2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)講義第16講拉格朗日中值定理在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用(高階拓展、競賽適用)(學(xué)生版+解析)

拉格朗日中值定理在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用（高階拓展、競賽適用）（2類核心考點(diǎn)精講精練）命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的載體內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為15-17分【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)基本問題2能理解拉格朗日中值定理及其幾何意義3能運(yùn)用拉格朗日中值定理解題【命題預(yù)測】近幾年，以高等數(shù)學(xué)為背景的高考命題成為熱點(diǎn).許多省市模擬卷及高考試卷有關(guān)導(dǎo)數(shù)的題目往往可以用拉格朗日中值定理解答。本文為高階拓展內(nèi)容，利用拉格朗日中值定理解題，能體現(xiàn)高觀點(diǎn)解題的好處，需學(xué)生靈活學(xué)習(xí)知識(shí)講解1.拉格朗日（Lagrange）中值定理若函數(shù)f（x）滿足如下條件：（1）f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；（2）f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)．則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得．2.拉格朗日中值定理的幾何意義如圖所示，在滿足定理?xiàng)l件的曲線上至少存在一點(diǎn)P（ξ，f（ξ）），該曲線在該點(diǎn)處的切線平行于曲線兩端的連線．需要注意的地方（逆命題不成立）

拉格朗日中值定理沒有逆定理,即對曲線的任一切線,并不一定存在割線,使割線斜率等于

切線斜率,如fx=x3在拉格朗日公式還有下面幾種等價(jià)形式，，．注：拉格朗日公式無論對于還是都成立，而ξ則是介于a與b之間的某一常數(shù)．顯然，當(dāng)時(shí)，．考點(diǎn)一、拉格朗日中值定理的認(rèn)知及簡單應(yīng)用1．（23-24高三上·陜西漢中·階段練習(xí)）拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，定理內(nèi)容是：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使得成立，其中c叫做在上“拉格朗日中值點(diǎn)”，根據(jù)這個(gè)定理，判斷函數(shù)在區(qū)間上的“拉格朗日中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為.2．（2024高三上·全國·專題練習(xí)）拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，其定理陳述如下：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)，使得稱為函數(shù)在閉區(qū)間上的中值點(diǎn)，若關(guān)于函數(shù)在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為m，函數(shù)在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為n，則有（

）（參考數(shù)據(jù)：.）A．1 B．2 C．0 D．3．（2024高三上·全國·專題練習(xí)）已知，，(1)若在處取得極值，試求的值和的單調(diào)增區(qū)間；(2)如圖所示，若函數(shù)的圖象在連續(xù)光滑，試猜想拉格朗日中值定理：即一定存在，使得，利用這條性質(zhì)證明：函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)的連線斜率不小于．1．（23-24高二下·廣東東莞·階段練習(xí)）法國數(shù)學(xué)家拉格朗日于1797年在其著作《解析函數(shù)論》中給出了一個(gè)定理，具體如下．如果函數(shù)滿足如下條件．（1）在閉區(qū)間上是連續(xù)的；（2）在開區(qū)間上可導(dǎo)則在開區(qū)間上至少存在一點(diǎn)ξ，使得成立，此定理即“拉格朗日中值定理”，其中ξ被稱為“拉格朗日中值”．則在區(qū)間上的“拉格朗日中值”．2．（2024·河北衡水·三模）已知．(1)求的單調(diào)區(qū)間和最值；(2)定理：若函數(shù)在上可導(dǎo)，在上連續(xù)，則存在，使得．該定理稱為“拉格朗日中值定理”，請利用該定理解決下面問題：若，求證：．3．（2024·山西·三模）微分中值定理是微積分學(xué)中的重要定理，它是研究區(qū)間上函數(shù)值變化規(guī)律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的內(nèi)容如下:如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間可導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)為，那么在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，其中叫做在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”.已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”；(2)若，求證:函數(shù)在區(qū)間圖象上任意兩點(diǎn)，連線的斜率不大于；(3)若，且，求證:.考點(diǎn)二、拉格朗日中值定理在導(dǎo)數(shù)中的綜合應(yīng)用設(shè),求證:當(dāng)時(shí),對任意,有設(shè),當(dāng)時(shí),若對任意的成立,求的取值范圍設(shè),若對任意,都有,求的范圍1．（2024·天津·高考真題）設(shè)函數(shù)．(1)求圖象上點(diǎn)處的切線方程；(2)若在時(shí)恒成立，求的值；(3)若，證明．2．（2024·山東濟(jì)寧·一模）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，證明：對任意，存在唯一的實(shí)數(shù)，使得成立；(3)設(shè)，，數(shù)列的前項(xiàng)和為．證明：．3．（高三上·遼寧撫順·階段練習(xí)）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最大值；（2）設(shè),證明.1．（2022高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)設(shè)，證明：對任意，，．2．（21-22高二下·廣東深圳·期中）已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)任取兩個(gè)正數(shù)，當(dāng)時(shí)，求證：.3．（22-23高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：4．（23-24高三上·陜西西安·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)試判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)已知函數(shù)，若有且只有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，證明：.5．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.6．（2023·山東淄博·二模）已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證：.7．（2024高三上·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)當(dāng)，時(shí)，證明：.8．（23-24高三上·天津?qū)幒印て谀┮阎瘮?shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．9．（23-24高二上·陜西西安·期末）已知函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，，且有兩個(gè)極值點(diǎn)，分別為和，求的最大值.10．（2022高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)是．對任意兩個(gè)不相等的正數(shù)、，證明：(1)當(dāng)時(shí)，；(2)當(dāng)時(shí)，．11．（21-22高二下·安徽合肥·期中）已知函數(shù)（為常數(shù)）(1)討論的單調(diào)性(2)若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求的范圍.12．（22-23高二下·河南洛陽·期末）已知函數(shù)（a為常數(shù)）．(1)若函數(shù)是增函數(shù)，求a的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，（），求的范圍．13．（2023·湖南常德·一模）已知函數(shù)（）.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求的取值范圍.14．（21-22高二下·天津·期中）已知函數(shù)(1)若，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；(3)設(shè)f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)且，若求證：.15．（2023·天津河西·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若函數(shù)為增函數(shù)，求的取值范圍；(2)已知.（i）證明：；（ii）若，證明：.16．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且在處取得極大值．(1)求的值與的單調(diào)區(qū)間．(2)如圖，若函數(shù)的圖像在連續(xù)，試猜想拉格朗日中值定理，即一定存在，使得，求的表達(dá)式〔用含的式子表示〕．(3)利用這條性質(zhì)證明：函數(shù)圖像上任意兩點(diǎn)的連線斜率不大于．17．（2024·湖北襄陽·三模）柯西中值定理是數(shù)學(xué)的基本定理之一，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.定理內(nèi)容為：設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)滿足:①圖象在上是一條連續(xù)不斷的曲線；②在內(nèi)可導(dǎo);③對，，則，使得.特別的，取，則有：，使得，此情形稱之為拉格朗日中值定理.(1)設(shè)函數(shù)滿足，其導(dǎo)函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明：函數(shù)在上為增函數(shù).(2)若且，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（2024·廣東·二模）拉格朗日中值定理是微分學(xué)的基本定理之一，其內(nèi)容為：如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象連續(xù)不斷，在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為，那么在區(qū)間內(nèi)存在點(diǎn)，使得成立．設(shè)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，．易知，在實(shí)數(shù)集上有唯一零點(diǎn)，且．(1)證明：當(dāng)時(shí)，；(2)從圖形上看，函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．直接求解的零點(diǎn)是困難的，運(yùn)用牛頓法，我們可以得到零點(diǎn)的近似解：先用二分法，可在中選定一個(gè)作為的初始近似值，使得，然后在點(diǎn)處作曲線的切線，切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，稱是的一次近似值；在點(diǎn)處作曲線的切線，切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，稱是的二次近似值；重復(fù)以上過程，得的近似值序列．①當(dāng)時(shí)，證明：；②根據(jù)①的結(jié)論，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法可以證得：為遞減數(shù)列，且．請以此為前提條件，證明：．19．（23-24高二下·重慶·期中）柯西中值定理是數(shù)學(xué)的基本定理之一，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用．定理內(nèi)容為：設(shè)函數(shù)，滿足①圖象在上是一條連續(xù)不斷的曲線；②在內(nèi)可導(dǎo)；③對，．則，使得．特別的，取，則有：，使得，此情形稱之為拉格朗日中值定理．(1)設(shè)函數(shù)滿足，其導(dǎo)函數(shù)在上單調(diào)遞增，判斷函數(shù)在的單調(diào)性并證明；(2)若且，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若，求證：．20．（2024高三上·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)、，的圖象在處的切線與軸平行．(1)求，的關(guān)系式并求的單調(diào)減區(qū)間；(2)證明：對任意實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程：在,恒有實(shí)數(shù)解；(3)結(jié)合（2）的結(jié)論，其實(shí)我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)是在閉區(qū)間,上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得．如我們所學(xué)過的指、對數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理?xiàng)l件．試用拉格朗日中值定理證明：當(dāng)時(shí)，（可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性）．1．（2020·天津·高考真題）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，（i）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（ii）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：對任意的，且，有．2．（四川·高考真題）已知函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)是．對任意兩個(gè)不相等的正數(shù)、，證明：(1)當(dāng)時(shí)，；(2)當(dāng)時(shí)，拉格朗日中值定理在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用（高階拓展、競賽適用）（2類核心考點(diǎn)精講精練）命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的載體內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為15-17分【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)基本問題2能理解拉格朗日中值定理及其幾何意義3能運(yùn)用拉格朗日中值定理解題【命題預(yù)測】近幾年，以高等數(shù)學(xué)為背景的高考命題成為熱點(diǎn).許多省市模擬卷及高考試卷有關(guān)導(dǎo)數(shù)的題目往往可以用拉格朗日中值定理解答。本文為高階拓展內(nèi)容，利用拉格朗日中值定理解題，能體現(xiàn)高觀點(diǎn)解題的好處，需學(xué)生靈活學(xué)習(xí)知識(shí)講解1.拉格朗日（Lagrange）中值定理若函數(shù)f（x）滿足如下條件：（1）f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；（2）f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)．則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得．2.拉格朗日中值定理的幾何意義如圖所示，在滿足定理?xiàng)l件的曲線上至少存在一點(diǎn)P（ξ，f（ξ）），該曲線在該點(diǎn)處的切線平行于曲線兩端的連線．需要注意的地方（逆命題不成立）

拉格朗日中值定理沒有逆定理,即對曲線的任一切線,并不一定存在割線,使割線斜率等于

切線斜率,如fx=x3在拉格朗日公式還有下面幾種等價(jià)形式，，．注：拉格朗日公式無論對于還是都成立，而ξ則是介于a與b之間的某一常數(shù)．顯然，當(dāng)時(shí)，．考點(diǎn)一、拉格朗日中值定理的認(rèn)知及簡單應(yīng)用1．（23-24高三上·陜西漢中·階段練習(xí)）拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，定理內(nèi)容是：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使得成立，其中c叫做在上“拉格朗日中值點(diǎn)”，根據(jù)這個(gè)定理，判斷函數(shù)在區(qū)間上的“拉格朗日中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為.【答案】2【分析】根據(jù)拉格朗日中值定理的定義可構(gòu)造方程，解方程即可求得“拉格朗日中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù).【詳解】，，令，解得：或，在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為.故答案為：.2．（2024高三上·全國·專題練習(xí)）拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，其定理陳述如下：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)，使得稱為函數(shù)在閉區(qū)間上的中值點(diǎn)，若關(guān)于函數(shù)在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為m，函數(shù)在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為n，則有（

）（參考數(shù)據(jù)：.）A．1 B．2 C．0 D．【答案】B【分析】利用給定的定義分別求出的值，即可得解.【詳解】設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”為，由，得，則由拉格朗日中值定理得，，即，而，則，即函數(shù)在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為1，因此，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”為，由，求導(dǎo)得，由拉格朗日中值定理得，，即，令函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，則函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，即方程在區(qū)間上有1個(gè)解，因此函數(shù)在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為1，即，所以.故選：B3．（2024高三上·全國·專題練習(xí)）已知，，(1)若在處取得極值，試求的值和的單調(diào)增區(qū)間；(2)如圖所示，若函數(shù)的圖象在連續(xù)光滑，試猜想拉格朗日中值定理：即一定存在，使得，利用這條性質(zhì)證明：函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)的連線斜率不小于．【答案】(1)，和(2)證明見解析【分析】（1）利用極值的性質(zhì)求得，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義猜想拉格朗日中值定理，再利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，結(jié)合基本不等式即可得證.【詳解】（1）因?yàn)椋瑒t，依題意，有，即．所以，，令，得或，令，得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以滿足題意，同時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為和；（2）猜想如下：因?yàn)楸硎镜膬啥它c(diǎn)連線的斜率，而由題可知，上必然存在點(diǎn)，使得其切線的斜率為，即，所以一定定存在，使得；證明如下：因?yàn)?，則．由猜想可知，對于函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)，在之間一定存在一點(diǎn)，使得，又，故有.1．（23-24高二下·廣東東莞·階段練習(xí)）法國數(shù)學(xué)家拉格朗日于1797年在其著作《解析函數(shù)論》中給出了一個(gè)定理，具體如下．如果函數(shù)滿足如下條件．（1）在閉區(qū)間上是連續(xù)的；（2）在開區(qū)間上可導(dǎo)則在開區(qū)間上至少存在一點(diǎn)ξ，使得成立，此定理即“拉格朗日中值定理”，其中ξ被稱為“拉格朗日中值”．則在區(qū)間上的“拉格朗日中值”．【答案】【分析】根據(jù)拉格朗日中值滿足求解即可.【詳解】由題意，，故，即，故，又，故.故答案為：2．（2024·河北衡水·三模）已知．(1)求的單調(diào)區(qū)間和最值；(2)定理：若函數(shù)在上可導(dǎo)，在上連續(xù)，則存在，使得．該定理稱為“拉格朗日中值定理”，請利用該定理解決下面問題：若，求證：．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，取得最小值1，無最大值(2)證明見解析【分析】（1），令，求根，判斷在其左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)可得結(jié)論；（2）要證，需證，令，求導(dǎo)可得由拉格朗日中值定理知存在，使得，進(jìn)而利用（1）可證結(jié)論.【詳解】（1），令，解得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，取得最小值1，無最大值；（2）要證，只需證，因?yàn)?，故只需證．令，顯然在上可導(dǎo)，在上連續(xù)，故由拉格朗日中值定理知存在，使得，而在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，故，即，故只需證即可，因?yàn)?，故只需證．由（1）知恒成立，因此原命題得證．3．（2024·山西·三模）微分中值定理是微積分學(xué)中的重要定理，它是研究區(qū)間上函數(shù)值變化規(guī)律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的內(nèi)容如下:如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間可導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)為，那么在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，其中叫做在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”.已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”；(2)若，求證:函數(shù)在區(qū)間圖象上任意兩點(diǎn)，連線的斜率不大于；(3)若，且，求證:.【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意，解得即可；（2）不妨設(shè)，，，則，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可證明，再結(jié)合拉格朗日中值定理證明即可；（3）由拉格朗日中值定理可知只需證明，即證明在上單調(diào)遞減，求出導(dǎo)函數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得證.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)闉楹瘮?shù)在上的“拉格朗日中值點(diǎn)，則，即，解得（2）當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，，，則，又，令，則，又，所以恒成立，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，即最大值，所以，所以，由拉格朗日中值定理可知必存在使得，即，又，所以，即函數(shù)在區(qū)間圖象上任意兩點(diǎn)，連線的斜率不大于；（3）當(dāng)時(shí)，由拉格朗日中值定理知，存在和，使得，，所以只需證明，即證明在上單調(diào)遞減，又，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，令，，則，則在上單調(diào)遞增，又，，所以存在使得，所以當(dāng)時(shí)，則，即單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，則，即單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，即最大值，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，命題得證.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟（1）作差或變形；（2）構(gòu)造新的函數(shù)；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個(gè)函數(shù)的最值問題．考點(diǎn)二、拉格朗日中值定理在導(dǎo)數(shù)中的綜合應(yīng)用設(shè),求證:當(dāng)時(shí),對任意,有證明:由拉格朗日中值定理可知只需證對恒成立由,因?yàn)樗詣t設(shè),當(dāng)時(shí),若對任意的成立,求的取值范圍解:由拉格朗日中值定理,可知必存在,使得,當(dāng)且時(shí),由題意,即設(shè),若對任意,都有,求的范圍解:時(shí),等價(jià)于,由拉格朗日中值定理,存在使得,故只需恒成立即可又,所以1．（2024·天津·高考真題）設(shè)函數(shù)．(1)求圖象上點(diǎn)處的切線方程；(2)若在時(shí)恒成立，求的值；(3)若，證明．【答案】(1)(2)2(3)證明過程見解析【分析】（1）直接使用導(dǎo)數(shù)的幾何意義；（2）先由題設(shè)條件得到，再證明時(shí)條件滿足；（3）先確定的單調(diào)性，再對分類討論.【詳解】（1）由于，故.所以，，所以所求的切線經(jīng)過，且斜率為，故其方程為.（2）設(shè)，則，從而當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí).所以在上遞減，在上遞增，這就說明，即，且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，所以命題等價(jià)于對任意，都有.一方面，若對任意，都有，則對有，取，得，故.再取，得，所以.另一方面，若，則對任意都有，滿足條件.綜合以上兩個(gè)方面，知的值是2.（3）先證明一個(gè)結(jié)論：對，有.證明：前面已經(jīng)證明不等式，故，且，所以，即.由，可知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí).所以在上遞減，在上遞增.不妨設(shè)，下面分三種情況（其中有重合部分）證明本題結(jié)論.情況一：當(dāng)時(shí)，有，結(jié)論成立；情況二：當(dāng)時(shí)，有.對任意的，設(shè)，則.由于單調(diào)遞增，且有，且當(dāng)，時(shí)，由可知.所以在上存在零點(diǎn)，再結(jié)合單調(diào)遞增，即知時(shí)，時(shí).故在上遞減，在上遞增.①當(dāng)時(shí)，有；②當(dāng)時(shí)，由于，故我們可以取.從而當(dāng)時(shí)，由，可得.再根據(jù)在上遞減，即知對都有；綜合①②可知對任意，都有，即.根據(jù)和的任意性，取，，就得到.所以.情況三：當(dāng)時(shí)，根據(jù)情況一和情況二的討論，可得，.而根據(jù)的單調(diào)性，知或.故一定有成立.綜上，結(jié)論成立.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于第3小問中，需要結(jié)合的單調(diào)性進(jìn)行分類討論.2．（2024·山東濟(jì)寧·一模）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，證明：對任意，存在唯一的實(shí)數(shù)，使得成立；(3)設(shè)，，數(shù)列的前項(xiàng)和為．證明：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)對進(jìn)行分類討論即可；（2）先構(gòu)造函數(shù)，可判斷在區(qū)間上單調(diào)遞減，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)其單調(diào)性，可判斷，，進(jìn)而可判斷，，進(jìn)而結(jié)合根的存在性定理可證；（3）先令，時(shí)，，即，可得，放縮后裂項(xiàng)相消可證.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，①若，恒成立，在上單調(diào)遞增．②若，時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）證明：令，則因?yàn)?，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減．令，，則，所以，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，，又，所以，，所以恒成立，又因?yàn)椋?，所以，．同理可得，，由（時(shí)等號(hào)成立）得，，即（時(shí)等號(hào)成立），又，所以，所以恒成立，又因?yàn)?，，，所以，，所以，區(qū)間上存在唯一實(shí)數(shù)，使得，所以對任意，存在唯一的實(shí)數(shù)，使得成立；（3）證明：當(dāng)時(shí)，由（1）可得，在上單調(diào)遞減．所以，時(shí)，，即．令，，則，即，即令，，則，所以，，所以，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問證明方程在區(qū)間上具有唯一解，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，和根的存在性定理綜合判斷；第三問，先利用函數(shù)對進(jìn)行放縮，后利用裂項(xiàng)相消法證明.3．（高三上·遼寧撫順·階段練習(xí)）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最大值；（2）設(shè),證明.【答案】（1）0；(2)詳見解析.【分析】（1）先求出函數(shù)的定義域，然后對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，令導(dǎo)函數(shù)等于0求出x的值，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求出最大值．（2）先將代入函數(shù)得到的表達(dá)式后進(jìn)行整理，根據(jù)（1）可得到，將放縮變形為代入即可得到左邊不等式成立，再用根據(jù)的單調(diào)性進(jìn)行放縮．然后整理即可證明不等式右邊成立．【詳解】(1）由已知可得x>-1,-1，令0得x=0.當(dāng)-1<x<0時(shí)，>0當(dāng)x>0時(shí)，<0所以f(x)的最大值為f(0)=0（２）證明：只需證＜（ｂ－）整理得＋＜０即證＜０上式兩邊除以，整理得設(shè)＞１令Ｆ（ｘ）＝當(dāng)ｘ＞１時(shí)＜０Ｆ（ｘ）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)減，又Ｆ（１）＝０Ｆ（ｘ）＜０＝g()﹢g(b)﹣＜（b﹣）ln2.【點(diǎn)睛】考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；2.平均值不等式在函數(shù)極值中的應(yīng)用．1．（2022高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)設(shè)，證明：對任意，，．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的方程即可；（2）利用題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為證，構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)推證.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，切點(diǎn)為求導(dǎo)，切線斜率曲線在處的切線方程為．（2），的定義域?yàn)?，求?dǎo)，在上單調(diào)遞減．不妨假設(shè)，∴等價(jià)于．即．令，則．，，．從而在單調(diào)減少，故，即，故對任意．【點(diǎn)晴】方法點(diǎn)睛：本題考查的是導(dǎo)數(shù)知識(shí)在研究函數(shù)單調(diào)性和極值等方面的綜合運(yùn)用和分析問題解決問題的能力，本題的第一問借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；第二問求解時(shí)先構(gòu)造函數(shù)，然后再對函數(shù)求導(dǎo)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)研究函數(shù)的單調(diào)性，然后運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，從而使得問題簡捷巧妙獲證．2．（21-22高二下·廣東深圳·期中）已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)任取兩個(gè)正數(shù)，當(dāng)時(shí)，求證：.【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式求出定義域以及導(dǎo)數(shù)，對參數(shù)進(jìn)行討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)取值情況得出函數(shù)的單調(diào)性；（2）求出，運(yùn)用分析法將需要證明成立的不等式轉(zhuǎn)化，再利用換元法寫出表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而證明原不等式成立.【詳解】（1）.當(dāng)時(shí)，，令，得；令，得.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)，即時(shí)，令，得或；令，得.所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)，即時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)，即時(shí)，令，得或；令，得.所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明：由題意得，.要證，只需證，即證，即證.令，所以只需證在上恒成立，即證在上恒成立.令，則，令，則.所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以.所以.3．（22-23高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并設(shè)，討論函數(shù)的對稱軸和最小值，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性.（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，可知，，并且由韋達(dá)定理得到，，并將不等式整理為，再利用換元，并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可證明.【詳解】（1），令，注意到，對稱軸，故，（i）當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)在上單調(diào)遞增，即，從而，即在上單調(diào)遞增；（ii）當(dāng)時(shí)，，若，即時(shí)，恒成立，從而，即在上單調(diào)遞增；若，即時(shí)，存在有，其中，，從而在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增；綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）證明：由（1）可知，要使有兩個(gè)極值點(diǎn)，則，此時(shí)滿足，，不妨設(shè)，此時(shí)有，從而原不等式轉(zhuǎn)化為：將及代入有：，化簡即得：，即證，由，可得，令，設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，，故原不等式成立【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查討論函數(shù)單調(diào)性和雙變量，證明不等式問題，本題第二問的關(guān)鍵是利用韋達(dá)定理，得及，從而代入不等式，進(jìn)行消元，轉(zhuǎn)化為，才可構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)行證明.4．（23-24高三上·陜西西安·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)試判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)已知函數(shù)，若有且只有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，證明：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）分和兩種情況討論，即可求得函數(shù)的單調(diào)性；（2）將轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)，即證，構(gòu)造函數(shù)，證明其小于0即可.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，定義域?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，即，解得，令，解得或，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（2）由題可知，，，因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以是的兩個(gè)根，則，所以，所以，要證，即證，即證，即證，即證，令，則證明，令，則，所以，在上單調(diào)遞增，則，即，所以原不等式成立．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}，注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．5．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）結(jié)合已知條件分、、三種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化，即可得出原函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）分析可得，構(gòu)造函數(shù)，即在上恒成立，可得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最小值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：依題意，令，，則，令，解得或.當(dāng)時(shí)，即時(shí)，恒成立且不恒為零，所以，函數(shù)的增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，由可得或，由可得，所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，由可得或，由可得.所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.（2）解：當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，且.因?yàn)椋?，則不等式可化為，即.令，則問題等價(jià)于函數(shù)在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，即，.令，，則.令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，且，所以當(dāng)時(shí)，，所以.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.6．（2023·山東淄博·二模）已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）因參數(shù)在函數(shù)的位置特殊，考慮到參數(shù)變化時(shí)，函數(shù)定義域在變化，導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)也在變化，所以比較時(shí)候需要兼顧零點(diǎn)在不在定義域上，也需要考慮零點(diǎn)之間的大小比較.（2）對含參的雙變量問題，核心在于消元，本問通過，，之間的關(guān)系，把證明轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的單調(diào)性問題，在結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即證.【詳解】（1）易知函數(shù)的定義域?yàn)?又.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減.（2）由，則，由題意知是方程的兩根，因此，，，且，.所以，把，代入得要證，只需證明，即，也即.令，，由，得.設(shè)，要證.因?yàn)?，，在上單調(diào)遞減，所以，，即證.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：（1）求含參函數(shù)單調(diào)區(qū)間，需考慮導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)與定義域的關(guān)系，不同零點(diǎn)直接的大小，依次分類即可.（2）對于題目涉及到的兩個(gè)變元，已知中一個(gè)變元在題設(shè)給定的范圍內(nèi)任意變動(dòng)，求另一外變元的取值范圍問題，這類問題我們稱之不“偽雙變量”問題.這種“偽雙變量”問題，往往會(huì)利用我們將字母x作為自變量的誤區(qū)來進(jìn)行設(shè)計(jì).此時(shí)，我們變更一元思路，將另一個(gè)變量作為自變量，從而使問題得以解決，我們稱這種方法為變更主元法.7．（2024高三上·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)當(dāng)，時(shí)，證明：.【答案】(1)有極大值，極小值(2)證明見解析【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值；（2）首先不等式變形為，再利用導(dǎo)數(shù)變形為，再轉(zhuǎn)化為證明，證法1，不等式變形為，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可證明；證法2，不等式變形為，再利用換元構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)最值，即可證明不等式.【詳解】（1）由題意，，，所以當(dāng)時(shí)，，，由解得：或，由解得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故有極大值，極小值.（2）由題意，，，要證，只需證，而，，所以只需證，即證①，下面給出兩種證明不等式①的方法：證法1：要證，只需證，即證，令，則，所以在上單調(diào)遞增，顯然，所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，即，?證法2：要證，只需證，即證，令，則，所以只需證當(dāng)時(shí)，，即證，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以成立，即，故【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：第二問的思路首先是變形不等式，根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合最值，即可證明.8．（23-24高三上·天津?qū)幒印て谀┮阎瘮?shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．【答案】(1)(2)答案見解析(3)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，然后求出，，根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線方程；（2）求導(dǎo)，然后分和討論求的單調(diào)區(qū)間；（3）根據(jù)極值點(diǎn)為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，令，利用韋達(dá)定理將用表示，代入，構(gòu)造函數(shù)求其最值即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，得，則，，所以切線方程為，即；（2），當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，無減區(qū)間，當(dāng)時(shí)，令，得，單調(diào)遞增，令，得，單調(diào)遞減，綜合得：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為；（3），則，因?yàn)槭呛瘮?shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，即是方程的兩不等正根，所以，得，令，則，得，則，所以，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對于雙變量問題，我們需要通過換元轉(zhuǎn)化為單變量問題，本題就是利用韋達(dá)定理，令達(dá)到消元的目的，常用的換元有等.9．（23-24高二上·陜西西安·期末）已知函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，，且有兩個(gè)極值點(diǎn)，分別為和，求的最大值.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；(2)【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可求解；（2）首先利用極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，得到，，并通過變形得到，利用換元構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求的最值，即可求解函數(shù)的最大值.【詳解】（1）若，，令，得或，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2），令，可得，由題意可得，是關(guān)于方程的兩個(gè)實(shí)根，所以，，由，有，所以，將代入上式，得，同理可得，所以，，①，令,①式化為，設(shè)，即，，記，則，記，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，在上單調(diào)遞增，所以，所以，在上單調(diào)遞減，又，，當(dāng)時(shí)，的最小值為4，即的最小值為2，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，的最大值為，所以的最大值為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是，并利用換元構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，第二個(gè)關(guān)鍵是求的最值.10．（2022高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)是．對任意兩個(gè)不相等的正數(shù)、，證明：(1)當(dāng)時(shí)，；(2)當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）先化簡與，利用基本不等式分項(xiàng)進(jìn)行證明，再綜合作答；（2）先用分析法找出特征式的等價(jià)不等式，再構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值即可證明.【詳解】（1）證明：（1）由，得：，，而①又，所以②因?yàn)椋?，因?yàn)?，③由①、②、③，得：，即．?）證明：由，得則要證，只需證即可.下面證明對任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，，有恒成立.即證成立，因?yàn)椋O(shè)，，則，令，得，列表如下：0單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以所以即對任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，，恒有【點(diǎn)睛】對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，如本題中（2）問分離參數(shù)，得到．3、根據(jù)恒成求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分類參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，難度較大，如本題中利用換元思想（）構(gòu)造函數(shù).11．（21-22高二下·安徽合肥·期中）已知函數(shù)（為常數(shù)）(1)討論的單調(diào)性(2)若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求的范圍.【答案】(1)答案見解析.(2)【分析】（1）求出，再根據(jù)判別式來分類討論求解；（2）求導(dǎo)得到韋達(dá)定理，再化簡，設(shè)，求出的最值即得解.【詳解】（1）∵，，當(dāng)時(shí)，，，在定義域上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在定義域上，時(shí)，在定義域上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令得，，，時(shí)，；時(shí)，則在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上可知：當(dāng)時(shí)，在定義域上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（其中，）（2）由（1）知有兩個(gè)極值點(diǎn)，則，的二根為，則，，，設(shè)，又，∴.則，，∴在遞增，.即的范圍是【方法點(diǎn)睛】關(guān)于雙變量的問題，一般轉(zhuǎn)化成單變量的函數(shù)問題來解決.本題就是把雙變量的化成關(guān)于的函數(shù)再來解答.12．（22-23高二下·河南洛陽·期末）已知函數(shù)（a為常數(shù)）．(1)若函數(shù)是增函數(shù)，求a的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，（），求的范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，由基本不等式求出最值，得到答案；（2）根據(jù)函數(shù)有兩個(gè)不相等的極值點(diǎn)得到，故，變形得到函數(shù)，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，得到的值域?yàn)?，得到答?【詳解】（1）的定義域?yàn)?，，若函?shù)為增函數(shù)，則在上恒成立，所以對任意恒成立，即對任意恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，解得，故a的取值范圍是；（2）若在定義域內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則是方程，即的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，從而得到，即，又，故，，令，則，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即的值域?yàn)椋缘姆秶?【點(diǎn)睛】分離參數(shù)法基本步驟為：第一步：首先對待含參的不等式問題在能夠判斷出參數(shù)的系數(shù)正負(fù)的情況下，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個(gè)一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式，第二步：先求出含變量一邊的式子的最值，通常使用導(dǎo)函數(shù)或基本不等式進(jìn)行求解.第三步：由此推出參數(shù)的取值范圍即可得到結(jié)論.13．（2023·湖南常德·一模）已知函數(shù)（）.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求的取值范圍.【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，先對函數(shù)求導(dǎo)得（），再結(jié)合二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)分類討論，，時(shí)，的符號(hào)，從而得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)（1）和韋達(dá)定理得到，，結(jié)合化簡得到，，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的值域，即可求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，又，，令，得，?dāng)時(shí)，時(shí)，，所以在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，方程的，①當(dāng)時(shí)，，則，所以在單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，，令，得，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；（2）由（1）得，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則，且，，即，；故，，令，則，所以在上單調(diào)遞減；即，故，綜上所述：的取值范圍為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：破解含雙參不等式證明題的3個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)（1）轉(zhuǎn)化：即由已知條件入手，尋找雙參所滿足的關(guān)系式，并把含雙參的不等式轉(zhuǎn)化為含單參的不等式；（2）巧構(gòu)造函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值或值域；（3）回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.14．（21-22高二下·天津·期中）已知函數(shù)(1)若，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；(3)設(shè)f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)且，若求證：.【答案】(1)；(2)答案見解析；(3)證明見解析.【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出答案；（2）先得到導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而討論的零點(diǎn)分布，然后求出答案；（3）根據(jù)題意可以得到存在兩個(gè)互異的正實(shí)數(shù)根，然后通過根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，則有，進(jìn)而可以得到，然后探討函數(shù)的最值，最后證明問題.【詳解】（1）若，則，所以，又，所以，即f（x）在點(diǎn)（1，0）處的切線斜率為2，所以切線方程為.（2）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），，設(shè)，其.①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，即，此時(shí)f（x）在（0，+∞）為單調(diào)遞增函數(shù).②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，設(shè)兩根為.當(dāng)時(shí)，，即，即f（x）的增區(qū)間為，.當(dāng)時(shí)，，即，即f（x）的減區(qū)間為.綜上：當(dāng)時(shí)，f（x）的單增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，f（x）的增區(qū)間為減區(qū)間為().（3）由（2），因?yàn)閒（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)，所以存在兩個(gè)互異的正實(shí)數(shù)根，所以，則，所以，所以.令，則，∵，∴，∴在上單調(diào)遞減，∴，而，即，∴.【點(diǎn)睛】本題第（3）是典型的雙變量問題，可以作為范題，本題的要領(lǐng)在于通過根與系數(shù)的關(guān)系將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，平常注意歸納總結(jié).15．（2023·天津河西·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若函數(shù)為增函數(shù)，求的取值范圍；(2)已知.（i）證明：；（ii）若，證明：.【答案】(1)(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析【分析】（1）分析可得原題意等價(jià)于對恒成立，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)求最值結(jié)合恒成立問題運(yùn)算求解；（2）（i）取，根據(jù)題意分析可得，構(gòu)建，結(jié)合導(dǎo)數(shù)證明即可；（ii）根據(jù)題意分析可得，，，構(gòu)建，結(jié)合導(dǎo)數(shù)證明，即可得結(jié)果.【詳解】（1）∵，則，若是增函數(shù)，則，且，可得，故原題意等價(jià)于對恒成立，構(gòu)建，則，令，解得；令，解得；則在上遞增，在遞減，故，∴的取值范圍為.（2）（i）由（1）可知：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，∵，則，即，整理得，構(gòu)建，則，令，解得；令，解得；則在上遞減，在遞增，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，令，可得，綜上；（ii）∵，則，可知有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，由（1）知，可得，同理可得，構(gòu)建，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；且，故對恒成立，故在上單調(diào)遞減，∵，則，即，且，則，故，可得；又∵，由（i）可得，即，則，且，則，可得；綜上所述：.可得，則故.【點(diǎn)睛】方法定睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟(1)作差或變形．(2)構(gòu)造新的函數(shù)h(x)．(3)利用導(dǎo)數(shù)研究h(x)的單調(diào)性或最值．(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個(gè)函數(shù)的最值問題．16．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且在處取得極大值．(1)求的值與的單調(diào)區(qū)間．(2)如圖，若函數(shù)的圖像在連續(xù)，試猜想拉格朗日中值定理，即一定存在，使得，求的表達(dá)式〔用含的式子表示〕．(3)利用這條性質(zhì)證明：函數(shù)圖像上任意兩點(diǎn)的連線斜率不大于．【答案】(1)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．(2)猜想，(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)在處取得極大值得，求出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由斜率公式求出連線的斜率，結(jié)合函數(shù)圖像及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得結(jié)果；（3）求出，利用基本不等式求出的最大值，根據(jù)（2）的結(jié)論可得結(jié)果.【詳解】（1）由，得．由題意，得，解得，則．令，即，解得，令，即，解得，所以在和上分別單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．所以滿足題意，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）猜想如下：．因?yàn)楸硎镜膱D像上兩端點(diǎn)連線的斜率，所以由圖像可知，曲線上至少存在一點(diǎn)且，使得曲線在該點(diǎn)處的切線與的圖像上兩端點(diǎn)的連線平行．設(shè)切線的斜率為，即，故一定存在，使得．（3）證明：由（1）可知，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．由猜想可知，對于函數(shù)圖像上任意兩點(diǎn)，在之間一定存在一點(diǎn)，使得．又所以．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：（1）求函數(shù)定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）令導(dǎo)數(shù)解不等式，（4）結(jié)合定義域?qū)懗鰡握{(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間.17．（2024·湖北襄陽·三模）柯西中值定理是數(shù)學(xué)的基本定理之一，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.定理內(nèi)容為：設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)滿足:①圖象在上是一條連續(xù)不斷的曲線；②在內(nèi)可導(dǎo);③對，，則，使得.特別的，取，則有：，使得，此情形稱之為拉格朗日中值定理.(1)設(shè)函數(shù)滿足，其導(dǎo)函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明：函數(shù)在上為增函數(shù).(2)若且，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由柯西中值定理可得對，，，結(jié)合的單調(diào)性即可求解；（2）取，，由柯西中值定理，成立，設(shè)，利用導(dǎo)函數(shù)求解的最大值即可得.【詳解】（1）由題，由柯西中值定理知：對，，使得，，又在上單調(diào)遞增，則，則，即，所以，故在上為增函數(shù)；（2），取，，因?yàn)?，所以由柯西中值定理，，使得，由題則有：，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查柯西中值定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于充分理解和把握柯西中值定理的內(nèi)涵，構(gòu)造與之匹配的結(jié)構(gòu)，運(yùn)用定理進(jìn)行解析式的簡化，達(dá)到透過現(xiàn)象抓住本質(zhì)的目的.18．（2024·廣東·二模）拉格朗日中值定理是微分學(xué)的基本定理之一，其內(nèi)容為：如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象連續(xù)不斷，在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為，那么在區(qū)間內(nèi)存在點(diǎn)，使得成立．設(shè)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，．易知，在實(shí)數(shù)集上有唯一零點(diǎn)，且．(1)證明：當(dāng)時(shí)，；(2)從圖形上看，函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．直接求解的零點(diǎn)是困難的，運(yùn)用牛頓法，我們可以得到零點(diǎn)的近似解：先用二分法，可在中選定一個(gè)作為的初始近似值，使得，然后在點(diǎn)處作曲線的切線，切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，稱是的一次近似值；在點(diǎn)處作曲線的切線，切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，稱是的二次近似值；重復(fù)以上過程，得的近似值序列．①當(dāng)時(shí)，證明：；②根據(jù)①的結(jié)論，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法可以證得：為遞減數(shù)列，且．請以此為前提條件，證明：．【答案】(1)證明見解析；(2)①證明見解析；②證明見解析.【分析】（1）因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，所以任意，有，另一方面，注意到，即，根據(jù)拉格明日中值定理，即可證明結(jié)論.（2）①利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行證明即可；②根據(jù)①，及前面的結(jié)論，，，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，結(jié)合拉格朗日中值定理證明結(jié)論.【詳解】（1）由在R上單調(diào)遞增，得任意，有，又由，得，根據(jù)拉格明日中值定理，存在，，因?yàn)?，所以，，所以?）①先證，在處，曲線的切線方程為，令，得，即，由于，在R上單調(diào)遞增，則，而，則有，所以，即；再證：，由于在R上單調(diào)遞增，只需證，曲線的切線方程為，即，根據(jù)的定義，，令，，，，于是在上單調(diào)遞減，而，因此，又，即，所以，綜上.②由在R上單調(diào)遞增，，得，則，由①，及前面的結(jié)論，，，令，則，記，則當(dāng)時(shí)，，根據(jù)拉格朗日中值定理，，，，即，于是，累乘得，所以【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)y=f(x)是區(qū)間D上的可導(dǎo)函數(shù)，則曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線方程為：.19．（23-24高二下·重慶·期中）柯西中值定理是數(shù)學(xué)的基本定理之一，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用．定理內(nèi)容為：設(shè)函數(shù)，滿足①圖象在上是一條連續(xù)不斷的曲線；②在內(nèi)可導(dǎo)；③對，．則，使得．特別的，取，則有：，使得，此情形稱之為拉格朗日中值定理．(1)設(shè)函數(shù)滿足，其導(dǎo)函數(shù)在上單調(diào)遞增，判斷函數(shù)在的單調(diào)性并證明；(2)若且，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若，求證：．【答案】(1)在上單調(diào)遞增,證明見解析；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，得取由恒成立，得在上單調(diào)遞增，由即得結(jié)論；（2）先將題設(shè)不等式轉(zhuǎn)化成，利用柯西中值定理，將表示成的形式，從而得，不等式恒成立，構(gòu)造函數(shù)求出最大值即得；（3）將待證不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，對于左式，運(yùn)用柯西中值定理得到，再根據(jù)范圍進(jìn)行放縮即可得證.【詳解】（1）不妨取，則在上單調(diào)遞增.證明：因，，令，因在上單調(diào)遞增，則，在上恒成立，故在上單調(diào)遞