陜西省商洛市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

商洛市2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測高三數(shù)學(xué)試卷注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由交集運(yùn)算即可求解；【詳解】由條件易得：，則故選：D2.若直線與直線平行，則（）A.1 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】本題可以通過直線與直線得直線方程以及兩直線平行的相關(guān)性質(zhì)列出等式，然后通過計算即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以或．當(dāng)時，重合；當(dāng)時，，，符合題意．綜上故選：B.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用中間變量比較大小即可.【詳解】因為，所以，故C正確.故選：C4.將3張相同的消費(fèi)券分給9個人，每人至多分到1張，則不同的分法共有（）A.60種 B.72種 C.84種 D.90種【答案】C【解析】【分析】依題意可得9人中有3人各得1張消費(fèi)券，利用組合數(shù)公式計算可得.【詳解】依題意可得9人中有3人各得1張消費(fèi)券，則不同的分法共有種．故選：C5.已知非零向量滿足，向量在向量方向上的投影向量是，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的幾何意義可得，再代入夾角公式運(yùn)算求解即可.【詳解】因為向量在向量方向上的投影向量是，則，設(shè)非零向量的夾角為，根據(jù)題意可得，且，所以．故選：A.6.位于處的雷達(dá)接收到在其正東方向相距海里的處的一艘漁船遇險后拋錨的營救信號后，即刻通知位于處雷達(dá)北偏東且與處雷達(dá)相距30海里的處的甲船前往救援，則甲船至少需要航行的海里數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由余弦定理解三角形可得.【詳解】如圖，由題意可得．在中，由余弦定理可得海里，故甲船至少需要航行的海里數(shù)為．故選：C.7.已知點(diǎn)在拋物線上，F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn)．若，則（）A.4 B.2 C.8 D.【答案】A【解析】【分析】由拋物線的定義即可求解；【詳解】根據(jù)拋物線的定義，得，解得．將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得或（舍去）故選：A8.已知是定義在上的奇函數(shù)，對于任意的，都有，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，由題意可得是增函數(shù)，且為奇函數(shù)，進(jìn)而由，得，進(jìn)而可得.【詳解】因為，所以，設(shè)，因為，，則在上是增函數(shù)，因，故，因為為定義在上的奇函數(shù)，所以為奇函數(shù)，所以，不等式可轉(zhuǎn)化為，即，所以，即的解集為．故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.關(guān)于復(fù)數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限 D.的虛部是實部的倍【答案】AB【解析】【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的定義可判斷A選項；利用復(fù)數(shù)的模長公式可判斷B選項；利用復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷C選項；利用復(fù)數(shù)的概念可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為，則，A對；對于B選項，，B對；對于C選項，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)，位于第二象限，C錯；對于D選項，復(fù)數(shù)的實部是，虛部是，則的虛部是實部的倍，D錯.故選：AB.10.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，則（）A.B.在上單調(diào)遞減C.的圖象關(guān)于直線的對稱D.在上的值域為【答案】BCD【解析】【分析】對于A，根據(jù)條件，利用圖象平移，即可求解；對于B，根據(jù)條件得，利用圖象與性質(zhì)，即可求解；對于C，直接求出函數(shù)值，即可求解；對于D，根據(jù)條件得到，利用性質(zhì)，即可求解.【詳解】對于選項A，因為，由題知，所以選項A錯誤，對于選項B，當(dāng)，則，又，由圖象與性質(zhì)知在上單調(diào)遞減，所以選項B正確，對于選項C，因為，所以選項C正確，對于選項D，由，則，所以，故在上的值域為，所以選項D正確，故選：BCD.11.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，則下列選項正確的是（）A.若A，B在左支上，且為正三角形，則C的離心率為B.若A，B分別在左、右兩支上，且為正三角形，則C的漸近線方程為C.若A，B在左支上，成等差數(shù)列，且，則C的離心率為D.若A，B分別在左、右兩支上，過點(diǎn)作直線l的垂線交雙曲線C于點(diǎn)D，，且B，O，D三點(diǎn)共線，則雙曲線C的漸近線方程為【答案】ACD【解析】【分析】對于A，根據(jù)雙曲線的對稱性得到求解判斷；對于B，根據(jù)，結(jié)合雙曲線的定義，利用余弦定理得到求解判斷；對于C，根據(jù)成等差數(shù)列，得到，結(jié)合雙曲線定義得到，然后設(shè)，在中，利用余弦定理求得，然后根據(jù)，利用余弦定理求解判斷；對于D，連接，易得稱性知四邊形為矩形，設(shè)分別由，求解判斷.【詳解】對于A，如圖所示：由雙曲線的對稱性可知，直線l垂直于x軸，，所以，解得，故A正確．對于B，如圖所示：因為，所以．因為，所以，所以，解得，所以，所以C漸近線方程為，故B錯誤．對于C，如圖所示：因為成等差數(shù)列，所以，即．因為，所以．設(shè)，則，所以．在中，，解得，所以．因為，所以，解得，故C正確．對于D，如圖所示；連接，由雙曲線的對稱性知四邊形為矩形，設(shè)，則，所以．由，得，解得．由，得，所以，所以，所以C的漸近線方程為，故D正確．故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：有關(guān)雙曲線（橢圓）的焦點(diǎn)三角形問題，往往結(jié)合雙曲線（橢圓）的定義和正弦定理和余弦定理求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，且，則___________．【答案】【解析】【分析】利用已知條件與特殊角的正切值，可得答案.【詳解】因為，所以，，所以．故答案為：.13.如圖，某圓臺上、下底面的圓周都在半徑為10的球O的球面上，且該圓臺的下底面半徑與球的半徑相等，上底面半徑為8，則該圓臺的體積為___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓臺的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，結(jié)合已知的條件，求出圓臺的上、下底半徑和圓臺的高，利用圓臺的體積公式求體積.【詳解】如圖，設(shè)該圓臺上底面圓的圓心為，連接，，，則.由題意可得，，則，所以，則該圓臺的體積為．故答案為：.14.已知函數(shù)若關(guān)于a的方程恰有四個不同的解，則正數(shù)m的取值范圍為___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，將問題等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)求零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，建立不等式，可得答案.【詳解】由方程，則當(dāng)時，可得；當(dāng)時，可得，則可得關(guān)于x的方程有兩個不等的正根，關(guān)于x的方程有兩個不等的負(fù)根，即函數(shù)恰好有兩個零點(diǎn)，函數(shù)恰好有兩個零點(diǎn)，由，則只需研究函數(shù)恰好有兩個零點(diǎn)即可，求導(dǎo)可得，令，因為，且，所以在上有一個零點(diǎn)，記為．當(dāng)時，，；當(dāng)時，，．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)或時，，則，即．因為，所以，則．因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，則，由，得，又，所以．故答案：.【點(diǎn)睛】本題的難點(diǎn)在于求導(dǎo)存在隱零點(diǎn)，對于導(dǎo)數(shù)函數(shù)根據(jù)其單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，設(shè)出零點(diǎn)，可寫出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，在求解不等式時，可用由零點(diǎn)定義所得的等量關(guān)系，進(jìn)行等量代換，即可解題.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間和極值．【答案】（1）（2）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，極大值為，極小值為32．【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可;（2）對函數(shù)求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的極值.【小問1詳解】由題意得，則，因為，所以切點(diǎn)為，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．【小問2詳解】．當(dāng)或時，單調(diào)遞增；當(dāng)或時，單調(diào)遞減．因為，所以是極大值點(diǎn)，極大值為，是極小值點(diǎn)，極小值為．故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，極大值為，極小值為32．16.如圖，在三棱柱中，平面ABC，，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC的中點(diǎn)．（1）證明：平面．（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由平面ABC得，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC的中點(diǎn)得，得，，得，即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面與平面的法向量，由夾角公式即可求出.【小問1詳解】證明：因為平面ABC，平面ABC，所以．因為E，F(xiàn)分別為棱AB，BC的中點(diǎn)，所以，因為，所以，又，所以平面，則．設(shè)，易得，則，所以，又，所以平面【小問2詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．不妨設(shè)，則，則．由（1）知平面的一個法向量為．．設(shè)平面的法向量為，則取設(shè)平面與平面的夾角為，則，則平面與平面夾角的余弦值為．17.已知某公司生產(chǎn)某產(chǎn)品采用兩種不同的方案，每種方案均有兩道加工工序，每道工序的加工結(jié)果相互獨(dú)立，且只有每道加工工序都合格，該產(chǎn)品才為合格品，若某道加工工序不合格，則該產(chǎn)品為不合格品，即刻停止加工．已知方案一每道加工工序合格的概率均為，方案二第一、二道加工工序合格的概率分別為，．該產(chǎn)品只有合格品才能出廠銷售．已知每件產(chǎn)品未加工之前的成本為10元．（1）若分別用方案一與方案二各自生產(chǎn)一件該產(chǎn)品，求生產(chǎn)的兩件產(chǎn)品中只有一件產(chǎn)品為合格品的概率．（2）已知方案一每件產(chǎn)品每道工序的加工成本為20元，售價為120元；方案二每件產(chǎn)品的第一、二道工序的加工成本分別為10元，30元，售價為120元，若以每件產(chǎn)品獲利的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，請判斷該公司應(yīng)采用哪種方案進(jìn)行加工生產(chǎn)．【答案】（1）（2）該公司應(yīng)采用方案二進(jìn)行加工生產(chǎn)．【解析】【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式可求解兩種方案中合格品的概率，即可求解，（2）分別求解兩種方案下的期望，即可比較大小求解.【小問1詳解】采用方案一生產(chǎn)的產(chǎn)品為合格品的概率為；采用方案二生產(chǎn)的產(chǎn)品為合格品的概率為．故生產(chǎn)的兩件產(chǎn)品中只有一件產(chǎn)品為合格品的概率．【小問2詳解】用表示方案一每件產(chǎn)品的利潤，則的所有可能取值為，，所以的分布列為70P則．用表示方案二每件產(chǎn)品的利潤，則的所有可能取值為，，70，，則的分布列為70P則．因為，所以該公司應(yīng)采用方案二進(jìn)行加工生產(chǎn)．18.已知表示不超過x的最大整數(shù)．例如：．已知數(shù)列滿足，．（1）求．（2）證明：且數(shù)列是等比數(shù)列．（3）設(shè)數(shù)列的前n項和為，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題中通遞推公式結(jié)合取整函數(shù)的定義運(yùn)算求解即可；（2）可知數(shù)列為遞增數(shù)列，根據(jù)題中通遞推公式結(jié)合取整函數(shù)定義可證，分析可得，利用構(gòu)造法結(jié)合等比數(shù)列定義分析證明；（3）由（2）得，，利用裂項相消法分析證明.【小問1詳解】因為，所以，則，且，所以．【小問2詳解】由題可得為正整數(shù)，則，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，當(dāng)時，則，，，可得，即．由，且均為正整數(shù)，得，因滿足，