現(xiàn)代控制理論第二章2010（修改1） 學(xué)習(xí)課件

2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

2.1基本概念2.2狀態(tài)空間表達(dá)式的建立2.3傳遞函數(shù)(矩陣)2.4組合系統(tǒng)

2.5(非奇異)線性變換2.6離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式2.7用MATLAB分析狀態(tài)空間模型2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述引言一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)可能有多個(gè)輸入和多個(gè)輸出，并且以某種方式相互關(guān)聯(lián)或耦合。為了分析這樣的系統(tǒng)，必須簡(jiǎn)化其數(shù)學(xué)表達(dá)式，轉(zhuǎn)而借助于計(jì)算機(jī)來(lái)進(jìn)行各種大量而乏味的分析與計(jì)算。從這個(gè)觀點(diǎn)來(lái)看，狀態(tài)空間法對(duì)于系統(tǒng)分析是最適宜的。2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述經(jīng)典控制理論是建立在系統(tǒng)的輸入-輸出關(guān)系或傳遞函數(shù)的基礎(chǔ)之上的，而現(xiàn)代控制理論以n個(gè)一階微分方程來(lái)描述系統(tǒng)，這些微分方程又組合成一個(gè)一階向量-矩陣微分方程。應(yīng)用向量-矩陣表示方法，可極大地簡(jiǎn)化系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。狀態(tài)變量、輸入或輸出數(shù)目的增多并不增加方程的復(fù)雜性。事實(shí)上，分析復(fù)雜的多輸入-多輸出系統(tǒng)，僅比分析用一階純量微分方程描述的系統(tǒng)在方法上稍復(fù)雜一些。2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述系統(tǒng)的方框圖表示輸入變量

:u1,u2,…,up輸出變量

:y1,y2,…,ye內(nèi)部變量:

x1,x2,…,xn2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述兩種控制理論的區(qū)別條目經(jīng)典控制理論現(xiàn)代控制理論研究的系統(tǒng)SISO線性定常系統(tǒng)SISO、MIMO、時(shí)變、定常、線性或非線性系統(tǒng)模型傳遞函數(shù)（輸入-輸出之間的關(guān)系）（外部模型）狀態(tài)空間表達(dá)式（輸入變量、狀態(tài)變量和輸出變量間關(guān)系）（內(nèi)部模型）主要分析和綜合方法頻率域時(shí)域數(shù)學(xué)基礎(chǔ)拉普拉斯變換線性代數(shù)2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述外部（輸入-輸出）描述內(nèi)部描述2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述這種描述是把系統(tǒng)視為一個(gè)“黑箱”，不去表征系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和內(nèi)部變量，只是反映外部變量組間的因果關(guān)系即指輸出和輸入間的因果關(guān)系。1、外部（輸入-輸出）描述系統(tǒng)的輸入輸出描述框圖2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述在經(jīng)典控制理論中所學(xué)的傳遞函數(shù)就是一種外部描述。黑箱1）SISO系統(tǒng)2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2）MIMO系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2、系統(tǒng)內(nèi)部描述（狀態(tài)空間描述）

（

statespacedescription）動(dòng)力學(xué)部件輸出部件用微分（差分）方程組來(lái)描述代數(shù)方程組來(lái)描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖表達(dá)輸入引起狀態(tài)變化的運(yùn)動(dòng)表達(dá)狀態(tài)引起輸出變化的變換過(guò)程2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述輸入變量狀態(tài)方程（一階微分方程組）輸出方（代數(shù)方程）輸出變量狀態(tài)變量狀態(tài)空間描述2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.1基本概念2.1.1幾個(gè)定義2.1.2狀態(tài)空間表達(dá)式的一般形式2.1.3狀態(tài)空間表達(dá)式的系統(tǒng)方框圖2.1.4狀態(tài)空間表達(dá)式的狀態(tài)變量圖2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.1.1幾個(gè)定義（重點(diǎn)掌握的基本概念）設(shè)有一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)vxF(t)mxm:

質(zhì)量;a(t):t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的加速度;

F(t):

時(shí)間

[t0,t]上加在質(zhì)點(diǎn)上的外力（輸入）;v(t):t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度;x(t):

t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的加速度.2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述其運(yùn)動(dòng)方程由據(jù)牛頓第二定律描述為:x(t0)和

v(t0)

分別為位移和速度的初始值.輸入輸入2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述(1)狀態(tài)：系統(tǒng)過(guò)去、現(xiàn)在和將來(lái)的狀況x(t0)和

v(t0)

可以表示質(zhì)點(diǎn)的過(guò)去的初始狀況；x(t)和

v(t)

可以表示質(zhì)點(diǎn)的t時(shí)刻的當(dāng)前狀況；幾個(gè)定義2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述(2)狀態(tài)變量：能夠完全表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的最小一組變量：表示系統(tǒng)時(shí)刻的狀態(tài)當(dāng)時(shí)的輸入給定，且上述時(shí)的行為

狀態(tài)確定時(shí)，狀態(tài)變量能完全確定系統(tǒng)初始在2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述哪組最小的變量能完整地描述系統(tǒng)的狀態(tài)？vxF(t)mxx(t)能夠完全表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)嗎？

v(t)呢？

2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述取

x(t)

和

v(t)為兩狀態(tài)變量，則

和F(t)(t≥t0)確定x(t)

和

v(t)能為能完整地描述系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為的最小一組變量（狀態(tài)變量）.

結(jié)論2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述作為分量的向量，即(3)狀態(tài)向量：以系統(tǒng)的個(gè)獨(dú)立狀態(tài)變量為質(zhì)量系統(tǒng)的狀態(tài)向量。例如：令2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述則有：表達(dá)系統(tǒng)任意t時(shí)刻的狀態(tài)。表示系統(tǒng)的系統(tǒng)的初始狀態(tài)

。2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述0xvExample:兩維狀態(tài)空間(4)狀態(tài)空間:以狀態(tài)變量維空間。標(biāo)軸構(gòu)成的為坐例如：考慮到狀態(tài)向量的每個(gè)分量只能取實(shí)數(shù)值，因此狀態(tài)空間是建立在實(shí)數(shù)域上的向量空間，其維數(shù)為n，記為Rn。狀態(tài)空間中的每一點(diǎn)都代表了狀態(tài)變量唯一的、特定的一組值，而狀態(tài)隨時(shí)間的變化過(guò)程，則構(gòu)成了狀態(tài)空間中的一條軌跡，稱為狀態(tài)軌線。2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述(5)狀態(tài)方程：描述系統(tǒng)狀態(tài)與輸入之間關(guān)系的一階微分（差分）方程（組）：狀態(tài)方程有何特點(diǎn)？你如何建立狀態(tài)方程？思考：系統(tǒng)陣控制陣向量-矩陣形式：狀態(tài)向量：輸入向量：2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述例如質(zhì)量系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：一階微分方程組2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述(6)輸出方程：描述系統(tǒng)輸出與狀態(tài)、輸入之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式：向量-矩陣形式：輸出陣直接傳遞(轉(zhuǎn)移)矩陣輸出向量：2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述例如：對(duì)于質(zhì)量系統(tǒng)：若測(cè)量速度：向量-矩陣形式：2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述(7)狀態(tài)空間表達(dá)式：對(duì)于質(zhì)量系統(tǒng)：輸入變量u狀態(tài)方程輸出方程狀態(tài)變量x輸出變量y返回2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.1.2狀態(tài)空間表達(dá)式的一般形式：狀態(tài)方程輸出方程動(dòng)態(tài)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖1、狀態(tài)空間的描述2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)(1)非線性系統(tǒng)表示為向量方程形式：2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述(2)線性系統(tǒng)系統(tǒng)(狀態(tài)矩陣)控制矩陣直接傳遞(轉(zhuǎn)移)矩陣輸出矩陣2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（3）線性時(shí)變系統(tǒng)線性系統(tǒng)是實(shí)際非線性對(duì)象的線性化近似；線性系統(tǒng)的處理方法可以為非線性系統(tǒng)問(wèn)題的解決提供思路。2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述主要研究以下?tīng)顟B(tài)方程描述的線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng)的分析和綜合問(wèn)題：

慣性系統(tǒng)：（4）線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng)（重點(diǎn)）2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（5）離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2、系統(tǒng)狀態(tài)空間描述列寫舉例例2.1.1系統(tǒng)如圖所示解：根據(jù)電路原理，得2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述(1)令得其狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)變量具有明確的物理意義2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述根據(jù)電路原理，得另一狀態(tài)空間表達(dá)式(1)令該狀態(tài)變量沒(méi)有直觀的物理意義2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述其向量矩陣形式2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述非奇異變換陣2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述狀態(tài)變量的特點(diǎn)（重點(diǎn)，難點(diǎn)）(1)獨(dú)立性：狀態(tài)變量之間線性獨(dú)立.(3)等價(jià)性：兩個(gè)狀態(tài)向量之間只差一個(gè)非奇異變換.(4)現(xiàn)實(shí)性：狀態(tài)變量通常取為涵義明確的物理量.(5)抽象性：狀態(tài)變量可以沒(méi)有直觀的物理意義.(2)多樣性：狀態(tài)變量的選取非唯一性，狀態(tài)方程的多樣性，但狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)不變.2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述列寫狀態(tài)方程的步驟（p12）1、確定輸入輸出變量；2、將系統(tǒng)劃分為若干子系統(tǒng)，列寫各子系統(tǒng)的微分方程；3、根據(jù)各子系統(tǒng)微分方程的階次，選擇狀態(tài)變量寫成向量微分方程的形式（狀態(tài)方程）:4、按照輸出變量是狀態(tài)變量的線性組合，寫成向量代數(shù)方程的形式（輸出方程）返回2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.1.3狀態(tài)空間表達(dá)式的系統(tǒng)方框圖線性系統(tǒng)的方框圖返回2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.1.4狀態(tài)空間表達(dá)式的狀態(tài)變量圖（重點(diǎn)）1x2x21xx++加法器積分器)(tx&)(txò)(tx&)(txkkxxkkxx放大器2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述例2.1.1設(shè)一階系統(tǒng)狀態(tài)方程為則其狀態(tài)圖為bax&+ux繪制步驟：（1） 繪制積分器

（2） 畫出加法器和放大器

（3） 用線連接各元件，并用箭頭 示出信號(hào)傳遞的方向。2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述例2.1.2設(shè)三階系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為狀態(tài)變量圖的繪制思路是什么？2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述則其狀態(tài)圖為質(zhì)量系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖如何繪制？返回2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.2傳遞函數(shù)與傳遞函數(shù)陣2.2.1SISO系統(tǒng)2.2.2MIMO系統(tǒng)2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.2.1SISO系統(tǒng)取L氏變換得：A的特征值即為系統(tǒng)的極點(diǎn)。2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.2.2MIMO系統(tǒng)其中：返回2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.3狀態(tài)空間表達(dá)式的建立（重點(diǎn)）2.3.1.由物理機(jī)理直接建立狀態(tài)空間表達(dá)式2.3.2根據(jù)高階微分方程求狀態(tài)空間表達(dá)式

2.3.3.根據(jù)傳遞函數(shù)求狀態(tài)空間表達(dá)式：返回2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述建立狀態(tài)空間表達(dá)式，首要問(wèn)題是選取狀態(tài)變量。在保證狀態(tài)變量的獨(dú)立性的前提下，通常選取狀態(tài)變量采取以下三種途徑：（1）物理變量：選擇系統(tǒng)中貯能元件的輸出物理量作為狀態(tài)變量。（2）相變量：選擇系統(tǒng)的輸出及其各階導(dǎo)數(shù)作為狀態(tài)變量。（3）標(biāo)準(zhǔn)型變量：選擇能使?fàn)顟B(tài)方程成為某種標(biāo)準(zhǔn)形式的變量作為狀態(tài)變量。(4)從數(shù)學(xué)的角度：選擇初始條件對(duì)應(yīng)的變量或與其相關(guān)的變量。返回2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.3.1.由物理機(jī)理直接建立狀態(tài)空間表達(dá)式：對(duì)于實(shí)際的物理系統(tǒng)，一般情況下，獨(dú)立儲(chǔ)能元件的個(gè)數(shù)決定系統(tǒng)的階次即（狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)）。由物理機(jī)理建立狀態(tài)空間表達(dá)式時(shí)，以取物理變量為狀態(tài)變量時(shí)，一般取儲(chǔ)能元件的輸出變量（特征變量）為狀態(tài)變量。狀態(tài)變量的現(xiàn)實(shí)性2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述表2-1:常見(jiàn)的主要貯能元件及其能量方程貯能元件質(zhì)量(m)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(J)電容(C)電感()彈簧(k)能量方程儲(chǔ)能元件的輸出量速度

(v)位移(x)角速度：ω角度：θ電壓：u電流：i位移：x能量形式動(dòng)能動(dòng)能電能磁能勢(shì)能2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述例2.3.1系統(tǒng)如圖所示解：選擇狀態(tài)變量：根據(jù)基爾霍夫電流電壓定律得：整理得：2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述狀態(tài)方程：輸出方程：由得2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

寫成矩陣形式還可以取別的狀態(tài)變量嗎？2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述uLcu2R1RLiCi不可以選擇狀態(tài)變量體現(xiàn)了狀態(tài)變量的多樣性和狀態(tài)變量個(gè)數(shù)的不變性狀態(tài)變量的獨(dú)立性還可以選狀態(tài)變量為：2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述例2.3.2系統(tǒng)如圖輸入輸出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，粘性摩擦常數(shù)，電磁轉(zhuǎn)矩常數(shù)，電勢(shì)常數(shù)2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述取狀態(tài)變量:由電壓定理：由轉(zhuǎn)矩平衡定律：如何選擇狀態(tài)變量？有哪些儲(chǔ)能元件？其輸出變量分別是什么？2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述輸出方程：狀態(tài)方程：2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述寫成矩陣形式的狀態(tài)空間表達(dá)式為：2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述例2.3.3：倒立擺裝置用小車的位移和速度及擺桿偏離垂線的角度和角速度來(lái)描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性小球中心位置:水平方向:垂直方向:g：重力加速度小車的水平位移：y2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述考慮在垂直位置附近的線性化模型2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述線性模型只在局部有效2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述以上三例是結(jié)構(gòu)和參數(shù)已知的系統(tǒng)建立狀態(tài)空間表達(dá)式空間模型的方法，對(duì)結(jié)構(gòu)和參數(shù)未知的系統(tǒng)，通常通過(guò)辨識(shí)的途徑確定其數(shù)學(xué)模型，可參考系統(tǒng)辨識(shí)及其MATLAB仿真或相關(guān)系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)的書籍。2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述的情形（不含輸入的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)）：化為能控標(biāo)準(zhǔn)型取狀態(tài)變量(相變量)：a).

2.3.2根據(jù)高階微分方程求狀態(tài)空間表達(dá)式2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述則有：即2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述寫成矩陣形式：其中：稱為友矩陣。能控標(biāo)準(zhǔn)型2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述取狀態(tài)變量：化為能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述整理得：能觀標(biāo)準(zhǔn)型2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述的情形：計(jì)算：算法2（算法1見(jiàn)2.2.3傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換成狀態(tài)方程）2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述定義狀態(tài)變量:2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述寫成矩陣形式的狀態(tài)空間表達(dá)式返回2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.3.3.根據(jù)傳遞函數(shù)求狀態(tài)空間表達(dá)式(1)直接分解法單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)：2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述分子分母同時(shí)除以2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述對(duì)于令則有2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述對(duì)于令：分別表示2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間表達(dá)式為：2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述例2.2.3考慮系統(tǒng)試寫出其能控標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式。則狀態(tài)空間表達(dá)式為：選擇狀態(tài)變量：2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述(2)串聯(lián)分解法2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述思路：將每個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)寫成積分環(huán)節(jié)的表達(dá)式，每個(gè)積分環(huán)節(jié)的輸出為一狀態(tài)變量。2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述(3)并聯(lián)分解法極點(diǎn)兩兩相異時(shí)其中：令：2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述則有：則有：2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的矩陣式表達(dá)：2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述傳遞函數(shù)有重根時(shí)2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述對(duì)上面方程的L氏變換后得到2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述例解2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述返回2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.4組合系統(tǒng)

2.4.1并聯(lián)2.4.2反饋返回2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.4.1并聯(lián)系統(tǒng)如圖，二子系統(tǒng)并聯(lián)連接特點(diǎn)：2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述返回2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.4.2反饋特點(diǎn)：(1)

動(dòng)態(tài)反饋2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述傳遞矩陣：2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述(2)靜態(tài)（常數(shù)）反饋閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為：閉環(huán)系統(tǒng)傳遞矩陣為：返回2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.5線性變換2.5.1系統(tǒng)狀態(tài)的線性變換2.5.2把狀態(tài)方程變換為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型2.5.3若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型2.5.4系統(tǒng)經(jīng)狀態(tài)變換后特征值及傳遞函數(shù)矩陣的不變性返回2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.5.1狀態(tài)向量的線性變換考慮系統(tǒng)：取線性非奇異變換：,矩陣P非奇異2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述整理得：其中：2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述例2.5.1考慮系統(tǒng)取變換：2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間表達(dá)式變?yōu)椋悍祷?025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.5.2把狀態(tài)方程變換為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型（diagonalcanonicalform

）給定系統(tǒng)狀態(tài)方程2）特征向量：1）特征值：，

為矩陣A的特征值。則定義2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型：1）特征值兩兩互異2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2）存在重特征值n階系統(tǒng)矩陣存在m互異的特征值和n-m相同的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)，則存在非奇異變換陣P使A對(duì)角化。2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2）A陣為友矩陣n階系統(tǒng)矩陣若A陣為友矩陣即且特征值兩兩互異，則此時(shí)化狀態(tài)方程為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)形的變換陣可選為范德蒙德（Vandermonde）矩陣：2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述充要條件：n階系統(tǒng)矩陣A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量?；瘜?duì)角標(biāo)準(zhǔn)型的步驟：求取系統(tǒng)矩陣的個(gè)特征根和對(duì)應(yīng)的特征向量令

2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述例2.5.2將下系統(tǒng)化為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述解：1)

求系統(tǒng)特征根2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2)求特征向量對(duì)由得2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述對(duì)由得2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述對(duì)由得2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述3)新的狀態(tài)方程為：構(gòu)成狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述21/s251/s21/s-1UY2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述討論（對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)形的優(yōu)越性）1)狀態(tài)解耦2)容易求矩陣指數(shù)3)容易判斷系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性4)

容易進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解

5)容易求傳遞函數(shù)6）容易判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性7）當(dāng)特征值中包含復(fù)數(shù)特征值時(shí)都將為復(fù)數(shù)矩陣。

結(jié)論：便于系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)返回2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.5.3若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型（Jordancanonicalform

）上若當(dāng)塊下若當(dāng)塊2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2）矩陣A若不能化為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)形，則一定能化為若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。1）對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)形是若當(dāng)規(guī)范形的特殊形式2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述重特征根設(shè)矩陣具有變換化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型?？赏ㄟ^(guò)則稱為廣義特征向量。矩陣線性滿足是所對(duì)應(yīng)的特征向量。若2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述求約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的步驟：求解令

返回2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.5.4系統(tǒng)經(jīng)狀態(tài)變換后特征值及傳遞函數(shù)矩陣的不變性1、特征值的不變性2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1、傳遞函數(shù)的不變性返回2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.6離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式離散時(shí)間系統(tǒng)差分方程表示：其對(duì)應(yīng)脈沖傳函為：返回2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1、差分方程中不包含輸入函數(shù)的差分1)選擇狀態(tài)變量2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2)把高階差分方程化為一階差分方程2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述3)向量方程控制矩陣系統(tǒng)矩陣輸出矩陣2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2、差分方程中包含輸入函數(shù)的差分其對(duì)應(yīng)脈沖傳函為：2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述定義：?。簩?duì)其進(jìn)行Z反變換得：

2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述寫成矩陣形式：2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述化簡(jiǎn)得：2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述例2.6.1考慮離散系統(tǒng)試寫出其狀態(tài)空間表達(dá)式。得狀態(tài)空間表達(dá)式為：解：取Z變換得2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述MIMO離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式：返回2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.7用MATLAB分析狀態(tài)空間模型2.7.1傳遞函數(shù)的輸入2.7.2狀態(tài)空間模型的輸入2.7.3兩種模型間的轉(zhuǎn)換返回2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述考慮線性定常系統(tǒng)：式中u為輸入，y為輸出。該式也可寫為2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.7.1傳遞函數(shù)的輸入返回2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.7.2狀態(tài)空間模型的輸入返回2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.7.3兩種模型間的轉(zhuǎn)換1、由傳遞函數(shù)變換為狀態(tài)方程將閉環(huán)傳遞函數(shù)寫為當(dāng)有了這一傳遞函數(shù)表達(dá)式后，使用如下MATLAB命令：[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)。2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述任何系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式都不是唯一的。對(duì)于同一系統(tǒng)，可有許多個(gè)（無(wú)窮多個(gè)）狀態(tài)空間表達(dá)式。上述MATLAB命令僅給出了一種可能的狀態(tài)空間表達(dá)式。2025年2月28日第二章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述例如：考慮以下傳遞函數(shù)其中的一種可能的狀態(tài)空間表達(dá)式為：2025年2月28日第二章