專題18. 1 8 平行四邊形-折疊問題（專項練習）

專題18.18平行四邊形-折疊問題（專項練習）

一、單選題

1.如圖，將。ABCD沿對角線BD折疊，使點A落在點E處，交BC于點F,若/ABD=48°，

NCFD=40。，則4為（）

A.102B.112°C.122°D.92'

2.如圖，已知平行四邊形ABC。，NA8C=6（r,將平行四邊形沿直線3。折疊，點A

落在點E處，連結AE，CE,若=90.則：SMCE的值為（）

A.73-1B.72-1C.6+1D.及+1

3.如圖，AACD和"EB都是等腰直角三角形，ZCAD=ZEAB=90，四邊形ABCQ

是平行四邊形，下列結論錯誤的是（）

A.沿AE所在直線折疊后，△ACE和△/!￡）￡重合

B.沿AO所在直線折疊后，△AD3和AADE重合

C.以A為旋轉中心，把△ACE逆時針旋轉90后與△AQ8重合

D.以A為旋轉中心，把△ACB逆時針旋轉270°后與△D4C重合

4.有一張平行四邊形紙片ABCD,已知NB=65。，按如圖所示的方法折疊兩次，則ZBCF

的度數(shù)等于（）

A.55°B.50°C.45°D.40°

5.如圖，在平行四邊形A8CD中，E為邊CD上一點,將AADE沿AE折疊至△ADE處,

AD與CE交于點F，若NB=55°,ZDAE=20°,則NFEZy的大小為（)

A.20°B.30°C.35°D.45°

6.如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊CO上一點，將AADE沿AE折疊至△45'E，

7.在平行四邊形ABCD中，AB=6,AD=8,/B是銳角，將△ACD沿對角線AC折疊，點

D落在△ABC所在平面內的點E處.如果AE過BC的中點，則平行四邊形ABCD的面積

等于（）

A.48B.1076C.12幣D.240

8.有一張平行四邊形紙片ABCD,已知/3=75°，按如圖所示的方法折疊兩次，則N8CF

的度數(shù)等于（）

A.60°B.55°C.50°D.45°

9.如圖，在平行四邊形A8CD中，E為邊CD上一點,將AADE沿AE折疊至△AOE處,

AZ7與CE交于點尸.若NB=54°,ZDAE=20°,則4EZ7的大小為（）

10.如圖，在平行四邊形ABCD中，E是邊CD上一點，將AADE沿AE折疊至AADE處,

AD'與CE交于點F,若/B=52°,/DAE=20°，則4ED'的度數(shù)為（）

11.如圖，將平行四邊形紙片A8C。折疊，使頂點。恰好落在AB邊上的點M處，折痕

為AN,那么對于結論：①MNHBC,②=.下列說法正確的是（）

A.①②都錯B.①對②錯C.①錯②對D.①②都對

12.如圖，將平行四邊形ABCD折疊，使頂點D恰落在AB邊上的點M處，折痕為AN,

A.MN〃BCB.MN=AMC.AN=BCD.BM=CN

二、填空題

13.如圖，平行四邊形紙片ABC。中，AC=4A/3,NC46=30°,將平行四邊形紙片ABC。

折疊，使點A與點。重合，則下列結論正確的是.

①NZM8=6O；②MN=4；③④S四邊形.NO=

D

C

14.如圖，平行四邊形紙片ABCD中，AC=20，/CAB=30。，將平行四邊形紙片ABCD

折疊，使點A與點C重合，則折痕MN=

15.如圖，在用AOAB中，ZA=90°,點3的坐標為(4,0),NOB4=30°,尸、。分

別是射線、線段08上的點，且OP=,以OP、OQ為鄰邊構造平行四邊形OPMQ,

①若線段尸M與A8交于點。，當也=,時，則3Q=；②把APM。沿著PQ進

PD2

行折疊，當折疊后APMQ與AOPQ的重疊部分的面積是平行四邊形0PM。的,時，則

4

BQ=.

16.如圖，平行四邊形ABCD,將四邊形CDMN沿線段MN折疊，得到四邊形QPMN,已

知N5NM=68°，則.

17.如圖，先將一平行四邊形紙片ABCD沿AE,EF折疊，使點E,B',C在同一直線上,

再將折疊的紙片沿EG折疊，使AE落在EF上，則NAEG=—度.

18.如圖，將平行四邊形ABCD沿對角線BD折疊，使點A落在點A'處，N1=N2=48°,

則NA'的度數(shù)為.

19.如圖，把平行四邊形ABCD折疊，使點C與點A重合，這時點。落在2，

折痕為EF，若ZBAE=55°，則NRAD=

20.如圖,將平行四邊形ABCD沿對角線BD折疊，使點A落在點/處.若Nl=N2=50°,

則ZA'為?

21.如圖，將平行四邊形ABCD沿對角線BD折疊，使點A落在點A'處.若Nl=50。,

則/BDA=.

22.如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊上點，將沿AE折疊至△AZXE處,

AD與CE交于點F，若N5=42。，ZDAE=15°,則N莊。的度數(shù)為.

23.如圖，在平行四邊形ABC。中，點E在邊上，將八鉆石沿AE折疊得到△AFE,

點F落在對角線AC上.若AB,AC，AB=3,AD=5,則△CEF的周長為.

24.如圖，將平行四邊形ABCD折疊，使點A與C重合，折痕為EF.若/A=45。，AD=

472-AB=8,則AE的長為.

25.如圖，將平行四邊形ABCD沿對角線AC折疊，使點B落在點B，處.若Nl=/2=44。,

則ND=度.

三、解答題

26.如圖⑴，折疊平行四邊形ABC。，使得良。分別落在BC,8邊上的點,

AE,AF為折痕

(1)若AE=AF,證明:平行四邊形ABCD是菱形；

⑵若288=110°，求NB'AD'的大??；

(3)如圖(2),以為鄰邊作平行四邊形AEGE,若AE=EC,求NCGE的大小

27.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=8,4)=5,NA=60°,DEA.AB,垂足

為E，在平行四邊形的邊上有一點。，且AO=3.將平行四邊形折疊，使點。與點。合,

折痕所在直線與平行四邊形交于點M、N.

(2)請補全圖形并求折痕MN的長.

28.如圖，在平行四邊形A3CD中，AB=，BC=8,ZB=60°,將平行四邊形A8C￡>

沿EF折疊，點。恰好落在邊AB的中點。處，折疊后點C的對應點為C,交8c于點

G,NBGD，=32。.

(1)求NOE尸的度數(shù)；

(2)求線段AE的長.

29.如圖，AC為長方形ABC。的對角線，將邊A6沿AE折疊，使點3落在AC上的點M

處.將邊CO沿折疊，使點。落在AC上的點N處。

(1)求證：四邊形AEC尸是平行四邊形;

⑵若AB=6,AC=10,求四邊形AECE的面積。

30.如圖，AC為矩形ABC。的對角線，將邊AB沿AE折疊，使點8落在AC上的點M

處，將邊8沿CF折疊，使點。落在AC上的點N處.

(1)求證：四邊形AECE是平行四邊形；

(2)若A8=6,AC=10,求BE1的長.

31.已知，如圖，把平行四邊形紙片ABC。沿50折疊，點。落在。處，5C'與A3相

交于占p

Jz?v\JLy,

(1)求證：EB=ED；

(2)連接AC,求證：AC'//BD.

32.如圖，在平行四邊形A8CD中，ADJ.DB，垂足為點。，將平行四邊形ABCO折疊,

使點8落在點。的位置，點C落在點G的位置，折痕為EF.

(1)求證：MDE竺AGDF；

(2)若AE=BD，求NC/G的度數(shù)；

(3)連接CG,求證：四邊形8CG。是矩形.

D

33.己知：將。A8C。紙片折疊，使得點C落在點A的位置，折痕為EF,連接CE.求

證：四邊形AFCE為平行四邊形.

AD'

34.如圖,將矩形沿石F折疊，使用點落在4。邊上的B點處;再將矩形44GA

沿8G折疊，使R點落在D點處且BD過F點.

(1)求證:四邊形8EEG是平行四邊形；

(2)當/用EE是多少度時,四邊形8EFG為菱形?試說明理由.

35.如圖，AC為矩形ABCO的對角線，將邊A8沿AE折疊，使點8落在AC上的點M

處，將邊CO沿C/折疊，使點。落在AC上的點N處.

(1)求證：四邊形AECE是平行四邊形；

(2)若A8=6,AC=1(),求四邊形AECF的面積及AE與CF之間的距離.

36.如圖，將平行四邊形ABCD沿對角線BD進行折疊，折疊后點C落在點F處，DF交

AB于點E.

(1)求證：ZEDB=ZEBD；

(2)判斷AF與BD是否平行，并說明理由.

37.如圖，將平行四邊形A6CO沿防折疊，恰好使點。與點A重合，點。落在點G處,

連接AC、CF.

(1)求證：AABEMAGF.

(2)判斷四邊形AEC戶的形狀，說明理由.

38.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=9，4)=13,tanA=—,尸是射線A。上

一點，連接心，沿必將三角形AP3折疊，得三角形APB.

DC

』AB/

(1)當N￡>P4'=10°時，ZAPB=度；

(2)如圖，當B4'_LBC時，求線段Q4的長度;

(3)當點A落在平行四邊形ABC。的邊上時，直接寫出線段B4的長度.

39.如圖，將平行四邊形紙片ABCD沿一條直線折疊，使點A與點。重合，點。落在點G

處，折痕為EF.求證：

(1)ZECB=ZFCG；

(2)AEBC=AFGC.

DC

40.如圖，將。ABCD沿過點A的直線折疊,使點D落到AB邊上的點D'處，折痕交CD

邊于點E,連接BE.

(1)求證：四邊形BCED'是平行四邊形；

⑵若BE平分NABC：

①則四邊形BCED'是；（填哪一種特殊的平行四邊形）

②求證：AB2=AE2+BE2-

41.如圖，將oABC。沿過點A的直線/折疊，使點。落到A5邊上的DC處，折痕交C。

邊于點E，連接BE.

（1）求證：四邊形BCEZ）'是平行四邊形；

（2）若BE平分NA8C,求證：AB2=AE2+BE1.

參考答案

1.B

【分析】由平行四邊形的性質和折疊的性質，得出NADB=/BDF=NDBC，由三角形

的外角性質求出NBDF=NDBC=-^DFC=20。，再由三角形內角和定理求出/A，

2

即可得到結果.

【詳解】

-.AD//BC,

.?./ADB=ZDBC，

由折疊可得ZADB=NBDF，

.?2DBC=4DF，

又/DFC=40，

SBC=NBDF=zfADB=20”，

又?.?/ABD=48。，

.?.△ABD中，/A=180°-20°—48°=112°，

.,./E=/A=112°，

故選B.

【點撥】本題考查了平行四邊形的性質、折疊的性質、三角形的外角性質以及三角形內角和

定理的綜合應用，熟練掌握平行四邊形的性質，求出NADB的度數(shù)是解決問題的關鍵.

2.A

【分析】

延長DE,BC相交于點F,由平行四邊形性質，以及/A￡>E=9(T，得到NEFC=90。，則

5DE

EF是小BCE的高，貝lj,由ZEDB=45°,貝UDF=BF,又DE=AD=BC,則EF=CF,

SABCEEF

設EF=CF=x,由NFDC=30。，則CD=2x,由勾股定理，求得DF=A,得至ljDE-(^-l)x，

即可得到答案.

解：延長DE,BC相交于點F,如圖,

：AD〃BC,ZADE=903-ZABC=ZADC=60°

ZEFC=90°,ZEDC=90°-60°=30°,

由折疊性質，得至ljDE=AD=BC,ZEDB=ZADB=45°,

...△DFB是等腰直角三角形，

；.DF=BF,

.\DF-DE=BF-BC,

即EF=CF,

在直角三角形DCF中，ZEDC=30°,

設EF=CF=x,則CD=2x,

???DF=7（2X）2-X2=瓜，

DE=DF-EF=（V3-l）x，

Ap

...5會1.小=DE=（百-l）x

S\BCELBC.EFEFx

2

故選擇：A.

【點撥】本題考查了折疊的性質，等腰直角三角形的判定和性質，30。角所對直角邊等于斜

邊的一半，以及勾股定理，解題的關鍵是根據(jù)題意找出邊的關系，以及角的關系，掌握底邊

相等的三角形，面積比等于高之比.

3.D

【解析】本題通過觀察全等三角形，找旋轉中心，旋轉角，逐一判斷.

解：A、根據(jù)題意可知/EAC=135。，ZEAD=360°-ZEAC-ZCAD=135°,AE=AE,AC=AD,

△EAC^AEAD,正確：

B、根據(jù)題意可知NBAD=135°,ZEAD=360°-ZBAD-ZBAE=1350,AE=AB,AD=AD,

△EAD^ABAD,正確.

C、根據(jù)題意可知AE=AB,AC=AD,ZEAC=ZBAD=135°,△EAC^ABAD,旋轉角

ZEAB=90°,正確;

D、因為平行四邊形是中心對稱圖形，要想使△ACB和^DAC重合，AACB應該以對角線

的交點為旋轉中心，順時針旋轉180。，即可與aDAC重合，錯誤；

故選D.

此題主要考查平行四邊形的對稱性：平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是兩對角線的交

點.

4.D

【分析】由折疊可得/CGD=9(r=NBCG,即可得到NDCG=25。，由折疊可得

NGCF=2x25*50。，即可得到NBCF=40。.

【詳解】

解:如圖:

由折疊可得，ZCGD=90°=ZBCG,

XVZD=ZB=65°,

AZDCG=90°-ZD=25°,

由折疊可得，ZGCF=2x25°=50°,

ZBCF=90°-ZGCF=40°,

故選：D.

【點撥】本題主要考查了折疊問題以及平行四邊形的性質的運用，折疊是一種對稱變換，它

屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等.

5.B

【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質求出ND的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內角和定理和平角定義

求出NAED和/AEF的度數(shù)，再由折疊性質得NAE￡)'=NAED,進一步計算即可解答.

解：：四邊形ABCD是平行四邊形，

/D=/B=55°,

NDAE=20°,

，ZAED=1800-ZDAE-ZD=180°-20°-55°=105°,

ZAEF=1800-NAED=180°-105°=75°,

由折疊性質得：NA￡D'=NAED=105。，

ZFED=NAED'-ZAEF=105°-75°=30°,

故選：B.

【點撥】本題考查平行四邊形的性質、三角形的內角和定理、平角定義、折疊性質，熟練掌

握平行四邊形的性質和折疊的性質是解答的關鍵.

6.B

【分析】由平行四邊形的性質得出ND=NB=52。，由折疊的性質得：ZD-=ZD=52°,

ZEAD'=ZDAE=20°,由三角形的外角性質求出NAEF=72。，由三角形內角和定理求出

NAED，=108。,即可得出/FED，的大小.

解：：四邊形ABCD是平行四邊形，

.*./D=/B=52°,

由折疊的性質得：ND，=ND=52。，NEAD，=NDAE=20。，

NAEF=ND+/DAE=52°+20°=72°,NAED'=18O°-NEAD'-ND'=1O8°,

AZFED'=1080-72o=36°；

故選：B.

【點撥】本題考查了平行四邊形的性質、折疊的性質、三角形的外角性質以及三角形內角和

定理；熟練掌握平行四邊形的性質和折疊的性質，求出NAEF和/AEP是解決問題的關鍵.

7.C

【解析】設4E與BC交于。點，。點是BC的中點.

:四邊形A8C。是平行四邊形，AZB=ZD.AB//CD,

又由折疊的性質推知CE=CD

：.ZB=ZE.CE=AB

：.^ABO和4ECO中

，ZA0B=ZE0C

?BA=EC，

tZB=ZE

所以△ABO也△CEO(AAS),所以AO=CO=4,OE=OB=4.

：.AE=AD=S.

...△AED為等腰三角形，又C為底邊中點，故三線合一可知N4CE=90。，

從而由勾股定理求得AC=j82-62=2j7―

平行四邊形ABCD的面積=4CXC￡>=125/V.

【分析】如圖，由折疊可得/CED=9(T=/BCE,即可得到NDCE=15。，由折疊可得

ZDCF=2xl5°=30°,即可得至lJ/BCF=60°.

【詳解】

如圖，

解：由折疊可得，ZCED=90°=ZBCE,

又"D=NB=75°,

ZDCE=15°,

由折疊可得，ZDCF=2xl5°=3O°,

/BCF=60°.

故選A.

【點撥】本題考查折疊問題以及平行四邊形的性質，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱,

折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等.

9.B

【分析】根據(jù)平行四邊形以及折疊的性質即可得出答案.

解：：四邊形ABCD是平行四邊形，/3=54。

/.ZD=ZB=54°

又NDAE=20°

ZAED=180°-ZD-ZDAE=106°

根據(jù)折疊可得：NA￡D'=NAEO=106°

又NAEF=180°-NAED=74°

???ZFEiy=ZAED-ZAEF=32°

故答案選擇B.

【點撥】本題考查的是平行四邊形的綜合，涉及到「折疊的性質、三角形的內角和以及平角

的性質，難度適中.

10.B

【分析】由平行四邊形的性質得出/D=/B=52°，由折疊的性質得：/D'=/D=52l

/EAD'=/DAE=20'，由三角形的外角性質求出NAEF=72°，與三角形內角和定理

求出/AED'=1()8"，即可得出上FED'的大小.

解：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

..4=/B=52°，

由折疊的性質得：ND'=/D=52°，/EAD'=NDAE=20°，

/AEF=ND+/DAE=520+20°=72°，

/AED'=180。-AAD'-ND'=108%

.-.^FED'=108-72°=36°.

故選B.

【點撥】本題考查了平行四邊形的性質、折疊的性質、三角形的外角性質以及三角形內角和

定理，熟練掌握平行四邊形的性質和折疊的性質，求出/AEF和NAED是解決問題的關鍵.

11.D

【解析】

【分析】根據(jù)折疊重合圖形全等，已經(jīng)平行四邊形的性質，可以求證①②均正確.

解：?.?折疊后點。落在AB邊上的點A/處

AAA?=AAW.AD=AM,ZADN=ZAMN

又?.?平行四邊形ABC。中，ZD=ZB

：.ZAMN=ZB，：.MN\\BC

又?.?平行四邊形ABC。中，AB//CD

:.BMPCN,..BCNM是平行四邊形，「.MN=8C=4)=40.故選D.

【點撥】本題綜合考查全等三角形的性質、平行四邊形的性質、平行線的判定、平行四邊形

的判定.

12.C

【解析】

【分析】根據(jù)平行四邊形ABCD,可得NB=ND,再根據(jù)折疊可得ND=NNMA,再利用等

量代換可得NB=/NMA,然后根據(jù)平行線的判定方法可得MN〃BC；首先證明四邊形

AMND是平行四邊形，則BM=CN,AD=BC,再根據(jù)折疊可得AM=DA,則四邊形AMND

為菱形，再根據(jù)菱形的性質可得MN=AM.由以上可做出選擇.

解：..?四邊形ABCD是平行四邊形，

.\ZB=ZD,

???根據(jù)折疊可得ND=NNMA,

，NB=NNMA,

，MN〃BC；故A正確；

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

；.DN〃AM,AD〃BC,

VMN//BC,

，AD〃MN,

四邊形AMND是平行四邊形，

；.BM=CN,AD=BC,

根據(jù)折疊可得AM=DA,

...四邊形AMND為菱形，

；.MN=AM；故B、D正確；

故選C.

【點撥】本題考查翻折變換，平行四邊形的判定與性質，菱形的判定與性質，解題的關鍵是

找準折疊以后哪些線段是對應相等的，哪些角是對應相等的.

13.②④

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質、翻折的性質、全等三角形的性質、含30。角的直角三角形

的性質、勾股定理、三角形中線的性質、三角形的面積等進行推理證明即可得解.

解：?.?將平行四邊形紙片ABCD折疊，使點A與點C重合

根據(jù)翻折的性質可知，Rt^ONC^Rt^OMA

OA^0C=-AC^2y/3,NOW=ZAC。=30。，ADONABOM

2

在Rt^ONC和Rt^OMA中，CN=AM=2ON=2OM

：.（20N『-ON2=（2南，（2OM-OM2=（26丁

/.OM=ON=2

:.MN=OM+ON=4（故②正確）

,SAOM=SCON=OA.OM=巫2=2幣（故③錯誤）

ZkCCz/V22"

???四邊形ABC。是平行四邊形

AOA=OC<OB=OD

**SAAOD=SAAOB=SABOC=SROD=aSoABCD

,:RtQNgRtQMA,ADON'BOM

,?SQON+SJOM=SJOB=SACOD=1S口ABCD

=

??S|JI|邊形4MM）+SGON+^AAOM=2SJJOC（故④正確）

;折痕MN與對角線8D沒有事合，MN±AC

對角線和AC不垂直

DABCD不是菱形

???ZDAC^ZCAB

ZDAC^30°

：.ZDAB^60°（故①錯誤）.

故答案是：②④

【點撥】本題考查了平行四邊形的性質、翻折的性質、全等三角形的性質、含30。角的直角

三角形的性質、勾股定理、三角形中線的性質、三角形的面積等知識點，體現(xiàn)了邏輯推理的

核心素養(yǎng).

14.2

【解析】

【分析】根據(jù)翻折變換，可知△ONC絲△AOM,且是RtA,在AONC中解得NO即可得

【詳解】

根據(jù)翻折變換，可知AONC絲△AOM,且是RS,

?：AC=26，NCAB=30。，

.?.在RtAONC,

解得ON=1,

.?.MN=2,

故答案為2.

【點撥】本題考查了翻折變換（折疊問題），平行四邊形的性質，解題的關鍵是要注意折疊

是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變.

4Q

15.11或Q

JD

【分析】①根據(jù)NA=90°,點5的坐標為（4,0）,NO84=30°,四邊形平行四

邊形，得到。8=4,OA=2,?AOP1OBA30。設ZW=a,則由!得尸M=2a,

PD2

PA=a,則利用。8=OQ+3Q=尸。+OM+8Q.OA^OP+PA,即可得”=1,即可得

出結果；

②分兩種情況討論（1）當P點在線段。4之間時，（2）當p點在射線04上時，分別進行

求解即可.

解：①:NA=90°,點8的坐標為（4,0）,NQBA=30°,

.?.08=4,04=2,

又?:四邊形OPMQ平行四邊形，

/.PMHOB，

，?ADP?OBA300

人DM1

^DM=a,則由----=一，

PD2

*'?PM=3〃，

???在心中，PA=a,

則有：OQ+3Q=PD+ZW+3Q=3〃+8Q=4①,

OA=OP+PA=BQ+a=2②，

即可得：2〃=2,

BQ=2-a=2-1=1；

②把APMQ沿著PQ進行折疊，折疊后得圖形是DPAT。

(1)如圖示，當P點在線段0A之間時，9'交08于O'點,

即PD,把bPOQ分成了面積相等得兩部分，

，PO是。。的中線，

OD'=D'Q

又???四邊形0PMQ平行四邊形，PMHOB,

?MPQ?PQD',

?.?折疊APMQ得到DPM'Q,

：.?MPQ?M'PQ,

：.?PQD'?M'PQ

DPQ。是等腰三角形，

PD'=D'Q

VZA=90°.NO84=30。，

NPOQ=60。，

DPO。是等邊三角形，

即有OP=D'Q=QB,

013=3BQ=4,

4

8Q=于

(2)如圖示，當P點在射線。4上時，QM'交。4Tzy點,

?.?折疊后\PMQ'3\OPQ的重，普相分的面積是平行四邊形OPMQ的L

4

R|]Sy/pQp,——SyOpMQ>

??^VPQIX~SyntD'

即尸。'把分成了面積相等得兩部分，

，P￡>'是M'。的中線，

M'D'=D'Q=^M'Q,

乂???四邊形。PMQ平行四邊形，POHQM,

?PQM?OPQ,

?.?折疊APM。得到DPM'Q,

：.?PQM?PQM',RM'?M60°,PM'=PM

：.?OPQ?M'QP

DPQZT是等腰三角形，

PD'=D'Q

：.PD'=M'D'

DAVTZ)'是等邊三角形，

PM'=M'D'=-M'Q

2

即有OQ=PM=PM'=M'D'=-M'Q=-BQ,

22

013=0Q+BQ=-BQ+BQ=4

???時［?

【點撥】本題考查了平行四邊形的性質，折疊的性質，中線的性質，等腰三角形，等邊三角

形的判定等知識點，熟悉相關性質是解題的關鍵.

16.44°

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質得AD//BC,得NNMD=68°，根據(jù)折疊的性質得

NPMN=NNMD=6%，根據(jù)平角的性質即可求解.

【詳解】

V四邊形ABCD是平行四邊形

AD//BC

NNMD=/BNM=6U

.??將四邊形CDMN沿線段MN折疊，得到四邊形QPMN

'NPMN=ZNMD=68°

???ZAMP=180°-ZPMN-NNMD=44"

故答案為44。.

【點撥】本題考察了平行四邊形的性質，平行線的性質，和利用平角求解未知角的度數(shù)：其

中兩直線平行，同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補.

17.45.

【解析】

試題分析：利用翻折和平角定義易得組成/AEF的兩個角的和等于平角的一半，得出

/AEF=90。，再利用將折疊的紙片沿EG折疊，使AE落在EF上，得出NAEG=NGEA，進

而得出答案.

試題解析：根據(jù)沿直線折疊的特點，4ABE咨AAB'E,△CEFr△CEF,

.,.ZAEB=ZAEB\/CEF="EF,

,/ZAEB+ZAEB,+ZCEF+ZC,EF=180°,

NAEB'+/C'EF=90°,

:點E,B\C，在同一直線上,

ZAEF=90°,

???將折疊的紙片沿EG折疊，使AE落在EF上，

，ZAEG=ZGEA,=—ZAEF=45°

2

考點：翻折變換（折疊問題）.

18.108°

【分析】由平行四邊形的性質和折疊的性質，得出NADB=NBDG=NDBG,由三角形的外

角性質求出NBDG=NDBG=，/1=24。，再由三角形內角和定理求出/A,即可得到結果.

2

解：'JAD//BC,

NADB=NDBG,

由折疊可得NBDG,

:.NDBG=NBDG，

又：/1=NBOG+/Q8G=48°,

：.ZADB=ZBDG=24°,

又；/2=48°,

.,.△A8D中，N4=108°,

NA=NA=108°,

故答案為108°

【點撥】此題考查平行四邊形的性質和折疊問題，解題關鍵在于利用折疊性質進行解答

19.55°

解：???四邊形ABCD是平行四邊形，

NBAD=NC,

由折疊的性質得：ZZ）,A￡=ZC,

RAE=NBAD,

NRAD=NBAE=55".

20.105°.

【詳解】由平行四邊形的性質和折疊的性質，得出NADB=NBDG=NDBG,由三角形的外

角性質求出NBDG=NDBG=』NI=25。，再由三角形內角和定理求出/A,即可得到結果.

2

：AD〃BC,.,.ZADB=ZDBG,

由折疊可得/ADB=NBDG,/.ZDBG=ZBDG,

又?.?/l=/BDG+NDBG=50°,AZADB=ZBDG=25°,

又?.?/2=50°,.;△ABD中，ZA=105°,AZA'=ZA=105°,

故答案為105。.

考點：平行四邊形的性質，折疊的性質，三角形的外角性質，三角形內角和定理.

21.25°

【分析】由平行四邊形的性質和折疊的性質可得AD〃BC,ZBDA=ZBDG,即可求解.

解：：將平行四邊形ABCD沿對角線BD折疊，

；.AD〃BC,NBDA=NBDG,

，/1=NADG=50°,且NADG=ZBDA+ZBDG,

；./BDA=25。，

故答案為：25°.

【點撥】本題考查了翻折變換，折疊的性質，平行四邊形的性質，靈活運用折疊的性質是本

題的關鍵.

22.66°

【分析】由平行四邊形的性質得出ND=NB=42。，又由折疊的性質得：ND=ND=42。，

NEAD=NDAE=15。，再由三角形的外角性質得NAEF=ND+NDAE=57。，然后由三角形內

角和定理可得NAED=108。，最后由角的和差即可解答.

解：???四邊形ABCD是平行四邊形，

ZD=ZB=42°,

又ND=ND=42。，NEAD，=NDAE=15。（折疊的性質）

ZAEF=ZD+ZDAE=42°+15°=57°,

ZAED'=180°-ZEAD'-ND'=123°,

.".ZFED'=1230-57O=66°.

故答案為66。.

【點撥】本題考查了平行四邊形的性質、折疊的性質、三角形的外角性質以及三角形內角和

定理；掌握平行四邊形的性質和折疊的性質是解題的關鍵.

23.6.

【分析】先根據(jù)平行線的性質求出BC=AD=5,再根據(jù)勾股定理可得AC=4,然后根據(jù)折疊的

性質可得AF=AB=3,EF=BE,從而可求出△CEF的周長.

解：:四邊形A8CQ是平行四邊形，

；.BC=AD=5,

,/ABA.AC，

=22

?-AC7BC-AB=后-3』

??.AA55沿AE折疊得到AA^E，

AAF=AB=3,EF=BE,

ACEF的周長=CE+EF+FC=CE+BE+CF

二BC+ACAF

=5+4-3=6

故答案為6.

【點撥】本題考查了平行四邊形的性質，勾股定理，折疊的性質，三角形的周長計算方法,

運用轉化思想是解題的關鍵.

20

24.—

3

【分析】作CMLAB于M,由平行四邊形的性質得出BC=AD=4夜，BC//AD,得出

ZCBM=ZA=45°,利用勾股定理求出BM、CM,設AE=CE=x,則BE=8-X,EM=12—九,

根據(jù)勾股定理得出方程，解方程即可求出AE的長.

解：作CMLAB于M,如圖所示：

D'

A

則NM=90°,

?..四邊形ABCD是平行四邊形，

，BC=AD=4拒，BC〃AD,

ZCBM=ZA=45°,

...BM=CM,

由勾股定理得：BM2+CM2=BC2.即28M2=卜啰）一，

，BM=CM=4,

由折疊的性質得：AE=CE,

設AE=CE=X,貝ijBE=8-X，EM=BE+BM=12—X,

EM2+CM2=CE2，即（12-xp+42=f,

解得：％=竺

3

即AE=—.

3

故答案為：—

3

【點撥】本題考查了平行四邊形的性質、翻折變換、勾股定理；熟練掌握平行四邊形的性質,

并能進行推理計算是解決問題的關鍵.

25.114

【分析】由平行四邊形的性質和折疊的性質得出NACD=/BAC=/B，AC,由三角形的外

角性質求出/BAC=/ACD=NB，AC=1/1=22。，再由三角形內角和定理求出NB,再

2

根據(jù)平行四邊形的性質求出/D即可.

解：???四邊形ABCD是平行四邊形，

.,.AB//CD,

.?.ZACD=ZBAC,

由折疊的性質得：ZBAC=ZB,AC,

.-.ZBAC=ZACD=ZB,AC=-Z1=22°,

2

.,.ZB=180°-Z2-ZBAC=180°-44°-22°=114°,

/D=NB=II4°.

故答案為：114.

【點撥】此題考查平行四邊形的性質，折疊的性質，三角形內角和定理，題中由折疊得到

NBAC=/B，AC,從而得到/BAC=NACD=/B，AC是解題的關鍵.

26.(1)詳見解析；(2)30。；(3)45°.

【分析】3)利用面積法解決問題即可.

(2)分別求出/BA。，ZBAB',/D4ZX即可解決問題.

(3)如圖2中，延長4E到〃，使得EH=E4,連接C”，HG,EF,AC.想辦法證明E,

H,G,C四點共圓，可得NEGC=NE”C=45。.

【詳解】

(1)證明：如圖1中，

圖⑴

;四邊形A8C￡)是平行四邊形，AE1BC,AF1CD,

=

***S?行四邊形ABCDBC*AE=CD*AFt

'：AE=AF,

；?BC=CD,

，平行四邊形ABCD是菱形；

(2)解：如圖1中，

???四邊形ABCD是平行四邊形，

.*.ZC=ZBAD=110°,

?:AB"CD、

/.ZC+ZB=180°,

；?NB=ND=70。,

\'AE±BCfAFICD.

：.ZAEB=ZAFD=90°,

.\ZBAE=ZDAF=20°f

r

由翻折變換的性質可知：ZBAB=2ZBAE=40°tNOAO=2ND4/=40。,

???N8ZO=110。-80°=30°.

(3)解：如圖2中，延長NE到“，使得EH=EA,連接C”，HG,EF,AC.

H

VE4=EC,NAEC=90。,

JNACE=45。,

ZA￡C+ZAFC=180°,

?A,B,C,尸四點共圓，

/.ZAFE=ZACE=45°f

四邊形AEGF是平行四邊形，

：.AF//EG,AE=FG,

：.NAFE=NFEG=45。,

:?EH=AE=FG,EH//FG,

???四邊形EHGF是平行四邊形，

:?EF〃HG,

：?NFEG=NEGH=45。

?：EC=AE=EH,NCE”=90°,

；?/ECH=/EHC=45。,

；?/ECH=NEGH,

H,G,C四點共圓，ZEGC=ZE//C=45°.

【點撥】本題屬于兒何變換綜合題，考查了平行四邊形的性質和判定，菱形的判定，翻

折變換，四點共圓，圓周角定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，利用四點

共圓解決問題，屬于中考壓軸題.

27.(1)DE^-y/3；(2)補全圖形見解析；折痕MN的長為5或9J7.

23

【分析】

(1)在RSADE中，AD=5,ZA=60°,求得AE=—,再根據(jù)勾股定理即可求解；

2

(2)分點。在4B和兩類討論，當點。在AB上時，可得A5CM是等邊三角形.求得

例N=5；點點。在AO上時，過點N、。分別作NK_LCO，OHLCD,

垂足分別為K、H，連接OA/,C7V.求出QD=2，OH=6CH=9，

OG=CG='oC=&T根據(jù)折疊性質，結合勾股定理，求出CM=OM=匕，進而求

23

出NK=DE=，6利用面積法即可求得MN=2J7.

23

解：(1)；4)=5,ZA=60°,DE±AB,

/.NADE=30。.

AE^-AD^-.

22

/.DE=y/AD2-AE2=-73.

2

(2)如圖1所示，當點。在AB上時，

VAB=S,AO=3,

，BO=AB-AO^5.

四邊形ABCD是平行四邊形，

3C=AD=5,ABI/DC，ZA=NBC￡)=60°

B0=BC=5.

?.?將平行四邊形折疊，使點C與點。重合，

.??折痕MN垂直平分0C，即NO=NC，

ZOBM=Z.CBM.

折痕MN與平行四邊形ABCD的邊AB交于點N，

，點B與點N重合.

,/ABI/DC，

；?ZOBM=ZCMB

:.NCBM=NCMB.

：.BC=MC.

,/40)=60°，

.??△BCM是等邊三角形.

:.MN=MB=BC=5.

如圖2所示，當點。在AD上時,

垂足分別為K、“，連接OM,CN.

???四邊形ABC。是平行四邊形，AB=8，

AB=CD=8,AB//DC,24=60°

/.ZODH=ZA=60。，/EDC=ZAED=90°

VAD=5,AO=3,

???OD=2.

?.,在RtAODH中，ND0H=30。,

HD=\.

OH=^Olf-HD1=73'

CH=CD+HD=9.

在Rt'OCH中，oc=ylOH2-CH2=272?，

由折疊可知，CM=OM.0G=CG=-0C=>/2\.

2

???在Rt\OMH中，OH2=HM2=0M2

即3+(9-CM?=O”.

...CM=0河=—.

3

/.NK1CD,/EDC=90°,

???/EDC=/NKD=ADEN=90°.

.??四邊形。ENK為矩形.

:.NK=DE二小,

2

,:SACMN*CMNK=*MNCG,

2322

：.MN=-y/l.

3

綜上所述，折痕MN的長為5或9J7.

3

【點撥】

(1)見60。角一般轉化為直角三角形或等邊三角形解決問題；

(2)點。在平行四邊形的邊上，要根據(jù)題意進行分類討論求解.

28.(1)ND'EF=76°；(2)AE=史士也.

31

【解析】

【分析】(1)根據(jù)折疊的性質可得：ZD=Z￡D,G=60°,ZDEF=ZD'EF,根據(jù)平行線的

性質有等量代換得到/力無尸=/"8,在四邊形O'EFG中，根據(jù)四邊形的

內角和即可求解.

(2)過點E作于點H,設AE=x,根據(jù)平行線的性質有/"4。=/8=60。，且

EHLAB,求出4"=！x,HE=3x,根據(jù)中點的性質有AD'=LA3=2J5,根據(jù)勾股定

222

理即可求解.

解：(1)???四邊形A8CZ)是平行四邊形，

.,.ZB=ZD=60°,AD//BC,

：.ZDEF=ZEFB.

???將平行四邊形ABCD沿E尸折疊，點D恰好落在邊AB的中點。處,

,ND=Z￡D,G=60%ZDEF=4DEF,

:./D'EF=NEFB,

???ZBGD,=32°

AZD'GF=148°

*.?ZDGF+ZEFB+ZD'EF+ZED,G=360°,

148+/D'EF+ZDfEF+60=360°，

:.ND'EF=76。；

設AE=x,

VAD//BC,

；?NHAD=NB=60。,且

?人口_1rjzr_+

,?AH=-x,HE——XJ

22

???點。'是AS中點，

AD'=LAB=2丘,

2

■:HE+DH^DE,

,%+（2應+gx）=（8-x）",

._112-14^

??X-------,

31

._112-1472

一AE=---------

31

【點撥】考查平行四邊形的性質，折疊的性質，勾股定理等，綜合性比較強，注意題目中輔

助線是作法.

29.(1)證明過程見解析；(2)四邊形AEC戶的面積為30.

【分析】

(1)首先證明△ABE絲ZXCDF,則DF=BE,然后可得至ljAF=EC,依據(jù)一組對邊平行且相

等的四邊形是平行四邊形可證明AECF是平行四邊形；

(2)由AB=6,AC=10可得BC=8,由折疊性質可設BE=EM=x,根據(jù)

SAABC=SAABE+S“AEC，可以求出x的值，進而求出四邊形AECE的面積?

【詳解】

(1)證明：；四邊形ABCD為矩形

；.AB=CD,AD/7CB,ZB=ZD=90°,ZBAC=ZDCA

由翻折性質可知：ZEAB=-ZBAC,ZDCF=-ZDCA

22

，NEAB=NDCF

在^ABE和4CDF中

"4B=/D

<AB=CD

NEAB=ZFCD

.,.△ABE^ACDF