【二輪復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué) 重難點(diǎn)08 正、余弦定理解三角形的重要模型和綜合應(yīng)用（新高考專用）（解析版）

重難點(diǎn)08正、余弦定理解三角形的重要模型和綜合應(yīng)用【八大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1三角形中的邊、角計(jì)算】 3【題型2解三角形中的中線模型】 7【題型3解三角形中的倍角模型】 11【題型4解三角中的角平分線模型】 15【題型5解三角形中的等分點(diǎn)模型】 19【題型6三角形、四邊形的面積最值或范圍問題】 22【題型7三角形中的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值或范圍問題】 27【題型8解三角形與三角函數(shù)綜合】 31解三角形是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，是每年高考必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來(lái)看，正、余弦定理解三角形在選擇題、填空題中考查較多，難度較易；綜合考查以解答題為主，中等難度.對(duì)于解答題，主要考查正、余弦定理與三角形面積公式的綜合應(yīng)用，有時(shí)也會(huì)與三角函數(shù)、平面向量等知識(shí)綜合考查.【知識(shí)點(diǎn)1解三角形中的重要模型】1.中線模型(1)中線長(zhǎng)定理：在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，AD是BC邊上的中線，則.(2)向量法：.2.倍角模型，這樣的三角形稱為“倍角三角形”．推論1：；推論2：.3.角平分線模型角平分線張角定理：如圖，為平分線，則斯庫(kù)頓定理：如圖，是的角平分線，則，可記憶：中方=上積-下積．4.等分點(diǎn)模型如圖，若在邊上，且滿足，，則延長(zhǎng)至，使，連接.易知∥，且，，．【知識(shí)點(diǎn)2正、余弦定理解三角形的方法技巧】1.正弦定理、余弦定理解三角形的主要作用正弦定理、余弦定理解三角形的主要作用是將三角形中已知條件的邊、角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系或邊的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的互化，基本思想是方程思想，即根據(jù)正弦定理、余弦定理列出關(guān)于未知元素的方程，通過(guò)解方程求得未知元素．2.對(duì)三角形解的個(gè)數(shù)的研究已知三角形的兩角和任意一邊，求其他的邊和角，此時(shí)有唯一解，三角形被唯一確定.

已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他的邊和角，此時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解或無(wú)解的情況，三角形不能被唯一確定.

(1)從代數(shù)的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角”時(shí)三角形解的情況，下面以已知a,b和A，解三角形為例加以說(shuō)明.

由正弦定理、正弦函數(shù)的有界性及三角形的性質(zhì)可得：

①若B=>1，則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為0；

②若B==1，則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為1；

③若B=<1，則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為1或2.

顯然由0<B=<1可得B有兩個(gè)值，一個(gè)大于，一個(gè)小于，考慮到“大邊對(duì)大角”、“三角形內(nèi)角和等于”等，此時(shí)需進(jìn)行討論.3.與三角形面積有關(guān)問題的求解思路：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相關(guān)邊、角之后，直接求三角形的面積；(2)把面積作為已知條件之一，與正弦、余弦定理結(jié)合求出三角形的其他量.4.三角形中的最值（范圍）問題的解題策略：(1)正、余弦定理是求解三角形的邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)或面積的最值（范圍）問題的核心，要牢牢掌握并靈活運(yùn)用．解題時(shí)要結(jié)合正弦定理和余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化，再結(jié)合角的范圍、輔助角公式、基本不等式等研究其最值（范圍）．(2)“坐標(biāo)法”也是解決三角形最值問題的一種重要方法.解題時(shí)，要充分利用題設(shè)條件中所提供的特殊邊角關(guān)系，建立合適的直角坐標(biāo)系，正確求出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，將所要求的目標(biāo)式表示出來(lái)并合理化簡(jiǎn)，再結(jié)合三角函數(shù)、基本不等式等知識(shí)求其最值．【題型1三角形中的邊、角計(jì)算】【例1】（2023·四川綿陽(yáng)·四川?？家荒＃┯洝鰽BC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知asin(A+B)=csinB+C(1)求A；(2)已知c=3，b=1，邊BC上有一點(diǎn)D滿足S△【解題思路】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式，結(jié)合正弦定理、正弦的二倍角公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合余弦定理進(jìn)行求解即可.【解答過(guò)程】（1）∵asin(A即sinA又sinC≠0，即有sinA∵A2∈(0,π2)，cosA（2）設(shè)∠BDA=α，∠ADC=在△ABC中，由余弦定理a2BC2=9+1-2×3×1×又S△ABD=3在△ABD中，AB即9=6316在△ACD中，1=7即1=716聯(lián)立①②解得AD=【變式1-1】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AB=AC=33BC(1)求sin∠(2)若△ABC面積為3，求CD【解題思路】（1）設(shè)BC=3t(t>0)，利用余弦定理求得A（2）利用三角形面積公式即可求出（1）問的t值，再利用余弦定理即可.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)锳B=AC=33BC,由余弦定理得cosA=A所以A在△ACD中,由正弦定理得AD在△BCD中,由正弦定理得BD因?yàn)锳D=52整理得sin∠（2）由AD=52由（1）得12t2sin在△BCD中,BC由余弦定理得CD=(2【變式1-2】（2023·云南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且b(1)求角C；(2)若c=25，D為邊BC的中點(diǎn)，△ADC的面積S=1且B【解題思路】（1）首先根據(jù)正弦定理，將等式中的邊轉(zhuǎn)化成角，然后通過(guò)三角函數(shù)恒等變換求出角C的正切值，進(jìn)而求出角C.（2）首先由△ADC面積S=1可得S△ABC=2，利用面積公式可得ab=42，再利用余弦定理得a2【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閎=c(又sinB=sin因?yàn)锳∈(0,π)，所以sin即tanC=-1，又C∈(0,（2）由△ADC面積S=1可得則12absinC=2，即又c2=a2聯(lián)立①②得a=22b=2或a=2在△ACD中，由余弦定理可得AD2所以AD=【變式1-3】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知平面四邊形ABCD，AB=6，AC=219，BC<AB(1)求∠ABC(2)若S△ABC=3S△【解題思路】（1）根據(jù)三角形的面積公式求得sin∠BAC，進(jìn)而求得cos∠BAC，利用余弦定理求得BC，再次利用余弦定理求得（2）方法一：設(shè)∠DBC=θ，設(shè)BD=x，利用三角形的面積公式以及余弦定理求得CD【解答過(guò)程】（1）△ABC的面積為63，即解得sin∠因?yàn)锽C<AB，所以所以cos∠BC=所以cos=6又∠ABC∈0,（2）方法一：設(shè)∠DBC=θ0<θ由S△ABC=3S△BCD，得在△ABDAD即2將sinθ=3由sin2θ+cos2當(dāng)x=2時(shí)，cosθ=-故x=23，所以在△BCD中，由余弦定理得CD方法二：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC為x軸正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．由題意知A-3,33，B由S△ABC=3則點(diǎn)D到BC的距離為3，設(shè)Dx,3因?yàn)锳D=3所以x+3解得x=3，即D3,3【題型2解三角形中的中線模型】【例2】（2023下·遼寧大連·高一校聯(lián)考期中）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，c=2b(1)求sinC(2)若△ABC的面積為67，求AB邊上的中線CD【解題思路】（1）利用二倍角公式，結(jié)合正弦定理、余弦定理及同角三角函數(shù)關(guān)系式即可求出結(jié)果；（2）利用三角形面積公式，及（1）的相關(guān)結(jié)論，再結(jié)合平面向量的四邊形法則，利用向量的線性表示出CD，最后利用求模公式即可求AB邊上的中線CD的長(zhǎng).【解答過(guò)程】（1）因?yàn)?sin所以2sin所以2a即a=3所以cosC由余弦定理及c=2cosC又cosC所以a2即a=所以cosC所以sinC（2）由S△所以ab=24由（1）a=所以b=4,因?yàn)镃D為AB邊上的中線，所以CD=所以CD===28，所以CD=2所以AB邊上的中線CD的長(zhǎng)為27【變式2-1】（2023·青海海東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C(1)求角A的值；(2)若a=2，求BC邊上的中線AD【解題思路】（1）切化弦后，結(jié)合兩角和差公式和誘導(dǎo)公式可求得cosA，進(jìn)而得到A（2）利用余弦定理和基本不等式可求得bc范圍，根據(jù)AD=1【解答過(guò)程】（1）∵12cos∴cosA=12（2）由余弦定理得：a2=b∴b2+∵AD∴AD2=∴AD≤3，即AD【變式2-2】（2023下·浙江湖州·高一湖州中學(xué)校考階段練習(xí)）在△ABC中，已知AB=2，AC=4，∠BAC=60°，BC，AC邊上的兩條中線AM(1)求BP的長(zhǎng)度；(2)求∠MPN【解題思路】（1）先得到△ABN為等邊三角形，結(jié)合中位線，由三角形相似得到BP（2）先由余弦定理求出BC=23，得到AB⊥BC，由相似知識(shí)求出AP=2【解答過(guò)程】（1）連接MN，則MN是△ABC故MN//AB，且在△ABN中，AN=12故△ABN所以BN=2因?yàn)椤鰽BP∽△MNP，所以所以BP=（2）在△ABC中，由余弦定理得B解得BC=23，則因?yàn)锳B2+在△ABM中，由勾股定理得AM因?yàn)椤鰽BP∽△MNP，所以PMAP在△ABP中，由余弦定理得cos因?yàn)椤螹PN=∠APB，所以∠【變式2-3】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在銳角△ABC中，角A,B,C(1)求角A的大?。?2)若邊a=2，邊BC的中點(diǎn)為D，求中線AD【解題思路】（1）由余弦定理結(jié)合正弦定理，可得出角的正切即可求出角；（2）由|AD【解答過(guò)程】（1）由余弦定理得2c即c=由正弦定理得sin=sin∵sinC≠0,∴∵A（2）由余弦定理得：2=b2+|由正弦定理得b所以b=2bc=2因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，所以0<B<則π4中線AD長(zhǎng)的取值范圍是(10【題型3解三角形中的倍角模型】【例3】（2023下·遼寧沈陽(yáng)·高一沈陽(yáng)二中?？计谥校┰阡J角△ABC中，角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)向量m=a+c,(1)求證：C(2)求ba+【解題思路】（1）根據(jù)余弦定理，正弦定理，解三角方程即可證明；（2）根據(jù)正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，構(gòu)建關(guān)于角A的函數(shù)，再利用換元法及對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閙=a+c,所以m?又由余弦定理，c2=a所以2abcosC由正弦定理可得，2sin在△ABC中，sinB得，sinA即sin(A-C所以A-C=-（2）由C=2b==4cos因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，所以0<A<π所以cosA∈(22,則4cos因?yàn)閷?duì)勾函數(shù)y=4t+1t所以ba+2【變式3-1】（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，滿足b2(1)證明：B=2(2)求1tan【解題思路】（1）利用正余弦定理得sinA=sinC(2（2）根據(jù)三角恒等變換結(jié)合（1）中的結(jié)論化簡(jiǎn)得y=1sinB+3sin【解答過(guò)程】（1）由b2=c2+ac由正弦定理得sinA又A+∴sin∴sin∴sin∵A,B,∴B（2）令y=sinBcos由（1）B=2C得在銳角三角形ABC中,0<A<π20<∴sinB∈根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知y=f(∴y=f(t)∈【變式3-2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）記△ABC的內(nèi)角A,B,C(1)判斷A與B的等量關(guān)系，并證明．(2)若b=1，求△【解題思路】（1）由余弦定理得2bcosA=c-b，再由正弦定理得（2）由正弦定理化簡(jiǎn)得到a+c【解答過(guò)程】（1）解：等量關(guān)系為A=2證明如下：因?yàn)閍2=b即2b又由正弦定理，可得2sin因?yàn)锳+B+即2sin整理得sinB=-sin又因?yàn)锳,B∈0,π，所以A（2）解：由asinA=可得a=2所以a+因?yàn)锳=2B，所以0<B<π所以△ABC周長(zhǎng)的取值范圍是2,6【變式3-3】（2023·云南昆明·校聯(lián)考一模）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，c(1)證明：B=2(2)求a+b【解題思路】（1）運(yùn)用余弦定理得2c?（2）運(yùn)用三角形內(nèi)角范圍求得角C的范圍，進(jìn)而求得cosC范圍，運(yùn)用邊化角將問題轉(zhuǎn)化為求關(guān)于cosC【解答過(guò)程】（1）∵c2∴c2∴由余弦定理得：cosB=a由正弦定理得：2sin∴2sin整理得：sinBcosC又∵B、∴B-C=（2）∵B=2∴A=又∵sin2C=2sinC∴由正弦定理得：a+b=2cos又∵0<A∴12令t=cosC，則a∵y=4t2∴y=4t2當(dāng)t=12時(shí)，y=4×1∴1<a+bc<5【題型4解三角中的角平分線模型】【例4】（2023·云南曲靖·統(tǒng)考一模）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)依次是a，b，c，b=23，(1)求角B的大小；(2)當(dāng)△ABC面積最大時(shí)，求∠BAC的平分線AD的長(zhǎng)．【解題思路】（1）由正弦定理角化邊，再應(yīng)用余弦定理可解得角B.（2）由余弦定理與重要不等式可得△ABC面積最大時(shí)a、c的值，在△ABD中應(yīng)用正弦定理可解得AD的值.【解答過(guò)程】（1）∵sin2∴由正弦定理可得a2∴由余弦定理得cosB又∵B∈0,π，（2）在△ABC中，由余弦定理得b2即a2∵a>0，c∴a2+c∴12=a2+c2+ac≥3ac又∵△ABC面積為S=∴當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝2時(shí)△ABC面積最大．當(dāng)a＝c＝2時(shí)，∠BAC又∵AD為∠BAC的角平分線，∴∴在△ABD中，∠ADB∴在△ABD中，由正弦定理得ADsin【變式4-1】（2023·山西呂梁·統(tǒng)考二模）如圖，在平面四邊形ABCD中，∠A=135°，AB=2，∠ABD的平分線交AD于點(diǎn)

(1)求∠ABE及BD(2)若∠BCD=60°，求【解題思路】（1）在△ABE中，利用正弦定理求出sin∠AEB，從而求出∠AEB的大小，從而求出∠ABE的大小，再根據(jù)BE是∠ABD的平分線可得△BDE是等腰三角形，從而可得DE長(zhǎng)度，在△BDE中，利用余弦定理即可求BD；（2）設(shè)BC=m，CD=n．在△BCD中，利用余弦定理得m，n的關(guān)系式，，再結(jié)合基本不等式即可求出m＋n【解答過(guò)程】（1）在△ABE中，由正弦定理得sin又∠AEB<∠A于是∠ABE∵BE為角平分線，∴∠DBE=15°，∴∠BDE=15°在△BDE中，根據(jù)余弦定理得B∴BD=2（2）設(shè)BC=m，CD=由余弦定理得43即有m+n2∴m+當(dāng)且僅當(dāng)m=n=23+1∴△BCD周長(zhǎng)的最大值為6+6【變式4-2】（2023下·江西·高一校聯(lián)考期末）記△ABC的內(nèi)角A,B,∠ACB(1)若cosB=3(2)已知D為AB上一點(diǎn)，從下列兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知，求線段CD長(zhǎng)度的最大值.①CD為∠ACB的平分線；②CD為邊AB上的中線注：如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【解題思路】（1）根據(jù)題意，由余弦定理和三角形的面積公式即可得到C=（2）若選①，由余弦定理結(jié)合基本不等式即可得到結(jié)果；若選②，由2CD=【解答過(guò)程】（1）因?yàn)镾=由余弦定理可得a2+b由三角形的面積公式可得S=12所以tan∠ACB=3，又因?yàn)閏osB=35，所以所以sin=4由正弦定理得asinA=所以a=（2）選擇條件①：在△ABC中由余弦定理得a2+即(a+b當(dāng)且僅當(dāng)a=又因?yàn)镾△CDA+所以CD=當(dāng)且僅當(dāng)a=故CD的最大值為33選擇條件②：由點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)得2CD平方得4|CD在△ABC中由余弦定理得a即(a+b當(dāng)且僅當(dāng)a=故有4|=2從而CD≤33，故CD的最大值為【變式4-3】（2023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測(cè)）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足cos(1)求A；(2)若D為邊BC上的一點(diǎn)，AD為∠BAC的平分線，且AD=3，求【解題思路】（1）先用倍角公式化簡(jiǎn)已知等式，再用正弦定理邊角互換，最后由余弦定理即可求解.（2）由題意得，S△ABC=S【解答過(guò)程】（1）由倍角公式得cos2所以cos2又cos2所以4sin故sin2由正弦定理得b2又cosA=b2+（2）因?yàn)锳D平分∠BAC，所以∠CAD設(shè)△ABC的面積為S△ABC，△ACD的面積為S△所以S△故12所以c?b=c+當(dāng)且僅當(dāng)b=4，c=43時(shí)等號(hào)成立．所以【題型5解三角形中的等分點(diǎn)模型】【例5】（2023上·安徽蕪湖·高三校考階段練習(xí)）已知△ABC中，點(diǎn)D為線段AC上靠近A的四等分點(diǎn)，其中cos∠BDC（1）求A的值；（2）若BD=37，求△【解題思路】（1）根據(jù)同角基本關(guān)系式與兩角差余弦公式即可得到結(jié)果；（2）在△ABD中，利用正弦定理得到AD=3，進(jìn)而利用S【解答過(guò)程】（1）依題意，sin∠而{解得{故cos=-2故0<A<π（2）依題意，S△在△ABD中，BD即3732而sin∠故S△【變式5-1】（2023·河南洛陽(yáng)·洛陽(yáng)市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）已知函數(shù)f(x)=23cosx-π2cosx+2sin2x，在△(1)求角A；(2)若b=3，c=2，點(diǎn)D為BC邊上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，求AD的長(zhǎng)度．【解題思路】（1）運(yùn)用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)，再運(yùn)用特殊角的三角函數(shù)值解方程即可.（2）方法一：在△ABC中運(yùn)用余弦定理求得BC及cosB，再在△ABD中運(yùn)用余弦定理可求得AD方法二：運(yùn)用平面向量基本定理可得AD=2【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閒=3所以f(A)=2所以2A-π又0<A<π（2）如圖所示，方法一：在△ABC中，由余弦定理可得BC則BC=7．又點(diǎn)D為BC邊上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，所以又在△ABC中，cosB在△ABD中，由余弦定理可得A所以AD=方法二：因?yàn)辄c(diǎn)D為BC邊上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，所以AD=等式兩邊同時(shí)平方可得|AD所以|AD|=2【變式5-2】（2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a(1)判斷△ABC(2)已知D為BC上一點(diǎn)，則當(dāng)A=2π3，a=33，【解題思路】（1）利用正弦定理及三角恒等變化計(jì)算即可；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論可得B=C【解答過(guò)程】（1）由正弦定理得：sin2因?yàn)锳∈0,π，所以sin由A+B+整理得1=cos所以B-而B、C∈0,π（2）由（1）可得B=由正弦定理可得b=sinB余弦定理可知：AD2=解之得BD=3=13BC或【變式5-3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)a，b，c分別為△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，AD為BC邊上的中線，c＝1，∠BAC=(1)求AD的長(zhǎng)度；(2)若E為AB上靠近B的四等分點(diǎn)，G為△ABC的重心，連接EG并延長(zhǎng)與AC交于點(diǎn)F，求AF【解題思路】（1）首先利用正弦定理，邊角互化，再利用余弦定理，即可求得.（2）首先利用重心的性質(zhì)，求出AG，再利用余弦定理求出∠BAD=π2，再結(jié)合cos【解答過(guò)程】（1）依據(jù)題意，由2c2accosB=ab=2c=2，cos∠BACcosB=1+7-42（2）G為△ABC的重心，∴AG=23cos∠AGF=-cos∠AGE=-443，sin∠【題型6三角形、四邊形的面積最值或范圍問題】【例6】（2023·四川樂山·統(tǒng)考一模）在平面四邊形ABCD中，已知∠BAD=3∠BCD，AB=2，(1)若∠BDC=5(2)求△BCD面積的最大值【解題思路】（1）利用余弦定理求出cos∠BAD=-2（2）利用余弦定理求出10=CD2+【解答過(guò)程】（1）由題意得連接BD，如圖，在△ABDcos∠因?yàn)?<∠BAD<π因?yàn)椤螧AD=3∠BCD因?yàn)椤螧DC=5在△BCDBDsin∠BCD所以CD=（2）在△BCD中，BD=10BD即10=所以CD?CB≤所以S△故△BCD面積的最大值為5【變式6-1】（2023·四川樂山·統(tǒng)考一模）已知四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，AB=2，AD=2(1)若∠BDC=π3，求(2)求四邊形ABCD面積的最大值.【解題思路】（1）根據(jù)余弦定理、圓的幾何性質(zhì)、正弦定理，先求得CD，進(jìn)而求得BD邊上的高.（2）根據(jù)“正弦定理和三角形的面積公式”或“余弦定理和三角形的面積公式”，結(jié)合三角函數(shù)的最值或基本不等式求得四邊形ABCD面積的最大值.【解答過(guò)程】（1）在△ABDcos∠∵0<∠BAD<π∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，∴∠BAD+∠BCD∵∠BDC=πBDsin∠∴CD∴BD邊上的高h(yuǎn)（2）解法一：由（1）可知：S△在△BCD中，設(shè)∠BDC=α由正弦定理得：CDsin∴CD∴=5=5=51∴當(dāng)且僅當(dāng)2α-π4=π2故四邊形ABCD面積的最大值為52解法二：由（1）可知：S△在△BCD中，BD=10BD即：10=C∴CD?CB≤102-S△故四邊形ABCD面積的最大值為52【變式6-2】（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？既＃┤鐖D，P是邊長(zhǎng)為2的正三角形△ABC所在平面上一點(diǎn)（點(diǎn)A、B、C、P逆時(shí)針排列），且滿足CP=CA

(1)若θ=π3(2)用θ表示△PAB的面積S，并求S的取值范圍【解題思路】（1）由余弦定理直接計(jì)算即可；（2）由正弦定理求出AP，然后代入三角形面積公式，結(jié)合輔助角公式及三角函數(shù)值域求出面積范圍.【解答過(guò)程】（1）由θ=π3，且△則∠PAB=2所以在△PAB中，由余弦定理得P所以PB=2（2）由CP=CA，則∠CAP在△PAC中，由正弦定理有APsinπ所以S=23又0<θ<π，且0<π-所以sin2θ+故S的取值范圍為0,2+3【變式6-3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知△ABC的外心為O，M,N為線段AB,AC上的兩點(diǎn)，且(1)證明：|(2)若|AO|=3，|OM【解題思路】（1）設(shè)AM=x1,?BM=y1,?（2）利用余弦定理求得cos∠AOM，cos∠AON，再根據(jù)cos∠AOM+cos∠AON【解答過(guò)程】（1）證明：設(shè)AM=由余弦定理知：cos∠AMO=由O是△ABC外心知AO=而cos∠所以x1即(x而x1+y同理可知x2因此x1所以|AM（2）解：由（1）知x1由余弦定理知：cos∠AOM=代入cos∠AOM+設(shè)μ=x1因此S△當(dāng)且僅當(dāng)μ=因此S△AMNS【題型7三角形中的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值或范圍問題】【例7】（2023·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考一模）在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知sin(1)求角B的值；(2)若a=2，求△【解題思路】（1）根據(jù)正弦定理得到a2+c（2）根據(jù)正弦定理得到b=1sinA,c=3sinA【解答過(guò)程】（1）sinA-sin即a2由余弦定理得：cosB因?yàn)锽∈所以B=（2）銳角△ABC中，a=2，由正弦定理得：2sin故b=則b=3因?yàn)殇J角△ABC中，B則A∈0,π解得：A∈故tanA∈3則1tan故b+c所以三角形周長(zhǎng)的取值范圍是3+3【變式7-1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C(1)求角A的大??；(2)若△ABC的中線AD=3【解題思路】（1）asin由正弦定理得，sinA（2）AD為中線→AD=12【解答過(guò)程】（1）由題可得，asinC=因?yàn)閟inC≠0，所以12因?yàn)锳∈0,π（2）易知AD=兩邊同時(shí)平方得AD2=1法一：12=c2+因?yàn)閎+c≥2所以12≥34b當(dāng)且僅當(dāng)b=所以b+c的最大值是法二：12=b令b則b=2所以b+當(dāng)且僅當(dāng)θ=π6所以b+c的最大值為【變式7-2】（2023·海南海口·校聯(lián)考一模）在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，已知AC=3，CD=1，∠(1)求∠ADC及AD(2)求四邊形ABCD周長(zhǎng)的最大值．【解題思路】（1）在△ACD中利用正弦定理及勾股定理求解作答（2）利用（1）的結(jié)論，結(jié)合余弦定理及均值不等式求出BA+BC【解答過(guò)程】（1）在△ACD中，由正弦定理ACsin∠即sin∠ADC=32因此△ACD為直角三角形，則AD所以∠ADC=60°，（2）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為圓內(nèi)接四邊形，且∠ADC=60°，則在△ABC中，由余弦定理，得A即3=B所以BA+BC≤2所以四邊形ABCD周長(zhǎng)的最大值為2+1+2=5.【變式7-3】（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考二模）請(qǐng)從①asinB-3bcosBcosC=3在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若___________，(1)求角B的大小；(2)若△ABC為銳角三角形，c=1，求a2【解題思路】（1）選①，利用正弦定理結(jié)合sinB+C選②，由正弦定理得到a2+c選③，由正弦定理得到3sinB=1+（2）利用正弦定理和余弦定理得到a2+b2=1+32【解答過(guò)程】（1）若選①因?yàn)閍sin由正弦定理得sinA即sinAsinB所以sinA由A∈(0,π)，得sinA≠0因?yàn)锽∈(0,π)若選②由(sinA-由正弦定理得：a2+c2-因?yàn)锽∈(0,π)若選③由正弦定理得3sinBsin因?yàn)?<A<π所以3sinB=1+又因?yàn)?π6<（2）在△ABC中，由正弦定理asinA=由（1）知：B=π3，又с=1+因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以0<C<所以tanC>3所以a2【題型8解三角形與三角函數(shù)綜合】【例8】（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知f(x)=（1）求f(（2）已知銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b【解題思路】（1）整理得f(x)=2cos2x+π6，可得其最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）由f(A)=-3，可得A=【解答過(guò)程】解：（1）f===2cosf(x)當(dāng)2kπ即當(dāng)kπ-π12所以函數(shù)f(x)（2）因?yàn)閒(f∵A∈0,∴2A+π設(shè)BC邊上的高為h，所以有12由余弦定理可知：a2∴??16=b∴bc≤16（當(dāng)用僅當(dāng)b=因此BC邊上的高的最大值23【變式8-1】（2023·云南·校聯(lián)考三模）已知函數(shù)fx=3sinωx(1)求fx(2)若鈍角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,【解題思路】（1）利用二倍角公式及輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，根據(jù)單調(diào)性求出ω的取值范圍，再根據(jù)對(duì)稱性求出ω的值，即可得到函數(shù)解析式；（2）首先求出A，再利用余弦定理及基本不等式求出b+c【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閒==23因?yàn)閒x在π,4π3上單調(diào)，且ω又fπ4=f5π12解得ω=2+3k,k∈（2）因?yàn)閒A2=2又0<A<π，所以-π6解得A=π2因?yàn)椤鰽BC為鈍角三角形，所以A由余弦定理a2=b即b+c2所以b+c≤2即△ABC周長(zhǎng)的最大值為2+2【變式8-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)y=(2)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足a2-b【解題思路】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)已知條件，然后利用整體代入法求得y=f（2）利用余弦定理求得A，結(jié)合三角函數(shù)值域的求法求得fB的取值范圍【解答過(guò)程】（1）f令-π2所以，單調(diào)減區(qū)間是-2（2）由a2b2+c由于0<A<π在△ABC中，0<fB于是π6<B+π12≤-sin【變式8-3】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)=m?(1)求f((2)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，已知f(A)=2，b=1，△ABC的面積為3【解題思路】（1）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及倍角余弦公式、輔助角公式可得f(x)=（2）由題設(shè)可得A=π3，應(yīng)用三角形面積公式有c=2，由余弦定理可得a【解答過(guò)程】（1）由題設(shè)，f(x)=2所以，當(dāng)sin(2x+π6（2）由f(A)=2，得：2sin(2所以2A+π6∈(由S△ABC=在△ABC中，由余弦定理得：a2所以a=由asinA=1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,cA．π10 B．π5 C．3π【解題思路】首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求得∠A的值，最后利用三角形內(nèi)角和定理可得∠A【解答過(guò)程】由題意結(jié)合正弦定理可得sinA即sinA整理可得sinBcosA=0，由于據(jù)此可得cosA則B=故選：C.2．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一．如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影A',B',C'滿足∠A'C'B'=45°，∠A'B'C'=60°．由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為15°，BB'與A．346 B．373 C．446 D．473【解題思路】通過(guò)做輔助線，將已知所求量轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，借助正弦定理，求得A'【解答過(guò)程】過(guò)C作CH⊥BB'，過(guò)B故AA'-由題，易知△ADB為等腰直角三角形，所以AD所以AA'-因?yàn)椤螧CH=15°在△AA'而sin15°=所以A所以AA'-故選：B．3．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，∠BAC=60°,AB=2,BC=6，∠BAC的角平分線交【解題思路】方法一：利用余弦定理求出AC，再根據(jù)等面積法求出AD；方法二：利用余弦定理求出AC，再根據(jù)正弦定理求出B,【解答過(guò)程】如圖所示：記AB=方法一：由余弦定理可得，22因?yàn)閎>0，解得：b由S△12解得：AD=故答案為：2．方法二：由余弦定理可得，22+b2-由正弦定理可得，6sin60°=b因?yàn)?+3>6>2又∠BAD=30°，所以故答案為：2．4．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD【解題思路】設(shè)CD=2BD=2m【解答過(guò)程】[方法一]：余弦定理設(shè)CD=2則在△ABD中，A在△ACD中，A所以A≥4-12當(dāng)且僅當(dāng)m+1=3m所以當(dāng)ACAB取最小值時(shí)，m故答案為：3-[方法二]：建系法令BD=t，以D為原點(diǎn)，OC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.則C（2t,0），A（1，3），B（-t,0）∴[方法三]：余弦定理設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得{c2={c2=令A(yù)CAB=t∴t∴t當(dāng)且僅當(dāng)x+1=3x+1[方法四]：判別式法設(shè)BD=x在△ABD中，A在△ACD中，A所以AC2A則(4-由方程有解得：Δ即t2-所以tmin=4-2所以當(dāng)ACAB取最小值時(shí)，x=3故答案為：3-5．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知△(1)若∠ADC=π(2)若b2+c【解題思路】（1）方法1，利用三角形面積公式求出a，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面積公式求出a，作出BC邊上的高，利