高考數(shù)學(xué)必刷題簡(jiǎn)答題：三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、參數(shù)方程（含全解析）

三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、參數(shù)方程

一.解答題(共60小題)

1..在①5cosA=2b,②A+C=2B,③2asinC-3csin(A+C)=0這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題

中，并解答.

是否存在△ABC,它的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為mb,c,且2sin(4+C)=sinA+sinC,a+c=4,?

若存在，求出c的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

2.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,B衛(wèi)且(siM+sinB)sinC+cos2C=1.

3

(1)求證：5a=3c；

(2)若△48C的面積為55巧，求c.

3.在△A5C中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a2+c2-b2=V§ac，2acosC=24?c.

(I)求角C的大??；

(2)若D,E是邊8C上的兩點(diǎn)，NDAE=三，b=2,求△AOE的面積S的最小值.

3

4.已知△ABC中的三個(gè)內(nèi)角C所對(duì)的邊分別為小力,c,角8為鈍角，且2“sin(三-8)=亞運(yùn)二&.

3sin2B

(I)求角8的大??；

(II)若點(diǎn)。在4c邊上，滿足4C=4A。，且48=4,80=3,求8C邊的長.

5.如國，在△A8C中，AB=\,BC=3,在AC的右側(cè)取點(diǎn)。，構(gòu)成平面四邊形ABC。，cosB+cosO=0且B

=120°.

(1)求△ACO外接圓的面積；

(2)求△A8周長的取值范圍.

6.已知△A8C的角A,B,C對(duì)邊分別為a,b,c,且反osA+acos8=c(3cosA-1).

(1)求cosA；

(2)若裾-AC=-10,求△46。的面積S的值.

7.在AABC中，B=—,。為8C上的點(diǎn)，E為4。上的點(diǎn)，且AE=8,4。=4/記，ZCED=—.

34

(1)求CE的長;

(2)若。)=5,求NDA8的余弦值.

8./XABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知asin(AK)=bcos(A工)?

6

(I)求A；

(II)若。為邊AC上一點(diǎn)，且AB=A。，AC=8,BC=7,求CO的長.

9.n已知函數(shù)/(4)=4sin(a)x+<p)(A>0(D>00<(p<2n)的部分圖象如圖所示.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式;

求/的值.

-2L?p<2L)的部分圖象如圖所示.

22

(1)求函數(shù)/(%)的解析式;

(2)求函數(shù)戶(x)=|/求)]2-2mf(jf),xG[0,21］的最小值.

2

11.如圖，在直三棱柱A8C-4BC1中，AB=BC=1,AC=V^，E,尸為線段BBi,ACi的中點(diǎn).

(1)證明：E/_L平面AMCC；

(2)若直線E4與平面ABC所成的角大小為？L,求點(diǎn)C到平面4EC1的距離.

6

12.如圖，在四棱錐尸-48CO中，底面ABCO為直角梯形，ZBAD=ZCBA=—,PA=AD=DP=AB=2f

2

BC=l,平面%OJ?平面48CO,M為P。的中點(diǎn).

(1)證明：CM〃平面PAB；

(2)求多血體B4BCM的體積.

13.在直四棱柱ABC。-中，AB//CD,AB=AD=\fDiD=CD=2,AB±AD.

(1)求證：BC_L平面力iDB；

14.如圖，在四棱錐P-A8CO中，B4_L立面ABC。，AD//BC,ZABC=90°,PA=AB=BC=2,4。=1,

點(diǎn)M,N分別為楂P8,0c的中點(diǎn).

(1)求證：AM〃平面PCD；

(2)求三棱錐M-PCD的體積.

15.如圖所示，正方形4OE尸與梯形A8CD所在的平面互相垂直，已知AB〃CO,ADLCD,AB=2AD=1

2

CD=2.

(1)求證：8F〃平面CDE；

(2)連接。凡求多面體A8CDE尸的體積.

16.如圖所示，平面ABOE_L平面ABC/XABC是等腰直角三角形，AC=BC=4,四邊形A8OE是直角梯

形，BD//AE,BD1BA,BD=-^AE=2'。，M分別為CE,4B的中點(diǎn).

2

(1)試判斷直線0。與平面ABC的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)求四面體。。何￡的體積.

17.在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。為梯形，已知人O〃B。，ZBAD=\2Q°,AB=BC=PA=2AD=2,

△P8C是以BC為斜邊的等腰直角三角形.

(1)證明：COJ_平面PBC；

(2)Q為棱AB上一點(diǎn)，且三棱錐8-PQC的體積為近，求NBCQ的大小.

6

18.如圖，四棱錐S-ABC。中，底面ABC。為矩形，SA_L平面ABC。，SA=2,E、尸分別為AO、SC的中

點(diǎn)，且E凡L平面SBC.

(1)求他；

(2)若AO=“AB,求點(diǎn)E到平面SC。的距離.

19.如圖1,在直角梯形A8CO中，AD//BC,AB1AD,點(diǎn)石為8C的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在4OE尸〃AB,BC=EF

=Q尸=4,將四邊形CQFE沿4邊折起，如圖2.

(1)證明：圖2中的AE〃平面BCD；

(2)在圖2中，若城)=2正，求該幾何體的體積.

20.如圖，在四棱錐尸-A8CO中，AB//CD,AB1AD,ADLPD,AB=AD=\,CD=2,PD=3,E為線

段P8的中點(diǎn)，MDE±BC.

(1)求證：PD_L平面A8C￡＞；

(2)若過三點(diǎn)C,D,E的平面將四棱錐P-ABC。分成上，下兩部分，求上面部分的體積憶

p

22rz

21.橢圓：三三=i(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是為、尸2,離心率為"，過門且垂直于x軸的

a2b22

直線被橢圓截得的線段長為1.

(1)求橢圓的方程；

(2)若與坐標(biāo)軸不垂直且不過原點(diǎn)的直線/1與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A,B,過AB的中點(diǎn)M作垂直于

/I的宜線/2,設(shè)h與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)C,D,且五五.設(shè)原點(diǎn)0到直線1\的距離為d,求瑞丁

的最大值.

22.已知點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),直線而與直線PB的斜率之積為二，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C.

2

(1)求曲線。的方程；

(2)設(shè)O為曲線。上的一點(diǎn)，線段AO的垂直平分線交y軸于點(diǎn)E若AAOE為等邊三角形，求點(diǎn)。

的坐標(biāo).

23.橢圓：鳥■片=i(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是尸I、E，離心率為券，過人且垂直于x軸的

直線被橢圓截得的線段長為1.

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)不過原點(diǎn)。的直線與橢圓交于M,N兩點(diǎn)，且直線OM,MN,ON的斜率依次成等比數(shù)列，求

△0MN面積的取值范圍.

22

24.已知橢圓g：與三=l(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)(F，-)?過其焦點(diǎn)且垂直于x軸的弦長為L

a2b22

(1)求橢圓Ci的標(biāo)準(zhǔn)方程；

2

(2)已知曲線c爐x=4y>C2在點(diǎn)P處的切線/交。于M,N兩點(diǎn)，且而二加，求/的方程.

25.已知/為拋物線C：7=20，(p>0)的準(zhǔn)線，尸(1,和)為拋物線C上一點(diǎn)，且點(diǎn)P到/的距離為

(I)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(n)當(dāng)和31時(shí)，M,N為拋物線C上異于P的兩點(diǎn)，且由■而i恒為定值O,求|PN|的最小值.

26.已知M,N分別是X軸，y軸上的動(dòng)點(diǎn)，且1MM=4+2孤，動(dòng)點(diǎn)尸滿足而=爽_百，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為

2

曲線C.

(I)求曲線C的軌跡方程;

(II)直線八：3]-2)，=0與曲線。交于4,B兩點(diǎn),G為線段48上任意一點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，斜率

|EF|2

為女的直線/2經(jīng)過點(diǎn)G,與曲線C交于EF兩點(diǎn).若的值與點(diǎn)G的位置無關(guān)，求女的

|GA|?|GB|

值.

27.己知橢圓￡2y+y2=l(a>l)的左、右焦點(diǎn)分別為尸1，尸2,G為E的上頂點(diǎn)，且亍7?菽=-2。

a212

(1)求E的方程；

(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)。作兩直線八，/2分別交E于A,8和C,。兩點(diǎn)，直線以/2的斜率分別為幻，心.是

否存在常數(shù)3使所?依=，時(shí)，四邊形AC3。的面積S為定值？如果存在，求出，的值；如果不存在，說

明理由.

28.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在橢圓C：菅七-二1上，過點(diǎn)尸作x軸的垂線,垂足為Q，點(diǎn)M滿足而=k百.

(1)當(dāng)&為何值時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為圓，并求出該圓的方程；

(2)當(dāng)點(diǎn)M的軌跡為圓時(shí)，設(shè)點(diǎn)N在直線x=3上，且萬?而5=-3,證明：過點(diǎn)M且垂直于而5的直線

/過。的右焦點(diǎn)H

29.在平面直角坐標(biāo)系工作中，己知點(diǎn)M(4,0),N(1,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足瓦?而=6|而，記P的軌跡為

T.

(1)求丁的方程；

(2)若斜率為k(kHO)的直線/過點(diǎn)N且交丁于4,B兩點(diǎn)，弦AB中點(diǎn)為E,直線OE與T交于C,

D兩點(diǎn)，記△E4C與△砧力的面積分別為Si，S2，求S1+S2的取值范圍.

30.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(?l,0),B(1,0),動(dòng)點(diǎn)M(x,y)與點(diǎn)N關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，

四邊形MANS的周長為8,記點(diǎn)M的軌跡為曲線C.

(I)求C的方程；

(【I)過點(diǎn)8(1,0)且斜率不為零的直線交曲線C與P,Q兩點(diǎn)，過點(diǎn)。作x軸的平行線QR交直線

x=4于R,試問：直線尸R是否過定點(diǎn)，如果是，求出這個(gè)定點(diǎn)：如果不是，說明理由.

31.已知等差數(shù)列｛而｝中，m=2,公差d>0,其前四項(xiàng)中去掉某一項(xiàng)后（按原來的順序）恰好構(gòu)成一個(gè)等

比數(shù)列.

（1）求d的值.

（2）令b=---，數(shù)列｛加｝的前〃項(xiàng)和為S”若S<入2_入」對(duì)M?WN+恒成立，求人取值范圍.

nun9

anan+l乙

2n-1

32.已知數(shù)列｛。〃｝為等比數(shù)列，且m=l,anan+.1=-2-

（1）求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)bJT/F,求數(shù)列｛d｝的前〃項(xiàng)和s”.

nan

33.設(shè)S〃為等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和,且④=3,S5=25.

（I）求數(shù)列｛?。耐?xiàng)公式；

（II）若bn=an。。*"二求數(shù)列｛瓦｝的前30項(xiàng)和△（）.

nn3

2

34.已知數(shù)列｛如卜單調(diào)遞增，其前〃項(xiàng)和為S”，且°|=2,s=—+.

un4n

（1）求數(shù)列｛?。耐?xiàng)公式；

aR

（2）設(shè)b=a亍-L求數(shù)列｛仇｝的前〃項(xiàng)和為

Mnan0

35.已知等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S“，。1+43=2,且§6=3%

（1）求｛斯｝的通項(xiàng)公式：

（2）若數(shù)列」｛九｝滿足bn+]-（-l）nbn=2"，求｛瓦｝的前10項(xiàng)和.

36.已知等差數(shù)列｛如｝的前〃項(xiàng)和為S”ai=-3,56=12,數(shù)列｛加｝的前k項(xiàng)和為6口=291-2-

（1）求數(shù)列｛〃“｝和｛加｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)Cn="jb〃，求數(shù)列｛5｝的前差項(xiàng)和耳.

37.已知數(shù)列｛小｝滿足：殘1°,對(duì)切正N+,都有a.i衛(wèi)+旦+1?

2n22

（1）設(shè)與="「〃，〃WN+,求證：數(shù)列｛d｝是等比數(shù)列；

（2）設(shè)數(shù)列｛?。那啊?xiàng)和為S〃，求S”.

38.已知數(shù)列（如｝的前〃項(xiàng)和為S”滿足ai=l,且2S〃=，心〃+1.

（1）求數(shù)列｛m｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列小｝的前〃項(xiàng)和

39.從①殘+a2+???+an=2"l-2(n€N*)，②Sn=2an-2(n€N*)，這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充到

下面問題中，并完成解答.

問題：已知數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S”且_______.

(I)寫出所選條件的序號(hào)，并求數(shù)列僅“｝的通項(xiàng)公式；

(II)若數(shù)列｛與｝為等差數(shù)列，"=1，b2,。2,86成等差數(shù)列，求數(shù)列廿~4\—｝的前〃項(xiàng)和/“?

LJ

(n+l)bn

40.已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，且mo-1,。12+2,4al4+4分別是公比為2的等比數(shù)列｛仇)中的第3,4,6

項(xiàng).

(1)求數(shù)列｛如｝和｛瓦｝的通項(xiàng)公式;

<2)若數(shù)列｛c“通項(xiàng)公式為Cn=b”sin(立斯),求｛5｝的前100項(xiàng)和Swo.

41.已知函數(shù)f(x)1+1尸.

X

(1)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/(I))處的切線方程；

(2)當(dāng)時(shí)，f(乂)>)求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

X(x+1)

42.已知函數(shù)f(x)=/-a(x+cosx),其中a>0,且滿足對(duì)VxW[0,+°°)時(shí)，f(x)20恒成立.

(1)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

⑵令g(x)=f(x)&L判斷g(x)在區(qū)間(-1,工)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由?

x+12

n

(參考數(shù)據(jù)：e-^4>8.)

43.設(shè)函數(shù)f(x)=alnx」"，尤氏

x

(1)設(shè)/是y=/a)圖象的一條切線，求證：當(dāng)。=0時(shí)，/與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為定值；

(2)當(dāng)。>0時(shí)，求函數(shù)/(工)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

44.已知函數(shù)f(x)[axJlnx，

(1)若函數(shù)/(外是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)當(dāng)a=0時(shí)，設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+ex-sinx-1,證明：g(x)>0恒成立.

45.已知函數(shù)/(x)=(2+sinx+co爐)-a(x+sinx)(t/GR).

(1)討論/(X)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)xWO時(shí)，f(x)24%+3,求a的取值范圍.

46.已知函數(shù)f(x)=(x-1)lnx+a.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對(duì)WvG(0,+8),都有"(x)>x,求實(shí)數(shù)々的取值范圍.

47.已知函數(shù)/(x)=(x+1)lnx+(a-3)x.

(1)若函數(shù)/(")為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若函數(shù)/(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)X],4(XI<X2).求證：f(xi)4/(x2)+X\+X2>~2.

48.已知函數(shù)f(x)=ln(x+l)^"-]，其中x>0，aWR.

X

(I)討論/(x)的單調(diào)性；

(II)當(dāng)。=2時(shí)，回是/(外的零點(diǎn)，過點(diǎn)A(3，In(M)+l))作曲線)=加(x+1)的切線/,試證明

直線/也是曲線y=ee的切線.

49.已知函數(shù)/(x)=2由1?工&乂2-4存在極值點(diǎn).

2

(1)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

XL

(2)若刈是/(x)的極值點(diǎn)，求證：3x0-2<axn<e0-

參考數(shù)據(jù)：/〃2和0.69.

50.設(shè)函數(shù)f(%)=aln(x+1)-x(aWO).

(I)求曲線y=/(x)在(0,/(O))處的切線方程；

(II)若函數(shù)f(x)有最大值并記為M(a),求M(a)的最小值；

(III)當(dāng)。=工時(shí)，求/(%)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

2

51.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為1x=l+c0sQ((p為參數(shù))，直線的。2普通方程為

y=sinQ

x+y=3,以。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求G與C2的極坐標(biāo)方程；

(2)在極坐標(biāo)系中，射線e=a(0<(1〈生)與。，C2分別交于點(diǎn)48(異于極點(diǎn))，若|。4|?|0陰

2

=3,求a的值.

52.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為

兀[x=i4t

p2+4Psin(0—)=12?直線/的參數(shù)方程為,(，為參數(shù)).

6y=-V34t

(1)求圓C的半徑以及圓心的直角坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)尸(x,y)直線/上，且在圓C內(nèi)部(不含邊界)，求畬x+y的取值范圍.

53.在直角坐標(biāo)系x。)，中，已知直線/：X=t(e為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極

y=l+kt

軸，建立極坐標(biāo)系，曲線。的極坐標(biāo)方程為pi2-4/x:os0-2psin0+4=O.

(I)求當(dāng)左=1時(shí)，直線/的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(【I)若直線/與曲線C交于4,B兩點(diǎn),\AB\=^3,求實(shí)數(shù)％的值.

，4

x=2-z-t

54.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的參數(shù)方程為|(其中，為參數(shù))，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半

產(chǎn)4+至t

軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為4\歷cos(e4)=P?

(1)求直線/的普通方程以及曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)求曲線。上的點(diǎn)到直線/的距離的最大值.

55.在同一直角坐標(biāo)系xO)，中，經(jīng)過伸縮變換.X：一6x后，曲線Cj"+y2=i變成曲線C2.

(1)求曲線C2的參數(shù)方程；

(2)設(shè)A(2,?),點(diǎn)尸是C2上的動(dòng)點(diǎn)，求△OAP面積的最大值，及此時(shí)P的坐標(biāo).

k

56.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線版的參數(shù)方程為x=Xkm《scosd(a為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正

y=ksina

半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)當(dāng)4=2時(shí)，曲線M2是什么曲線？并求M2的極坐標(biāo)方程；

(2)當(dāng)％=4時(shí)，求M4與M2的公共點(diǎn)的直角坐標(biāo).

2

x=t——

57.在直角坐標(biāo)系X。)，中，曲線C的參數(shù)方程為?；a為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正

y=t+T+1

半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為p(sineX^-cose)=i.

2

(1)求C和/的直角坐標(biāo)方程；

(2)求C上的點(diǎn)到/距離的最小值.

58.己知曲線。的極坐標(biāo)方程為P=2V3cos9+2sinB,直線i：8=2L(pgR),直線

i6

i.e三(PER＞以極點(diǎn)o為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系.

23

(1)求直線％/2的直角坐標(biāo)方程以及曲線C的參數(shù)方程；

(2)已知直線人與曲線。交于O,A兩點(diǎn)，直線/2與曲線C交于。，B兩點(diǎn),求AAOB的周長.

59.在直角坐標(biāo)系g中，曲線Cl的參數(shù)方程為產(chǎn)l?c°sa(a為參數(shù)).

以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸

y=V3+2sinCI

的王半軸為極軸建立極坐標(biāo)系中，直線C2：2psin(G-t^)=-l.

(I)求曲線C1上的點(diǎn)與直線C2上的點(diǎn)距離的最小值；

X，=x

(n)將曲線Cl向左平移1個(gè)單位，向下平移45個(gè)單位得到曲線C3,再將C3經(jīng)過伸縮變換,1

|yF

后得到曲線C4,求曲線C4上的點(diǎn)到直線C2距離的最大值.

4t

x=，

1+t2

60.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Ci滿足參數(shù)方程|)t為參數(shù)且-1WtW1.以坐標(biāo)原點(diǎn)

y=—2，

l+t.

為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)P為曲線。上一動(dòng)點(diǎn)，且極坐標(biāo)為(p,6).

(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)求p(cos0+3sine)的取值范圍.

參考答案與試題解析

一.解答題(共60小題)

1..在①5cosA=2b,②A+C=2B,③%/sinC-3csin(A+C)=0這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題

中，并解答.

是否存在△ABC,它的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且2sin(A+C)=siM+sinC,a+c=4,?

若存在，求出。的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【解答】解：因?yàn)?sin(A+C)=sinA4-sinC,sinCA+C)=sin(K-B)=sinB,

所以2sinB=sia4+sinC,由正弦定理可得2b=a+c,

又a+c=4,所以b=2.

假設(shè)AABC存在，

方案一：選條件①，

因?yàn)?cosA=2/?>所以cosA=~>,

5

則/=從+。2.2bccosA,即(4-C)2=22+C2-2X2XCX-^,

5

解得c①

C2

所以a￡，

所以廿+廿二廿，所以ACJ_8C,

所以此時(shí)AABC存在，且為直角三角形，0至.

方案二：選條件②，

因?yàn)?+C=2B,所以B」L，

D3

又廿=。2+°2_2accosB,

所以22=(4-c)2+C2-2(4-c)ex/

解得c=2.

所以。=2,此時(shí)△ABC存在，且為等邊三角形，c=2.

方案三：選條件③，

由2asinC-3csin(A+C)=0,可得2sinCsiM=3sinCsin8,

易知sinCNO,所以sinA=，

所以a=^b=3，則。=1.

因?yàn)榧觀=3=如故此時(shí)△ABC不存在.

2.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為％b,c,B衛(wèi)匚且<sinA+sinB)sinC+cos2C=1.

3

(1)求證：5a=3c；

(2)若△ABC的面積為斯，求c

【解答】證明：(1)因?yàn)閏os2c=1-Zsi/C,

所以(sinA+sinB)sinC+1-2sin2C=L

整理為sinC(sinA+sinB-2sinC)=0,

因?yàn)?0,n),

所以sinCWO,

所以sinA+sinB-2sinC=0,

由王弦定理得：o+b-2c=0,

222

由余弦定理得：cosB=a+cf二二,即a2+e2-.=_砒,

2ac2

將b=2c-a代入上式，可得：5a=3c,

解：(2)由面積公式得：!acsinB=￡ac=5?，

24

所以ac=20,

結(jié)合第一問的5a=3c,可得：

。3

因?yàn)閏>0,所以

3.在△ABC中，角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a2+c2-b2=V§ac，2acosC=2Hc.

(1)求角。的大小；

(2)若D,七是邊8C上的兩點(diǎn)，NDAE=三，b=2,求△AQE的面積S的最小值.

3

【解答】解：(1)由余弦定理及J+c2一b2飛行ac，知2accosB二ac，

.RV3

??COSD=-Z-1

乙

VBe(0,TT),:.

6

由王弦定理及2acosC=2h+c,得2sin4cosC=2sin￡?+sinC,

V2sin^+sinC=2sin(A+C)+sinC=2sinAcosC+2coMsinC+sinC,

2cosAsinC+sinC=0,

(2)由(1)得，△ABC為等腰三角形,

在△A8。中，B/ZBAD=Cl,b=2.

6

2Xsin-T-1

AD二AB,_ABsinB6二________________1

由上弦定理知,ADn

"^ZADB.’5兀門、.,5兀a、

sinBsinZADBsin(-Cl；sinr--a；

r66

同理可得，AE=--------------=—」，

sin(4+a)co、匹

.JTV3

：.S=2A￡>?4E?sinNZME=1?-------------------]?sin----=-------------

22班(罕-CL)cosa3/八

a+sinQ)cosCl

641萬cos

V3

2cos2a+2\/3sinClcosCI

=________2/3_________=g,

1+cos2CX4V3sin20.2sin(2CL-H^-)+1

7a6(0,等)，

o

.??當(dāng)2a+三=2L,即a』時(shí)，s取得最小值近.

6263

4.已知△ABC中的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,角B為鈍角，且2zsin(--g)=V3bsinA

3sin2B

(I)求角B的大小；

(ID若點(diǎn)。在AC邊上，滿足4C=4A。，且AB=4,BD=3,求BC邊的長.

【解答］解：(I)由正弦定理及2nsin(21-B)=近bsinA,知2siMsin(21-8)=EsinBsinA,

3sin2B32sinBcosB

因?yàn)閟inAWO,所以2sin(--B)=“，

32cosB

所以2(義2cos8-—sin/?)=—,即2-2sinBcos5=

222cosB

所以f(l+cos28)-sin2B=V3?即V^cos2B=sin2B,

所以tan2B=sin2B.=V3，

cos2B

因?yàn)榻?為鈍角，所以B=空.

3

因?yàn)锳C=4A。，

所以根據(jù)平面向量基本定理知，而=反誣+工菽，

44

所以麗=(J-BA+1BC)2=ABA2+1BA.BC+ABC2,

4416816

因?yàn)锳8=4,BD=3,

所以9=-^X16+2x4X|箴|cos&L+」q菽P，化簡(jiǎn)得，箴而=0,

168316164

解得I而=12.

5.如圖，在△ABC中，48=1,BC=3,在AC的右側(cè)取點(diǎn)。，構(gòu)成平面四邊形ABC。，cosB+cosO=0且8

=120°.

(1)求△ACD外接圓的面積；

(2)求△ACO周長的取值范圍.

【解答】解:(1)在△4BC中，由余弦定理得：AC1=AB2+BC2-2ABBCcosB=\+9-2X1X3Xcosl20°

=13,

所以AC=A/13?

因?yàn)閏os8+cosD=0,8=120°，

所以cosD=l.解得內(nèi)角。=60°,

2

設(shè)△ACD外接圓的半徑為八

則由正弦定理得2r=-^-.—39,

sinD3

~2

即r=Y亙，△40外接圓的面積為型L：

33

(2)令NACO=a,則NCAD;段■兀-a，且o<a<月二，

OO

CD二AC二月

在△中'有正弦定理得后不

AS.,2兀小、二sinD二sin600

sin—a)

訴ITin2V130r--Wi§?/2幾廠、

所以AD=-sina，CD=-sin(—―a>

CAACD=仙+CD+VT5sina+sin(^--d)W13

=+sin(等-a)]W13=2713sin(af)+V13*

因?yàn)閛<a<爭(zhēng)，

所以？Lva+三〈旦L,

666

所以J_<sin(a-H^-)<1,

N0

所以,△ACDC(Wl§,3V13]-

6.已知△ABC的角4,B,C對(duì)邊分別為a,b,c,且灰:osA+acosB=c(3cosA-I).

(1)求cosA；

（2）若BA?AC=-10,求△ABC的面積S的值.

【解答】解：(1)在△48C中，bcosA+acosB=c(3cosA-1),

利用正弦定理：sini?cosA+sinAcosB=sin(A+B)=sinC=sinC(3cosA-1),

整理得：cos/l=—；

3

(2)由于血?血=-10，

所以|BA||AC|cos(n-A)=-10,

整理得IBAIIACI=30;

所以S^ABC總X30X曜力道

7.在△A5C中，B=—,。為BC上的點(diǎn)，上為AO上的點(diǎn)，且AE=8,4c=44I5，ZCED=—.

34

(1)求CE的長；

(2)若8=5,求ND48的余弦值.

n3兀

【解答】解：(1)由題意可得/AEC二冗

在△AEC中，由余弦定理得AdnA戌+C^-zAECEcosNAEC,所以160=64*：E2+8aCE，

CE2+8V2CE-96=0,解得：CE=4V2.故CE的長為4\/2.

(2)在△CDE中，由正弦定理得一年一=~馬一，

sinZCDEsinZCED

sii^ZCDE="ii-所以5sinZCDE=4>/2sirr^-=4V2*等~=4，

sirry

所以sin/CDE=1?因?yàn)辄c(diǎn)°在邊5c上，所以/CDE>NBT，

D3

而且<爽_,所以N8七只能為鈍角，所以cos/CDE二3，

525

7T7T

所以cos/DAB;cos(NCDE-^Tcos/CDEcos-^+sinNCDEsi

3v14vV34V3-3

TX74TX-T--

8.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知asin(AK);bcos(A—

6

(I)求A；

(II)若及為邊AC上一點(diǎn)，且A8=AO,AC=8,8c=7,求C。的長.

【解答】(I)解：在△ABC中，Efeasin(A-K^)=bcos(A-?")?可得asinB:bcos，

66

所以由正弦定理可得sinAsinB=sinE，8s(A*)，

因?yàn)镺VBVn,所以sinB>0,

所以sinA=cos(A^T")cosA+4-sinA,

bNN

即^-cosA-ysinA=0*

乙乙

TT

所以cos=0?

因?yàn)镺VAVn,所以?<A點(diǎn)<?，

666

r*r*K17T7T

所以A7而即A工

3

(【I)解：由題意，設(shè)8=x(0VxV8),則AB=4Q=8-x,

因?yàn)锳C=8,BC=7,

所以由余弦定理可得72=(8-x)2+82-2X8X(8-X)COS^-?

BP?-8x+15=O,

解得x=3或x=5,

所以CO的長為3或5.

9.IT已知函數(shù)f(x)=Asin(u)x+(p)(A>0o)>00<(P<2TT)的部分圖象如圖所示.

(i)求函數(shù)/a)的解析式;

(2)若g(x)=/Cv+/),re(0,n)為偶函數(shù)，求，的值.

【解答】解：(1)由圖象可知A=V§，

旦T^^--普兀，，7=加

412,6,4

.2兀

??0)^=—=2*

7T

則f(x)=V3sin(2x+。)，

乂f=V3sin(2X-^-+(J))=-V3?

JL4JL乙

解得中§+2k兀，kWZ，

V0<(p<2n,.??@T，

所以函數(shù)/(x)的解析式為f(x)=V§sin(2x。)；

(2)由(1)知，f(x)=V3sin(2x-^_),

g(x)=f(x+t)=V3sin(2x+2t+^-)

因?yàn)間(x)=V3sin(2x+2tV~)為偶函數(shù)，

2t冗,k€2?

04

解得k€z?

工乙乙

V/G(0,n),:.t』或t=^-.

1212

10.已知函數(shù)f(x)=Asin((JOA+(P)(A>0,a)>0,--2L<(p<-2L)的部分圖象如圖所示.

22

(1)求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)求函數(shù)/(x)=\f(x)]2-2mf(x)?x6[0,3~]的最小值.

【解答】解：（1）由圖可知A=2.

設(shè)函數(shù)/（外的最小正周期為7,則工J兀―兀=兀,所以

41234

又因?yàn)?>0,由丁=2無=［解得3=2.

3

又由圖可知函數(shù)/（X）經(jīng)過點(diǎn)（9，2），貝i」2sin（2X^-+0）=2,

又因?yàn)镴L<Q<21,所以Q二工，

2中2中6

所以函數(shù)f(x)=2sin(2x^?-),

6

(2)因?yàn)閇0，所以2x-￥"]'所以2sin(2x/~)6[T,2]，