2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)課時(shí)分層作業(yè)16拋物線的幾何性質(zhì)二含解析新人教B版選修2-1

PAGE1-課時(shí)分層作業(yè)(十六)拋物線的幾何性質(zhì)(二)(建議用時(shí)：60分鐘)[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]一、選擇題1．過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則|AF|·|BF|的最小值是()A．2B.eq\r(2)C．4D．2eq\r(2)C[設(shè)直線AB的傾斜角為θ，可得|AF|＝eq\f(2,1－cosθ)，|BF|＝eq\f(2,1＋cosθ)，則|AF|·|BF|＝eq\f(2,1－cosθ)×eq\f(2,1＋cosθ)＝eq\f(4,sin2θ)≥4.]2．已知拋物線x2＝ay與直線y＝2x－2相交于M，N兩點(diǎn)，若MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則此拋物線方程為()A．x2＝eq\f(3,2)y B．x2＝6yC．x2＝－3y D．x2＝3yD[設(shè)點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝ay，,y＝2x－2))消去y，得x2－2ax＋2a＝0，所以eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(2a,2)＝3，即a＝3，因此所求的拋物線方程是x2＝3y.]3．已知拋物線y2＝2x的弦AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為eq\f(3,2)，則|AB|的最大值為()A．1B．2C．3D．4D[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝3，利用拋物線的定義可知，|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋1＝4，由圖可知|AF|＋|BF|≥|AB|?|AB|≤4，當(dāng)且僅當(dāng)直線AB過焦點(diǎn)F時(shí)，|AB|取得最大值4.]4．直線4kx－4y－k＝0與拋物線y2＝x交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝4，則弦AB的中點(diǎn)到直線x＋eq\f(1,2)＝0的距離等于()A.eq\f(7,4)B．2C.eq\f(9,4)D．4C[易知直線4kx－4y－k＝0過拋物線y2＝x的焦點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))，∴|AB|為焦點(diǎn)弦．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB中點(diǎn)Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝4.∴eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(7,4).∴AB中點(diǎn)到直線x＋eq\f(1,2)＝0的距離為eq\f(7,4)＋eq\f(1,2)＝eq\f(9,4).]5．已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，且與圓x2＋y2＝4相交的公共弦長(zhǎng)等于2eq\r(3)，則拋物線的方程為()A．y2＝3x或y2＝－3x B．y2＝－3xC．y2＝6x D．y2＝6x或y2＝－6xA[設(shè)所求拋物線的方程為y2＝2mx(m≠0)，設(shè)交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，則|y1|＋|y2|＝2eq\r(3)，即y1－y2＝2eq\r(3)，由對(duì)稱性知y2＝－y1，∴y1＝eq\r(3).將y1＝eq\r(3)代入x2＋y2＝4，得x＝±1，將點(diǎn)(1，eq\r(3))，(－1，eq\r(3))分別代入方程y2＝2mx中，得3＝2m或3＝－2m，解得m＝eq\f(3,2)或m＝－eq\f(3,2).故所求拋物線的方程為y2＝3x或y2＝－3x.]二、填空題6．已知直線x－y＋1＝0與拋物線y＝ax2相切，則a＝______.－eq\f(1,4)[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1，,y＝ax2，))得ax2－x－1＝0.令Δ＝1＋4a＝0，得a＝－eq\f(1,4).]7．已知焦點(diǎn)為F的拋物線y2＝4x的弦AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則|AB|的最大值為________．6[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝4，那么|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2，又|AF|＋|BF|≥|AB|?|AB|≤6，當(dāng)AB過焦點(diǎn)F時(shí)取得最大值6.]8．已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(1,0)，直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)為(2,2)，則直線l的方程為________．y＝x[∵焦點(diǎn)F為(1,0)，∴拋物線方程為y2＝4x.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則yeq\o\al(2,1)＝4x1，yeq\o\al(2,2)＝4x2，兩式相減得yeq\o\al(2,2)－yeq\o\al(2,1)＝4(x2－x1)．整理得eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(4,y2＋y1)，由于kAB＝eq\f(y2－y1,x2－x1)，而AB中點(diǎn)為(2,2)，所以y2＋y1＝4，于是kAB＝eq\f(4,4)＝1，因此直線l的方程為y－2＝x－2，即y＝x.]三、解答題9．設(shè)拋物線C：y2＝4x，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，過F的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)．(1)設(shè)l的斜率為1，求|AB|的值；(2)求證：eq\o(OA,\s\up15(→))·eq\o(OB,\s\up15(→))是一個(gè)定值．[解](1)由題意可知拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，∴直線l的方程為y＝x－1.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,y2＝4x))得x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6，由直線l過焦點(diǎn)，得|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝8.(2)證明：設(shè)直線l的方程為x＝ky＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ky＋1，,y2＝4x))得y2－4ky－4＝0.∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，eq\o(OA,\s\up15(→))＝(x1，y1)，eq\o(OB,\s\up15(→))＝(x2，y2)．∵eq\o(OA,\s\up15(→))·eq\o(OB,\s\up15(→))＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3，∴eq\o(OA,\s\up15(→))·eq\o(OB,\s\up15(→))是一個(gè)定值．10．已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P(x，y)(x≥0)到點(diǎn)F(1,0)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離的差等于1.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)過點(diǎn)F的直線l與軌跡C相交于不同于坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩點(diǎn)A，B，求△AOB面積的最小值.[解](1)∵平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離的差等于1，∴當(dāng)x≥0時(shí)，點(diǎn)P到F的距離等于點(diǎn)P到直線x＝－1的距離，∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為拋物線，方程為y2＝4x(x≥0)．∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為y2＝4x(x≥0)．(2)設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(x2，y2)，過點(diǎn)F的直線l的方程為x＝my＋1，代入y2＝4x，可得y2－4my－4＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系得y1＋y2＝4m，y1y2∴S△AOB＝eq\f(1,2)|y1－y2|＝eq\f(1,2)eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\f(1,2)eq\r(16m2＋16)，∴當(dāng)m＝0時(shí)，△AOB的面積最小，最小值為2.[實(shí)力提升練]1．已知拋物線x2＝4y上有一條長(zhǎng)為6的動(dòng)弦AB，則AB的中點(diǎn)到x軸的最短距離為()A.eq\f(3,4)B.eq\f(3,2)C．1D．2D[由題意知，拋物線的準(zhǔn)線l：y＝－1，過A作AA1⊥l于A1，過B作BB1⊥l于B1，設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M，過M作MM1⊥l于M1(圖略)，則|MM1|＝eq\f(|AA1|＋|BB1|,2).|AB|≤|AF|＋|BF|(F為拋物線的焦點(diǎn))，即|AF|＋|BF|≥6，|AA1|＋|BB1|≥6，∴2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故M到x軸的距離d≥2.]2．已知拋物線y＝－x2＋3上存在關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱的相異兩點(diǎn)A，B，則|AB|等于()A．3B．4C．3eq\r(2)D．4eq\r(2)C[因?yàn)锳，B關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱，所以可設(shè)AB：y＝x＋m，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x2＋3，,y＝x＋m))得x2＋x＋m－3＝0.①設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－1，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)，則x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(1,2)，y0＝x0＋m＝－eq\f(1,2)＋m.又因?yàn)镸在直線x＋y＝0上，所以－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＋m＝0，即m＝1，所以方程①可化為x2＋x－2＝0，解得x1＝1，x2＝－2，y1＝2，y2＝－1，所以|AB|＝eq\r(－2－12＋－1－22)＝3eq\r(2).]3．直線y＝kx－2與拋物線y2＝8x交于A、B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則k的值是________．2[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2，,y2＝8x，))消去y得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝[－4k＋2]2－4×k2×4＞0，,x1＋x2＝\f(4k＋2,k2)＝2×2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＞－1，,k＝－1或k＝2，))即k＝2.]4．已知斜率為eq\f(1,2)的直線l與拋物線y2＝2px(p>0)交于x軸上方的不同兩點(diǎn)A，B，記直線OA，OB的斜率分別為k1，k2，則k1＋k2的取值范圍是________．(2，＋∞)[設(shè)直線l的方程為y＝eq\f(1,2)x＋b(b＞0)，即x＝2y－2b，代入拋物線方程y2＝2px，可得y2－4py＋4pb＝0，Δ＝16p2－16pb＞0，∴p＞b.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4p，y1y2＝4pb，k1＋k2＝eq\f(y1,x1)＋eq\f(y2,x2)＝eq\f(2p,y1)＋eq\f(2p,y2)＝eq\f(2py1＋y2,y1y2)＝eq\f(2p,b)＞2.]5．(2024·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)拋物線C：y2＝2x，點(diǎn)A(2,0)，B(－2，0)，過點(diǎn)A的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)．(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線BM的方程；(2)證明：∠ABM＝∠ABN.[解](1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，l的方程為x＝2，可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,2)或(2，－2)．所以直線BM的方程為y＝eq\f(1,2)x＋1或y＝－eq\f(1,2)x－1.(2)證明：當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，AB為MN的垂直平分線，所以∠ABM＝∠ABN.當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1>0，x2>0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2，,y2＝2x))得ky2－2y－4k＝0，可知y1＋y2＝eq\f(2,k)，y1y2＝－4.直線BM