《數(shù)學(xué)建?；顒樱簺Q定蘋果的最佳出售時間點》教學(xué)設(shè)計

《數(shù)學(xué)建?；顒樱簺Q定蘋果的最佳出售時間點》教學(xué)設(shè)計教學(xué)設(shè)計一、情境導(dǎo)入師：俗話說，“物以稀為貴”.一般來說，當(dāng)市面上某種商品的出售量比較多時，這種商品的價格就會比較低；而出售量比較少時，價格就會比較高.例如，當(dāng)市面上蘋果比較多時，蘋果的價格就會降低.這時，如果利用一定的技術(shù)手段將蘋果進(jìn)行保鮮存儲，等到市面上的蘋果變少、價格上升之后再出售，則同樣多的蘋果就可以獲得相對較高的銷售收入.不過，需要注意的是，保鮮存儲是有成本的，而且成本會隨著時間的延長而增大.針對上述這種生活中的生活現(xiàn)象，我們可以提出一些什么問題呢？學(xué)生分組合作，討論交流，提出問題.二、建模過程描述與介紹師：同學(xué)們通過剛才的討論交流，提出了不少問題，都是值得探討的，在這里，老師也提出幾個問題：為什么會發(fā)生這些現(xiàn)象？什么情況下不會發(fā)生這樣的現(xiàn)象？能夠利用哪些技術(shù)手段進(jìn)行保鮮存儲？哪種保鮮存儲的成本最低？等等.師：類似以上問題，因為不僅僅涉及量的關(guān)系，所以只用數(shù)學(xué)手段研究將是困難的.不過，上述現(xiàn)象中，涉及了增大與減少的問題，這可以用數(shù)學(xué)符號和語言進(jìn)行描述.仍以蘋果為例，設(shè)市面上蘋果的量為萬噸，蘋果的單價為元.上述現(xiàn)象說明，會隨著的增大而減少，且也會隨著的減少而增大——也就是說，如果是的函數(shù)并記作的話，是減函數(shù).同樣地，如果設(shè)保鮮存儲的時間為天，單位數(shù)量的保鮮存儲成本為元，且是的函數(shù)并記作的話，是一個增函數(shù).由于市面上蘋果的量會隨著時間的變化而變化，因此可以認(rèn)為是的函數(shù)，并記作.從上面這些描述不難看出，在第天出售蘋果時，單位數(shù)量的蘋果所獲得的收益元可以用表示出來，即.此時，如果，，都是已知的，則能得到與的具體關(guān)系式.有了關(guān)系式之后，就能解決如下問題：是否有最大值？如果有最大值，那么為多少時取最大值？學(xué)生思考問題，討論交流后派代表發(fā)言.師：怎樣才能確定上述，，呢？這可以通過合理假設(shè)以及收集數(shù)據(jù)、確定參數(shù)來完成.例如，為了簡單起見，我們可以假設(shè)和都是一次函數(shù)，且，；并假設(shè)是一個二次函數(shù)，且.則有，其中，，.上述各參數(shù)可以通過收集實際數(shù)據(jù)來確定，例如，如果我們收集到了如下實際數(shù)據(jù)./萬噸8.47.6/元0.81.2/天12/元0.110.12/天123/萬噸9.4629.3289.198利用待定系數(shù)法，根據(jù)前面的假設(shè)就可以確定出，，，因此.注意到上式可以改寫成，所以此時在時，取最大值1.也就是說，在上述情況下，保鮮存儲30天時，單位商品所獲得的利潤最大，為1元.學(xué)生仔細(xì)閱讀上述內(nèi)容，理解消化，體會建立簡單函數(shù)模型的方法.師：當(dāng)然，實際情況與上面的建模結(jié)果可能會出現(xiàn)偏差.因為我們假設(shè)和都是一次函數(shù)等就已經(jīng)把問題進(jìn)行了簡化，如果條件容許的話，可以先不假設(shè)函數(shù)的具體形式，在收集盡量多的數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，通過對數(shù)據(jù)的分析來最終得出函數(shù)的具體形式，這樣也就能優(yōu)化我們最終建立的模型.以上我們用敘述的方式，讓大家經(jīng)歷了一個簡單的數(shù)學(xué)建模全過程.由此可以看出，對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題就是數(shù)學(xué)建模.數(shù)學(xué)建模過程主要包括：在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計算求解，驗證結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實際問題.師：在實際的數(shù)學(xué)建模過程中，為了向別人介紹數(shù)學(xué)建模的成果，給別人提供參考，我們還需要將建模結(jié)果整理成論文的形式.一般來說，數(shù)學(xué)建模論文的結(jié)構(gòu)可以按照建模過程來確定.例如，圖1、圖2、圖3所示都可以是數(shù)學(xué)建模論文的主體結(jié)構(gòu).師：當(dāng)然，數(shù)學(xué)建模論文中還可以根據(jù)需要增加作者、摘要、參考文獻(xiàn)、附錄等信息.需要提醒的是，對于一些綜合性比較大的問題而言，數(shù)學(xué)建模的過程中需要做的事情比較多，比如數(shù)據(jù)收集與整理、模型試算、對比不同的模型、將結(jié)果以可視化方式顯式、資料整理與論文撰寫等，因此數(shù)學(xué)建模的過程中，往往采用分工合作的方式進(jìn)行.一般來說，一個數(shù)學(xué)建模小組由3-5人組成.理想的小組中，既要有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)扎實的同學(xué)，也要有能熟練使用計算機(jī)的同學(xué)，還要有寫作表達(dá)能力強(qiáng)的同學(xué).三、數(shù)學(xué)建模論文示例教師指導(dǎo)學(xué)生閱讀教材第127～129頁內(nèi)容，然后對數(shù)學(xué)建模論文示例進(jìn)行講解.1.發(fā)現(xiàn)問題、提出問題在政府文件中，我們常?？梢钥吹剑嘘P(guān)經(jīng)濟(jì)增長與投資、消費的內(nèi)容.例如，《國務(wù)院關(guān)于促進(jìn)創(chuàng)業(yè)投資持續(xù)健康發(fā)展的若干意見》（國發(fā)〔2016〕53號）指出：“近年來，我國創(chuàng)業(yè)投資快速發(fā)展，不僅拓寬了創(chuàng)業(yè)企業(yè)投融資渠道、促進(jìn)了經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)調(diào)整和產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)型升級，增強(qiáng)了經(jīng)濟(jì)發(fā)展新動能，也提高了直接融資比重、拉動了民間投資服務(wù)實體經(jīng)濟(jì)，激發(fā)了創(chuàng)業(yè)創(chuàng)新、促進(jìn)了就業(yè)增長.”2016年11月，《國務(wù)院辦公廳關(guān)于進(jìn)一步擴(kuò)大旅游文化體育健康養(yǎng)老教育培訓(xùn)等領(lǐng)域消費的意見》（國辦發(fā)〔2016〕85號）指出：“當(dāng)前，我國國內(nèi)消費持續(xù)穩(wěn)定增長，為經(jīng)濟(jì)運行總體平穩(wěn)、穩(wěn)中有進(jìn)發(fā)揮了基礎(chǔ)性作用.順應(yīng)群眾期盼，以改革創(chuàng)新增加消費領(lǐng)域特別是服務(wù)消領(lǐng)域有效供給、補(bǔ)上短板，有利于改善民生、促進(jìn)服務(wù)業(yè)發(fā)展和經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型升級、培育經(jīng)濟(jì)發(fā)展新動能.”習(xí)慣上，人們總是用收入來衡量經(jīng)濟(jì)狀況，因此所謂的經(jīng)濟(jì)增長或者經(jīng)濟(jì)發(fā)展，通常指的是收入增加.那么，怎樣描述投資與經(jīng)濟(jì)增長的關(guān)系呢？為什么說消費增長有利于經(jīng)濟(jì)發(fā)展呢？這些現(xiàn)象能用數(shù)學(xué)語言來描述嗎？提示：投資與需求是拉動經(jīng)濟(jì)增長的三駕馬車之一，足以說明投資在經(jīng)濟(jì)增長中占有重要的地位.改革開放以來，伴隨國民經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展和國民收入的增加，我國的投資總量呈現(xiàn)顯著增加趨勢.從統(tǒng)計的角度看，經(jīng)濟(jì)增長與投資相互影響.經(jīng)濟(jì)增長、投資、消費之間的關(guān)系能用數(shù)學(xué)語言描述嗎？提示：通過建立數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)知識解答，再還原成實際問題.2.分析問題、建立模型要用數(shù)學(xué)語言描述經(jīng)濟(jì)增長、投資、消費之間的關(guān)系，實際上就是研究國民收入（簡稱為收入，用表示）、國民投資（簡稱投資，用表示）、國民消費（簡稱消費，用表示）之間的關(guān)系.為了簡單起見，可能做出以下假設(shè)：（1）收入、投資、消費都用同一單位來衡量，為了方便，以下均省略單位；（2）收入只用于投資和消費；（3）消費可以分為兩部分，一部分為基本消費（用表示），另一部分與收入成正比，比例系數(shù)為.值得注意的是，以上假設(shè)都是合理的，例如一個家庭的收入，一般而言，不是用于投資（比如儲蓄、購買理財產(chǎn)品等），就是用于消費（比如家庭成員的生活支出等）；一個家庭的消費，一部分用于滿足基本生活需求（比如購買食品等），而另一部分則依賴于收入的多少（比如家庭成員的旅游支出等）.由假設(shè)可知，收入、投資、消費之間的關(guān)系可描述為，.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，這通常稱為凱恩斯靜態(tài)模型，因為這是英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家凱恩斯最先得出的.如果不存在透支消費，那就意味著消費不大于收入，即，因此，從而有.如果將消費看成收入的函數(shù)，則這個函數(shù)在任意區(qū)間內(nèi)的平均變化率均為，這表示收入每增加一個單位，消費將增加個單位.因此，通常稱為邊際消費傾向.邊際消費傾向是消費增減量與可支配收入增減量之比值，表示每增加或減少一個單位的可支配收入時消費的變動情況.3.確定參數(shù)、計算求解（1）收入與消費的關(guān)系：，其中，是參數(shù).可以算出，這個函數(shù)在任意區(qū)間內(nèi)的平均變化率均為，這表示消費每增加一個單位，收入將增加個單位.思考：與是什么函數(shù)關(guān)系？提示：是的一次函數(shù).例如，當(dāng)，時，有，因此，如果消費，那么；如果消費，那么.可以看到，消費增長5個單位時，收入增加了6.25個單位.（2）收入與投資的關(guān)系為了探討經(jīng)濟(jì)增長（即收入）與投資的關(guān)系，可以將收入看成投資的函數(shù).通過消去求解可得，此時，與均為參數(shù).可以算出，這個函數(shù)在任意區(qū)間內(nèi)的平均變化率均為，這表示投資每增加1個單位，收入將增加個單位.例如，當(dāng)，時，有，因此，如果投資，那么；如果投資，那么.可以看到，投資增長5個單位時，收入增加了25個單位.4.驗證結(jié)果、改進(jìn)模型從上述計算結(jié)果可以看出，當(dāng)消費增長或者投資增長時，都將導(dǎo)致收入增加.而且，一般情況下，收入增加比消費增長或投資增長快.事實上，當(dāng)時，可知且.這就是說，平均變化率和都大于1.經(jīng)濟(jì)學(xué)上將這種現(xiàn)象稱為乘數(shù)效應(yīng).這就是說，凱恩斯靜態(tài)模型能夠較好地描述收入、投資與消費的關(guān)系.學(xué)生閱讀上述數(shù)學(xué)建模的過程，體會凱恩斯靜態(tài)模型的設(shè)計方法和實用價值.四、問題討論與建模實踐1.為了使得凱恩斯靜態(tài)模型能夠更好地描述現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)狀況，可以從哪些方面對模型加以改進(jìn)？2.經(jīng)濟(jì)生活中，商品的需求量與供給量都與商品價格有關(guān).一般來說，商品的價格越低，想購買這種商品的人就越多，因此需求量越大，但此時因為銷售的利潤低，因此賣的人就會越少，從而供給量越小.與其他同學(xué)一起合作，查閱有關(guān)資料，按照數(shù)學(xué)建模的步驟與方法，給出