【二輪復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué) 重難點(diǎn)11 立體幾何常考經(jīng)典小題全歸類（新高考專用）（原卷版）

重難點(diǎn)11立體幾何?？冀?jīng)典小題全歸類【九大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1求幾何體的體積與表面積】 4【題型2與球有關(guān)的截面問題】 5【題型3體積、面積、周長、距離的最值與范圍問題】 5【題型4幾何體與球的切、接問題】 6【題型5空間線段以及線段之和最值問題】 7【題型6空間角問題】 8【題型7翻折問題】 9【題型8立體幾何中的軌跡問題】 10【題型9以立體幾何為載體的情境題】 12立體幾何是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，屬于高考的必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，高考對該部分的考查，小題主要體現(xiàn)在三個(gè)方面：一是有關(guān)空間線面位置關(guān)系的判斷；二是空間幾何體的體積和表面積的計(jì)算，難度較易；三是常見的一些經(jīng)典?？級狠S小題，涉及到空間角、空間距離與軌跡問題等，難度中等或偏上．【知識點(diǎn)1空間幾何體表面積與體積的常見求法】1.求幾何體體積的常用方法

(1)公式法：直接代入公式求解.

(2)等體積法：四面體的任何一個(gè)面都可以作為底面，只需選用底面面積和高都易求出的形式即可.

(3)補(bǔ)體法：將幾何體補(bǔ)成易求解的幾何體，如棱錐補(bǔ)成棱柱，三棱柱補(bǔ)成四棱柱等.

(4)分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.

2.求組合體的表面積與體積的一般方法

求組合體的表面積的問題，首先應(yīng)弄清它的組成部分，其表面有哪些底面和側(cè)面，各個(gè)面的面積應(yīng)該怎樣求，然后根據(jù)公式求出各個(gè)面的面積，最后相加或相減.求體積時(shí)也要先弄清各組成部分，求出各簡單幾何體的體積，再相加或相減.【知識點(diǎn)2幾何體與球的切、接問題的解題策略】1.常見的幾何體與球的切、接問題的解決方案：常見的與球有關(guān)的組合體問題有兩種：一種是內(nèi)切球，另一種是外接球.

常見的幾何體與球的切、接問題的解決方案：2.空間幾何體外接球問題的求解方法：空間幾何體外接球問題的處理關(guān)鍵是確定球心的位置，常見的求解方法有如下幾種：(1)涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解.(2)若球面上四點(diǎn)P,A,B,C構(gòu)成的三條線段PA,PB,PC兩兩垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長方體，根據(jù)4R2=a2+b2+c2求解.(3)利用平面幾何體知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.【知識點(diǎn)3幾何法與向量法求空間角】1.幾何法求異面直線所成的角(1)求異面直線所成角一般步驟：①平移：選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，線段的中點(diǎn)或端點(diǎn)，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線；②證明：證明所作的角是異面直線所成的角；③尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之；④取舍：因?yàn)楫惷嬷本€所成角的取值范圍是，所以所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角.2.用向量法求異面直線所成角的一般步驟：(1)建立空間直角坐標(biāo)系；(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)注意兩異面直線所成角的范圍是，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對值.3.幾何法求線面角(1)垂線法求線面角(也稱直接法)；(2)公式法求線面角(也稱等體積法)：用等體積法，求出斜線PA在面外的一點(diǎn)P到面的距離，利用三角形的正弦公式進(jìn)行求解.公式為：，其中是斜線與平面所成的角，h是垂線段的長，l是斜線段的長.4.向量法求直線與平面所成角的主要方法:(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，將題目轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角，取其余角就是斜線和平面所成的角.5.幾何法求二面角作二面角的平面角的方法：作二面角的平面角可以用定義法，也可以用垂面法，即在一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.6.向量法求二面角的解題思路:用法向量求兩平面的夾角：分別求出兩個(gè)法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到兩平面夾角的大小.【知識點(diǎn)4立體幾何中的最值問題及其解題策略】1.立體幾何中的幾類最值問題立體幾何中的最值問題有三類：一是空間幾何體中相關(guān)的點(diǎn)、線和面在運(yùn)動(dòng)，求線段長度、截面的面積和體積的最值；二是空間幾何體中相關(guān)點(diǎn)和線段在運(yùn)動(dòng)，求有關(guān)角度和距離的最值；三是在空間幾何體中，已知某些量的最值，確定點(diǎn)、線和面之間的位置關(guān)系．2.立體幾何中的最值問題的求解方法解決立體幾何中的最值問題主要有兩種解題方法：一是幾何法，利用幾何體的性質(zhì)，探求圖形中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系；二是代數(shù)法，通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示所求量的目標(biāo)函數(shù)，借助函數(shù)思想方法求最值；通過降維的思想，將空間某些量的最值問題轉(zhuǎn)化為平面三角形、四邊形或圓中的最值問題．【知識點(diǎn)5立體幾何中的軌跡問題及其解題策略】1.立體幾何中的軌跡問題立體幾何中的軌跡問題，這是一類立體幾何與解析幾何的交匯題型，既考查學(xué)生的空間想象能力，即點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，又考查用代數(shù)方法研究軌跡的基本思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等素養(yǎng)．2.立體幾何中的軌跡問題的求解方法解決立體幾何中的軌跡問題有兩種方法：一是幾何法：對于軌跡為幾何體的問題，要抓住幾何體中的不變量，借助空間幾何體（柱、錐、臺(tái)、球）的定義；對于軌跡為平面上的問題，要利用降維的思想，熟悉平面圖形（直線、圓、圓錐曲線）的定義．二是代數(shù)法：在圖形中，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行求解．【知識點(diǎn)6以立體幾何為載體的情境題的求解策略】1.以立體幾何為載體的幾類情境題以立體幾何為載體的情境題大致有三類：(1)以數(shù)學(xué)名著為背景設(shè)置問題，涉及中外名著中的數(shù)學(xué)名題名人等；(2)以數(shù)學(xué)文化為背景設(shè)置問題，包括中國傳統(tǒng)文化，中外古建筑等；(3)以生活實(shí)際為背景設(shè)置問題，涵蓋生產(chǎn)生活、勞動(dòng)實(shí)踐、文化精神等．2.以立體幾何為載體的情境題的求解思路以立體幾何為載體的情境題都跟圖形有關(guān)，涉及在具體情境下的圖形閱讀，需要通過數(shù)形結(jié)合來解決問題.此類問題的求解過程主要分四步：一是要讀特征，即從圖形中讀出圖形的基本特征；二是要讀本質(zhì)，即要善于將所讀出的信息進(jìn)行提升，實(shí)現(xiàn)“圖形→文字→符號”的轉(zhuǎn)化；三是要有問題意識，帶著問題閱讀圖形，將研究圖形的本身特征和關(guān)注題目要解決的問題有機(jī)地融合在一起；四是要有運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)，要“動(dòng)手”去操作，動(dòng)態(tài)地去閱讀圖形．【題型1求幾何體的體積與表面積】【例1】（2023·江蘇徐州·沛縣湖西中學(xué)模擬預(yù)測）在三棱錐P-ABC中，三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=2，若三棱錐P-ABC的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球的表面上，則該球的體積是（

）A．43π B．42π C．【變式1-1】（2023·陜西銅川·統(tǒng)考一模）我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中積水深九寸，則平地降雨量是（

）（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸；③V臺(tái)A．6寸 B．4寸 C．3寸 D．2寸【變式1-2】（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，已知正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1的高為2,A．563 B．56 C．283 D【變式1-3】（2023·山東·統(tǒng)考一模）陀螺起源于我國，在山西夏縣新石器時(shí)代的遺址中，就出土了目前發(fā)現(xiàn)的最早的石制陀螺因此，陀螺的歷史至少也有四千年，如圖所示為一個(gè)陀螺的立體結(jié)構(gòu)圖，若該陀螺底面圓的直徑AB=12cm，圓柱體部分的高BC=6cm，圓錐體部分的高

A．(144+1213)πcmC．(108+1213)πcm【題型2與球有關(guān)的截面問題】【例2】（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知球O的一個(gè)截面的面積為2π，球心O到該截面的距離比球的半徑小1，則球O的表面積為（

A．8π B．9π C．12π【變式2-1】（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）上、下底面均為等邊三角形的三棱臺(tái)的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，若三棱臺(tái)的高為3，上、下底面邊長分別為15，26，則該球的表面積為（

A．32π B．36π C．40π D．42π【變式2-2】（2023·河南·信陽高中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐A-BCD中，AB,AC,AD兩兩垂直，且AB=AC=

A．23π B．3π C．3【變式2-3】（2023·江西南昌·江西師大附中校考三模）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E為棱CC1A．136π B．2512π C．【題型3體積、面積、周長、距離的最值與范圍問題】【例3】（2023·福建莆田·莆田一中?？家荒＃┤鐖D，在邊長為a的正三角形的三個(gè)角處各剪去一個(gè)四邊形.這個(gè)四邊形是由兩個(gè)全等的直角三角形組成的，并且這三個(gè)四邊形也全等，如圖①.若用剩下的部分折成一個(gè)無蓋的正三棱柱形容器，如圖②.則這個(gè)容器的容積的最大值為（

）A．a(chǎn)327 B．a(chǎn)336 C．【變式3-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=60°A．4π B．8π C．43【變式3-2】（2023·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┱睦庵鵄BCD-A1B1C1D1中，AB=2，P為底面A1B1A．263 B．83 C．4【變式3-3】（2023·湖南長沙·長沙一中?？寄M預(yù)測）已知A，B，C，D是體積為2053π的球體表面上四點(diǎn)，若AB=4，AC=2，BC=23，且三棱錐A－BCDA．23 B．32 C．13 D【題型4幾何體與球的切、接問題】【例4】（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）三棱錐S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=BC．過點(diǎn)A分別作AE⊥SB，AF⊥SC交SB、SCA．33 B．13 C．22【變式4-1】（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，已知正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體為正八面體，則該正八面體的內(nèi)切球表面積為（

）A．π6 B．π C．4π3【變式4-2】（2023·全國·模擬預(yù)測）為了便于制作工藝品，某工廠將一根底面半徑為6cm，高為4cm的圓柱形木料裁截成一個(gè)正四棱臺(tái)木料，已知該正四棱臺(tái)上底面的邊長不大于42A．128πcm2 B．145πcm2 C．【變式4-3】（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學(xué)?？级＃┤缃裰袊蛔u(yù)為基建狂魔，可謂是逢山開路，遇水架橋.公路里程?高鐵里程雙雙都是世界第一.建設(shè)過程中研制出用于基建的大型龍門吊?平衡盾構(gòu)機(jī)等國之重器更是世界領(lǐng)先.如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球?yàn)檎拿骟wABCD的內(nèi)切球，中等球與最大球和正四面體三個(gè)面均相切，最小球與中等球和正四面體三個(gè)面均相切，已知正四面體ABCD棱長為26，則模型中九個(gè)球的表面積和為（

A．6π B．9π C．31π【題型5空間線段以及線段之和最值問題】【例5】（2023·湖南長沙·長郡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知底面邊長為a的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1內(nèi)接于半徑為3的球內(nèi)，E，F(xiàn)分別為B1C1，C1D1的中點(diǎn)，G，HA．2 B．322 C．2 D【變式5-1】（2023·安徽合肥·合肥市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=3，在線段A．33 B．213 C．37【變式5-2】（2023·四川綿陽·模擬預(yù)測）如圖，棱長為2的正方體ABCD-A1B1

①三棱錐D-BPC1的體積為定值；②C1P⊥CB1；③直線DC1A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式5-3】（2023·天津和平·耀華中學(xué)?？级＃兆?，古稱“角黍”，早在春秋時(shí)期就已出現(xiàn)，到晉代成為了端午節(jié)的節(jié)慶食物．現(xiàn)將兩個(gè)正四面體進(jìn)行拼接，得到如圖所示的粽子形狀的六面體，其中點(diǎn)G在線段CD（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，若此六面體的體積為163，則下列說法正確的是（

A．EF=2 B．C．EG+FG的最小值為32 D．EG【題型6空間角問題】【例6】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面積是底面積的63倍，點(diǎn)E為四邊形ABB1AA．23913 B．3913 C．39【變式6-1】（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA

A．13 B．33 C．23【變式6-2】（2023·全國·模擬預(yù)測）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若點(diǎn)NA．存在直線MN，使MN//B1C B．異面直線CMC．直線CM與平面BND所成的角為π3 D．平面BMC//【變式6-3】（2023·四川遂寧·統(tǒng)考三模）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，線段B1DA．當(dāng)E運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角E-ABB．當(dāng)E,F運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐體積C．當(dāng)E,F運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在點(diǎn)ED．當(dāng)E,F運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角【題型7翻折問題】【例7】（2023·四川瀘州·統(tǒng)考一模）已知菱形ABCD的邊長為6，∠BAD=60°，將△BCD沿對角線BD翻折，使點(diǎn)C到點(diǎn)P處，且二面角A-BD-PA．21π B．2821π C．52【變式7-1】（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）在矩形ABCD中，AB=3,AD=4，將△ABD沿對角線BD翻折至△A'BD的位置，使得平面A'BDA．43510 B．625 C．239【變式7-2】（2023·湖北恩施·校考模擬預(yù)測）如圖，矩形ABCD中，E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，且BC=2AB=2，現(xiàn)將△ABE沿AE向上翻折，使B點(diǎn)移到

A．存在點(diǎn)P，使得PEB．存在點(diǎn)P，使得PEC．三棱錐P-AEDD．當(dāng)三棱錐P-AED的體積達(dá)到最大值時(shí)，三棱錐P【變式7-3】（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，已知△ABC是邊長為4的等邊三角形，D,E分別是AB,AC的中點(diǎn)，將△ADE沿著DE翻折，使點(diǎn)A到點(diǎn)

A．翻折過程中，該四棱錐的體積有最大值為3B．存在某個(gè)點(diǎn)P位置，滿足平面PDE⊥平面C．當(dāng)PB⊥PC時(shí)，直線PB與平面BCEDD．當(dāng)PB=10【題型8立體幾何中的軌跡問題】【例8】（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3，點(diǎn)P是平面ACB1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，M，N分別為C1D1，

A．3π4 B．π2 C．π【變式8-1】（2023·海南省直轄縣級單位·文昌中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD為正方形，側(cè)棱與底面垂直，點(diǎn)P是側(cè)棱DD1上的點(diǎn)，且DP=2

A．3 B．2 C．233 D【變式8-2】（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正四棱錐（底面為正方形，且頂點(diǎn)在底面的射影為正方形的中心的棱錐為正四棱錐）P－ABCD的底面正方形邊長為2，其內(nèi)切球O的表面積為π3，動(dòng)點(diǎn)Q在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且滿足OQ=OP，則動(dòng)點(diǎn)QA．2π11 B．3π11 C．【變式8-3】（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1

A．若P在面AB1CB．若A1P⊥AC．P的軌跡圍成的封閉曲面體積為326D．四棱錐P-ABCD體積最大值為4【題型9以立體幾何為載體的情境題】【例9】（2023·云南大理·統(tǒng)考一模）我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題，在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為36寸，盆底直徑為12寸，盆深18寸.若某次下雨盆中積水的深度恰好是盆深的一半，則該天池盆中水的體積為（

）A．1404π立方寸 B．1080π立方寸 C．756π立方寸 D【變式9-1】（2023·廣東廣州·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┌⒒椎露嗝骟w是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體．如圖所示的阿基米德多面體有四個(gè)全等的正三角形面和四個(gè)全等的正六邊形面，該多面體是由過正四面體各棱的三等分點(diǎn)的平面截去四個(gè)小正四面體得到．若該多面體的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，且點(diǎn)O到正六邊形面的距離為62，則球O的體積為（

A．71424π B．7143π【變式9-2】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖1所示，宮燈又稱宮廷花燈，是中國彩燈中富有特色的漢民族傳統(tǒng)手工藝品之一．圖2是小明為自家設(shè)計(jì)的一個(gè)花燈的直觀圖，該花燈由上面的正六棱臺(tái)與下面的正六棱柱組成，若正六棱臺(tái)的上、下兩個(gè)底面的邊長分別為4dm和2dm，正六棱臺(tái)與正六棱柱的高分別為1dm和6

A．108+303dm2 B．72+303dm2【變式9-3】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）《九章算術(shù)·商功》：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，其一為鱉臑”.意思是一個(gè)長方體沿對角面斜解（圖1），得到一模一樣的兩個(gè)塹堵（圖2），再沿一個(gè)塹堵的一個(gè)頂點(diǎn)和相對的棱斜解（圖2），得一個(gè)四棱錐稱為陽馬（圖3），一個(gè)三棱錐稱為鱉臑（圖4）.若長方體的體積為V，由該長方體斜解所得到的塹堵、陽馬和鱉臑的體積分別為V1，V2，V3

A．V1+VC．V2=2V1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個(gè)五面體，其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形，兩個(gè)面是全等的等腰三角形．若AB=25m,BC=AD=10

A．102m B．112mC．117m D．