2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-拉檔提分?jǐn)?shù)列111-120-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

數(shù)列放縮之分類討論【例1】已知數(shù)列的前項(xiàng)和。滿足，求證：對(duì)任意大于4的整數(shù)，都有?！窘馕觥咳菀椎玫?，由于通項(xiàng)中含有，很難直接放縮，考慮分類討論：當(dāng)≥3且為奇數(shù)時(shí)，，（減項(xiàng)放縮）①當(dāng)>4且為偶數(shù)時(shí)，；②當(dāng)>4且為奇數(shù)時(shí)，，由①知，由①②知原命題得證。數(shù)列和式之均值放縮【例1】設(shè)，求證:.【解析】此數(shù)列的通項(xiàng)為.因?yàn)?，所以，即。【評(píng)注】①應(yīng)注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放成，則得，就放過“度”了?、诟鶕?jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來選取所需要的重要不等式，其中，=2，3.…的各式及其變形公式均可供選用。【例2】已知函數(shù)，若，且在[0，1]上的最小值為，求證：.【解析】由已知條件易得則【例3】已知為正數(shù)，且.求證：對(duì)任意，都有。【解析】由得,又.故,而。令,則,因?yàn)?，倒序相加?而,則,所以，即對(duì)任意，.【例4】求證:.【解析】不等式左邊==右邊，所以原命題成立?！纠?】已知,求證:.【解析】.經(jīng)過倒序相乘，就可以得到.【例6】已知，求證：.【解析】，其中.因?yàn)椋?，所?從而，所以。【例7】若>7，求證：.【解析】，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)。所以，所以，所以.【例8】已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求證：.【解析】由已知得，當(dāng)=1時(shí)，左邊=,右邊=0，不等式成立。當(dāng)≥2時(shí)，.令,倒序相加得：，所以，所以成立。綜上，當(dāng)時(shí)，命題成立.【例9】已知函數(shù).求函數(shù)的最小值，并求最小值小于0時(shí)的取值范圍；令,求證：.【解析】（1）,令>0，得>1,，又>1，所以，同理得<0時(shí)有，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以，若<0.即<0，則<一1，即.所以的取值范國(guó)是1<<.(2），所以不等式成立?！纠?0】求證：.【解析】先證左邊：.另解：.再證右邊：.綜上，待證不等式成立。數(shù)列和式之函數(shù)放縮【例1】求證：當(dāng)≥2時(shí)，.【解析】構(gòu)造函數(shù),則單調(diào)遞減，由得到，由，得，則，再進(jìn)行裂項(xiàng)求和后可以得到：，不等式左邊，右邊，綜上知待證不等式得證。【評(píng)注】函數(shù)構(gòu)造形式：.【例2】求證:?！窘馕觥?，要證明，即證明,由得,則令，，.累加即可證明待證不等式成立.【評(píng)注】函數(shù)構(gòu)造形式：.當(dāng)然本題的證明還可以運(yùn)用積分放縮。如圖，取函數(shù)，首先，從而，取=1，有，所以有，相加后可以得到.另一方面，，從而有，取=1有，所以有.綜上可得【變式訓(xùn)練】已知在數(shù)列中，，求證：；(2）；（3）.【例3】求證：；.【解析】（1）構(gòu)造函數(shù)后即可證明.，由，得，則，則，即.(2)，由得，則，即.【例4】求證：.【解析】由，得，累加后右邊只能得到“”，無法得到“”，因此調(diào)整為，驗(yàn)證當(dāng)=1時(shí)，，不一定成立，因此再調(diào)整為，驗(yàn)證當(dāng)=1時(shí)，，成立。則，（加強(qiáng)命題）。另解：由，還可證明①.因?yàn)?，所以，①式得證，故原命題得證?！纠?】求證：.【解析】，只要證明.由得，即。累加可得.【例6】已知，求證：.【解析】由，得.，兩邊取自然對(duì)數(shù)，可以得到，運(yùn)用和裂項(xiàng)法：，，……，，累加得，即，所以.放縮思路：由。得，于是，.即，從而.【評(píng)注】是一個(gè)很有用的結(jié)論，可以起到提示思路與探索放縮方向的作用；當(dāng)然，本題還可用結(jié)論來放縮：由，得，，所以，即，所以?！纠?】求證【解析】先構(gòu)造函數(shù)，由，得。從而，因?yàn)椋浴纠?】已知函數(shù)，（1）若≥0時(shí)，≤0，求的最小值；（2）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)，求證：.【答案】（1）由已知.若，則當(dāng)時(shí)，>0，>0；若，則當(dāng)>0時(shí)，<0,<0.綜上，的最小值是。（2）令，由（1)知，當(dāng)>0時(shí)，<0，即.取，則.于是.所以.【評(píng)注】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用與不等式的證明，考查學(xué)生的分類討論思想和利用構(gòu)造法證明不等式的解題能力.第（1）小題通過求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷滿足條件的2的范圍，確定其最小值；第（2）小題借助（1）中的結(jié)論，得到不等式，進(jìn)而構(gòu)造達(dá)到證明不等式的目的.【例9]已知函數(shù).若>0,>0，求證：.【解析】由題意知即證明.令，則，即證明,設(shè)函數(shù)，因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，?gt;0，則有>1，即，得等.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。所以的最小值為，即總有≥.而.所以，即.令，則.即,即待證不等式成立?！纠?0】已知函數(shù)是在上處處可導(dǎo)的函數(shù)，在>0上恒成立.（1）求證：函數(shù)