5.3.1 函數(shù)的單調(diào)性（6大題型）精練（解析版）

5.3.1函數(shù)的單調(diào)性【題型1求不含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間】1、（2023·河南省直轄縣級(jí)單位·高二校考階段練習(xí)）設(shè)，則的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A．B．C．D．和【答案】D【解析】由，得，令，得或，，的變化情況如下表所示.單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是和.故選：D.2、（2023·江蘇常州·高二統(tǒng)考期末）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，，由得，所以的單調(diào)減區(qū)間為.故選：D.3、（2023·吉林·高二校聯(lián)考期末）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，解得，則的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：B.4、（2023·高二課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A．,B．,C．,D．,【答案】A【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由得，即，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；故選：A.5、（2023·湖北武漢·高二武漢外國(guó)語學(xué)校?？计谀┖瘮?shù)的單調(diào)減區(qū)間為.【答案】【解析】的定義域?yàn)?，，令，可得，可得，又，則或，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是.【題型2求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間】1、（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性．【答案】答案見解析【解析】由題意知：定義域?yàn)椋?，令，解得：，；①?dāng)，即時(shí)，若，；若，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)，即時(shí)，且不恒等于，在上單調(diào)遞增；③當(dāng)，即時(shí)，若，；若，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.2、（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知函數(shù).討論的單調(diào)性．【答案】答案見解析【解析】由題意知，定義域?yàn)?，；令，則.①當(dāng)，即時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)），在上單調(diào)遞減；②當(dāng)，即時(shí)，令，解得，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.3、（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【答案】答案見解析【解析】依題意，的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，令，得或，若，，，遞增；，，遞減；，，遞增，若，則，在R上單調(diào)遞增，若，，，遞增；，，遞減；，，遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.4、（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】答案見解析【解析】由已知得，則①當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減；③當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.5、（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】答案見解析【解析】方法一：由題意得：定義域?yàn)?，，由得：，即；①?dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，，令，解得：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.方法二：由題意得：定義域?yàn)?，；①?dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，由得：；由得：，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【題型3已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】1、（2023·福建·高二南平第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，則在上恒成立，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，故.故選：A.2、（2023·廣西南寧·高二賓陽中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，，故，即，即a的最小值為．故選：D．3、（2023·福建三明·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，則在上不單調(diào)的一個(gè)充分不必要條件是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，令，因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，在上有變號(hào)零點(diǎn)，即在上有變號(hào)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，不成立；當(dāng)時(shí)，只需，即，解得或，所以在上不單調(diào)的充要條件是或，所以在上不單調(diào)的一個(gè)充分不必要條件是，故選：B4、（2023·湖南湘潭·高二湘潭縣一中校聯(lián)考期末）已知函數(shù)在上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，不符合題意.當(dāng)，時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，不符合題意.當(dāng)時(shí)，令，解得，要使在區(qū)間上不單調(diào)，則，即，解得,此時(shí)在區(qū)間上遞減；在區(qū)間上遞增.故選：B5、（2023·江蘇淮安·高三清浦中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】由得，由于函數(shù)的定義域?yàn)?，故?解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得.【題型4原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系】1、（2023·陜西西安·高二?？计谀┖瘮?shù)的圖象如圖，則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是下圖中的（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由函數(shù)圖象知為偶函數(shù)，則，因?yàn)榈膶?dǎo)數(shù)存在，兩邊取導(dǎo)數(shù)可得，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式可得，故，即為奇函數(shù)，排除CD，由原函數(shù)圖象可知當(dāng)時(shí)，先遞增再遞減，故在時(shí)，函數(shù)值先正后負(fù)，故排除B，故選：A2、（2023·上海普陀·高二上海市宜川中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示．以下四個(gè)選項(xiàng)中，可能表示函數(shù)圖像的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】從的圖象可以看出，在區(qū)間,內(nèi)，導(dǎo)函數(shù)大于0，且在區(qū)間,內(nèi)，導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增，在區(qū)間,內(nèi)，導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間,內(nèi)單調(diào)遞增，且的圖象在區(qū)間內(nèi),越來越陡峭，在區(qū)間,內(nèi)越來越平緩，故選項(xiàng)符合題意．故選：B．3、（2023·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能是下列選項(xiàng)中的（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，只有選項(xiàng)C符合，故選：C4、（2023·新疆·高二烏魯木齊市第六十八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù).的圖象如圖所示，則的大致圖象可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，由圖象可得，則，故在上單調(diào)遞減，可知A、D錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，由圖象可得，則，故在上單調(diào)遞減，可知B錯(cuò)誤；故選：C.5、（2023·山西運(yùn)城·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，將和的圖象畫在同一直角坐標(biāo)系中，可能正確的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】對(duì)選項(xiàng)A，若圖中的直線為的圖象，曲線為的圖象，因?yàn)榈膱D象先負(fù)后正，的圖象先減后增，故A可能正確.對(duì)選項(xiàng)B，若圖中上面的曲線為的圖象，下面曲線為的圖象，因?yàn)榈膱D象在處先負(fù)后正，的圖象在處先減后增，故B可能正確.對(duì)選項(xiàng)C，若圖中上面的曲線為的圖象，下面曲線為的圖象，因?yàn)楹愠闪?，的圖象為增函數(shù)，故C可能正確.對(duì)選項(xiàng)D，若圖中上面的曲線為的圖象，下面曲線為的圖象，因?yàn)榈膱D象先負(fù)后正，的圖象為增函數(shù)，不符合，若圖中上面的曲線為的圖象，下面曲線為的圖象，因?yàn)楹愠闪?，的圖象為增函數(shù)，不符合，故D錯(cuò)誤.故選：ABC【題型5利用單調(diào)性解不等式】1、（2023·天津·高二校聯(lián)考期中）已知是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)?，，所以恒成立，所以在單調(diào)遞增，又因?yàn)槭嵌x在R上的偶函數(shù)，所以在單調(diào)遞減，所以，所以由，可得，解得.故選：A2、（2023·福建泉州·高二校考期中）已知函數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【解析】由函數(shù)，可得函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以函?shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，又由不等式，可得，即，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.3、（2023·湖北恩施·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以函?shù)為奇函數(shù)，所以不等式，可化為，又由，因?yàn)?，所以，為單調(diào)遞增函數(shù)，由，可得，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范為.故選：B.4、（2023·廣東東莞·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對(duì)任意都有，，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】令，則，所以在R上遞增，又，則不等式等價(jià)于，所以，故選：A5、（2023·云南保山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）定義在上的函數(shù)滿足：有成立且，則不等式的解集為.【答案】【解析】設(shè).又有成立，函數(shù)，即是上的增函數(shù).則，即.【題型6利用單調(diào)性比較大小】1、（2023·廣東佛山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，?故選：D.2、（2023·陜西榆林·高二?？茧A段練習(xí)）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】構(gòu)造函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即．故選：B．3、（2023·陜西咸陽·高二統(tǒng)考期中）已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，若，，，則，，的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，，則，∵當(dāng)時(shí)，，即，在單調(diào)遞減，∴，∴，即，∴.故選：D.4、（2023·江蘇徐州·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對(duì)任意的恒成立，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意得構(gòu)造函數(shù)，則對(duì)任意的恒成立，所以在上是減函數(shù)，對(duì)A：因?yàn)?，所以，即，得，故A錯(cuò)誤；對(duì)B、