《計(jì)算機(jī)控制技術(shù)》

《計(jì)算機(jī)控制技術(shù)》

東南大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院戴先中

1

第4章計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)（一）

——按模擬系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法進(jìn)行設(shè)計(jì)

4.1概述

4.2按模擬系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)的步驟

4.3數(shù)值積分法

4.4零極點(diǎn)匹配法

4.5等效保持法

4.3各種方法比較

4.7設(shè)計(jì)舉例

2東南大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院上一頁下一頁

4.1概述

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)原理框圖

混合系統(tǒng)出生模擬系統(tǒng)（按模擬系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法進(jìn)行設(shè)計(jì)）

離散系統(tǒng)（離散設(shè)計(jì)方法）

3算機(jī)控制技術(shù)東南大學(xué)自動(dòng)化與上一頁下一頁

4.1概述

混合系統(tǒng)

連續(xù)系統(tǒng).采樣頻率足夠高▼對(duì)象離散化.

離散系統(tǒng)

“八"采樣系統(tǒng)特性接近G(s)-G(z)

模擬系統(tǒng)特性

設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)。偃)

D(s)fD(z)

大部分工程技術(shù)人員對(duì)S在z平面直接設(shè)計(jì)D(z),只

優(yōu)點(diǎn)平面較熟悉，設(shè)計(jì)簡單優(yōu)點(diǎn)要設(shè)計(jì)時(shí)滿足要求，系統(tǒng)

一定是穩(wěn)定的

缺點(diǎn)離散化時(shí)動(dòng)態(tài)性能總要變壞缺點(diǎn)Z平面已變形，不直觀,

(采樣和數(shù)模轉(zhuǎn)換帶來延時(shí))設(shè)計(jì)時(shí)需多次試算

4計(jì)算機(jī)上一頁下一頁

第4章計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)（一）

——按模擬系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法進(jìn)行設(shè)計(jì)

4.1概述

4.2按模擬系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)的步驟

4.3數(shù)值積分法

4.4零極點(diǎn)匹配法

4.5等效保持法

4.3各種方法比較

4.7設(shè)計(jì)舉例

5東南大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院上一頁下一頁

4.2按模擬系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)的步驟

基本方法

⑴在連續(xù)系統(tǒng)中插入保持器，檢查插入保持器后連續(xù)系統(tǒng)是否穩(wěn)

定，如不穩(wěn)定，重新設(shè)計(jì)。⑥；

6

4.2按模擬系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)的步驟

更嚴(yán)格的方法

■將A/D+數(shù)字控制器+D/A部分看成是一個(gè)整體，其輸入和輸

出都是模擬量，因而可等效為連續(xù)傳遞函數(shù)儀俗)。

A/D輸出與輸入關(guān)系：(R*(j0)=之R(j①)

1OO低通濾波且,J丁

K(j3)=亍工R{jco+jncos)采樣頻率較高”]R*(j3)/R(j3)=1

/II——OO

計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)算法。⑺的計(jì)算表示：D(e'w)

D/A的頻率特性：G(ia))=T四更歸片」3TI2。Te-j^/2

W/2

7計(jì)算機(jī)控制技術(shù)方大學(xué)白動(dòng)竹上一頁下一頁

4.2按模擬系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)的步驟

更嚴(yán)格的方法（續(xù)）

D(s}

「1

簡化后的D”0）?函）德一川/2=口?-'?

等效連續(xù)《1

傳遞函數(shù)1Oe（S）=Ddc（s）e—"/2

設(shè)計(jì)時(shí)進(jìn)一步近似為：

e"2=__1

l+sT/2J

8Q一頁|產(chǎn)前

4.2按模擬系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)的步驟

更嚴(yán)格的方法(續(xù))

第1步：根據(jù)系統(tǒng)的性能，選擇采樣頻率，并設(shè)計(jì)抗混疊前

置濾波器。

第2步：考慮ZOH的相位滯后，根據(jù)系統(tǒng)的性能指標(biāo)和連續(xù)

域設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)數(shù)字控制算法等效傳遞函數(shù)4c(s)。

第3步：選擇合適的離散化方法，將4c(s)離散化，獲得脈沖

傳遞函數(shù)。(z),使兩者性能盡量等效。

第4步：檢驗(yàn)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)閉環(huán)性能。若滿足指標(biāo)要求，

進(jìn)行下一步；否則，重新進(jìn)行設(shè)計(jì)。

改進(jìn)設(shè)計(jì)的途徑有：

選擇更合適的離散化方法。

□提高采樣頻率。

修正連續(xù)域設(shè)計(jì)，如增加穩(wěn)定裕度指標(biāo)等。

第5步：將D(z)變?yōu)閿?shù)字算法，在計(jì)算機(jī)上編程實(shí)現(xiàn)。

9上一頁下一頁

最常用的表征控制器特性的主要指標(biāo):

□零極點(diǎn)個(gè)數(shù)；

□系統(tǒng)的頻帶；

□穩(wěn)態(tài)增益；

□相位及增益裕度；

0(S)等效離散>0(Z)

□階躍響應(yīng)或脈沖響應(yīng)形狀;

□頻率響應(yīng)特性。

??廠■數(shù)值積分法

C一階向后差法

一階向前差法

離散化方法：V雙線性變換法及修正雙線性變換法

■零極點(diǎn)匹配法

■保持器等價(jià)法

■Z變換法(脈沖響應(yīng)不變法)

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第4章計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)（一）

——按模擬系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法進(jìn)行設(shè)計(jì)

4.1概述

4.2按模擬系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)的步驟

4.3數(shù)值積分法

4.4零極點(diǎn)匹配法

4.5等效保持法

4.3各種方法比較

4.7設(shè)計(jì)舉例

11東南大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院上一頁下一頁

4.3數(shù)值積分法

數(shù)值積分法的基本思想描述

用前向矩形

D（s）-^微分方程兩邊含積分運(yùn)算后向矩形

差分方程

求積的差分方程梯形法

兩邊求z變換并表”）計(jì)算積分

示成輸出輸入信號(hào)（,

Z變換之比的形式

前向矩形規(guī)則（零階近似）

｛后向矩形規(guī)則（零階近似）

梯形規(guī)則（一階近似）

上一頁下一頁

例：設(shè)模擬控制器傳遞函數(shù)，

試用數(shù)值積分法對(duì)其進(jìn)行離散化。

解：其微分方程的形式為:

〃+CLU—CL€或ii——CLU+(2€

兩邊求積分得：

t

u⑴=j[-?w(r)+ae(T)]dT

o

對(duì)離散系統(tǒng)如按采樣間隔劃分積分時(shí)間則

kT

u(kT)=j[-au(T)+ae(T)]dr

o

(J)TkT

j[-aw(r)+ae(T\\dT+j[-au(T)+ae(T)]dr

0(k'—V)T—__

=u[(k-1)T]f[-au(r)+ae(c)在(左一1)T至心T上的積分]

13上一頁下一頁

其幾何意義如圖所示：

陰影部分的面積可用三種近似積

分方法求得

前向矩形(零階近似)用{-〃譏/-1)7]+四[伏-1)7]}7近似表示陰影面積

后向矩形(零階近似)用[-Q"(仃)+Q6(仃)]7近似表示陰影面積

梯形規(guī)則(一階近似)用-{-au[(k-1)T]+ae[(k-1)T]-au(kT)+ae(kT))

近似表示陰影面積

將計(jì)算陰影面積的三種方式代入得三種計(jì)算規(guī)則：

14計(jì)算機(jī)控制技才上一頁下一頁

1)前向矩形規(guī)則(零階近似積分)

用前向矩形面積近似表示陰影部分的面積:

u(kT)=u[(k-1)T]+{-au[(k-1)T]+ae[(k-1)T]}T

=(1-aT)u[(k-1)T]+aTe[(k-1)T]

這就是用差分方程表示的的表達(dá)式

兩邊求z變換，并寫成輸出輸入信號(hào)之比的形式，得:

ll

[1-(1-aT)z-]U(z)=aTZ-E(z)

U(z)aTz-la

。⑵=

磯z)(z-l)/T+〃

將。⑸和。⑵作一比較

a?、a

(z—1)/乃+。

結(jié)論：用前向矩形規(guī)則進(jìn)行離散化，即用信-7〃"弋替。同)中的S。

15計(jì)算機(jī)捽制技術(shù)東南大學(xué)門動(dòng)化學(xué)院上貢1下二日

2)后向矩形規(guī)則(零階近似積分)

用后向矩形面積近似表示陰影部分的面積：

"(kT)=u[(k-1)T]+[-au(kT)+ae(kT)V

整理得：u(kT)=譏,一也+四生2

1+aT1+aT

兩邊求z變換：口_工二]U(z)=0二與z)

1+"1+aT

并寫成輸出輸入信號(hào)之比的形式，得：

D⑶=也=6=a

E⑶z(l+a)-1(z-l)/(Tz)+”

將。⑸和。⑵作一比較

結(jié)論：用后向矩形規(guī)則進(jìn)行離散化，即用(z-7)/々代替。(s)中的s。

3)梯形規(guī)則(一階近似積分)

用梯形面積近似表示陰影部分的面積:

u(kT)=u[(k—1)T]+—{—au[(k-1)7]+ae[(k—1)T]—au(kT)+ae(kT)}

2r_

整理得：u(kT)=1一("/二u[(k-1)T]+”/2—{e[(k_i)r]+式⑺)

1+(江/2)l+(〃T/2)

兩邊求z變換，并寫成輸出輸入信號(hào)之比的形式，得:

U⑺“T(z+1)_a

D(z)二

E⑺(z+")z+〃T-22z-l

I

Tz+1

將O(s)和O(z)作一比較

a

2z-l

結(jié)論：用梯形規(guī)則進(jìn)行離散化，即用代替0(s)中的s。

17下

近似轉(zhuǎn)換公式:

z-1

前向矩形

Z—1

后向矩形~TT

2z-1

梯形規(guī)則77+1

18計(jì)算機(jī)控制技術(shù)東南大學(xué)自動(dòng)化學(xué)上一頁下一頁

數(shù)值積分法的等效方法——數(shù)值微分法

數(shù)值微分法的基本思想描述

用一階前向

即二微分方程令＞差分方程

計(jì)算微分兩邊求z變換并表,D⑵

示成輸出輸入信號(hào)

z變換之比的形式

一階前向差分

數(shù)值微分法

一階后向差分

f-__I.t上一頁下一頁

I東南大字k

|-算為制1技術(shù)

19|J1一|，UJI>1*JI

一階向前差分法

￡>(s)=U(s)/E(s)=1/sdu(t)/dt=e(，)

將連續(xù)域中的微分

du(t)/dt^{u[(k+l)T]-u(kT)}/T

用一階向前差分替換

u[(k+1)T]—u(kT)=Te(kT)

做Z變換，得(Z—l)U(z)=TE(z)

D(z)=U(z)/￡(z)=T/(z—1)

s與z之間的變換關(guān)系

zu上一頁下一頁

一階向后差分法

O(s)=U(s)/E(s)=\/sdu(t)/dt=e。)

將連續(xù)域中的微分du(t)/dt=[u(kT)-u[(k-1)7]]/T

用一階向后差分替換

u(kT)—u[(k—1)T]=Te(kT)

做Z變換，得u(z)-z~xu(z)=TE⑺

。⑶=U(z)/磯z)=T/(l—zf

下一頁

近似轉(zhuǎn)換公式:

Z-1

前向矩形或z=l+Ts

Z-11

后向矩形

~TT或1-Ts

2z-1

梯形規(guī)則-l+Ts/2

或z二----------

FT+il-Ts/2

22解-4—大1_宇.上一頁下一頁

近似轉(zhuǎn)換公式——另一種簡便推導(dǎo)法

根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)展開，取一階近似

/(%)=/(0)+/(0)%

注意到ex^e°+e°x

前向矩形z=eTs-1+Ts

T11

后向矩形z=e'=-j-之------

L1-Ts

Tsi2

_^Ts_e1+Ts/2

梯形規(guī)則Z-6--Ts/2

e?\-Ts/2

23計(jì)算機(jī)捽制東南大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院上一頁下一頁

例：分別用前向矩形規(guī)則、后向矩形規(guī)則和梯形規(guī)則對(duì)

0(s)進(jìn)行離散化，并求其極點(diǎn).設(shè)采樣周期7=1秒。

1

D(s)=

1+0.4S+0.68

解：(1)用前向矩形規(guī)則進(jìn)行離散化

]

。前(z)=O(s)z-l

s=-----2

T(Z-1)+0.4(Z-1)+0.68

1

(z-0.8-jO.8)(z-O.8+j0.8)

24上一頁下一頁

(2)用后向矩形規(guī)則進(jìn)行離散化

1

。后(z)=O(s)二1

-12-1

Tz(1-z)+0.4(1-z)+0.68

1

(z-0.576-J0.384)(z-0.576+J0.384)

(3)用梯形規(guī)則進(jìn)行離散化

1

。梯(z)=O(S)L=23=——?

Z~1

L+1(2-—)29+0.4(2--)+0.68

z+1z+1

0.182(z+l)2

(z-0.606-J0.584)(z-0.606+yO.584)

25計(jì)算上上一頁下一頁

(4)求極點(diǎn)。各D(z)的極點(diǎn)分別為:

D前⑵的極點(diǎn)：Z=O.8±JO.8=1.13/±^M=1.13/±452

D后(z)的極點(diǎn):z=0.576±yO.384=0.693/±0.58=0.693/±33.7°

D梯(z)的極點(diǎn):z=0.606±jO.584=0.841/±0.767=0.841/±43.94!

原系統(tǒng)極點(diǎn)：z=0.819/±45.842

原D(s)的極點(diǎn):5=-0.2±J0.8T=1

(-0.2±J0.8)

「?z=e

z=0.819/108=0.819/1452842

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26

三種轉(zhuǎn)換規(guī)則的特性——穩(wěn)定域轉(zhuǎn)換

轉(zhuǎn)換公式Z的表達(dá)式的形式

z-1z=1+Ts

前向矩形s二---------

T

Z-1

后向矩形s=-----

Tz1-Ts

l+Ts/2

X-Ts/2

27(a)前向矩形規(guī)則(b)后向矩形規(guī)則(c)梯形規(guī)則

前向矩形規(guī)則——一階向前差分法

主要特性—j7

①界面與Z平面映射關(guān)系z=i+/s,平移放大關(guān)系

②若D(s)穩(wěn)定，則D(z)不一

定穩(wěn)定［改進(jìn)方法是適當(dāng)

由于這種變換的映射關(guān)系畸變嚴(yán)重，不能保證。(z)一定穩(wěn)

定，或者如要保證穩(wěn)定，要求采樣周期較小，所以應(yīng)用較少。

28計(jì)算機(jī)捽制技術(shù)—J化學(xué)斷(上一頁||下一］

后向矩形規(guī)則——一階向后差分法

111(1+Ts)

z----------——I-----------------

主要特性l—Ts22(1—Ts)

①，面與Z平面映射關(guān)系

□當(dāng)o=0,s平面虛軸映射到z平s=a+ja)

面為小圓的圓周。

222

□當(dāng)o>0(s右半平面)，映射_￡_1(1+CTT)+(^T)

至!Jz平面為上述小圓的外部。Z~2-4(l-crT)2+(6yT)2

□當(dāng)ovO(s左半平面)，映射

到Z平面為上送小圓的內(nèi)部。

②變換前后，穩(wěn)態(tài)增益不變一

③若D(s)穩(wěn)定，則。(z)一定穩(wěn)

定

④離散后控制器的時(shí)間響應(yīng)與

頻率響應(yīng)，與連續(xù)控制器相

比宥相當(dāng)大的畸變。

上一頁下一頁

后向矩形規(guī)則——一階向后差分法

111(1+Ts)

~1-Ts~22(1-Ts)

由于這種變換的映射關(guān)系畸變嚴(yán)重，變換精度

較低。所以，工程應(yīng)用受到限制，用得較少。

30東南大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院上一頁下一頁

(T\,OJT

梯形規(guī)則——雙線性變換法1+—C7

I2)

主要特性

①界面與Z平面映射關(guān)系

□當(dāng)0=0（s平面虛軸）映射

為評(píng)面的單位圓周。

□當(dāng)o>0（s右半平面），

映射到平面單位圓外。

z(07丫

□當(dāng)ovO（s左半平面），1——(T+-

I2)I2)

映射到z平面單位圓內(nèi)。

②若D（s）穩(wěn)定，則D（z）一

定穩(wěn)定

31計(jì)算機(jī)拴制技才上一頁下一頁

梯形規(guī)則—雙線性變換法

③變換前后，穩(wěn)態(tài)增益不變。-O(s)K=O(z)K

④雙線性變換后D(z)的階次不

變，且分子、分母具有相同的

階次。

并有下式成立:

D（e，）0二。

2

32上一頁下一頁

梯形規(guī)則一雙線性變換法

⑤頻率畸變：雙線性變換的一對(duì)一映射，保證了離散頻率

特性不產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，但產(chǎn)生了頻率畸變。

s=2(z-D

z域角頻率為。。

S域角_頻率_

??_~~~Xx/

「-如