高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)55-數(shù)列的綜合應(yīng)用省公開課一等獎全國示范課微課金獎?wù)n件

1．了解數(shù)列概念和幾個簡單表示方法．2．了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)一類函數(shù)．3．能在詳細(xì)問題情境中，識別數(shù)列等差、等比關(guān)系，并能用有 關(guān)知識處理對應(yīng)問題．第5課時數(shù)列綜合應(yīng)用第1頁【命題預(yù)測】相關(guān)等差、等比數(shù)列考查在高考中主要是探索題、綜合題和應(yīng)用題．考生應(yīng)含有針對性地進(jìn)行訓(xùn)練，并從“重視數(shù)學(xué)思想方法、強化運算能力、重點知識重點練”角度做好充分準(zhǔn)備．同時，對于數(shù)列與解析幾何綜合題型要給予充分重視．第2頁【應(yīng)試對策】

1．在處理相關(guān)數(shù)列詳細(xì)應(yīng)用問題時： (1)要讀懂題意，了解實際背景，領(lǐng)悟其數(shù)學(xué)實質(zhì)，舍棄與解題無關(guān)非本質(zhì)性東西； (2)準(zhǔn)確地歸納其中數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型； (3)依據(jù)所建立數(shù)學(xué)模型知識系統(tǒng)，解出數(shù)學(xué)模型結(jié)果； (4)最終再回到實際問題中去，從而得到答案．第3頁2．在求數(shù)列相關(guān)和時，要注意以下幾個方面問題：(1)直接用公式求 和時，注意公式應(yīng)用范圍和公式推導(dǎo)過程． (2)注意觀察數(shù)列特點和規(guī)律，在分析數(shù)列通項基礎(chǔ)上，或分解為基本數(shù)列求和，或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和． (3)求普通數(shù)列前n項和時，無普通方法可循，要注意掌握一些特殊數(shù)列前n項和求法，觸類旁通．3．在用觀察法歸納數(shù)列通項公式(尤其是在處理客觀題目時)時，要注 意適當(dāng)?shù)匾罁?jù)詳細(xì)問題多計算對應(yīng)數(shù)列前幾項，不然會因為所計算數(shù)列項數(shù)過少，而歸納犯錯誤通項公式，從而得到錯誤結(jié)論．第4頁【知識拓展】

1．求由遞推公式所確定數(shù)列通項，通?？山?jīng)過對遞推關(guān)系一系列變換， 結(jié)構(gòu)出一個新數(shù)列，轉(zhuǎn)化成等差或等比數(shù)列或與之類似問題來求解． (1)遞推式為an＋1＝pan＋qn(其中p，q是常數(shù))通常能夠兩邊同時除以

qn＋1(q≠0)，得到數(shù)列，令bn＝ ，得到數(shù)列bn＋1＝ ，從而問題可解．第5頁(2)遞推式為an＋2＝pan＋1＋qan(其中p，q是常數(shù))，通常設(shè)＝，則可由α＋β＝p，αβ＝－q，求得α，β，從而構(gòu)造出數(shù)列{}得以求解．(3)遞推式為Sn與an間關(guān)系式時，通常要考慮利用an＝將已知關(guān)系轉(zhuǎn)化為{an}或{Sn}項間關(guān)系，從而求解．第6頁1．?dāng)?shù)列概念：按照一定次序排列著一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中每一 個數(shù)叫做這個數(shù)列項．2．?dāng)?shù)列中排在第一位數(shù)稱為這個數(shù)列第1項(或首項)，排在第二位 數(shù)稱為這個數(shù)列第2項……排在第n位數(shù)稱為這個數(shù)列第n項．3．?dāng)?shù)列普通形式能夠?qū)懗蒩1，a2，a3，…，an，…，簡記為{an}．4．?dāng)?shù)列分類：有窮數(shù)列與無窮數(shù)列，遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列與擺動數(shù)列．5．?dāng)?shù)列通項公式：假如數(shù)列第n項與序號n之間關(guān)系能夠用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列通項公式．第7頁6．?dāng)?shù)列遞推公式：假如已知數(shù)列{an}第1項(或前幾項)，且任一項an與它前一 項an－1(或前幾項)間關(guān)系能夠用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列 遞推公式．8．?dāng)?shù)列作為特殊函數(shù)，在處理實際問題過程中有著廣泛應(yīng) 用，如人口增加問題、存款利率問題、分期付款問題．利用等差數(shù)列和等比數(shù)列還能夠處理一些簡單已知數(shù)列遞推關(guān)系求其通項公式等問題．7．?dāng)?shù)列表示方法：列表法、圖象法、通項公式法、遞推公式法．第8頁1．某種細(xì)胞開始有2個，1小時后分裂成4個并死去1個，2小時后分裂成6個并死去1個，3小時后分裂成10個并死去一個，按此規(guī)律進(jìn)行下去，6小時后細(xì)胞存活個數(shù)是________．解析：設(shè)開始細(xì)胞數(shù)和n小時后細(xì)胞數(shù)組成數(shù)列為{an}．則即＝2.則{an－1}組成等比數(shù)列∴an－1＝1·2n－1，an＝2n－1＋1，a7＝65.答案：65第9頁2．已知等差數(shù)列{an}公差為－2，且a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，則a3＋

a6＋a9＋…＋a99＝________.解析：∵a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(a1＋a4＋a7＋…＋a97)＋33×(－4)＝50＋(－132)＝－82.答案：－82 第10頁3．?dāng)?shù)列{an}中，若a1＝，an＝(n≥2，n∈N)，則a2007值為________．解析：a1＝，a2＝2，a3＝－1，a4＝，…，可推測數(shù)列{an}以3為周期，∵2007＝3×669，∴a2007＝a3＝－1.也可直接推出an＋3＝an.答案：－1第11頁4．在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，則a2007等于________．解析：∵∴an＋3＝－an，∴an＋6＝－an＋3＝an.即an是周期為6數(shù)列．∴a2007＝a6×334＋3＝a3＝a2－a1＝4.答案：4第12頁5．北京市為成功舉行年奧運會，決定從年到年5年間更新市內(nèi)現(xiàn)有全部出租車，若每年更新車輛數(shù)比前一年遞增10%，則年底更新車輛數(shù)約為現(xiàn)有總車輛數(shù)________(參考數(shù)據(jù)1.14＝1.46,1.15＝1.61)．解析：設(shè)市內(nèi)全部出租車輛為b,年底更新車輛為a，則年更新車輛為a(1＋10%)，年更新車輛為a(1＋10%)2,年更新車輛為 a(1＋10%)3,年更新車輛為a(1＋10%)4，由題意可知： a＋a·(1＋10%)＋a(1＋10%)2＋a·(1＋10%)3＋a·(1＋10%)4＝b， ∴a(1＋1.1＋1.12＋1.13＋1.14)＝b?a·＝b， ∴ ≈16.4%.故年底更新車輛數(shù)約為現(xiàn)有總車輛數(shù)16.4%.答案：16.4%第13頁1．等差數(shù)列與等比數(shù)列相結(jié)合綜合問題是高考考查重點，尤其是 等差、等比數(shù)列通項公式，前n項和公式以及等差中項，等比中項 問題是歷年命題熱點．2．利用等比數(shù)列前n項和公式時注意公比q取值．同時對兩種數(shù)列 性質(zhì)，要熟悉它們推導(dǎo)過程，利用好性質(zhì)，可降低題目標(biāo)難度，解 題時有時還需利用條件聯(lián)立方程求解．第14頁【例1】設(shè){an}是公比大于1等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}前n項和， 已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4組成等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}通項；(2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求數(shù)

列{bn}前n項和Tn. 思緒點撥：(1)由已知列出方程組求出公比q與首項a1； (2)結(jié)合對數(shù)運算，判斷數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，再求和．第15頁解：(1)由已知得： 解得a2＝2.設(shè)數(shù)列{an}公比為q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q，又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0.解得q1＝2，q2＝.由題意得q>1，∴q＝2.∴a1＝1.故數(shù)列{an}通項為an＝2n－1.(2)因為bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，由(1)得a3n＋1＝23n.∴bn＝ln23n＝3nln2，又bn＋1－bn＝3ln2，∴{bn}是等差數(shù)列．∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝ ＝ln2.故Tn＝ln2.第16頁【例2】已知f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，設(shè)f(a1)，f(a2)，…，f(an)(n∈N*)是首項 為4，公差為2等差數(shù)列． (1)設(shè)a為常數(shù)，求證：{an}成等比數(shù)列； (2)若bn＝anf(an)，{bn}前n項和是Sn，當(dāng)a＝時，求Sn. 思緒點撥：利用函數(shù)相關(guān)知識得出an表示式，再利用表示式處理 其它問題．第17頁解：(1)證實：f(an)＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，即logaan＝2n＋2，可得an＝a2n＋2.∴ ＝a2(n≥2)，為定值．∴{an}為等比數(shù)列．(2)bn＝anf(an)＝a2n＋2logaa2n＋2＝(2n＋2)a2n＋2.當(dāng)a＝時，bn＝(2n＋2)()2n＋2＝(n＋1)2n＋2.Sn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋(n＋1)·2n＋2 ①2Sn＝2·24＋3·25＋4·26＋…＋n·2n＋2＋(n＋1)·2n＋3 ②①－②得－Sn＝2·23＋24＋25＋…＋2n＋2－(n＋1)·2n＋3＝16＋

－(n＋1)2n＋3＝16＋2n＋3－24－n·2n＋3－2n＋3＝－n·2n＋3.∴Sn＝n·2n＋3.第18頁變式1：已知實數(shù)列{an}是等比數(shù)列，其中a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差 數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}通項公式； (2)數(shù)列{an}前n項和記為Sn，證實Sn＜128(n＝1,2,3，…)．第19頁解：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}公比為q(q∈R)，由a7＝a1q6＝1，得a1＝q－6，從而a4＝a1q3＝q－3，a5＝a1q4＝q－2，a6＝a1q5＝q－1.因為a4，a5＋1，a6成等差數(shù)列，所以a4＋a6＝2(a5＋1)，即q－3＋q－1＝2(q－2＋1)，q－1(q－2＋1)＝2(q－2＋1)．所以q＝.故an＝a1qn－1＝q－6·qn－1＝64n－1.(2)證實：Sn＝ ＝＜128.第20頁2．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，且點(an，an＋1)在函數(shù)f(x)＝x2＋2x圖象上，其中n＝1,2,3，….(1)證實：數(shù)列{lg(1＋an)}是等比數(shù)列；(2)設(shè)Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)，求Tn及數(shù)列{an}通項．第21頁解：(1)證實：由已知an＋1＝

＋2an，∴an＋1＋1＝(an＋1)2.∵a1＝2，∴an＋1＞1，∴l(xiāng)g(an＋1＋1)＝2lg(an＋1)．∴數(shù)列{lg(an＋1)}是公比為2等比數(shù)列．(2)由(1)知∴Tn＝，an＝第22頁處理數(shù)列應(yīng)用問題必須準(zhǔn)確探索問題所包括數(shù)列類型：(1)假如問題所包括數(shù)列是特殊數(shù)列(如等差數(shù)列、等比數(shù)列，或與等差、等比相關(guān)數(shù)列等)，應(yīng)首先找出數(shù)列通項公式．(2)假如問題所包括數(shù)列不是某種特殊數(shù)列，普通應(yīng)考慮先建立數(shù)列遞推關(guān)系(即an與an－1關(guān)系)．(3)處理數(shù)列應(yīng)用問題必須準(zhǔn)確計算項數(shù)，比如與“年數(shù)”相關(guān)問題，必須確定起算年份，而且應(yīng)準(zhǔn)確定義an是表示“第n年”還是“n年后”．第23頁【例3】從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)．依據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將會比上年降低.本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入預(yù)計為400萬元，因為該項建設(shè)對旅游業(yè)促進(jìn)作用，預(yù)計今后旅游業(yè)收入每年會比上年增加.第24頁(1)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元，寫出an，bn表示式；(2)最少經(jīng)過幾年旅游業(yè)總收入才能超出總投入？思緒點撥：(1)寫出a1，b1，a2，b2，…，由此得出an，bn表示式．(2)解不等式bn－an>0，求n最小值．第25頁解：(1)第1年投入800萬元，第2年投入為800× 萬元，…，第n年投入為800× n－1萬元，所以，n年內(nèi)總投入an＝800＋800× ＋…＋800×n－1＝4000× .第1年旅游業(yè)收入為400萬元，第2年旅游業(yè)收入為400×萬元，…第n年旅游業(yè)收入為400×n－1萬元．所以，n年內(nèi)旅游業(yè)總收入bn＝400＋400× ＋…＋400×n－1＝1600×.第26頁(2)設(shè)最少經(jīng)過n年旅游業(yè)總收入才能超出總投入，由此bn－an＞0，即1600× －4000× ＞0，化簡得，5×n＋2×n－7＞0，設(shè)x＝ n，代入上式得5x2－7x＋2＞0，解此不等式，得x＜，x＞1(舍去)，即

n＜

，由此得n≥5.∴最少經(jīng)過5年旅游業(yè)總收入才能超出總投入．第27頁變式3：如下列圖所表示，在一直線插有13面小旗，相鄰兩面間距離為10m，在第一面小旗處有某人把小旗全部集中到一面小旗位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走路最短，應(yīng)集中到哪一面小旗位置上？最短旅程是多少？解：設(shè)將旗集中到第x面小旗處，則從第一面旗到第x面處，共走旅程為10(x－1)，然后回到第二面處再到第x面處是20(x－2)，…，從第x面處到第(x＋1)面處旅程為20，從第x面處到第(x＋2)面取旗再到第x面處，旅程為20×2，…，總旅程為S＝10(x－1)＋20(x－2)＋20(x－3)＋…＋20×2＋20×1＋20＋20×2＋…＋20×(13－x)第28頁＝10(x－1)＋20× ＋20×＝10[(x－1)＋(x－2)(x－1)＋(13－x)(14－x)]＝10(2x2－29x＋183)＝20∵x∈N*，∴x＝7時，S有最小值S＝780(m)．∴將旗集中到第7面小旗處，所走旅程最短.第29頁1．深刻了解等差(比)數(shù)列性質(zhì)，熟悉它們推導(dǎo)過程是解題關(guān) 鍵．兩類數(shù)列性質(zhì)有類似部分，又有區(qū)分，要在應(yīng)用中加強記 憶．同時，用好性質(zhì)也會降低解題運算量，從而降低差錯．2．等比數(shù)列前n項和公式要分兩種情況，公比等于1和公比不等于1， 最輕易忽略公比等于1情況，要注意這方面練習(xí)．3．在等差數(shù)列與等比數(shù)列中，經(jīng)常要依據(jù)條件列方程(組)求解，在解方程 組時，仔細(xì)體會兩種情形中解方程組方法不一樣之處．【規(guī)律方法總結(jié)】第30頁4．?dāng)?shù)列滲透力很強，它和函數(shù)、方程、三角、不等式等知識相互聯(lián)絡(luò)，優(yōu) 化組合，無形中加大了綜合力度．處理這類題目，必須對蘊藏在數(shù)列概念和 方法中數(shù)學(xué)思想有所了解，深刻領(lǐng)悟它在解題中重大作用，慣用數(shù)學(xué)思 想方法有：“函數(shù)與方程”“數(shù)形結(jié)合”“分類討論”“等價轉(zhuǎn)換”等．5．在現(xiàn)實生活中，人口增加，產(chǎn)量增加、成本降低、存貸款利息 算、分期付款問題等，都能夠利用數(shù)列處理，所以要會在實際問題中抽象出數(shù) 學(xué)模型，并用它處理問題.

第31頁【高考真題】【例4】(·全國卷Ⅱ)設(shè)數(shù)列{an}前n項和為Sn.已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)設(shè)bn＝an＋1－2an，證實數(shù)列{bn}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}通項公式． 分析：本題第(1)問將an＋2＝Sn＋2－Sn＋1代入能夠得到an遞推式，再用 bn＝an＋1－2an代入即證；第(2)問將bn通項公式代入bn＝an＋1－2an，可得an遞推式，再依照題型模式求解即可．第32頁規(guī)范解答：(1)由已知得a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3.又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)＝4an＋1－4an，于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，即bn＋1＝2bn.所以數(shù)列{bn}是首項為3，公比為2等比數(shù)列．第33頁(2)由(1)知等比數(shù)列{bn}中b1＝3，公比q＝2，所以an＋1－2an＝3×2n－1，于是所以數(shù)列是首項為，公差為等差數(shù)列，所以an＝(3n－1)·2n－2.

第34頁【命題探究】

【全解密】

求解等差、等比數(shù)列通項公式是高考?？碱}型．不過，作為以“能力立意”為命題思緒高考試題，往往會在試題命制上對考生思維能力提出更高要求．本題命題構(gòu)思非常簡捷，給出數(shù)列{an}初始值a1＝1和一個遞推關(guān)系式Sn＋1＝4an＋2，由此能夠探究數(shù)列{an}通項公式，但思維跨度較大，且考查形式單一．于是，命題人設(shè)計了一個過渡關(guān)系式bn＝an＋1－2an，由此能夠考查等比數(shù)列．

第35頁【誤點警示】

本題求解過程有兩個常見思維錯誤：(1)因為在平時學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常接觸到an與Sn遞推式an＝Sn－Sn－1(n≥2，n∈N*)，于是沒有注意到本題題目形式特點，將an＝Sn－Sn－1直接代入，從而出現(xiàn)下標(biāo)混亂．其實只要將an＋1＝Sn＋1－Sn(n∈N*)代入就不會使下標(biāo)不一致了．所以注意下標(biāo)特點是求解這類問題關(guān)鍵．(2)得到遞推式an＋1－2an＝3×2n－1后，不會轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列求解，只是看到等式右邊是一個等比數(shù)列形式，能夠求和，于是結(jié)合平時做題經(jīng)驗，企圖利用疊加法求和，使計算繁瑣且不能成功．所以我們在平時學(xué)習(xí)時要注意積累并了解常見題型特點、求解基本思緒和方法，高考時才不會出現(xiàn)思維混亂，顧此失彼.

第36頁1．設(shè)等比數(shù)列{an}公比為q，前n項和Sn＞0(n＝1,2，…)(1)求q取值范圍；(2)設(shè)bn＝an＋2－an＋1，記{bn}前n項和為Tn，試比較Sn與Tn大小． 分析：對于第一個問題，應(yīng)依據(jù)等比數(shù)列前n項和公式將和表示出 來，從而問題轉(zhuǎn)化為解不等式；對于第二個問題