2025年南外杯初中競賽數(shù)學卷

2025年南外杯初中競賽數(shù)學卷考試時間：120分鐘?總分：150分?年級/班級：初三年級試卷標題：2025年南外杯初中競賽數(shù)學卷一、選擇題（共10題，每題5分）要求：從四個選項中選擇一個正確答案。1.已知方程$x^2-2ax+a^2-1=0$的兩個根互為相反數(shù)，則$a$的值為（）。

A.$1$

B.$-1$

C.$2$

D.$0$2.若$m$、$n$是方程$x^2-3x+2=0$的兩個根，則$m+n$的值為（）。

A.$1$

B.$2$

C.$3$

D.$4$3.在直角坐標系中，點$A(2,3)$關(guān)于$y$軸的對稱點為（）。

A.$(-2,3)$

B.$(2,-3)$

C.$(-2,-3)$

D.$(2,3)$4.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$S_3=12$，$S_5=30$，則$S_8$的值為（）。

A.$60$

B.$72$

C.$84$

D.$96$5.若$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，則$\cosA$的值為（）。

A.$\frac{1}{3}$

B.$\frac{2}{3}$

C.$\frac{3}{4}$

D.$\frac{4}{5}$6.若$x^2-4x+3=0$，則$x^2-16x+48=0$的兩個根是（）。

A.$2$和$24$

B.$-2$和$-24$

C.$4$和$12$

D.$-4$和$-12$7.若$x^2+px+q=0$的兩個根為$-2$和$3$，則$p$和$q$的值分別為（）。

A.$p=-1$，$q=-6$

B.$p=-5$，$q=-6$

C.$p=-1$，$q=-2$

D.$p=-5$，$q=-2$8.若$a$、$b$是方程$x^2-4x+3=0$的兩個根，則$a^2+b^2$的值為（）。

A.$7$

B.$8$

C.$9$

D.$10$9.在直角坐標系中，點$A(2,3)$關(guān)于原點的對稱點為（）。

A.$(-2,-3)$

B.$(2,-3)$

C.$(-2,3)$

D.$(2,3)$10.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公差為$d$，則第$n$項$a_n$的值為（）。

A.$a_1+(n-1)d$

B.$a_1-d+(n-1)d$

C.$a_1+d+(n-1)d$

D.$a_1-d-(n-1)d$二、填空題（共10題，每題5分）要求：將答案填入空格內(nèi)。1.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$S_3=12$，$S_5=30$，則$S_8$的值為__________。2.在直角坐標系中，點$A(2,3)$關(guān)于$y$軸的對稱點為__________。3.若$x^2-4x+3=0$，則$x^2-16x+48=0$的兩個根是__________。4.若$a$、$b$是方程$x^2-4x+3=0$的兩個根，則$a^2+b^2$的值為__________。5.在直角坐標系中，點$A(2,3)$關(guān)于原點的對稱點為__________。6.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公差為$d$，則第$n$項$a_n$的值為__________。7.若$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，則$\cosA$的值為__________。8.若$m$、$n$是方程$x^2-3x+2=0$的兩個根，則$m+n$的值為__________。9.若$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，則$\sinB$的值為__________。10.若$m$、$n$是方程$x^2-2ax+a^2-1=0$的兩個根，則$m+n$的值為__________。三、解答題（共30分）要求：寫出解題步驟和答案。1.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$S_3=12$，$S_5=30$，求$S_8$。2.在直角坐標系中，點$A(2,3)$關(guān)于$y$軸的對稱點為$B$，求$B$的坐標。3.若$x^2-4x+3=0$，求$x^2-16x+48=0$的兩個根。4.若$a$、$b$是方程$x^2-4x+3=0$的兩個根，求$a^2+b^2$。5.在直角坐標系中，點$A(2,3)$關(guān)于原點的對稱點為$B$，求$B$的坐標。6.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公差為$d$，求第$n$項$a_n$。7.若$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，求$\cosA$。8.若$m$、$n$是方程$x^2-3x+2=0$的兩個根，求$m+n$。9.若$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，求$\sinB$。10.若$m$、$n$是方程$x^2-2ax+a^2-1=0$的兩個根，求$m+n$。本次試卷答案如下：一、選擇題答案及解析：1.B。因為兩個根互為相反數(shù)，所以$x_1=-x_2$，根據(jù)韋達定理，$x_1+x_2=2a$，所以$-x_2+x_2=2a$，解得$a=0$。2.C。根據(jù)韋達定理，$m+n=3$。3.A。關(guān)于$y$軸對稱，橫坐標取相反數(shù)，縱坐標不變。4.C。由等差數(shù)列的性質(zhì)，$S_5-S_3=2a_4$，$S_8-S_5=2a_6$，解得$a_4=6$，$a_6=12$，所以$S_8=S_5+2a_6=30+24=54$。5.D。根據(jù)勾股定理，$\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{4^2+5^2-3^2}{2\times4\times5}=\frac{16+25-9}{40}=\frac{32}{40}=\frac{4}{5}$。6.A。根據(jù)韋達定理，$x_1\timesx_2=\frac{c}{a}=\frac{48}{1}=48$，所以$x_1$和$x_2$分別為$2$和$24$。7.B。根據(jù)韋達定理，$x_1+x_2=4$，$x_1\timesx_2=3$，所以$p=-(x_1+x_2)=-4$，$q=x_1\timesx_2=3$。8.A。根據(jù)韋達定理，$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4^2-2\times3=16-6=10$。9.A。關(guān)于原點對稱，橫縱坐標都取相反數(shù)。10.A。根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，$a_n=a_1+(n-1)d$。二、填空題答案及解析：1.54。由等差數(shù)列的性質(zhì)，$S_5-S_3=2a_4$，$S_8-S_5=2a_6$，解得$a_4=6$，$a_6=12$，所以$S_8=S_5+2a_6=30+24=54$。2.(-2,3)。關(guān)于$y$軸對稱，橫坐標取相反數(shù)，縱坐標不變。3.2和24。根據(jù)韋達定理，$x_1\timesx_2=\frac{c}{a}=\frac{48}{1}=48$，所以$x_1$和$x_2$分別為$2$和$24$。4.10。根據(jù)韋達定理，$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4^2-2\times3=16-6=10$。5.(-2,-3)。關(guān)于原點對稱，橫縱坐標都取相反數(shù)。6.$a_1+(n-1)d$。根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，$a_n=a_1+(n-1)d$。7.$\frac{4}{5}$。根據(jù)勾股定理，$\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{4^2+5^2-3^2}{2\times4\times5}=\frac{16+25-9}{40}=\frac{32}{40}=\frac{4}{5}$。8.3。根據(jù)韋達定理，$m+n=3$。9.$\frac{3}{5}$。根據(jù)勾股定理，$\sinB=\frac{a}{c}=\frac{3}{5}$。10.0。因為$m$、$n$是方程$x^2-2ax+a^2-1=0$的兩個根，所以$m+n=2a$，$m\timesn=a^2-1$，由于$m$和$n$互為相反數(shù)，所以$m+n=0$。三、解答題答案及解析：1.$S_8=54$。由等差數(shù)列的性質(zhì)，$S_5-S_3=2a_4$，$S_8-S_5=2a_6$，解得$a_4=6$，$a_6=12$，所以$S_8=S_5+2a_6=30+24=54$。2.$B(-2,3)$。關(guān)于$y$軸對稱，橫坐標取相反數(shù)，縱坐標不變。3.$x_1=2$，$x_2=24$。根據(jù)韋達定理，$x_1\timesx_2=\frac{c}{a}=\frac{48}{1}=48$，所以$x_1$和$x_2$分別為$2$和$24$。4.$a^2+b^2=10$。根據(jù)韋達定理，$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4^2-2\times3=16-6=10$。5.$B(-2,-3)$。關(guān)于原點對稱，橫縱坐標都取相反數(shù)。6.$a_n=a_1+(n-1)d$。根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，$a_n=a_1+(n-1)d$。7.$\cosA=\frac{4}{5}$。根據(jù)勾股定理，$\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\fr