2025年安徽高中九年級自主招生數(shù)學試卷試題（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年自主招生考試數(shù)學學科溫馨提示：親愛的同學，你拿到的試卷共八大題，滿分150分，時間120分鐘．希望你仔細審題，認真作答，遇到困難時請不要輕易放棄，相信你一定會取得好成績．一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）1．下面的數(shù)中，最小的數(shù)是（

）A． B． C．2 D．02．今年1月11日，四川甘孜雅礱江道孚抽水蓄能電站開工建設(shè)，項目場址海拔4300米，是全球海拔最高的大型抽水蓄能電站，設(shè)計年發(fā)電量約30億千瓦時．建成后，每天可存儲電量1260萬千瓦時，可滿足200萬戶家庭一天的用電需求．其中1260萬用科學記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．3．如果反比例函數(shù)的圖象在所在的每個象限內(nèi)y都是隨著x的增大而減小，那么m的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．小明在學習了《二次函數(shù)》這一章后，利用網(wǎng)絡(luò)畫板建立坐標系畫出了拋物線的圖象，他想通過平移得到的圖象，平移方法是（

）A．向左平移1個單位，再向下平移2個單位B．向左平移1個單位，再向上平移2個單位C．向右平移1個單位，再向下平移2個單位D．向右平移1個單位，再向上平移2個單位5．對于拋物線，下列說法正確的是（

）A．開口向上 B．頂點坐標是C．與y軸的交點坐標是 D．當時，y隨x的增大而減小6．如圖，在中，，，若，則（

）A． B． C． D．7．如圖，已知拋物線與直線交于、兩點，與x軸交于，當時，x的取值范圍是（

）A．或 B．或C．或 D．或8．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則正比例函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標系中的大致圖象是：（

）A． B． C． D．9．將一副三角尺按如圖所示的方式疊放在一起，，邊與相交于點E，且，則的值為（

）A． B． C． D．10．如圖1，在等邊中，是高，點E是上靠近點A的三等分點，點P是上一動點，設(shè)的長為x，為y．圖2是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，點M為圖象上的最低點且縱坐標為，則函數(shù)圖象的右端點N的坐標為（

）A． B． C． D．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11．已知函數(shù)，自變量的取值范圍是．12．如圖，在中，，點D是的中點，過點B作的垂線，垂足為E，則．13．小華同學在學習了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)后，在信息科技課中，利用幾何畫板的迷你坐標系繪制了反比例函數(shù)的圖象，并打印了出來，善于思考的小明同學把自己的三角板（含）按照如圖放置在打印紙上，點C的坐標為，將三角板沿翻折后，發(fā)現(xiàn)點C正好落在反比例函數(shù)的圖象上，則k的值為．14．在數(shù)學活動實驗課上，張老師用一張大的矩形紙片，畫出寬的三等分點E、F且滿足，沿著翻折后再展開，然后再把翻折，折痕為，B點的對稱點為H．（1）當點H正好落在上時，．（2）善于動手實驗的小明同學按照張老師的思路，繼續(xù)利用圓規(guī)和直尺作出和的角平分線，發(fā)現(xiàn)正好交于F點，若延長交于點M，則．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15．計算：16．已知拋物線過（1，0），（0，-3）兩點，且對稱軸為直線：x=2，求此拋物線的解析式．四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17．如圖，在由邊長是1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，的頂點都在格點（網(wǎng)格線的交點）上．(1)以點B為位似中心，在B點的左側(cè)畫出使得和的位似比為．(2)_______．(3)用無刻度直尺在邊上作出一點D，使得（保留作圖痕跡）．18．我國蘇州園林中花窗的紋樣有各種形狀，有云紋、魚鱗紋、蝙蝠紋、梅花紋、冰裂紋等，不僅具有裝飾作用，還蘊含了豐富的文化內(nèi)涵和象征意義，如下左圖是海棠紋樣，象征富貴、美麗和吉祥．【探究規(guī)律】聰明的小明同學在綜合實踐課上，把大小相同的海棠紋樣按如上圖所示的規(guī)律擺放：第一個圖形有5個紋樣，第二個圖形有9個紋樣，第三個圖形有15個紋樣，……按此規(guī)律依次擺放．（1）第四個圖形有_______個紋樣，第五個圖形有_______個紋樣．【總結(jié)規(guī)律】（2）第n個圖形有_______個紋樣（用含n的代數(shù)式表示）．【應(yīng)用規(guī)律】（3）是否存在相鄰的兩個圖形的紋樣個數(shù)和為248？若存在，求出是哪兩個圖形？若不存在，請說明理由．五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19．【研究背景】如圖是被稱為天書奇樓的安徽廣播電視中心，此建筑結(jié)合了前沿的科技成果和現(xiàn)代的建筑理念，建筑整體平面布局如飛翔的鳳凰，而立面靈感則來自于“龍”之精神，隱喻安徽“蓬勃向上”的發(fā)展態(tài)勢，更是以2.64萬方漢字墻幕創(chuàng)下世界之最，立面用篆書字體打亂，書寫著安徽的78個市縣名、河名、山名等，將藝術(shù)和建筑完美的融合．小明同學想利用所學的知識來測量該建筑物的高度．【數(shù)據(jù)采集】他先在B處用測傾器測得電視中心頂端E的仰角為，再從B沿BF方向走了250.6米到達D處，在D處豎立標桿，發(fā)現(xiàn)水平地面上的點M、標桿的頂端C與該建筑物的頂端E恰好在一條直線上，已知米，測得米．【數(shù)據(jù)應(yīng)用】點B、M、D、F在同一條直線上，，根據(jù)上述數(shù)據(jù)，計算安徽廣播電視中心的高度．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：）20．如圖，在中，于點D，E是的中點，的延長線與的延長線交于點F．

(1)求證：．(2)若，求．六、（本題滿分12分）21．如圖，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于A，B兩點，點A的坐標為，點B的坐標為．(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達式．(2)當時，請直接寫出x的取值范圍：_______．(3)點E為y軸上一個動點，若，求點E的坐標．七、（本題滿分12分）22．如圖1，點A、B、C的坐標為分別為，，，拋物線經(jīng)過這三點．(1)求拋物線的解析式，并寫出頂點的坐標．(2)點P為射線上方拋物線上的一個動點，過P點作射線的垂線，垂足為E，設(shè)P點的橫坐標為m，求的最大值．(3)如圖2，點D的坐標為，連接，將拋物線的圖象向下平移n個單位，得到拋物線，當時，若拋物線與直線有兩個交點，則n的取值范圍是_______．八、（本題滿分14分）23．在數(shù)學綜合與實踐活動課上，興趣小組的同學們用兩張長、寬比相同（即）的長方形紙片和展開探究活動，其中．【思考嘗試】(1)小明同學把兩張長方形紙片按如圖1放置，連接、、，興趣小組在探究過程中，發(fā)現(xiàn)小長方形紙片在繞著點C的旋轉(zhuǎn)過程中，線段和之間的數(shù)量關(guān)系不變，請你猜想這個數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【實踐探究】(2)小睿同學受此問題的啟發(fā)，思考并提出新的問題：將小長方形紙片繞點C旋轉(zhuǎn)至如圖2所示位置，此時A、G、E共線，且交于點M．若，，求的長．【拓展遷移】(3)小聰同學深入研究小睿提出的問題，繼續(xù)研究發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點：如圖3所示，在圖2的基礎(chǔ)上延長交于點H，若，，求的長．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．A【分析】本題考查了有理數(shù)的大小比較；正數(shù)大于0，負數(shù)小于0，正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)，絕對值大的反而?。畵?jù)此解答即可．【詳解】解：∵，∴四個數(shù)中，最小的數(shù)是，故選：A．2．D【分析】本題主要考查了用科學記數(shù)法．科學記數(shù)法的表示形式為，其中，為整數(shù)．在確定的值時，看該數(shù)是大于或等于1還是小于1．當該數(shù)大于或等于1時，為它的整數(shù)位數(shù)減1；當該數(shù)小于1時，為它第一個有效數(shù)字前0的個數(shù)（含小數(shù)點前的1個0）．【詳解】解：1260萬用科學記數(shù)法表示為．故選：D．3．B【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．結(jié)合題意，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可得，即可求出m的取值范圍．【詳解】解：反比例函數(shù)的圖象在每個象限內(nèi)y都是隨著x的增大而減小，，解得：．故選：B．4．A【分析】本題考查了二次函數(shù)的平移，熟練掌握二次函數(shù)的平移規(guī)律“上加下減，左加右減”是解題的關(guān)鍵．先將化成頂點式，再根據(jù)二次函數(shù)的平移規(guī)律即可解答．【詳解】解：，想通過平移得到的圖象，平移方法是向左平移1個單位，再向下平移2個單位．故選：A．5．D【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對選項逐個分析判斷即可．【詳解】解：A、拋物線開口向下，故此選項說法不正確，不符合題意；B、拋物線頂點坐標為，故此選項說法不正確，不符合題意；C、拋物線與y軸的交點坐標是，故此選項說法不正確，不符合題意；D、拋物線開口向下，且對稱軸為，所以當時，y隨x的增大而減小，故此選項說法正確，符合題意；故選：D．6．C【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，由可得，結(jié)合，即可得解，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故選：C．7．B【分析】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，熟練掌握利用函數(shù)交點求不等式的解集是解題的關(guān)鍵．結(jié)合函數(shù)圖象，找到二次函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方時自變量x的取值范圍即可解答．【詳解】解：結(jié)合圖象得，當時，x的取值范圍是或．故選：B．8．B【分析】本題主要考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)．由拋物線的對稱的性質(zhì)求得，當時，，推出，則，再根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)性質(zhì)即可求解．【詳解】解：由二次函數(shù)的圖象知，開口向上，∴，由拋物線的對稱軸知，∴，即，當時，，∴，∴，對于正比例函數(shù)，∵，∴正比例函數(shù)的圖象是經(jīng)過原點且在第二、四象限的直線，對于反比例函數(shù)，∵，∴反比例函數(shù)的圖象分布在第二、四象限的雙曲線，觀察四個選項，選項B符合題意，故選：B．9．C【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)．由直角三角形的性質(zhì)可得，，，，可證，由相似三角形的性質(zhì)可求得，再證明，進一步計算即可求解．【詳解】解：，，，，，，，，，則，∵，，∴，∴，∴，故選：C．10．C【分析】本題考查動點問題的函數(shù)圖象，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到關(guān)于直線對稱，，當共線時，的值最小，最小值為的長，在和中，利用勾股定理結(jié)合函數(shù)的知識求解即可．【詳解】解：連接交于點，連接，作于點，設(shè)等邊的邊長為，則，∵是等邊的高，∴，∴關(guān)于直線對稱，∴，∴，∴當共線時，的值最小，最小值為的長，∵等邊，，∴，∵點E是上靠近點A的三等分點，∴，∴，在中，，在中，，由函數(shù)圖象知的最小值為，∴，解得，∴，函數(shù)圖象中點表示當即最大時，所對應(yīng)的的值，∵點P是上一動點，∴點P與點A重合時，有最大，即的值最大，如圖，∵，，是等邊的高，∴，∴，∴，∴，點N的坐標為．故選：C．11．【分析】本題考查了求函數(shù)自變量的取值范圍，二次根式有意義的條件、分式有意義的條件，根據(jù)二次根式有意義的條件、分式有意義的條件得出，，求解即可．【詳解】解：由題意可得：，，∴，故答案為：．12．##【分析】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，在直角三角形斜邊中線的性質(zhì)．利用余弦定義很容易求得，，然后由已知為斜邊上的中點，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得，，求得，再根據(jù)即可求解．【詳解】解：在中，∵，即，設(shè)（），則，由勾股定理得，即，解得，∴，，，∵點D是的中點，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．13．##【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)．作軸于點，證明是等邊三角形，設(shè)，求得點A的坐標為，點D的坐標為，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)列式計算求解即可．【詳解】解：將三角板沿翻折后，發(fā)現(xiàn)點C正好落在反比例函數(shù)的圖象上的點，連接，，作軸于點，如圖，∵，∴，，∴，∴是等邊三角形，∴，，設(shè)，則，∴，，∵點C的坐標為，∴點A的坐標為，點D的坐標為，由題意得，解得，∴點A的坐標為，∴，故答案為：．14．或或【分析】（1）先證明四邊形是矩形，得到，再根據(jù)點E是的三等分點，得到或，利用翻折的性質(zhì)分別求出2種情況對應(yīng)的的長，再利用正切的定義即可求解；（2）過點作交于點，利用角平分線的定義和角的和差關(guān)系得到，，得到是等腰直角三角形，進而推出，得到，，再通過證明，得到，，根據(jù)點F是的三等分點，得到或，再通過證明得到，分別求出2種情況對應(yīng)的的長，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）四邊形是矩形，，，，，又，四邊形是矩形，，點E是的三等分點，或，由翻折的性質(zhì)得，，設(shè)，則，①當，則，，，；②當，則，，，；綜上所述，或．故答案為：或．（2）如圖，過點作交于點，由翻折的性質(zhì)得，，，，，，，，，，平分，平分，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，即，又，，，，，，又，，，，，點F是的三等分點，或，設(shè)，則，，①當，則，，，，，，，即，解得：，，；②當，則，，，由①得，，即，解得：，，；綜上所述，或．故答案為：或．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定、矩形中的翻折問題、銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識點，運用分類討論的思想方法解決問題是解題的關(guān)鍵．15．【分析】本題考查了特殊角三角函數(shù)值的混合運算，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、負整數(shù)指數(shù)冪的定義計算即可．【詳解】解：．16．y=-x2+4x-3【詳解】試題分析：根據(jù)題意設(shè)出拋物線的解析式為y=a（x-2）2+k．把A（1，0），B（0，-3）的坐標代入，利用待定系數(shù)法求得即可．試題解析：設(shè)拋物線的解析式為y=a(x?2)2+k.把A(1,0),B(0,?3)的坐標代入,得解得.∴y=?(x?2)2+1=?x2+4x?3.即這個二次函數(shù)的解析式為y=?x2+4x?3.17．(1)見解析(2)(3)見解析【分析】本題主要考查位似圖形及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形；（1）根據(jù)網(wǎng)格的特點位似可進行作圖；（2）利用割補法求解即可；（3）取格點、和，連接交邊于點D，點D即為所求．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；；（2）解：，故答案為：；（3）解：如圖所示，點D即為所求；由作圖知，，，，，∴，∴，∴，∴是直角三角形，且，∵，，∴．18．（1），；（2）；（3）存在，是第個和第個圖形【分析】本題考查了圖形類規(guī)律探索，一元二次方程的應(yīng)用，正確得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)前三個圖形中紋樣的個數(shù)即可得解；（2）根據(jù)（1）即可得出規(guī)律；（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律，列出方程，解方程即可得解．【詳解】解：（1）由圖形可得：第一個圖形有個紋樣，第二個圖形有個紋樣，第三個圖形有個紋樣，故第四個圖形有個紋樣，第五個圖形有個紋樣；（2）由（1）可得：第n個圖形有個紋樣；（3）由題意可得：，解得：或（不符合題意，舍去），∴存在相鄰的兩個圖形的紋樣個數(shù)和為，是第個和第個圖形．19．安徽廣播電視中心的高度為米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)，延長交于，則四邊形，，均為矩形，得到，米，解直角三角形可得，證明，得出，求解即可．【詳解】解：如圖，延長交于，，由題意可得：，米，∵，∴四邊形，，均為矩形，∴，米，∴，∵，∴，∴，∴，∴，由①②解得：米，∴安徽廣播電視中心的高度為米．20．(1)見解析(2)【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、直角三角形的性質(zhì)、等邊對等角，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．（1）由題意可得，從而可得，由直角三角形的性質(zhì)可得，由等邊對等角結(jié)合對頂角相等可得，即可得證；（2）解直角三角形求出，再由相似三角形的性質(zhì)即可得解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∴，∵E是的中點，∴，∴，∵，∴，∵，∴；（2）解：∵，，∴，，∵，，∴，，∴，∵，∴．21．(1)反比例函數(shù)為，一次函數(shù)為(2)或(3)或【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、待定系數(shù)法求解析式，熟練掌握反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）代入到求出反比例函數(shù)的表達式，代入點B的坐標求出的值，再利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的表達式，即可得出答案；（2）觀察圖象，寫出反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象下方所對應(yīng)的自變量x的范圍即可；（3）設(shè)一次函數(shù)與軸交于點，求出點的坐標為，設(shè)點E的坐標為，利用列出方程，求出的值即可解答．【詳解】（1）解：代入到，得，反比例函數(shù)的表達式為，代入到，得，解得：，，代入，到，得，解得：，一次函數(shù)的表達式為．反比例函數(shù)的表達式為，一次函數(shù)的表達式為．（2）解：結(jié)合圖象得，當時，x的取值范圍為或．故答案為：或．（3）解：如圖，設(shè)一次函數(shù)與軸交于點，當時，，，設(shè)點E的坐標為，則，由圖可得，，，整理得：，解得：或，點E的坐標為或．22．(1)(2)(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）求出直線的解析式為，作軸于，交于，，設(shè)，則，得出，證明，從而可得，進而可得，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）求出直線的解析式為，由二次函數(shù)圖象的平移法則可得拋物線的解析式為：，結(jié)合當拋物線經(jīng)過時，拋物線與直線有兩個交點，代入可得：，求解即可；聯(lián)立消去可得：，再由根的判別式求解即可，即可得解．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為，∵點A、B、C的坐標為分別為，，，拋物線經(jīng)過這三點，∴，解得：，∴拋物線的解析式為：；（2）解：設(shè)直