西北大學(xué)量子力學(xué) 3.2 學(xué)習(xí)課件

3.2算符的運(yùn)算規(guī)則3.2.1算符的定義所謂算符，是指作用在一個(gè)函數(shù)上得出另一個(gè)函數(shù)的運(yùn)算符號。若某種運(yùn)算把函數(shù)變?yōu)椋涀鲃t表示這種運(yùn)算的符號就稱為算符。如果算符作用于一個(gè)函數(shù)，結(jié)果等于乘上一個(gè)常數(shù)，記為則為的本征值，為的本征函數(shù)，上述方程稱為的本征方程。（3.2.1）3.2算符的運(yùn)算規(guī)則其中、為任意函數(shù)，、為常數(shù)，則稱為線性算符。若算符滿足：（3.2.2）（3.2.3）若算符滿足：為任意函數(shù)，則稱為單位算符。3.2算符的運(yùn)算規(guī)則3.2.2算符的運(yùn)算規(guī)則為任意波函數(shù)。顯然，算符之和滿足交換率和結(jié)合律算符之和（3.2.4）顯然，線性算符之和仍為線性算符。算符之積注：一般情形（3.2.5）（3.2.6）比方，取則3.2算符的運(yùn)算規(guī)則但因此（3.2.7）從（3.2.8）可見，由于是任意函數(shù)，從(3.2.7)式得（3.2.8）3.2算符的運(yùn)算規(guī)則記和之差為（3.2.9）稱為算符，的對易關(guān)系或?qū)σ鬃?。式?.2.8）可記為若算符和的對易子為零，則稱算符和對易。利用對易子的定義（3.2.9）式，易證下列恒等式

3.2算符的運(yùn)算規(guī)則最后一式稱為雅可比恒等式。（3.2.10）作為例子，我們討論角動量算符（3.2.11）上式中，，=1,2,3表示相應(yīng)的分量，成為列維-斯維塔記號，滿足

任意兩個(gè)下腳標(biāo)相同，則為零。（3.2.14）

3.2算符的運(yùn)算規(guī)則（3.2.12）它們和坐標(biāo)算符的對易子是（3.2.12）式可表示為（3.2.13）

3.2算符的運(yùn)算規(guī)則同理可得（3.2.16）（3.2.15）式中不為零的等式也可寫成（3.2.17）坐標(biāo)和動量的對易子可寫為（3.2.18）其中（3.2.19）

3.2算符的運(yùn)算規(guī)則（3.2.20）角動量算符的平方是：（3.2.21）則（3.2.22）在球坐標(biāo)系下（3.2.23）則

3.2算符的運(yùn)算規(guī)則（3.2.24）將r兩邊對x求偏導(dǎo)，得（3.2.25）將兩邊對x求偏導(dǎo)，得：（3.2.26）再將兩邊對x求偏導(dǎo)，得：利用這些關(guān)系式可求得：（3.2.27）

3.2算符的運(yùn)算規(guī)則（3.2.28）同理可得：（3.2.29）（3.2.30）（3.2.31）（3.2.32）則角動量算符可表示為：

3.2算符的運(yùn)算規(guī)則（3.2.34）（3.2.35）（3.2.33）由此可得：（3.2.36）所以

3.2算符的運(yùn)算規(guī)則則的本征方程可寫為：（3.2.37）（3.2.39）（3.2.38）在數(shù)理方法中已討論過，必須有：可解得：為歸一化系數(shù)，為連帶勒讓得多項(xiàng)式。所以（3.2.40）因?yàn)楸硎窘莿恿刻?，所以稱為角動量量子數(shù)，稱為磁量子數(shù)。

3.2算符的運(yùn)算規(guī)則對應(yīng)于一個(gè)的值，可以取個(gè)值，因而對于的一個(gè)本征值，有個(gè)不同的本征函數(shù)。我們把對應(yīng)于一個(gè)本征只有一個(gè)以上的本征函數(shù)的情況叫簡并，把對應(yīng)于同一本征值的本征函數(shù)的數(shù)目稱為簡并度。的本征值是度簡并的。（3.2.41）同理：即在態(tài)中，體系的角動量在軸方向投影為一般稱的態(tài)為態(tài)，的態(tài)依次為態(tài)。

3.2算符的運(yùn)算規(guī)則現(xiàn)在考慮角動量算符的物理意義。設(shè)體系繞軸滾動角并以算符變換表示：，（3.2.42）當(dāng)，即在無窮小轉(zhuǎn)動下，對做泰勒展開，準(zhǔn)確到一級項(xiàng)有

3.2算符的運(yùn)算規(guī)則因此，狀態(tài)在空間轉(zhuǎn)動后變?yōu)榱硪粻顟B(tài)，它等于某個(gè)變換算符作用于原來態(tài)上的結(jié)果，而該變換算符，特別在無窮小轉(zhuǎn)動下，，角動量算符純粹反映空間轉(zhuǎn)動的特征，又稱角動量算符為空間轉(zhuǎn)動無窮小算符，從而角動量反映著空間轉(zhuǎn)動變化的特性。

3.2算符的運(yùn)算規(guī)則算符的乘冪算符的次乘冪定義為（3.2.20）算符的函數(shù)（3.2.21）且能從上式