材料力學(xué)作業(yè)解答

2.9題圖2.9所示中段開槽的桿件，兩端受軸向載荷P的作用，試計(jì)算截面1-1

和2-2上的應(yīng)力。已知：P=140kN,b=200mm,加=100mm,t=4mm。

題圖2.9

解：（1）計(jì)算桿的軸力

N]=%=0=140kN

（2）計(jì)算橫截面的面積

4=bxt=200x4=800mm2

2

A2=(Z)-Z>o)xz=(200-100)x4=400mm

（3）計(jì)算正應(yīng)力

N.140x1000

<7,=—=-------=175MPa

14800

140x1000……

------------=350MPa

4400

（注：本題的目的是說(shuō)明在一段軸力相同的桿件內(nèi)，橫截面面積小的截面為該段

的危險(xiǎn)截面）

2.10橫截面面積A=2cm2的桿受軸向拉伸，力P=10kN,求其法線與軸向成30°

的及45°斜截面上的應(yīng)力1及乙,并問(wèn)/ax發(fā)生在哪一個(gè)截面?

解：（1）計(jì)算桿的軸力

N=P=1QkN

⑵計(jì)算橫截面上的正應(yīng)力

N10義1000

<7=一=50MPa

A2x100

⑶計(jì)算斜截面上的應(yīng)力

=…。=2=37.5

CTMPa

30°

27

r=￡sin(2x30°)=—x—=21.6MPa

30222

「亞Y

=crcos245°=50x——=25MPa

450

\J

=-1sin(2x45°)=yxl=25MPa

(4)%ax發(fā)生的截面

dT

''—-=crcos(2tz)=0取得極值

da

cos（2（z）=0

因此：2a=工，a=—=45°

24

故：/ax發(fā)生在其法線與軸向成45°的截面上。

（注：本題的結(jié)果告訴我們，如果拉壓桿處橫截面的正應(yīng)力，就可以計(jì)算該處任

意方向截面的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。對(duì)于拉壓桿而言，最大剪應(yīng)力發(fā)生在其法線與軸

向成45°的截面上，最大正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上，橫截面上剪應(yīng)力為零）

2

2.17題圖2.17所示階梯直桿AC,P=10kN,/i=/2=400mm,Ai=2A2=100mm,

E=200GPa。試計(jì)算桿AC的軸向變形/L

題圖2.17

解：（1）計(jì)算直桿各段的軸力及畫軸力圖

P

AC

拉

尸1o1\

--1kN7

N2=-P=-10kN(壓)

iokN

（2）計(jì)算直桿各段的軸向變形

W110x1000x400

A/]==0.2mm（伸長(zhǎng)）

EA1200x1000x100

Nl-10x1000x400…

22----------------------=-0.4mm（縮短）

EA2200x1000x50

(3)直桿ZC的軸向變形

（縮短）

A/=A/j+A/2=-0.2mm

（注：本題的結(jié)果告訴我們，直桿總的軸向變形等于各段軸向變形的代數(shù)和）

2.20題圖2.20所示結(jié)構(gòu)，各桿抗拉（壓）剛度切相同，試求節(jié)點(diǎn)A的水平和

垂直位移。

題圖2.20

（a）解：

（1）計(jì)算各桿的軸力

以A點(diǎn)為研究對(duì)象，如右圖所示，由平衡方程

可得

XX=O，N[=P（拉）

門=0,M=0

（2）計(jì)算各桿的變形

A/1二0

P//cos45°_41PI

N2I2

M=EAEA—EA

（3）計(jì)算幺點(diǎn)位移

以切線代弧線，A點(diǎn)的位移為：

A/,2PI

Ax4——

cos45°EA

Wa=0

(b)解：

(1)計(jì)算各桿的軸力

以A點(diǎn)為研究對(duì)象，如右圖所示,由平衡方

程可得

、4P

Zx=o,N[=4ip(拉\J.1

=0,N2=-P(壓

tJV2

(2)計(jì)算各桿的變形

,N,l,CP義亞a2Pa/

AA/i==-------------=------(伸長(zhǎng))

EAEAEA

47NlPxaPa,

A/=??=-------=—(縮短)

2EAEAEA

(3)計(jì)算N點(diǎn)位移

41

以切線代弧線，A點(diǎn)的位移為：

—--,A/.2yHpaParzPa

Ax.=AB+CA=----------FA/=----------1-----=(2-v2+1)—

cos45°7EAEAEA

.Pa

=-％=-—

EA

［注：①本題計(jì)算是基于小變形假設(shè)（材料力學(xué)的理論和方法都是基于這個(gè)假設(shè)），

在此假設(shè)下，所有桿件的力和變形都是沿未變形的方向。②計(jì)算位移的關(guān)鍵是以

切線代弧線。）

2.15如題圖2.15所示桁架，a=30°,在A點(diǎn)受載荷。=350kN,桿AB由兩根

槽鋼構(gòu)成，桿AC由一根工字鋼構(gòu)成，設(shè)鋼的許用拉應(yīng)力6』=160MPa,許用

壓應(yīng)力［（7C］=100MPao試為兩根桿選擇型鋼號(hào)碼。

解：（1）計(jì)算桿的軸力

y

以幺點(diǎn)為研究對(duì)象，如上圖所示，由平衡方程可得

XX=0,N2COSa-NXCOSa=0

X丫=0，N]sina+N?sina—0=0

N、=P=350kN（拉）

N[=N[=350kN(壓)

(2)計(jì)算橫截面的面積

根據(jù)強(qiáng)度條件：cr=—<[<?],有

maxA

24>叢="°xl。。。=2187.5mm2,A>1093.75mm2

[a,]1601

350x1000

=3500mm2

100

（3）選擇型鋼

通過(guò)查表，桿AB為No.10槽鋼，桿BC為No.20a工字鋼。

（注：本題說(shuō)明，對(duì)于某些材料，也許它的拉、壓許用應(yīng)力是不同的，需要根據(jù)

桿的拉、壓狀態(tài)，使用相應(yīng)得許用應(yīng)力）

2.25題圖2.25所示結(jié)構(gòu)，AB為剛體，載荷P可在其上任意移動(dòng)。試求使CD桿

重量最輕時(shí)，夾角a應(yīng)取何值?

題圖2.25

解：（1）計(jì)算桿的軸力

載荷P在B點(diǎn)時(shí)為最危險(xiǎn)工況，如下圖所示。

X

以剛性桿AB為研究對(duì)象

=0,NCDsin6Z-/-P-2/=0

2P

NCD=--

sincr

（2）計(jì)算桿CD橫截面的面積

設(shè)桿CD的許用應(yīng)力為[切，由強(qiáng)度條件，有

「N_NCD_2P

XX---

[cr][a]團(tuán)sina

（3）計(jì)算夾角a

設(shè)桿CD的密度為P，則它的重量為

2pPlpPl

W=pV=pA-CD=pA-

cosa[er]sinacosa[cr]cos2a

從上式可知，當(dāng)a=45°時(shí)，桿CD的重量力最小。

（注：本題需要注意的是：①載荷P在AB上可以任意移動(dòng)，取最危險(xiǎn)的工作狀

況（工況）；②桿的重量最輕，即體積最小。）

2.34題圖2.34所示結(jié)構(gòu)，AB為剛性梁，1桿橫截面面積4=1加2,2桿，2=2納2,

a=lm,兩桿的長(zhǎng)度相同，E=200GPa,許用應(yīng)力[。t]=160MPa,[ob]=100MPa,

試確定許可載荷[尸]。

題圖2.34

解：(1)計(jì)算桿的軸力

以剛性桿AB為研究對(duì)象，如下圖所示。

=0,Nx-a+N2-2a-P-3a=0

即：N1+2N2=3P(1)

該問(wèn)題為一次靜不定，需要補(bǔ)充一個(gè)方程。

2A=A12(2)

(3)計(jì)算桿的變形

由胡克定理，有

M春

代入式(2)得：

2N{aN2a

EA[EA2

即：生=坦

44⑶

(4)計(jì)算載荷與內(nèi)力之間關(guān)系

由式⑴和(3),解得：

(4)

或

⑸

(5)計(jì)算許可載荷

如果由許用壓應(yīng)力[。4決定許可載荷，有：

A4>44-1-4/1

因]=WJ=[^]-4=-(4+44)E]

34343

=I(100+4X200)X100=30000(N)=30(kN)

如果由許用拉應(yīng)力[。門決定許可載荷，有：

A-i-A.AAA.A1

M]=7(4+44)。]

646N26

=-(100+4x200)x160=24000(N)=24(kN)

6

比較兩個(gè)許可載荷，取較小的值，即

[P]=min{[P6],[P,]}=24(kN)

(注：本題需要比較由桿1和桿2決定的許可載荷，取較小的一個(gè)值，即整個(gè)結(jié)

構(gòu)中，最薄弱的部位決定整個(gè)結(jié)構(gòu)的許可載荷。)

6

2.42題圖2.42所示正方形結(jié)構(gòu)，四周邊用鋁桿(Ea=70GPa,aa=21.6X10-℃力.

對(duì)角線是鋼絲(Es=70GPa,as=2L6Xl(TcT),鋁桿和鋼絲的橫截面面積之比為

2:lo若溫度升高/T=45℃時(shí)，試求鋼絲內(nèi)的應(yīng)力。

解：(1)利用對(duì)稱條件對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡(jiǎn)化

由于結(jié)構(gòu)具有橫向和縱向?qū)ΨQ性，取原結(jié)構(gòu)的1/4作為研究的結(jié)構(gòu)如下圖所

示，

(3)變形協(xié)調(diào)關(guān)系

Ala

如上圖所示，鋁桿與鋼絲的變形協(xié)調(diào)關(guān)系為:

M=V2A/fl

鋼絲的伸長(zhǎng)量為：(設(shè)鋼絲的截面積為⑷

M=^Tasls+-=—(A"+漢)

ESAS2'ESA

鋁桿的伸長(zhǎng)量為：

NI1NI

M=^Taala一一"二-QkTaJ――°)

EaAa公EaA

由①②③④式，可解得:

2微紇凡

M=(a“-a}M-A

2年“+凡s

(4)計(jì)算鋼絲的應(yīng)力

N、242EaEs

A2亞E0+用

=2］義70x103x200x1036><1()_617x10-e)x45=44.3(MPa)

2V2X70X103+200xl03

3.8題圖3.8所示夾剪，銷釘B的直徑d=5mm,銷釘與被剪鋼絲的材料相同，剪切

極限應(yīng)力q,=200Mpa,銷釘?shù)陌踩禂?shù)n=4,試求在C處能剪斷多大直徑的鋼絲。

解：設(shè)B,C兩點(diǎn)受力分別為G，用。

剪切許用應(yīng)力為：H=%=50Mpa

n

對(duì)B點(diǎn)，有力矩和為零可知：￡此=0,即：片=4P

由力平衡知：G+p=g

L5L

二g嗎片

其中：&=卜］?A=12?5

故：耳=10萬(wàn)屋

又由強(qiáng)度要求可知：47

工廠

即：d<j=V5=2.24mm

3.11車床的轉(zhuǎn)動(dòng)光桿裝有安全聯(lián)軸器，當(dāng)超過(guò)一定載荷時(shí)，安全銷即被剪斷。已

知安全銷的平均直徑為5mm,其剪切強(qiáng)度極限q=370Mpa,求安全聯(lián)軸器所能

傳遞的力偶矩m.

解：設(shè)安全銷承受的最大力為，貝U：F=%x-nd1

4

那么安全聯(lián)軸器所能傳遞的力偶矩為：m=F.D

其中i：6=370Mpa,b=5mm,D=20mm,

代入數(shù)據(jù)得：

力偶矩m=145.2N-m

■求題圖4,7中各個(gè)圖形對(duì)形心軸z的慣性矩//。

3

AK/,、a—ry八T800x204

解：(1)對(duì)I部分：I=-------mm"

z,12

A-幽辿2

+|50--Ix20x80mm1=287.57cm

zizi122

八20x12()34

對(duì)II部分：Ir=-------mm

囪12

/「/+/A=^?+120+20-521x20x120mm4=476.11cm4

一"212

所以：，乜,+￡=763.73加

對(duì)完整的矩形：I,=—=120x2003=8000cm

Z11212

'-T~\4、

對(duì)兩個(gè)圓：L=2衛(wèi)

"I64J

=2x+502xx202

I64)

=653.12cm4

所以：（=4一￡,=7346.88。田

|.,題圖4.9所示薄圓環(huán)的平均半徑為r,厚度為t(r>t).試證薄圓環(huán)對(duì)任意直徑

的慣性矩為1="”,對(duì)圓心的極慣性矩(=o

解：(1)設(shè)設(shè)圓心在原點(diǎn)，由于是圓環(huán)，故慣性矩對(duì)任意一直徑相等，為:

其中

2r-t4

所以：/=—x(2r+r)41-

641)2r+/

'：r>t

??1=——x8r2x^rt=7lVt

64

3

(2)由一知：極慣性矩,=2/=2乃/t

■(1)用截面法分別求題圖5.7所示各桿的截面和3-3上的扭矩，并畫

出扭矩圖的轉(zhuǎn)向；

(2)做圖示各桿的扭矩圖

解：(1)mx=m2=-2kN,m,m3=3kN-m

扭矩圖

(2)Tx=-20kN-m,T2=-\QkN-m,T3=20kN-m

V

扭矩圖

-20

■一階梯形圓軸如題圖5.11所示。已知輪B輸入的功率Ne=45kW,輪A和輪

C輸出的功率分別為Nz=3OKw,7Vc=15kW；軸的轉(zhuǎn)速n=240r/min,dx=60mm,

d2=40mm;許用扭轉(zhuǎn)角網(wǎng)=2（。）/加,材料的[T]=5OMpa,G=8OGpa.試校核軸的強(qiáng)

度和剛度。

解：（1）設(shè)AB,BC段承受的力矩為7],4.計(jì)算外力偶矩：

%=9549=1193.6N?加

n

加c=9549^^=596.8N?加

n

那么AB,BC段的扭矩分別為：T=-mA=-X\93.6N-m

=-m=596.8

(2)檢查強(qiáng)度要求

rp_j3

圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件為：「max=,《H可知：(其中“=H，4=60mm,

d2=40mm)

T

代入7_[max和g得:

他人0max-2max

w/

%ax=28.2Mpa,t2max=47.5Mpa

故：[ax=47-5Mpa

(3)檢查強(qiáng)度要求

圓軸扭轉(zhuǎn)的剛度條件式為:

180。_X幽測(cè)

emax

%71G--d471

32

]QQO

工max

所以:了------

4max=0.67Ym

G兀戔71

32

T

Imax蟠=l"m

乃靖n

(,r-----

32

故：

■■題圖5.13所示，汽車駕駛盤的直徑為520mm,駕駛員作用于盤上的力

P=300N,轉(zhuǎn)向軸的材料的許用剪應(yīng)力[t]=60Mpa。試設(shè)計(jì)實(shí)心轉(zhuǎn)向軸的直徑。

若改用a=@=0.8的空心軸，則空心軸的內(nèi)徑和外徑各位多大？并比較兩者的

D

重量。

解：(1)當(dāng)為實(shí)心轉(zhuǎn)向軸時(shí)

外力偶矩m=pxl=156N-m

則扭矩T=156N?冽

圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件為:

%期=/4團(tuán)可知：(其中”=於)

d>3(=23.6N-m

(2)當(dāng)改為a=a=0.8的空心軸時(shí)

D

圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件為:

%,=仔三國(guó)可知：(其中叱=嚕

-a")

?.D>28.2mmd>22.6mm

故：空心軸D=28.2mm,d=22.6mm

(3)實(shí)心軸與空心軸的質(zhì)量之比就應(yīng)該是兩者的橫截面積之比，即:

■?題圖5.16所示鉆探機(jī)鉆桿的外徑D=60mm,內(nèi)徑d=50mm,鉆入的深度

l=40m;A端輸入的功率N，=15Kw,轉(zhuǎn)速n=180r/min,B端鉆頭所受的扭轉(zhuǎn)力矩

MB=300kN?m；材料的[t]=40MPa,G=80GPa,假設(shè)土壤對(duì)鉆桿的阻力沿桿

長(zhǎng)度均勻分布，試求：（1）單位長(zhǎng)度上土壤對(duì)鉆桿的阻力距m。

（2）作鉆桿的扭矩圖，并校核其扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度。

（3）A,B兩端截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。

解：（1）鉆探機(jī)A端的偶矩為：

MA=9549乂=795.75N-m

n

那么單位長(zhǎng)度的阻力矩為:

M-M

m=-----------=12.4N/m

:

4卜］得：（其中叫=^-4

（2）圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件為：T.max-a))

叱

Tmax=362Mpei<40MPa

所以滿足強(qiáng)度要求

iT

（3）由兩截面之間的相對(duì)轉(zhuǎn)角為：有一小

J。GIp

其中，。二點(diǎn)（。4一屋）=L59x10一0

49575

,Tan795.75-------X

[------dx=[-----------------------dx=0.416rad

所以：（p=Jo

GIpJoGIp

A,B兩端截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為0.416rad

6.6求題圖6.6中各梁的剪力方程和彎矩方程，作剪力圖和彎矩圖，并求

IQImax和|M|max。

b)

解:

支座反力：XB=0,YB=P=200N,MB=950N,

剪力方程：Q(x)=-200N.

彎矩方程：

AC段：M(x)=-PX=-200X1(0?X42m)；

CB段：M(x)=-PX-Mo=-(200X+150)(2m<X2^4m)

M

因此：

|Q|max=200N；

|M|max=950N-m

(0

Y

YAB

Aq4

2a

解：

支座反力：

39

X[=0，%=-Qa,YB=

剪力方程：

3

AB段：Q(x)=-qa-qx,(0<%<2a)

BC段：。(％)=g(3a-x),(2a?%43a)

彎矩方程：

、312

AB段：M(x)=~qax--qx,(0<%<2a)

12

BC段：M(x)=--q(3a-x),(2a<x<3a)

9

因此：l0Lx=L25qa；Mmax="M

J乙

6.10不列剪力方程和彎矩方程，作題圖6.10中各梁的剪力圖和彎矩圖，并求出

|Q|max和|M|max°

(b)

2

P=qaMo=qa

Y1Ac

ACBE

Dnrnnnni

aa

解：

支座反力:

7

YA=~Qa^

Q

qa

M

因此：|QL=q。；Mnax="2

AX/\CttYuni,”ri；i[Hiiiriirt

解:

支座反力:

y5▽13

B—~^~qa

Q

6.12作題圖6.12中各構(gòu)件的內(nèi)力圖

(b)

犍◎

a

二DC

三

三

二

二

三

二

三

三

B1

13.設(shè)梁的剪力圖如題圖6/3所示，試做彎矩圖和載荷圖，已知梁上沒(méi)有作用

集中力偶。

(b)

Q

10KN

解:

2.5KNm

10KN

2oKN/m

2oKN/m

10KN

6.14已知梁的彎矩圖如題圖6.14所示，是做梁的載荷圖和剪力圖。

(b)

M

解:

Q

1KN

1KN

1-?SKNm3KNmA

1

7.920a工字鋼梁的支承和受力情況如題圖7.9所示。若

[a>160Mpa,試求許可載荷P的值。

P

七

圖7.9

解:

(1)求支座反力

(3)求許可載荷

查表，20a工字鋼的%=237x103加加3

,?,心二勺臼引

P<-^[(T]=56.9W

7.11題圖7.11所示一鑄造用的鋼水包。試按其耳軸的正應(yīng)力強(qiáng)度

確定充滿鋼水時(shí)所允許的總重量。已知材料的許用應(yīng)力[a]=100MPa,

d=200mm

解：

Mmax=Pl=^Gl

—也應(yīng)上里.23m

7.14題圖7.14所示軸直徑D=280mm,跨長(zhǎng)L=1000mm,l=450mm,

b=100mmo軸材料的彎曲許用應(yīng)力［R=100NPa,求它能承受的

最大軋制力。

圖7.14

解:

(1)求支座反力

RA=RB*

(2)畫出彎矩圖

qblqb2

----+-----

(3)求最大軋制力41ax

w32U

?q<-L[------—=9069N/mm

,blb2blb2

--1--------1---

2828

因此：Pmax<qb=9Q6.9kN

7.15鑄鐵梁的載荷及橫截面尺寸如題圖7.15所示。許用拉應(yīng)力

[b』=40MPa,許用壓應(yīng)力[b」=160MPa。試按正應(yīng)力強(qiáng)度條件校核梁

的強(qiáng)度。

解:

（1）支座反力

RDR=30KN7,RUn=10KN

(2)畫彎矩圖

^rrnTlTTHTTY^

2GKN?m

由上面彎矩圖可知，B,D兩個(gè)點(diǎn)可能為危險(xiǎn)截面。

\MB\=20kNm;Me=\QkNm

(3)強(qiáng)度校核

yc=*4%=-157.5mm

4+4

1a9

Iz=，zi+/z2=—*20cm*(3cm)+20cm*3cm*(20-15.75+1.5)

13

+丘*3加*(3喇+3*20所—

=6012.5而

B截面下邊緣aBc=~=52AMPa

1Z

B截面上邊緣°瓦=匕)=2^AMPa

C截面下邊緣，t二號(hào)”=26.2MPa

1z

(230—y)

C截面上邊緣0'sc=----------------c---=n.05MPa

所以/max=52.4([a]Cmax=26.2<[b]

安全

題圖7.19所示梁由兩根36a工字梁鉀接而成。釧釘?shù)拈g距為

s=150mm,直徑d=20mm,許用剪應(yīng)力[r]=90Mpa。梁橫截面上的剪

力Q=40KN,試校核釧釘?shù)募羟袕?qiáng)度。

解:

查表，單個(gè)工字梁的截面參數(shù)為：

42

Iz=15760cm；A=76.3cm；h-36cm

兩個(gè)工字梁重疊以后對(duì)中性軸的慣性矩

24

1z=2Iz7.1+、(G-)，A=8096.2cm

兩個(gè)工字梁重疊后對(duì)中性軸的靜矩

S：=^ydA-yA-1373.4cm2

A

設(shè)工字梁翼板的寬度為b,則中性層上的剪應(yīng)力為

/.QS；

°F

每一對(duì)釧釘分擔(dān)的剪力為

f

Q'=Tbs=S^-=10.2kN

鉀釘?shù)募魬?yīng)力為

二君=\62MPa<[r]=90MPa

所以安全

用積分法求題圖8.5中各梁的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程以及指定的

轉(zhuǎn)角和撓度。已知抗彎剛度EI為常數(shù)。

(1)求支座反力

此=中,向上，4=牛，向下。

(2)以A為原點(diǎn)，寫出彎矩方程：

M(x)=^-x

(3)求撓曲線方程

EIv=^x3+Cx+D

?61

帶入邊界條件為=%=0得

c=_也0=0

6

故轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程為

M。14.M°lM°『

6EI'133EI，yc16EI

8.7寫出題圖8.7所示各梁的邊界條件。其中(b)圖的k為彈簧剛度

(N/m)o

(a)

q

Axnnninmnnninniinnnnninnnninnni

B

題圖8.7

解：

ql

力=°，及4=弓

"E2

RBq〃i

A/1

EA2EA

當(dāng)日時(shí),yB=-A

邊界條件：=°，y=-

B2EA

8.12用疊加法求題圖8.12所示各梁截面A的撓度和截面B的轉(zhuǎn)角。

已知EI為常數(shù)。

(f)

先假設(shè)，CD段為剛性，則AC段可視為在C段固定的懸臂梁。

〃_qrqal

在/=〒作用下，=777；

z-EJLmi

再將AC視為剛性，則查表可得：

Ml_ql3ql3

%=

C224EI

因此:O=3,+0=——

cCC224EI

al2

BM+Sa+51)

由于截面C的轉(zhuǎn)動(dòng)，使截面A有一向上撓度，為:

5qal2

yA2~1%+

24EI

qal2，二

因此：^^^l+^2=^7（6^+5Z）

ZQ乜］

8.15一直角拐如題圖8.15所示。AB段橫截面為圓形，BC段為矩形;

A端固定，B端為滑動(dòng)軸承，C端的作用力P=60N；已知材料的

E=210GPa,G=80GPa。試求C端的撓度。

解:用疊加法，首先P在C點(diǎn)引起的直接撓度由表查得:

Pll

yi—c

C13EI

5xl031250

1T—1T------------=-------mm4

7123

60x3003…

Jci=1250=6.17mm

3x210000

3

然后P在B點(diǎn)的等效轉(zhuǎn)矩下引起AB桿發(fā)生扭角為:

所以,C點(diǎn)的總撓度為

一夕1

yc=TeiBC=-832mm

8.19如題圖8.19所示懸臂梁AD和BE的抗彎剛度均為

￡/=24*106Nm2,由鋼桿CD相連接。CD桿的/=5m,4=3*20力

￡=200GPa。若尸=50kN,試求懸臂梁AD在D點(diǎn)的撓度。

)D

2m

題圖8.19

解：設(shè)CD桿上的軸力為R則由b引起C和D點(diǎn)的撓度分別為:

yc1

3EI

由尸引起D點(diǎn)的撓度為:

CD桿的伸長(zhǎng)為:

Fl

AI=CD

CDEA(4)

幾何相容關(guān)系為：

ZCD~yci+J;CI—yD(5)

將式(1)—(4)式代入式(5)得：

FlCD(3x1BF—1BC)Fl\cFI[D

EA―6EI3EI3EI

5嗚5x23尸

SEI_______-6x24x106_______=二

〔CD_21BC5____________ZU_11

EA3EI3X10-4X2X109-3x24xl06

因此:

FI3=5°x1°3X2：=—o0505=505mm

W=_ADm

3EI33EI33x24xl06

8.21題圖8.21所示四分之一圓環(huán)，其平均半徑為R,抗彎剛度為EL

試用用莫爾定理求截面B的垂直位移與水平位移。

解：

（1）求彎矩方程

在四分之一圓環(huán)上取一截面m-m,求截面上的彎矩方程。

在外力作用下：=-PR（1-Cosa}

水平單位力作用下：M（a）=—R（l—Cos。）

水平單位力作用下：而2（。）=~RSina

（2）用莫爾積分求位移

水平位移：

PR?712,ccu/PR，

XBIOil——da=0.356-----(向右)

力EIEIEI

垂直位移：

%=產(chǎn)喝2(%/=詈￡(]_Cosa)Sinada=祟(向下)

叩ElblW，&/

8.23外伸梁受力作用如題圖8.23所示，梁的抗彎剛度為EI,使用圖

形互乘法計(jì)算外伸端D的撓度。

題圖8.23

解:

(1)求支座反力

RA+RB=qa,59

<R=--qa,R=-qa

2AB

EM(B)=2aRA+2qa+qa--0

、2

(2)畫彎矩圖

實(shí)際載荷和在D點(diǎn)單位力的彎矩圖如下所示:

(3)圖形互乘法

a153

--qa

=3'°i=28

3a13293

此2二彳,電--------qa--qa

25440

1412a121,3

MC3=—6Z.①2---------qa=—qa

15325210

3a11213

=5。4=^qa

1,a5qa3a93a1Iqa

/.y——(------------------qa3■+-----qa,3

nEI385404624EI

9.7在題圖9.7所示各單元中，使用解析法和圖解法求斜截面ab上的

應(yīng)力，應(yīng)力單位為MPa。

(C)

4=100MPa,ay=5QMPa

解：如圖所示,

T=0,(7=60°

Az

（1）解析法

篙Reos2fsm2a

◎a

2

100+50100-50COS120Q-0)MPa=62.5MPa

=(

2

<y-cr100-50

Ta=-------sin2a+Txycos2cr=(----------sinl20°+0)MPa

=217MPa

（2）圖解法

作應(yīng)力圓如下圖所示。從圖中可量的點(diǎn)的坐標(biāo)，此坐標(biāo)便是心

和%的數(shù)值。

9.8已知如題圖9.8所示各單元的應(yīng)力狀態(tài)（應(yīng)力單位為MPa）。試求

（1）主應(yīng)力之值及其方向，并畫在單元體上;

（2）最大剪應(yīng)力之值。

丁

(b)

解：

bmax_b%+by+1x-)2

bmij2-V2

30

-V

-20

所以6=30M%,%=0，（r3=-20MPa,方向如上圖所示。

2*20_4

tan2ao=-----------

-10-20-i

c4

2a=arctan—

3

30+20

=25MPa

max22

9.11鋼制受力構(gòu)件，其危險(xiǎn)點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)如題圖9.11所示，已知

[a>160MPa,試用第三強(qiáng)度理論校核其強(qiáng)度。

如題圖9.11

解：

T

<7X=-AOMPa,XV=-40MPa

b,=40Mpa

由圖可知，%是主應(yīng)力（剪應(yīng)力為。）

二￥±?￥)2+4。2

_j24.72Wa

一1-64.72Wa

所以，臼=40A/Pa,丐=24.72A/P”,%=-64.72A/Pa

按照第三強(qiáng)度理論%-%=104.72M尸a<160AfPa合格。

9.14設(shè)地層為石灰?guī)r，如題圖9.14所示，泊松比u=0.2,單位體積

重Y=25kN/m3o試計(jì)算離地面400m深處的主應(yīng)力。

解：

%=-/(W/m3)x400(m)=-1.0xl07(^/m2)=-10(7l^Ptz)

%?(1)

由于單元體在地下某平面的四周受到均勻壓力，所以，

￡x—￡2=0

因此：

2=如「"(%+%)=。(2)

由式(1)和(2)解得,

9.17已知圓直徑d=10cm,受力如題圖9.17所示，今測(cè)得圓軸表面的

軸向應(yīng)變?yōu)?3x10：與軸線成45。方向的應(yīng)變分=—1.375x107,

圓軸材料￡=200GRz,〃=0.25,許用應(yīng)力，［。］=120G尸名試用第

三強(qiáng)度理論校核軸的強(qiáng)度。

由于是拉伸和扭轉(zhuǎn)的組合變形，橫截面上僅有正應(yīng)力和剪應(yīng)力。

如下圖所示

（1）求正應(yīng)力

在軸向方向放置的單元體上（上圖b）,只有％方向上有正應(yīng)力,

由廣義胡克定理：

%。=1［%-4?+%）］

E

解得：crv=￡/=2xIO,*3xICT,=60MPa

（2）求剪應(yīng)力

將單元體旋轉(zhuǎn)45°,如上圖(c)所示，由斜截面正應(yīng)力計(jì)算公式:

b"=aCos2a+(7Sina-IzSinaCosa

(jc人y

有：

o-

仁。二x丁%

%35。=3+%

由廣義胡克定理：

35。=：[%5。一"735。]=+

乜JDZ

解得：

T=---------[~EsH----(1—//)(T]

450

孫(i+〃)2

=(1+；5)/2x1"x(T375xl0-4)+1(l-0.25)x60]

二40MPa

(3)用第三強(qiáng)度理論校核強(qiáng)度

2222

crr3=Va+4r=V60+4x40=1OOMPa<m=120MPa

強(qiáng)度滿足要求。

9.21直徑d=10mm的柱塞通過(guò)密閉的高壓容器（題圖9.21）,并承

受扭矩To=8ON.m,容器內(nèi)壓夕=500MPa,其材料的拉伸和壓縮強(qiáng)

度極限為。bt=2100MPa,。9=5120MPa。試按莫爾強(qiáng)度理論計(jì)算

危險(xiǎn)點(diǎn)處的相當(dāng)應(yīng)力。

題圖9.21

解：由于柱塞處在壓力容器中，徑向受到壓力P,所以，柱塞上某一

點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如下圖所示，

w=-d3

p16

To80xl03

「max=—=----------r=407.6MPa

Wp3.14xlCP

16

°max21

-p_p

---+——)2=22S.2MPa

22yz

_3+4

5nin-2

-p_p

——)2+日=—728.2；mz

2戶

所以主應(yīng)力為:

巧=228.2MPa.%=-500MPa.q=—728.2MPa

由莫爾強(qiáng)度理論得:

(yMr=(y}=228.2-^^(-728.2)=526.9MPa

⑸]5120V

10.9題圖10.9所示AB橫梁由No.14工字鋼制成。已知P=12kN,材

料［司=160Mpa。試校核該橫梁的強(qiáng)度。

題圖10.9

解：

32

對(duì)于No.14工字鋼，查表有：W=102cm,A=21,5cm

44

由圖易知：Mmax=M=1.2xlONxlm=1.2xlO7V-m

同時(shí)桿DC對(duì)AC段產(chǎn)生拉應(yīng)力為2P

M___rnax2_P_|_____l2W-m12.4W

Omax-129Ma4160Mpa=［可

WA102cm321.5cm2

故：滿足強(qiáng)度要求

10.10題圖10.10所示短柱子，已知4=100kN,￡=45kN,b=180mm,

h=300mm,試問(wèn)巴偏心距為多少時(shí)截面上仍不會(huì)產(chǎn)生拉應(yīng)力？

L-^J

題圖10.10

解：設(shè)偏心距恰好為e時(shí)，不產(chǎn)生拉應(yīng)力，那么由《產(chǎn)生的彎曲力

M=￡?e

則產(chǎn)生的彎曲拉應(yīng)力:

%=瓦M(jìn)（其中W=丁blr=2.7'10-.3*

由P和鳥產(chǎn)生的壓應(yīng)力：

1.45X1Q52V

P+P,6

冽=2.68xlO2V/m

。2A5.4x10-22

當(dāng)叫=”時(shí)，將不會(huì)產(chǎn)生拉應(yīng)力。即

P2-eP+P2

WA

w

12

故偏心距e為161mm時(shí)將不產(chǎn)生拉應(yīng)力

10.16鐵道路標(biāo)圓信號(hào)板，裝在外徑D=60mm的空心圓柱上（如題

圖10.16所示），信號(hào)板所受的最大風(fēng)載p=2kN/m2,材料的許用應(yīng)力

[o]=60Mpa,試按第三強(qiáng)度理論選定空心圓柱的厚度。