么例2的方法不再適用，因為沒

=7X3X100+8X100+8X8有簡捷實用的方法，所以就不再討論了。

=(7X3+8)X100+8X8。例42865X7265=?

于是，我們得到下面的速算式：解：

(2)與(1)類似可得到下面的速算式：練習(xí)2

計算以下各題：在利用等差數(shù)列求和公式時,有時項數(shù)并不是一目

1.68X62；2.93X97：了然的，這時就需要先求出項數(shù)。根據(jù)首項、末項、

3.27X87；4.79X39；公差的關(guān)系，可以得到

5.42X62；6.603X607；項數(shù):(末項-首項)+公差+1,

7.693X607；8.4085X6085。末項=首項+公差X(項數(shù)-1)。

例33+7+11+…+99=?

第3講高斯求和

分析與解：3,7,11,99是公差為4的等差數(shù)

德國著名數(shù)學(xué)家高斯幼年時代聰明過人，上學(xué)列，

肘，有一天老師出了一道題讓同學(xué)們計算：項數(shù):(99-3)4-4+1=25,

1+2+3+4+…+99+100=?原式-(3+99)X25+2=1275。

老師出完題后，全班同學(xué)都在埋頭計算，小高例4求首項是25,公差是3的等差數(shù)列的前40項

斯卻很快算出答案等于5050o高斯為什么算得又快的和。

又準呢？原來小高斯通過細心觀察發(fā)現(xiàn)：解：末項=25+3X(40-1)=142,

14-100=2+99=3+98=-=49+52=50+51o和=(254-142)X404-2=3340o

1?100正好可以分成這樣的50對數(shù)，每對數(shù)的和利用等差數(shù)列求和公式及求項數(shù)和末項的公式，可

都相等。于是，小高斯把這道題巧算為以解決各種與等差數(shù)列求和有關(guān)的問題。

(1+100)X100+2=5050。例5在以下圖中，每個最小的等邊三角形的面積是

小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，12厘米2,邊長是1根火柴棍。問：(1)最大三

簡單快捷，并且廣泛地適用于“等差數(shù)列”的求和角形的面枳是多少平方厘米？(2)整個圖形由多

問題。少根火柴棍擺成？

假設(shè)干個數(shù)排成一列稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一分析：最大三角形共有8層，從上往下擺時，每層

個數(shù)稱為一項，其中第一項稱為首項，最后一項稱的小三角形數(shù)目及所用火柴數(shù)目如下表：

為末項。后項與前項之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)層12345618

列，后項與前項之差稱為公差。例如：小三角/p>

(1)1,2,3,4,5,…，100；火柴數(shù)3691215182124

(2)1,3,5,7,9,…，99；(3)8,15,22,上表看出，各層的小三角形數(shù)成等差數(shù)列，各層的

29,36,?,,,71<)火柴數(shù)也成等差數(shù)列。

其中(1J是首項為1,末項為100,公差為1解：(1)最大三角形面積為

的等差數(shù)列；(2)是首項為1,末項為99,公差(1+3+5+…+15)X12

為2的等差數(shù)列；(3)是首項為8,末項為71,=[(1+15)X84-2]X12

公差為7的等差數(shù)列。=768(厘米2)。

由高斯的巧算方法，得到等差數(shù)列的求和公2)火柴棍的數(shù)目為

式：3+6+9+…+24

和=(首項+末項)X項數(shù)+2。=(3+24)X84-2=108]根)。

例11+2+3+…+1999=?答：最大三角形的面積是768厘米2,整個圖形由

分析與解：這串加數(shù)1,2,3,…，1999是等差數(shù)108根火柴擺成。

列，首項是1,末項是1999,央有1999個數(shù)。由例6盒子里放有三只乒乓球，一位魔術(shù)師第一次從

等差數(shù)列求和公式可得盒子里拿出一只球，將它變成3只球后放向盒子里;

原式二(1+1999)X19994-2=19990001,第二次又從盒子里拿出二只球，將每只球各變成3

注意：利用等差數(shù)列求和公式之前，一定要判只球后放回盒子里……第十次從盒子里拿出十只

斷題目中的各個加數(shù)是否構(gòu)成等差數(shù)列。球，將每只球各變成3只球后放回到盒子里。這時

例211+12+13+…+31=?盒子里共有多少只乒乓球？

分析與解：這串加數(shù)11,12,13,…，31是等差分析與解：一只球變成3只球，實際上多了2只球。

數(shù)列，首項是11,末項是31,共有3171+1=21第一次多了2只球，第二次多了2X2只球……第

1項)。十次多了2X1()只球。因此拿了十次后，多了

原式:(11+31)X214-2=441o2X1+2X2+…+2X10

=2X(1+2-1---1-10.1(2)一個數(shù)的個位數(shù)字如果是0或5,那么這

=2X55=110(只)o個數(shù)就能被5整除。

加上原有的3只球,盒子里共有球110+3=113(3)一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被3

I只)。整除，那么這個數(shù)就能被3整除。

綜合列式為：(4)一個數(shù)的末兩位數(shù)如果能被4(或25)

(3-1)X(1+2+…+10)+3整除，那么這個數(shù)就能被4(或25)整除。

=2X[(1+10)X104-2]+3=113(只)。(5)一個數(shù)的末三位數(shù)如果能被8(或125)

練習(xí)3整除，那么這個數(shù)就能被8(或125)整除。

1.計算以下各題：[6)一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被9

(1)2+4+6+…+200；整除，那么這個數(shù)就能被9整除。

(2)17+19+21+…+39；其中(1)(2)(3)是三年級學(xué)過的內(nèi)容，

(3)5+8+11+14+…+50；(4)(5)(6)是本講要學(xué)習(xí)的內(nèi)客。

(4)3+10+17+24+…+101。因為100能被4(或25)整除，所以由整除的

2.求首項是5,末項是93,公差是4的等差數(shù)列的性質(zhì)1知，整百的數(shù)都能被4(或25)整除。因為

和。任何自然數(shù)都能分成一個整百的數(shù)與這個數(shù)的后

3.求首項是13,公差是5的等差數(shù)列的前30項的兩位數(shù)之和，所以由整除的性質(zhì)2知，只要這個數(shù)

和。的后兩位數(shù)能被4(或25)整除，這個數(shù)就能被4

4.時鐘在每個整點敲打，敲打的次數(shù)等于該鐘點(或25)整除。這就證明了(4)。

數(shù)，每半點鐘也敲一下。問：時鐘一晝夜敲打多少類似地可以證明(5)。

次？(6)的正確性，我們用一個具體的數(shù)來說明

5.求100以內(nèi)除以3余2的所有數(shù)的和。一般性的證明方法。

6.在所有的兩位數(shù)中，十位數(shù)比個位數(shù)大的數(shù)837=800+30+7

共有多少個？=8X100+3X10+7

=8X(99+1)+3X(9+1)4-7

第四講4,8,9整除的數(shù)的特征

=8X99+8+3X9+3+7

我們在三年級已經(jīng)學(xué)習(xí)了能被2,3,5整除的數(shù)的=(8X99+3X9)+(8+3+7),

特征，這一講我們將討論整除的性質(zhì)，并講解能被因為99和9都能被9整除，所以根據(jù)整除的

4.8,9整除的數(shù)的特征。性質(zhì)1和性質(zhì)2知，(8x99+3x9)能被9整除。

數(shù)的整除具有如下性質(zhì)：再根據(jù)整除的性質(zhì)2,由(8+3+7)能被9整除，

性質(zhì)1如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整就能判斷837能被9整除。

除，那么甲數(shù)一定能被丙數(shù)整除，例如，48能被利用(4)(5)(6)還可以求出一個數(shù)除以4,

16整除，16能被8整除，那么48?定能被8整除。8,9的余數(shù)：

性質(zhì)2如果兩個數(shù)都能被一個自然數(shù)整除，那么這(4，)一個數(shù)除以4的余數(shù)，與它的末兩位除以4

兩個數(shù)的和與差也一定能被這個自然數(shù)整除,例的余數(shù)相同。

如，21與15都能被3整除，那么21+15及21T5(5,)一個數(shù)除以8的余數(shù)，與它的末三位除以8

都能被3整除。的余數(shù)相同。

性質(zhì)3如果一個數(shù)能分別被兩個互質(zhì)的自然數(shù)整(6,)一個數(shù)除以9的余數(shù)，與它的各位數(shù)字之

除，那么這個數(shù)一定能被這兩個互質(zhì)的自然數(shù)的乘和除以9的余數(shù)相同。

積整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，例1在下面的數(shù)中，哪些能被4整除？哪些能被8

巨9與7互質(zhì)，那么126能被9X7=63整除。整除？哪些能被9整除？

利用上面關(guān)于整除的性質(zhì)，我們可以解決許多234,789,7756,8865,3728.8064。

與整除有關(guān)的問題。為了進一步學(xué)習(xí)數(shù)的整除性，解：能被4整除的數(shù)有7736,3728,8064；

我們把學(xué)過的和將要學(xué)習(xí)的一些整除的數(shù)字特征能被8整除的數(shù)有3728,8064；

列出來：能被9整除的數(shù)有234,8865,8064。

(I)一個數(shù)的個位數(shù)字如果是0,2,4,6,8例2在四位數(shù)56口2中，被蓋住的十位數(shù)分別等于

中的一個，那么這個數(shù)就能被2整除。幾時，這個四位數(shù)分別能被9,8,4整除？

解：如果56口2能被9整除,那么B代表的數(shù)字確定下來,A所代表的數(shù)字就容切確

5+6+口+2=13+口定了。

應(yīng)能被9整除，所以當十位數(shù)是5,即四位數(shù)是5652

例5六位數(shù)3ABABA是6的倍數(shù)，這樣的六位數(shù)

時能被9整除；

如果56口2能被8整除，那么6口2應(yīng)能被8有多少個？

整除，所以當十位數(shù)是3或7,即四位數(shù)是5632或分析與解：因為6=2X3,且2與3互質(zhì)，所以這

5672時能被8整除;個整數(shù)既能被2整除又能被3整除。由六位數(shù)能被

如果56口2能被4整除，那么口2應(yīng)能被4整2整除，推知A可取0,2,4,6,8這五個值。再

除，所以當十位數(shù)是L3,5,7,9,即四位數(shù)是由六位數(shù)能被3整除，推知

5612,5632,5652,5672,5692時能被4整除。3+A+B+A+B+A=3+3A+2B

到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)學(xué)過能被找3,5,4,能被3整除，故2B能被3整除。B可取0,3,

8.9整除的數(shù)的特征。根據(jù)整除的性質(zhì)3,我們可6,9這4個值。由于B可以取4個值，A可以取5

以把判斷整除的范圍進一步擴大。例如，判斷一個個值，題H沒有要求AHB,所以符合條件的六位數(shù)

數(shù)能否被6整除，因為6=2X3,2與3互質(zhì)，所共有5X4=20（個）o

以如果這個數(shù)既能被2整除又能被3整除，那么根

例6要使六位數(shù)15ABe6能被36整除，而且所得

據(jù)整除的性質(zhì)3,可判定這個數(shù)能被6整除。同理,

判斷一個數(shù)能否被12整除，只需判斷這個數(shù)能否的商最小，問A,B,C各代表什么數(shù)字？

同時被3和4整除；判斷一個數(shù)能否被72整除，分析與解：因為36=4X9,且4與9互質(zhì)，所

只需判斷這個數(shù)能否同時被8和9整除；如此等等。以這個六位數(shù)應(yīng)既能被4整除乂能被9整除。六位

例3從0,2,5,7四個數(shù)字中任選三個，組成能

數(shù)15ABe6能被4整除,就要而能被4整除，因

同時被2,5,3整除的數(shù)，并將這些數(shù)從小到大進

行排列。此C可取1,3,5,7,90

解：因為組成的三位數(shù)能同時被2,5整除，所以

要使所得的商最小，就要使15ABe6這個六位

個位數(shù)字為（）。根據(jù)三位數(shù)能被3整除的特征，數(shù)

字和2+7+0與5+7+0都能被3整除，因此所求數(shù)盡可能小。因此首先是A盡量小，其次是B盡量

的這些數(shù)為270,570,720,750a

小，最后是C盡量小。先試取A=0o六位數(shù)150BC6

例4萬月數(shù)A329B能被72整除.問：A與B各代

的各位數(shù)字之和為12+B+C。它應(yīng)能破9整除，因

表什么數(shù)字？此B+C=6或B+C=15。因為B,C應(yīng)盡量小，所

以B+C=6,而C只能取1,3,5,7,9,所以要

分析與解：A329B能被72整除。因為72=8X9,

使15UBC6盡可能小，應(yīng)取B=l,C=5O

8和9是互質(zhì)數(shù)，所以適麗既能被8整除，又能

當A=0,B=l,C=5時，六位數(shù)能被36整除，

而且所得商最小，為150156+36=4171。

被9整除。根據(jù)能被8整除的數(shù)的特征，要求麗

練習(xí)4

能被8整除，由此可確定B=60再根據(jù)能被9整除1.6539724能被4,8,9,24,36,72中的哪幾個

數(shù)整除？

的數(shù)的特征，布函的各位數(shù)字之和為

2.個位數(shù)是5,且能被9整除的三位數(shù)共有多少個？

A+3+2+9+B=A+3—f—2+9+6=A+20,3.一些四位數(shù)，百位上的數(shù)字都是3,十位上的數(shù)

因為1WAW9,所以21WA+20W29。在這個字都是6,并且它們既能被2整除又能被3整除。

范圍內(nèi)只有27能被9整除，所以A=7。在這樣的四位數(shù)中，最大的和最小的各是多少？

解答例4的關(guān)鍵是把72分解成8X9,再分別根

4.五位數(shù)旃又能被12整除，求這個五位數(shù)。

據(jù)能被8和9整除的數(shù)的特征去討論B和A所代表

的數(shù)字。在解題順序上，應(yīng)先確定B所代表的數(shù)字,5.有一個能被24整除的四位數(shù)口23口，這個四位

因為B代表的數(shù)字不受A的取值大小的影響，一旦數(shù)最大是幾？最小是幾？

6從0,2,3.6,7這五個數(shù)碼中選出四個，可而45是9的倍數(shù),所以每一組1,2,3,…，

以組成多少個可以被8整除的沒有重復(fù)數(shù)字的四位9都可以劃掉。在1?99這九十九個數(shù)中，個位數(shù)

數(shù)？有十組1,2,3,…，9,都可劃掉；十位數(shù)也有十

7.在123的左右各添一個數(shù)碼，使得到的五位數(shù)組1,2,3,…，9,也都劃掉。這樣在這個大數(shù)中，

能被72整除。除了0以外，只剩下最后的100中的數(shù)字1。所以

8.學(xué)校買了72只小足球，發(fā)票上的總價有兩這個數(shù)除以9余1。

個數(shù)字已經(jīng)識別不清，只看到是口67.9口元，你知在上面的解法中，并沒有計算出這個數(shù)各個數(shù)

道每只小足球多少錢嗎？位上的數(shù)字和，而是利用棄九法分析求解。此題還

有其它簡捷的解法。因為一個數(shù)與它的各個數(shù)位上

第5講棄九法

的數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同，所以題中這個數(shù)各

從第4講知道，如果一個數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)個數(shù)位上的數(shù)字之和，與1+2+…+100除以9的

字之和能被9整除，那么這個數(shù)能被9整除；如果余數(shù)相同。

一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和被9除余數(shù)是幾，那利用高斯求和法,知此和是5050o因為5050

么這個數(shù)被9除的余數(shù)也一定是幾。利用這個性質(zhì)的數(shù)字和為5+0+5+0=10,利用棄九法，棄去一

可以迅速地判斷一個數(shù)能否被9整除或者求出被9個9余1,故5050除以9余1。因此題中的數(shù)除以

除的余數(shù)是幾。9余1。

例如，3645732這個數(shù)，各個數(shù)位上的數(shù)字之例3檢驗下面的加法算式是否正確：

和為2638457+3521983+6745785=12907225。

3+6+4+5+7+3+2=30,分析與解：假設(shè)干個加數(shù)的九余數(shù)相加，所得和的

30被9除余3,所以3645732這個數(shù)不能被9整除，九余數(shù)應(yīng)當?shù)扔谶@些加數(shù)的和的九余數(shù)。如果不

后被9除后余數(shù)為3。等，那么這個加法算式肯定不正確。上式中，三個

但是，當一個數(shù)的數(shù)位較多時，這種計算麻煩加數(shù)的九余數(shù)依次為8,4,6,8+4+6的九余數(shù)為0；

且易錯。有沒有更簡便的方法呢？和的九余數(shù)為1。因為0N1,所以這個算式不正確。

因為我們只是判斷這個式子被9除的余數(shù)，所例4檢驗下面的減法算式是否正確：

以但凡假設(shè)十個數(shù)的和是9時，就把這些數(shù)劃掉，7832145-2167953=5664192。

如3+6=9,4+5=9,7+2=9,把這些數(shù)劃掉后，分析與解：被減數(shù)的九余數(shù)減去減數(shù)的九余數(shù)（假

最多只剩下一個3（如以下圖），所以這個數(shù)除以設(shè)不夠減，可在被減數(shù)的九余數(shù)上加9,然后再減）

9的余數(shù)是3。應(yīng)當?shù)扔诓畹木庞鄶?shù)。如果小等，那么這個減法計

這種將和為9或9的倍數(shù)的數(shù)字劃掉，用剩下算肯定不正確。上式中被減數(shù)的九余數(shù)是3,減數(shù)

的數(shù)字和求除以9的余數(shù)的方法，叫做棄九法。的九余數(shù)是6,由（9+3）-6=6知，原題等號左邊

一個數(shù)被9除的余數(shù)叫做這個數(shù)的九余數(shù)。利的九余數(shù)是6。等號右邊的九余數(shù)也是6。因為6

用棄九法可以計算一個數(shù)的九余數(shù)，還可以檢驗四=6,所以這個減法運算可能正確。

那么運算的正確性。值得注意的是，這里我們用的是“可能正確"。

例1求多位數(shù)除以9的余數(shù)。利用棄九法檢驗加法、減法、乘法（見例5）運算

分析與解：利用棄九法，將和為9的數(shù)依次劃掉。的結(jié)果是否正確時，如果等號兩邊的九余數(shù)不相

只剩下7,6,1,5四個數(shù)，這時口算一下即等，那么這個算式肯定不正確；如果等號兩邊的九

可?？谒阒?，7,6,5的和是9的倍數(shù)，又可劃掉，余數(shù)相等，那么還不能確定算式是否正確，因為九

只剩下1。所以這個多位數(shù)除以9余1。余數(shù)只有0,1,2,…，8九種情況，不同的數(shù)可

例2將自然數(shù)1,2,3,…依次無間隔地寫下去組能有相同的九余數(shù)。所以用棄九法檢驗運算的正確

成一個數(shù)…如果一直寫到自然數(shù)100,那么所得的性，只是一種粗略的檢驗。

數(shù)除以9的余數(shù)是多少？例5檢驗下面的乘法算式是否正確：

分析與解：因為這個數(shù)太大，全部寫出來很麻煩，46876X9537=447156412o

在使用棄九法時不能逐個劃掉用為9或9的倍數(shù)的分析與解：兩個因數(shù)的九余數(shù)相乘，所得的數(shù)的九

數(shù)，所以要配適宜當?shù)姆治?。我們已?jīng)熟知余數(shù)應(yīng)當?shù)扔趦蓚€因數(shù)的乘積的九余數(shù)。如果不

1+2+3+???+9=45,等，那么這個乘法計算肯定不正確。上式中，被乘

數(shù)的九余數(shù)是4,乘數(shù)的九余數(shù)是6；4X6=24,

24的九余數(shù)是6。乘積的九余數(shù)是7。6*7.所以(1)41873：(2)296738185。

這個算式不正確。分析與解：⑴[(4+8+3)—(14-7)]4-11

說明：因為除法是乘法的逆運算，被除數(shù)=除=74-11=0........7,

數(shù)X商+余數(shù)，所以當余數(shù)為零時，利用充九法驗所以41873除以11的余數(shù)是7。

算除法可化為用棄九法去驗算乘法。例如，檢驗(2)奇數(shù)位之和為2+6+3+1+5=：7,偶數(shù)位之

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