2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-函數(shù)與不等式311-320-專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

三、有關(guān)周期性的問(wèn)題[例1]設(shè)是定義在上的偶函數(shù),其圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),求證是周期函數(shù).故即,又由是偶函數(shù)知?jiǎng)t,將上式中-用代換,得.這表明是上的周期函數(shù),且2是它的一個(gè)周期.[例2]是定義在R上的函數(shù),對(duì)任意有并存在正實(shí)數(shù)c,使試問(wèn)是否為周期函數(shù)?若是,求出它的一個(gè)周期;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.解析:用分別替換條件中的x,y得即,所以故是周期函數(shù),2c是它的一個(gè)周期.《評(píng)注》這類(lèi)問(wèn)題應(yīng)該仔細(xì)分析題設(shè)條件，通過(guò)類(lèi)比、聯(lián)想找到滿條件的函數(shù)模型，通過(guò)對(duì)函數(shù)模型的分析賦值代換以獲得問(wèn)題的解答.請(qǐng)記住下列抽象函數(shù)模型：f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)的函數(shù)模型是余弦函數(shù)型f(x-y)=1+f(x)f(y)/{f(x)-f(y)}的函數(shù)模型是余切函數(shù)型f(x+y)=f(x)-f(y)/1+f(x)f(y)的函數(shù)模型是正切函數(shù)型，它們的共同點(diǎn)是都具有周期性.[例3]設(shè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)且若,求證的周期為解析：由得,故的周期為.變式訓(xùn)練已知是定義在上的函數(shù),且滿足求的值..[例4]設(shè)是定義在上的偶函數(shù),其圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),對(duì)任意都有求及的值;求證：f(x)是周期函數(shù)；記=，求.解析：(1)因?yàn)閷?duì)都有所以又所以得.（2)依題設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),有即又由是偶函數(shù)知,所以得這表示是上的周期函數(shù),且2是它的一個(gè)周期.(3)由(1)知,故因?yàn)榈囊粋€(gè)周期是2,所以從而，所以四、抽象函數(shù)的綜合展現(xiàn)[例1]已知定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)同時(shí)滿足:（1）對(duì)于任意,總有;(3)若則有（1)試求的值（2)試求函數(shù)的最大值(3)求證:滿足上述條件的函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)都有.解析：令,依條件可得即又由條件(1)得則(2)任取可知,則,即,故.于是當(dāng)時(shí),有因此,當(dāng)時(shí)有最大值為1.(3)()當(dāng)時(shí);(ii)當(dāng)時(shí)則,顯然,當(dāng)時(shí)成立假設(shè)當(dāng)時(shí),有成立,其中.那么當(dāng)時(shí)可知對(duì)于總有其中而對(duì)于任意存在正整數(shù)n,使得,此時(shí).(iii)當(dāng)時(shí).綜上可知,滿足條件的函數(shù)對(duì)總有成立.[例2]已知函數(shù)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y都有且.(1)求的值;（2)求證:對(duì)一切大于1的正整數(shù)t,恒有（3)試求滿足的整數(shù)的個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由.解析：(1)令得令因?yàn)樗粤畹?所以(2)令得,故當(dāng)時(shí),有由可知,對(duì)一切正整數(shù)都有當(dāng)時(shí)故對(duì)一切大于1的正整數(shù),恒有(3)解法1:由及(1)可知下面證明當(dāng)時(shí),.早得.因?yàn)?所以同理可得將各不等式相加得由得綜上所述，滿足條件的整數(shù)只有兩個(gè),即1和一2.解法2:由得((2)故是二次函數(shù).（由（1）知最高次數(shù)不是四次,由（2）知最高次數(shù)為三次也不可能,故只能是二次）設(shè)待定系數(shù)得,則即解得或一2.故滿足條件的整數(shù)只有1和-2.解法得,分別用和1代換和得,遞推累加即得令得或故滿足條件的整數(shù)只有1和一2.[例3]已知函數(shù)滿足條件:(4)當(dāng)時(shí),有.(1)求的值;f(1),f(2),f(3)的值,猜想的解析式,并證明.解析：（1）又,故.又且故(2)由猜想.用數(shù)學(xué)歸納法證明:(n=1時(shí)函數(shù)解析式成立(ii)假設(shè)時(shí)成立.(1)若則(2)若則所以即時(shí),函數(shù)解析式成立.綜合(1)(2)可知成立.[例4]已知函數(shù)對(duì)任意都有.(1)求和的值(2)若數(shù)列滿足則數(shù)列是等差數(shù)列嗎?請(qǐng)給出證明;(3)令試比較與的大小.解析：(1)因?yàn)樗?令得即.(2),又,兩式相加得所以又故數(shù)列是等差數(shù)列.當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)，所以.[例5]設(shè)函數(shù)定義在上,對(duì)任意都有且存在正數(shù)滿足求證:(1)是偶函數(shù)；(2)是的周期;f(x)在上是減函數(shù)時(shí)的最小正周期是解析：((1)令得由得又,得所以是偶函數(shù).(2)由得即,故所以是的周期.(3)設(shè)是的最小正周期,若則又在上單調(diào)遞減0,故在中取得則,又則.但矛盾所以的最小正周期不小于又是的正周期,故是的最小正周期.（也可以證明在上是減函數(shù),再證明在上是增函數(shù),由故在之間不存在使得而最小正周期滿足于是[例6]已知定義在上的單調(diào)函數(shù)當(dāng)時(shí)且對(duì)任意的實(shí)數(shù)有(1)求,并寫(xiě)出一個(gè)適合題意的函數(shù)的解析式;(2)若數(shù)列滿足且,（i)求通項(xiàng)公式;(ii)令試比較與的大小，并加以證明;(iii)當(dāng)時(shí),不等式對(duì)于不小于2的正整數(shù)恒成立,求的取值范圍.解析：(1)令得則.適合題意的的解析式是.(2)(i)由遞推關(guān)系知?即,從而又故(ii欲比較與的大小,只需比較與的大小,容易知道從而(iii)令故當(dāng)時(shí).由題意有又知.[例7]已知函數(shù)在(-1,1)上有定義,且滿足對(duì)任意有在數(shù)列中求證在(-1,1)上為奇函數(shù);求的解析式；(3)是否存在自然數(shù)m,使得對(duì)于任意有成立?若存在,求出的最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解析：(1)當(dāng)x=y=0時(shí)令得即,對(duì)任意的,故在(-1,1)上為奇函數(shù).(2)由滿足得.由在(-1,1)上為奇函數(shù).得;由得從而.$假設(shè)存在自然數(shù)m,使得對(duì)于任意有成立,即恒成立,則解得故的最小值為16.[例8]已知偶函數(shù)對(duì)任意恒有求:(1)的值;f(x)的解析式(3)且在上的最值.解析(1)取則故;取則故取則故(2)又,故(3)設(shè)當(dāng)時(shí)無(wú)最大值，所以時(shí)無(wú)最大值，時(shí)無(wú)最小值.(例9)已知對(duì)任意正實(shí)數(shù)x,y,總有.(1)求的值;(2)求證:.解析:1)令y=1,則?1故.(2)令,則?),故.令則又故.[例10]已知函數(shù)對(duì)任意的實(shí)數(shù)m,n有且當(dāng)時(shí)有求證在上為增函數(shù)$;$若f(1)=1,解不等式解析:解法1:(1)設(shè)則即.所認(rèn)在上為增函數(shù).(2)由得,即所認(rèn)是解得即或.故原不等式的解集為或.例11、已知定義在上的函數(shù)y=滿足(1)對(duì)任意有;(2)當(dāng)時(shí);(3).(1)求證:函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)（2）若集合集合試問(wèn)是否存在p,q的值,使若存在,請(qǐng)求出p,q的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解析：取則故令則故,任取且,則即,所以函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù).（2)假設(shè)存在這樣的p,q,使.由條件(1)(3)可得,由得即（4）由(4)式得.（5）而且函數(shù)在上單調(diào)所以即(6).將（6）代入(5)可得即,所以這樣的p,q不存在.例12;已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，并滿足以下條件：(1)對(duì)任意有(2)對(duì)任意有;(3).(1)求的值;(2)求證在上是增函數(shù);(3)若且求證.解析：解法1:(1)令x=0,y=2,得.因?yàn)樗?（2)任取且.設(shè)則，所以因?yàn)樗?所以在上是增函數(shù).(3)由(1)(2)知所以.因?yàn)樗运?解法2:(1)因?yàn)閷?duì)任意有所以所以當(dāng)時(shí)因?yàn)闀r(shí)所以(2)因?yàn)樗?所以為上的增函數(shù).(3),??所以所以.詳解詳析一、函數(shù)單調(diào),十二大類(lèi)(一)一次分式,含參探求例變式訓(xùn)練1.答案2.答案4.答案二、二次分式,變換對(duì)勾例1變式訓(xùn)練單調(diào)區(qū)間為，.(解析則畫(huà)出圖象，如圖所示，即可求出單調(diào)區(qū)間.例1I變式訓(xùn)練$）$1.答案(解