高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題 21 正弦定理、余弦定理8題型分類-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專題檢測（原卷版）

專題21正弦定理、余弦定理7題型分類1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC變形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2．三角形解的判斷A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解3．三角形中常用的面積公式(1)S＝eq\f(1,2)aha(ha表示邊a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑)．4．在△ABC中，常有以下結(jié)論：(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．(3)a>b?A>B?sinA>sinB，cosA<cosB.(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin

eq\f(A＋B,2)＝cos

eq\f(C,2)；cos

eq\f(A＋B,2)＝sin

eq\f(C,2).(5)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.(6)三角形中的面積S＝eq\r(pp－ap－bp－c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,2)a＋b＋c)).5.測量中的幾個(gè)有關(guān)術(shù)語術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針方向到目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角．方位角θ的范圍是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)α例：(1)北偏東α：(2)南偏西α：坡角與坡比坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(θ為坡角)；坡面的垂直高度與水平長度之比叫坡比(坡度)，即i＝eq\f(h,l)＝tanθ（一）利用正弦定理、余弦定理解三角形解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式，則考慮用正弦定理，以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．題型1：利用正弦定理、余弦定理解三角形1-1．（2024·天津）在中，角所對的邊分別是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．1-2．（2024高三上·江西贛州·期中）在中，角所對的邊分別為，若，則（

）A． B． C． D．1-3．（2024·河南·三模）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若且，，則（

）A． B． C．8 D．4（二）正弦定理、余弦定理的簡單應(yīng)用1.判斷三角形形狀的兩種思路(1)化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．(2)化角：通過三角恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．此時(shí)要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個(gè)結(jié)論．2.三角形面積公式的應(yīng)用原則(1)對于面積公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式．(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化．3.在平面幾何圖形中研究或求與角有關(guān)的長度、角度、面積的最值、優(yōu)化設(shè)計(jì)等問題時(shí)，通常是轉(zhuǎn)化到三角形中，利用正、余弦定理通過運(yùn)算的方法加以解決．在解決某些具體問題時(shí)，常先引入變量，如邊長、角度等，然后把要解三角形的邊或角用所設(shè)變量表示出來，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函數(shù)思想．題型2：三角形的形狀判斷2-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在中，設(shè)命題p：，命題q：是等邊三角形，那么命題p是命題q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2-2．（2024·甘肅酒泉·三模）在中內(nèi)角的對邊分別為，若，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形2-3．（2024·四川綿陽·三模）在中，角，，的對邊分別為，，，且，則形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形2-4．（2024高一下·江蘇蘇州·期中）在中，若，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形2-5．（2024高一下·陜西西安·期中）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且，則的形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形題型3：三角形的面積、周長3-1．（2024高三上·廣東·期末）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求角C的大?。?2)若，的面積為，求的周長.3-2．（2024·全國）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積．3-3．（2024·浙江）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．3-4．（2024高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）在中，為上的中點(diǎn)，滿足.(1)證明：為等腰三角形或直角三角形；(2)若角為銳角，為邊上一點(diǎn)，，求的面積.3-5．（2024·北京）在中，，再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．3-6．（2024·全國）在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.3-7．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）已知中角的對邊分別為，．(1)求；(2)若，且的面積為，求周長．題型4：正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用4-1．（2024·全國）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：4-2．（2024·重慶·三模）已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，．(1)求；(2)若，求．4-3．（2024·全國·三模）已知a，b，c分別為的內(nèi)角A，B，C的對邊，.(1)求證：a，b，c成等比數(shù)列；(2)若，求的值.題型5：與平面幾何有關(guān)的問題5-1．（2024高三上·北京豐臺(tái)·期末）在△中，，．(1)求的大小；(2)在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，并求出邊上的中線的長度．條件①：；條件②：△的周長為；條件③：△的面積為．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．5-2．（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知．(1)求的值；(2)若的面積為為邊的中點(diǎn)，求的長．5-3．（2024·湖南株洲·一模）在中，，點(diǎn)D在AB邊上，且為銳角，，的面積為4.(1)求的值；(2)若，求邊AC的長.5-4．（2024·全國）在中，，的角平分線交BC于D，則．5-5．（2024·全國）如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=.（三）解三角形的應(yīng)用舉例解三角形的應(yīng)用問題的要點(diǎn)(1)從實(shí)際問題抽象出已知的角度、距離、高度等條件，作為某個(gè)三角形的元素．(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得實(shí)際問題的解．題型6：測量距離問題6-1．（2024·山東濟(jì)南·三模）山東省科技館新館目前成為濟(jì)南科教新地標(biāo)（如圖1），其主體建筑采用與地形吻合的矩形設(shè)計(jì)，將數(shù)學(xué)符號(hào)“”完美嵌入其中，寓意無限未知?無限發(fā)展?無限可能和無限的科技創(chuàng)新.如圖2，為了測量科技館最高點(diǎn)A與其附近一建筑物樓頂B之間的距離，無人機(jī)在點(diǎn)C測得點(diǎn)A和點(diǎn)B的俯角分別為75°，30°，隨后無人機(jī)沿水平方向飛行600米到點(diǎn)D，此時(shí)測得點(diǎn)A和點(diǎn)B的俯角分別為45°和60°（A，B，C，D在同一鉛垂面內(nèi)），則A，B兩點(diǎn)之間的距離為米.6-2．（2024高三上·安徽阜陽·期中）一游客在處望見在正北方向有一塔，在北偏西45°方向的處有一寺廟，此游客騎車向西行后到達(dá)處，這時(shí)塔和寺廟分別在北偏東30°和北偏西15°，則塔與寺廟的距離為.6-3．（2024高一下·湖北省直轄縣級(jí)單位·期末）如圖，為了測量兩點(diǎn)間的距離，選取同一平面上的，兩點(diǎn)，測出四邊形各邊的長度（單位：km）：，，，，且四點(diǎn)共圓，則的長為.題型7：測量高度問題7-1．（2024高三上·山東東營·階段練習(xí)）如圖，一條巡邏船由南向北行駛，在A處測得燈塔底部C在北偏東方向上，勻速向北航行20分鐘到達(dá)B處，此時(shí)測得燈塔底部C在北偏東方向上，測得塔頂P的仰角為，已知燈塔高為．則巡邏船的航行速度為．7-2．（2024·重慶·模擬預(yù)測）如圖，某中學(xué)某班級(jí)課外學(xué)習(xí)興趣小組為了測量某座山峰的高度，先在山腳處測得山頂處的仰角為，又利用無人機(jī)在離地面高的處（即），觀測到山頂處的仰角為，山腳處的俯角為，則山高m．

7-3．（2024·貴州黔東南·模擬預(yù)測）中國古代數(shù)學(xué)名著《海島算經(jīng)》記錄了一個(gè)計(jì)算山高的問題（如圖1）：今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表相直.從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合.從后表卻行百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合.問島高及去表各幾何?假設(shè)古代有類似的一個(gè)問題，如圖2，要測量海島上一座山峰的高度AH，立兩根高48丈的標(biāo)桿BC和DE，兩竿相距BD=800步，D，B，H三點(diǎn)共線且在同一水平面上，從點(diǎn)B退行100步到點(diǎn)F，此時(shí)A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線，從點(diǎn)D退行120步到點(diǎn)G，此時(shí)A，E，G三點(diǎn)也共線，則山峰的高度AH=步.（古制單位:180丈=300步）

7-4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和應(yīng)用能力，某校數(shù)學(xué)興趣小組對學(xué)校雕像“月亮上的讀書女孩”進(jìn)行測量，在正北方向一點(diǎn)測得雕塑最高點(diǎn)仰角為30°，在正東方向一點(diǎn)測得雕塑最高點(diǎn)仰角為45°，兩個(gè)測量點(diǎn)之間距離約為米，則雕塑高為7-5．（2024·全國·模擬預(yù)測）山西應(yīng)縣木塔（如圖1）是世界上現(xiàn)存最古老、最高大的木塔，是中國古建筑中的瑰寶，是世界木結(jié)構(gòu)建筑的典范．如圖2，某校數(shù)學(xué)興趣小組為測量木塔的高度，在木塔的附近找到一建筑物，高為米，塔頂在地面上的射影為，在地面上再確定一點(diǎn)（，，三點(diǎn)共線），測得約為57米，在點(diǎn)處測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為30°和60°，則該小組估算的木塔的高度為米．題型8：測量角度問題8-1．（2024高三下·福建廈門·期中）足球是一項(xiàng)很受歡迎的體育運(yùn)動(dòng)．如圖，某標(biāo)準(zhǔn)足球場的B底線寬碼，球門寬碼，球門位于底線的正中位置．在比賽過程中，攻方球員帶球運(yùn)動(dòng)時(shí)，往往需要找到一點(diǎn)P，使得最大，這時(shí)候點(diǎn)P就是最佳射門位置．當(dāng)攻方球員甲位于邊線上的點(diǎn)O處時(shí)，根據(jù)場上形勢判斷，有、兩條進(jìn)攻線路可供選擇．若選擇線路，則甲帶球碼時(shí)，到達(dá)最佳射門位置．8-2．（2024高一·全國·專題練習(xí)）當(dāng)太陽光線與水平面的傾斜角為時(shí)，一根長為的竹竿，要使它的影子最長，則竹竿與地面所成的角．8-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處至景點(diǎn)C處有兩條線路．線路1是從A沿直線步行到C，線路2是先從A沿直線步行到景點(diǎn)B處，然后從B沿直線步行到C．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處同時(shí)出發(fā)勻速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走線路2，乙走線路1，最后他們同時(shí)到達(dá)C處．經(jīng)測量，AB＝1040m，BC＝500m，則sin∠BAC等于．8-4．（2024·山東濱州·二模）最大視角問題是1471年德國數(shù)學(xué)家米勒提出的幾何極值問題，故最大視角問題一般稱為“米勒問題”.如圖，樹頂A離地面a米，樹上另一點(diǎn)B離地面b米，在離地面米的C處看此樹，離此樹的水平距離為米時(shí)看A，B的視角最大.一、單選題1．（2024·全國）在中，內(nèi)角的對邊分別是，若，且，則（

）A． B． C． D．2．（2024高三上·甘肅白銀·開學(xué)考試），，分別為內(nèi)角，，的對邊．已知，，則外接圓的面積為（

）A． B． C． D．3．（2024高三上·甘肅蘭州·期中）△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則（

）A． B． C． D．4．（2024高三上·寧夏·期中）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．若，則的值為（

）A． B． C．1 D．5．（2024·湖南·模擬預(yù)測）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，則c＝（

）A．4 B．6 C． D．6．（2024·內(nèi)蒙古·一模）已知的內(nèi)角所對的邊分別為滿足且，則（

）A． B．C． D．7．（2024高三上·河南·階段練習(xí)）在中，角的對邊分別為，若，則（

）A． B． C．或 D．或8．（2024高二上·湖南長沙·開學(xué)考試）設(shè)△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，且，則（

）A． B． C． D．9．（2024高三·重慶渝中·階段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，則（

）A．0 B．1 C．2 D．10．（2024·陜西·一模）在中，角的對邊分別為，且，則的值為（

）A．1 B． C． D．211．（2024高一下·山西·階段練習(xí)）已知的三個(gè)內(nèi)角所對的邊分別為．若，則該三角形的形狀一定是（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．銳角三角形12．（2024高一下·甘肅白銀·階段練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形 D．銳角三角形13．（2024高三上·北京·階段練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，則的形狀為（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等邊三角形14．（2024·河南南陽·二模）是單位圓的內(nèi)接三角形，角，，的對邊分別為，，，且，則等于（

）A．2 B． C． D．115．（2024·北京）在中，，則（

）A． B． C． D．16．（2024·青?！つM預(yù)測）在中，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別是a，b，c，若的面積是，則（

）A． B． C． D．17．（2024·貴州·模擬預(yù)測）中，角的對邊分別是，，.若這個(gè)三角形有兩解，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．18．（2024高二·全國·課后作業(yè)）在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情況為（

）A．一個(gè)解 B．二個(gè)解 C．無解 D．無法確定19．（2024高三上·河南南陽·期中）在中，，，.若滿足條件的有且只有一個(gè)，則的可能取值是（

）A． B． C． D．20．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，則下列條件能確定三角形有兩解的是（

）A．B．C．D．21．（2024高三上·北京·開學(xué)考試）在下列關(guān)于的四個(gè)條件中選擇一個(gè)，能夠使角被唯一確定的是：（

）①②；③；④.A．①② B．②③ C．②④ D．②③④22．（2024·江西·二模）設(shè)在中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，若滿足的不唯一，則m的取值范圍為（

）A． B．C． D．23．（2024高一下·天津·期中）在中，，，若該三角形有兩個(gè)解，則邊范圍是（

）A． B． C． D．24．（2024高一下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）若滿足的恰有一個(gè)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．25．（2024高三·全國·對口高考）在中，若，且，則的面積為（

）A． B． C． D．26．（2024·河南·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角A，，所對的邊分別為，，，，為上一點(diǎn)，，，則的面積為（

）A． B． C． D．27．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）在中，，，分別為角，，的對邊，已知，，且，則（

）A． B． C． D．28．（2024·全國）在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則tanB=（

）A． B．2 C．4 D．829．（2024高一下·浙江溫州·期中）的內(nèi)角的對邊分別為，，，若的面積為，則A． B． C． D．30．（2024·山東）在中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，若，且，則等于（

）A．3 B． C．3或 D．-3或31．（2024·全國）在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．332．（2024高三上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期末）在中，為的角平分線，在線段上，若，，則（

）A． B． C．2 D．33．（2024高三上·浙江寧波·期末）在四面體中，，，且，則該四面體的外接球表面積為（

）A． B． C． D．34．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知中，，在線段上取一點(diǎn)，連接，如圖①所示．將沿直線折起，使得點(diǎn)到達(dá)的位置，此時(shí)內(nèi)部存在一點(diǎn)，使得平面，如圖②所示，則的值可能為（

）A． B． C． D．135．（2024·四川巴中·一模）在中，若，則（

）A． B． C． D．36．（2024·陜西安康·一模）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，且外接圓的周長為，則的周長為（

）A．20 B． C．27 D．37．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，已知，，的面積為，則的周長是（

）A．4 B．6 C．8 D．18二、填空題38．（2024高三上·江西·期末）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，，且的周長和面積分別是10和，則.39．（2024·廣東肇慶·模擬預(yù)測）在四面體中，，若，則四面體體積的最大值是，它的外接球表面積的最小值為.40．（2024高三上·山東棗莊·期末）已知圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓心為為底面直徑，，點(diǎn)為底面圓周上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，.41．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在中，，，分別為內(nèi)角，，的對邊，的面積是30，．若，則．42．（2024·四川攀枝花·二模）的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且，則．43．（2024高三上·江蘇無錫·階段練習(xí)）設(shè)分別為△ABC內(nèi)角的對邊，若，且，則角.三、解答題44．（2024高三下·河北唐山·階段練習(xí)）在中，角，，所對的邊分別為，，，.(1)求證：；(2)若，求.45．（2024·山東濱州·二模）已知的三個(gè)角，，的對邊分別為，，，且．(1)若，求；(2)求的值．46．（2024·天津武清·模擬預(yù)測）在中，角