湘教版2018年高中數(shù)學選修1-1全冊同步練習含答案

目錄

1.1.1命題的四種形式

1.1.2充分條件和必要條件

1.2.1邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”“且”和“或”

1.2.2全稱量詞和存在量詞

2.1.1橢圓的定義與標準方程

2.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)

2.2.1雙曲線的定義與標準方程

2.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

2.3.1拋物線的定義與標準方程

2.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)

2.4圓錐曲線的應用

3.1.1問題探索—求自由落體的瞬時速度

3.1.2問題探索—求作拋物線的切線

3.1.3導數(shù)的概念和幾何意義

3.2.1幾個幕函數(shù)的導數(shù)

3.2.2一些初等函數(shù)的導數(shù)表

3.2導數(shù)的運算3.2.3導數(shù)的運算法則

3.3.1利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

3.3.2函數(shù)的極大值和極小值

3.3.3三次函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)區(qū)間和極值

3.4生活中的優(yōu)化問題舉例

1.1.1命題的四種形式

1.命題“若函數(shù)Hx)=log“x(a>0,aWl)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則log“2<0”的逆否命題是().

A.若log“2》0,則函數(shù)/1(x)=logex(a>0,a#l)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)

B.若10gs2V0,則函數(shù)f(x)=log“*(a>0,aWl)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)

C.若log“220,則函數(shù)F(x)=log?x(a>0,aWl)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)

D.若log“2<0,則函數(shù)f(x)=log,x(a>0,a￥l)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)

2.有下列四個命題：

①“若”+y=0,則x,y互為相反數(shù)”的逆命題；

②“若a>b,則AS”的逆否命題；

③“若咫一3,則f+x—6>0”的否命題；

④“若a"是無理數(shù)，則a,方是無理數(shù)”的逆命題.

其中真命題的個數(shù)是().

A.0B.1C.2D.3

3.“若9=1,則x=l”的否命題為().

A.若歲?1,貝ij

B.若丁=1,則xWl

C.若貝ljx=l

D.若xWl,則VWI

4.有下列四個命題，其中真命題是().

①“若燈=1,貝ijx,y互為倒數(shù)”的逆命題；

②“相似的兩個三角形的周長相等”的否命題；

③”對實數(shù)a,b,若a?+爐=0,則a,6全為0”的逆否命題；

④“若x>2,則x>l”的逆命題.

A.①②B.②③

C.①③D.②④

5.已知命題''若。則°”為真，則下列命題中一定為真的是().

A.若一ip則一><?B.若一則一ip

C.若q則〃D.若-iq則p

6.在空間中，①若四點不共面，則這四點中任何三點都不共線；②若兩條直線沒有公共點，則這兩

條直線是異面直線.以上兩個命題中，逆命題為真命題的是.(把符合要求的命題序號都填上)

7.下列命題中的真命題為.

①“若a>b,則a+c>6+c”的否命題；②“矩形的對角線相等”的逆命題；③“若打=0,則%,

y中至少有一個為0”的否命題.

8.把下列不完整的命題補充完整，并使之成為真命題.若函數(shù)/"(x)=3+log2x(x>0)的圖象與g(x)

的圖象關于對稱，則函數(shù)g(x)=.(填上你認為可以成為真命題的一種情況即可)

9.把下列命題寫成“若0則/的形式，并寫出它們的逆命題、否命題與逆否命題.

⑴當x=2時，/―3x+2=0；

(2)對頂角相等.

10.已知函數(shù)f(x)是(-8,+8)上的增函數(shù)，a,6GR,對命題“若a+620,則/'(a)+F(6)'(一

a)+f(i)”.

(1)寫出其逆命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論；

(2)寫出其逆否命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論.

參考答案

1.A由互為逆否命題的關系可知，原命題的逆否命題為：若log?220,則函數(shù)f(x)=log,x(a>0,

a#l)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù).

2.B①逆命題“若x,y互為相反數(shù)，則x+y=O”是真命題；

②因為原命題為假命題，所以其逆否命題也為假命題；

③否命題“若x>—3,則f+x-6W0"，取x=5,但f+x-6=24>0,所以原命題的否命題為假

命題；

④逆命題“若a,6是無理數(shù)，則a"是無理數(shù)"，若a=陣)6,b=@,則才=2是有理數(shù)，所以

原命題的逆命題為假命題.

3.A選項B為命題的否定，選項D為逆否命題，故選A.

4.C①的逆命題為“若x,y互為倒數(shù)，則燈=1"，顯然為真.②的否命題為“不相似的兩個三角

形的周長不相等”，為假.③中的原命題為真，故其逆否命題也為真.④的逆命題為“若x>l,則x>2”,

3

為假，因為當x=5時，X>1,但x<2.故只有①③為真.

5.B互為逆否命題的兩個命題的真假性相同.互為逆命題或互為否命題的兩個命題的真假性不相

關.選項B和已知命題互為逆否命題，均為真命題，故選B.

6.②①的逆命題是：若四點中任何三點都不共線，則這四點不共面，顯然不正確.

②的逆命題是：若兩條直線是異面直線，則這兩條直線沒有公共點，為真命題.

7.①③①中的否命題為：“若則a+cW方+c”，為真命題.②中的逆命題為“對角線相等

的四邊形是矩形"，為假命題，因為等腰梯形的對角線也相等.③中的否命題為“若30,則*,y都不

為0”，為真命題.

8.y軸3+logz(—x)(x<0)該題將函數(shù)的圖象和性質(zhì)與命題綜合在一起，要綜合利用知識.可能

情況有：”軸，—3—log2x；y軸，3+log2(—x)；原點，一3一log2(—x)；直線y=x,2'」"等.答案不唯一.

9.解：(1)原命題：若x=2,則/—31+2=0.

逆命題：若/一3x+2=0,則*=2.

否命題：若/2,則f—3x+2W0.

逆否命題：若3x+2#0,則x#2.

(2)原命題：若兩個角是對頂角，則它們相等.

逆命題：若兩個角相等，則它們是對頂角.

否命題：若兩個角不是對頂角，則它們不相等.

逆否命題：若兩個角不相等，則它們不是對頂角.

10.解：(1)逆命題是：若f(a)+f(6)》f(-a)+f(一方)，則a+?)0.它為真命題，可證明原命題

的否命題為真命題來證明它.

假設a+6V0,則a<—6,b<-a.

因為/'(x)是(一8,十8)上的增函數(shù)，

則f[a)<f(—6),f(t>)<f(—a),

所以f(a)+f(b)<f(-a)+f(-6).

故原命題的否命題為真命題.

因為否命題與逆命題互為逆否命題，

所以原命題的逆命題為真命題.

(2)逆否命題是：若f(a)+Fg)Vf(-a)+f(-6),則a+6<0.它為真命題，可證明原命題為真命題

來證明它.

因為a+620,所以a^—b,62—a.因為f(x)在(一8,十8)上是增函數(shù)，所以/(-6),

所以f(a)+f(份Nf(-a)+/(一"，故原命題為真命題.

所以原命題的逆否命題為真命題.

1.1.2充分條件和必要條件

1.設xGR,則“*=1”是“f=x”的（）.

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.已知a,B表示兩個不同的平面，加為平面a內(nèi)的一條直線，則“aj,￡”是“勿_￡￡”的（）.

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.“x>0”是“反0”的（）.

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.若a與6—c都是非零向量，則c”是“a，（6—c）”的（）.

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知a,人都是實數(shù)，那么''才>層"是的（）.

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

V-1

6.已知夕：11-|<2,g：x—2x+l—朋W0（加>0）,且是一ig的充分而不必要條件，則實數(shù)

O

）的取值范圍是..

7.已知方程/+（2〃-1）*+爐=0,則使方程有兩個大于1的實根的充要條件是.

8.使函數(shù)/"（x）=|x-a|在區(qū)間［1,+8）上為增函數(shù)的充分不必要條件為.

9.已知數(shù)列｛8,｝的前〃項和S,=aq"+方（aWO,gWO,gWl）,求證：數(shù)列｛a,,｝是公比為g的等比數(shù)列

的充要條件是a+b=O.

10.求關于x的方程a/+2x+l=0至少有一個負的實根的充要條件.

參考答案

1.A當x=l時，必有x'=x,但當V=x時，xG{0,1,—1}.故選A.

2.B由平面與平面垂直的判定定理知如果勿為平面a內(nèi)的一條直線，niLfi,則反過來則

不一定成立.所以“是“mIB”的必要而不充分條件.

3.A由“x>0”可知“x#0”，故為充分條件；但“xfO”時可以有x>0或x<0,故為不必要條

件，故選A.

4.C根據(jù)數(shù)量積的運算律，有a?b=a?coa?6-'a?c=Ooa?(b—c)=0u>a_L(6—c),故選C.

5.D方法一：a">Z>2?(a+Z?)(a—6)>0,a>tx^a—b>0,

所以才〉討彳a>b,且故“才>6?”是“a>6”的既不充分也不必要條件.

方法二：(特值法)取a=—1,6=0滿足,>況但aV8,又取a=0,b=-l,滿足a>6,(Ha<l),

故“才是“Qb”的既不充分也不必要條件.故選D.

x—1

6.(0,3]解不等式11一一1|W2,得{才|-2<?<10}.

,5

解不等式/—2^+1—/?^0,

得11+/〃(加>0).

即條件夕：4={x-2WxW10},條件g：5={x|1—0WxWl+加}.

“「夕是」4的充分而不必要條件”等價于“g是夕的充分而不必要條件”，

&41一勿》一2,且1+勿410(注意：兩式不能同時取等號)，解得/<3.

又加>0,所以所求的勿的取值范圍為{加|0V/W3}.

(zl=(2A-l)2-4A-2^0,

7.k<-2設方程的兩實根為石，物使小，汝都大于1的充要條件是(U-l)+U2-l)>0,

[(汨―1)?(A2—1)>0,

E+X2—2>0,

^X\X2~(xi+用)+l>0.

W

由韋達定理'得J_(2f_2>0,

/+(2A-1)+1>0,

解得k<-2.

所以所求的充要條件為k<-2.

8.aWO由函數(shù)/Xx)=段一a|的圖象知，函數(shù)f(x)=Ix-a|在區(qū)間［1,+8)上為增函數(shù)的充要條

件為aWl,所以使“函數(shù)/"(x)=|x-a|在區(qū)間［1,+8)上為增函數(shù)”的充分不必要條件即求使“aWl”

成立的充分不必要條件，即填寫形如且即可.答案不唯一.

9.證明：充分性：即證a+6=0=數(shù)列｛%｝是公比為g的等比數(shù)歹九

a-\-b=O,Sn=aq"+b=aq—a.

J.a?=S?-S?-\={aq—a)—{aq'—a)=a(gT)"一'(">D.

.a?a(g—l)g

??+l一/,\-i_Q\n^>1).

at,aXq—i)q

又'：a、=aq—a,a2—aq—aq,

.改a(g-l)g

*,3ia(q—1)斗

：.數(shù)列｛a“｝是公比為q的等比數(shù)列.

必要性：即證數(shù)列｛a｝是公比為。的等比數(shù)列=a+6=0.

V數(shù)列｛a.｝是公比為°的等比數(shù)列，

../力(1一/)&劭,

…、L1-Q-1-0一1一產(chǎn)

又“：Sn=a(f+b,a=—［'力，b=1,力.*.a+b=Q.

1—q1—q

綜上可得，數(shù)列｛&｝是公比為q的等比數(shù)列的充要條件是a+6=0.

10.解：(l)a=0時適合.

(2)當aWO時，顯然方程沒有零根，若方程有兩異號的實根，則aVO；若方程有兩個負的實根，則必

須滿足52解得0<aWl.

—<0,

a

<4=4—4心0.

綜上知，若方程至少有一個負的實根，則aWl；反之，若aWl,則方程至少有一個負的實根.因此,

關于x的方程af+2x+l=0至少有一個負的實根的充要條件是aWL

1.2.1邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”、“且”和“或”

1.命題“方程f-1=0的解是x=±l”中使用的邏輯聯(lián)結(jié)詞的情況是().

A.沒有使用邏輯聯(lián)結(jié)詞

B.使用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”

C.使用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”

D.使用邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”

2.已知命題p：所有的有理數(shù)都是實數(shù)，命題17：正數(shù)的對數(shù)都是負數(shù)，則下列命題中為真命題的是

().

A.(―ip)V<?B.p/\q

C.(—>p)V(-><7)D.(—>p)A(-19)

3.已知命題"0c{0},q：0G。，由它們構成的“0八q”、“儀d，、“「P”形式的命題中，真命

題有().

A.3個B.2個C.1個D.0個

4.已知命題0,q,則“命題p或q為真”是“命題〃且g為真”的().

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

5.已知命題p：函數(shù)f(x)=sin(2x—2)+1,滿足/'6+x)=『4一x)，命題。：函數(shù)g(x)=sin(2x

OOO

+夕)+1可能是奇函數(shù)(，為常數(shù))，則命題“〃八°”、“pVq”、“-ip”中，為真命題的個數(shù)為().

A.0B.1C.2D.3

6.已知命題p：不等式ax+6>0的解集為{x|x>—4,命題°：關于x的不等式(x—a)(*—b)<0的

a

解集為{x|a〈x<b},則“pAq”、“強q"、形式的復合命題中的真命題為.

7.已知a>0,a#l,設"函數(shù)y=log“(x+l)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞減，q.曲線y=f+(2a—

3)x+l與x軸交于不同的兩點.如果p和q有且只有一個正確，求a的取值范圍.

8.已知命題p：0：xGZ,若“。且與“非同時為假命題，求x的值.

9.已知c>0,設命題0：函數(shù)y=c，在R上單調(diào)遞減，命題q：不等式x+|x—2c|>l的解集為R.

如果命題。和命題。有且僅有一個為真命題，求c的取值范圍.

參考答案

1.C

2.C不難判斷命題。為真命題，。為假命題，根據(jù)真值表判斷，只有選項C正確.

3.C因為p為真，g為假，所以“pVq”為真，"0八/'為假，"「0”為假，故選C.

4.B命題“。或q”為真包括三種情況：p,。同真，。真。假，。假。真.當后兩種情況之一成立時，

有命題“。且g”為假；當命題“0且/為真時，p,g同真，從而得命題“?；騡”為真，故選B.

5.C對命題p,y=sinx的對稱軸方程為*=在“+"|"GeZ),令2%-^-=An+-^->得/=5徐(2工

JI,,衣冗JIJTJIJI.

―屋)+1的對稱軸為矛=k+彳，kQZ.取k=0,故合，即f(w+x)=f(W■一x)成立，所以,為

0乙J0oO

真命題.

對命題0,若g(x)為奇函數(shù)，因為g(x)的定義域為R,則有g(0)=0,即sin夕=一1,所以0=2kn

-y,Aez,所以。為真命題.所以是真命題的為“p/\q"與"做,故選C.

6.「p因為命題,，g均為假命題，所以“pVd、“夕Ag”均為假命題，只有“「2”為真命題.

7.解：當OVwVl時，函數(shù)y=log*(x+l)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞減；

當a>l時，函數(shù)y=log,,(x+l)在(0,+8)內(nèi)不是單調(diào)遞減.

15

曲線y=x+(2a—3)x+1與x軸交于兩點等價于(2a—3),—4>0,即aV］或A,

⑴若夕正確，。不正確，即函數(shù)y=loga(x+l)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞減，曲線y=/+(2a—3)x+l

與x軸不交于兩點，

則a￡(O,l)C(耳1，1)U(L-5］),

即aG［；,1).

(2)若p不正確，°正確，即函數(shù)尸log.(x+l)在(0,+8)內(nèi)不是單調(diào)遞減，曲線y=*+(2a-3)x

+1與X軸交于不同的兩點，

15

因此a￡(l,+oo)n((0,-)u(-,+-)),

5

即(5，+8).

綜上，3的取值范圍為［萬，1)U(3+8).

8.解：且。為假，二夕，q至少有一個命題為假.

又“非/'為假，???。為真，從而可知"為假.

\x-x\<6,

由,為假且。為真，可得”

x￡Z,

x—x<6,

即<X2—%>—6,

/GZ,

x—x—6<0,-2Vx<3,

x+6>0,x￡R,

l%ez.l%ez.

故x的取值為-1,0,1,2.

9.解：函數(shù)7=/在R上單調(diào)遞減oOVcVl.

不等式x+x—2c|>1的解集為R=函數(shù)y=x+|x-2c\在R上恒大于1.

2x—2c,

因為x+\x—2c\=f

2c,x<2c,

所以函數(shù)y=x+Ix—2c|在R上的最小值為2c.

所以不等式x+x—2c|>1的解集為R=2c>lu>c>；.

若P為真，且q為假，則OVcwg；

若P為假，且g為真，則c》l.

所以c的取值范圍為(0,1]U[1,+°°).

1.2.2全稱量詞和存在量詞

1.命題“存在x°￡R,2*。WO”的否定是().

A.不存在刖eR,2*>0

B.存在xoCR,2麗20

C.對任意的xGR,2rWO

D.對任意的xGR,210

2.已知命題p：VxGR,sinxWl,貝ij().

A.—>p：3xGR,sin

B.—ip：VxGR,sinxNl

C.—ip：3*GR,sinx>1

D.—ip：VxGR,sinx>l

3.下列四個命題中，為真命題的是().

A.V/?GR,n^n

B.3〃GR，VZf/WR,m,n—m

C.V〃GR,afflGR,m<n

D.V〃GR,n'<n

4.下列命題中真命題的個數(shù)為().

①末位是0的整數(shù)，可以被2整除；

②角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等;

③正四面體中兩側(cè)面的夾角相等.

A.1B.2C.3D.0

5.在下列命題中假命題的個數(shù)是().

①有的實數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)；

②有些三角形不是等腰三角形；

③有的菱形是正方形.

A.0B.1C.2D.3

6.下列命題：

①VaeR,在［。，。+口］上，函數(shù)y=sinx都能取到最大值1；

②若maGR且a#O,f(x+a)=—?/1(*)對VxWR成立，則/'(x)為周期函數(shù);

@3xG(―-^―,—,使sinx<cosx.

其中真命題的序號為.

7.設命題p：3xGR,滿足/-4a^+3aJ<0,其中a<0,命題q：3xGR,滿足x‘一x—6W0或x

+2x-8>0,且「。是「g的必要而不充分條件，則a的取值范圍是.

8.函數(shù)/Xx)對一切實數(shù)x,y均有/>。+了)一/(力=(*+2/+1)工成立，且f(l)=O.

(l)f(0)的值是;

(2)當Hx)+2<log.x,(0,3恒成立時，a的取值范圍是.

9.判斷下列命題的真假.

(1)每個指數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)；

(2)任何實數(shù)都有算術平方根；

(3)VA-ez,5x+3是整數(shù)：

(4)3xGR,犬2+2葉3=0；

(5)存在兩個相交平面垂直于同一條直線.

10.寫出下列命題的否定，并判斷其真假.

(l)p：對所有的正實數(shù)次，g為正數(shù)，且、■〈臟

(2)(?：存在實數(shù)x,使得|x+l|Wl或f>4.

參考答案

1.1)命題的否定是“對任意的xWR,2'>0”.

2.C

3.B當0<〃<1時，if<n,故選項A錯.取m=l,則〃>1,與矛盾，故選項C錯.當〃>1

時，n'>n,故選項D錯.3n=1,VmGR,m,n=m,故選B.

4.C用偶數(shù)的定義判斷①正確；用角平分線的性質(zhì)判斷②正確；用正四面體的概念及二面角的定義

判斷③正確.

5.A①如n為實數(shù)，是無限不循環(huán)小數(shù)，故①是真命題，同理②③均為真命題.

R冗3JT7nA/Q

6.②①取?=—在區(qū)間［丁，?。萆希瘮?shù)y=sinx的最大值不是1,而是冷，故①為假命

題.

②*.*f(x+a)=—f(x),/.f{x+2a)=-f(x+a)=F(x),

???f(x)的周期T=2a(aWO),故②為真命題.

③在(一半,一與)上由三角函數(shù)線易知，有sinx>cosx,故③為假命題.

2

7.(―°°,—4］U［―鼻，0)p：(x—3a)(x—a)V0,

又aVO,.\3a<x<a.

q：(x—3)(x+2)WO或(x+4)(才-2)>0,

二.—2或xV—4.

丁-12是「q的必要而不充分條件，

???。是2的必要而不充分條件.

令A={x\3a<x<a\,B={x|x2—2或xV—4},則力基氏

2

:.aW—4或3a2—2,；.—4或一

O

8.(1)—2(2)［乎?，1)(1)由已知等式/"(x+y)—F(y)=(x+2y+l)?x對Vx,yGR恒成立，

可令x=l,y=0,得/U)—f(0)=2,又因為/1(1)=0,

所以A0)=-2.

(2)由(1)知第0)=-2,所以f(x)+2=f(*)—f(0)=F(x+0)—f(0)=(x+l)?x.

i3

因為XG(0,5),所以/'(M+zeS,

要使xG(0，今時，Ax)+2<log,x恒成立，顯然當a>l時不成立(因為xG(0,1),aS(1,+<?)

時，lOgaXVO),

’01,解得買a<L

所以113

log.L

9.解：⑴形如y=a'(a>0且aWl)的函數(shù)是指數(shù)函數(shù).a>l時，y=a'是增函數(shù)，0<aVl時，尸

H是減函數(shù)，所以命題“每個指數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)”是真命題；

(2)—2是實數(shù)，但一2沒有算術平方根，所以命題“任何實數(shù)都有算術平方根”是假命題.

(3)VxGZ,5x+3都是整數(shù)，所以命題“VxGZ,5x+3是整數(shù)”是真命題.

⑷由于Vx￡R,x'+2x+3=(x+1)'+222,因此使x*+2x+3=0的實數(shù)x不存在，所以命題x￡R,

歲+2才+3=0”為假命題.

(5)由于垂直于同一條直線的兩個平面是互相平行的，因此不存在兩個相交平面垂直于同一條直線，

所以命題“存在兩個相交平面垂直于同一條直線”為假命題.

10.解：(1)」。：存在正實數(shù)如、偈<0或處由于該命題不易判斷真假，所以先判斷原命題的真

假，顯然原命題是假命題.如勿=;,則曷,即,>加，故該命題為真命題.

(2)—Iq：對Vx￡R,都有Ix+11>1且x?W4.由于x=-1￡R，但I—1+11=0<1?所以"是假命

題.

2.1.1橢圓的定義與標準方程

2

1.橢圓/+￡=1的一個焦點是(0,乖)，那么力等于().

K

A.-6B.6C.m+1D.1一4

2.如果方程表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)〃的取值范圍是().

A.(0,+8)B.(0,2)

C.(1,+8)1).(0,1)

3.方程3(x—2)2+/+M(x+2)2+/=10化簡的結(jié)果是().

2222

A.白+右=1B.白+看=1

lbzbZ1

2222

7

「C-2X5J+4=1Dn-25+21=11

22

4.橢圓缶+點=1的焦點坐標為().

A.(±4,0)B.(0,±4)

C.(±3,0)D.(0,±3)

22

5.橢圓專+5=1的焦點為百和&點P在橢圓上，如果線段期的中點在y軸上，那么|冏|是I附

?L乙o

的().

A.7倍B.5倍

C.4倍D.3倍

22

6.已知E,K為橢圓條+卷=1的兩個焦點，過E的直線交橢圓于46兩點，若|同4|+14冽=12,

zoy

則恒引=.

22

7.橢圓/的焦點為向，R,點。在橢圓上.若此|=4,則|形|=,4例的大

小為?

8.已知動圓M過定點/(一3,0),并且在定圓8：(*—3尸+/=64的內(nèi)部與其相內(nèi)切，則動圓圓心M

的軌跡方程是

9.已知46兩點的坐標分別是(一1,0),(1,0),直線4”，5V相交于點機且它們的斜率之積為血加

<0),求點材的軌跡方程并判斷其軌跡的形狀.

10.求焦點在坐標軸上，且經(jīng)過/(十,—2)和6(—24，1)兩點的橢圓的標準方程.

參考答案

1.B由焦點坐標為(0,4)，知焦點在y軸上，，4一1=(十”.

k=6.

^22

2.D+Ay=2,.*.y+y=l.

7

k

—>2,

???焦點在y軸上，???J2：.Q<k<\.

k>0,

3.B此題可從楠圓的定義入手.方程表示動點(x,0到(2,0)與(-2,0)的距離之和等于10,且10

大于兩定點的距離4,故該動點(必0的軌跡為橢圓..??2a=10,即a=5.又c=2,，爐=/一^=21..?.

22

方程為言+去=|

4.D根據(jù)橢圓的方程形式，知橢圓的焦點在y軸上，且c=>25—16=3.故焦點坐標為(0,±3).

x—3

5.A不妨設￡(—3,0),K(3,0),P(x,y),由題意，知丁=0,即x=3,代入橢圓方程，得尸

土乎)，即I附|=喙

故。點坐標為(3,由橢圓的定義知I網(wǎng)+1/^|=23=4^3,

???I郎|=歲，即|小|=7|因|.

6.8由橢圓的定義知(|班|+|朋|)+(|加i|+|/K|)=4a=20.又=+|班|同4|+

出例=12,

|曲+12=20..?.囪=8.

7.2120°解析：?.［歷|+|9|=2a=6,

“=6一|掰1=2.

|P用2+歸段2_忻圖2

在△,；/的中,COS/A況=

21P周忖瑪|

16+4-281

=---------------=-----

2x4x22

???"期=120°.

22

8.Y-?+y=l設動圓M和定圓8內(nèi)切于點C,動圓圓心材到定點力(-3,0),定圓8的圓心8(3,0)的

距離之和恰好又等于定圓5的半徑長，即

\MA\+IMB\=\MC\+|奶|=|BC\=8.

所以動圓圓心材的軌跡是以4夕為焦點的橢圓，并且2a=8,2c=6,所以b=?才Y=①

22

所以動圓圓心”的軌跡方程是2+3=1.

167

9.解：設點材的坐標為(x,y),因為點/的坐標是(-1,0),

所以直線4〃的斜率為凰=喜(任一1).

同理，直線5V的斜率為%“=一?(》#1).

由己知，有—yx—?=Mx#±l),

x+1X-1

2

化簡得點材的軌跡方程為f+匕=1(xW±1).

當皿=—1時，極的軌跡方程為x'+_/=l(xW±l),材的軌跡是單位圓去掉兩個點(±1,0).

當一l<m<0時，M的軌跡為焦點在x軸上的橢圓去掉兩個點(±1,0).

當勿<一1時，"的軌跡為焦點在y軸上的橢圓去掉兩個點(±1,0).

10.解法一：⑴當焦點在x軸上時，設橢圓的標準方程為與+5=l(a>6>0).

依題意，有

「(/)2|(-2)2.

(-2力)二1

I3+?=1,

a=15,

解得

B=5.

22

所以所求橢圓的標準方程%+±L

(2)當焦點在y軸上時，設橢圓的標準方程為號+/1(a>6>0).

f(-2)2,(V3)2

1,

If

依題意，有〈

1,(-2^3)2

m十b2一1,

a=5,

解得

4=15.

因為aVb,所以方程無解.

故所求橢圓的標準方程為記+t1.

解法二：設所求橢圓的方程為以f+77y2=1（/>0,??>0,且加#〃）.

3加+4〃=1,加=語

依題意，有解得〈

12〃+〃=1,1

n=5-

22

所以所求橢圓的標準方程為金+/1.

2.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)

1.橢圓25f+94=225的長軸長、短軸長、離心率依次是（）.

A.5,3,0.8B.10,6,0.8C.5,3,0.6D.10,6,0.6

2.（2010?廣東高考）若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是

（）.

4321

民

A.C.D.

----

5/5v55

3.已知橢圓了+7=19＞方。）的左焦點為尸,右頂點為4點6在橢圓上，且即Lx軸，直線交

y軸于點A若AP=2P8,則橢圓的離心率是（）.

A亞B亞C1n1

2232

4.已知橢圓C方=1與橢圓7+京=1有相同的離心率，則橢圓C可能是（）.

2222

xyo、x,y

A.tz5r力0)B.—+—=1

841664

22

YV

C.-+v=lD.以上都不可能

oZ

5.若點。和點尸分別為橢圓%*1的中心和左焦點，點尸為橢圓上的任意一點，則OP-叮的

最大值為（）.

A.2B.3C.6D.8

X2V2

6.曲線可+"7=xy關于________對稱.

o4

222222

7.已知橢圓GXV方=1與橢圓X介+V￡=1有相同的長軸，橢圓。的短軸長與橢圓V宗+X《=1的短軸

ab2516219

長相等，則a?=,甘=.

8.已知內(nèi)，K是橢圓的兩個焦點，滿足M6?M居=0的點材總在橢圓內(nèi)部，則橢圓的離心率的取

值范圍是..

2

9.如圖所示，已知斜率為1的直線/過橢圓全+/=1的右焦點尸，交橢圓于月，8兩點,求弦46的

長.

參考答案

1.B

2.B因為242勿2。成等差數(shù)歹lj,

所以2b=a+c.

又H

所以(a+c”=4(J—d).

所以a=-c.

o

￡_3

所以e=

3.D解析：如圖，設點4的坐標為(必

由于8￡Lx軸，故x=-c,y=一，

a

設戶(0,f),-：AP=2PB1

.、/b2.

(—a,f)=2(-c,——t).

a

.c1

.?.a=2c,/.-=—.

a2

當點8在第三象限時，

c1

同理可得一.

a2

4.A橢圓：+}=1的離心率為坐

2222

把卷+^=方(/W0)寫成白+春=L

848加4加

則a=8m,甘=4k,:.c=4m.

?￡_4￡_1.啦

,?/一薪—5—-2，

而言+卜=1的離心率為平，

右+存=1的離心率為坐

5.C由題意，得尸（一1,0）,設點尸（刖，K），

2

則或=3（1—：）（―2<xoW2）,

所以。P?尸尸=劉（照+1）+/=/+照+/=髭+照+3（1—4）=；（照+2尸+2.

44

所以當x0=2時，OP?FP取得最大值為6.

6.原點同時以一x代x,以一y代六方程不變，所以曲線關于原點對稱.

2222

7.259I?橢圓緣+*=1的長軸長為10,橢圓著+套=1的短軸長為6,；.才=25,B=9.

ZDioziy

8.（0,乎）MF,?MF2=0,

，點M（x,y）的軌跡是以點。為圓心，AK為直徑的圓，軌跡方程為

由題意知橢圓上的點在圓外部.

設點戶為橢圓上任意一點，則|8|>c恒成立.

由橢圓的性質(zhì)，知》其中6為橢圓短半軸長.

，b>c.：,c<l/=a~c.

???才>2日?,.（￡）*vj.

3L

cA/2-

:.e=_<~7~.又0Ve<1,

a2

9.解：設48兩點的坐標分別為力（E,力），B〈xz,㈤，由橢圓方程，知才=4,Z?2=l,則/=3,

所以有尸（/，0）,

所以直線1的方程為尸X一小.

2

將其代入京+/=1，化簡整理，得5/一隊而+8=0.

而廣1,逆8

所以為+屹=二―，X\X2=~.

55

所以="1+〃|小一尼1=3+”?7（小+及）2—4矛］X2

=歷、/（8m）2—4*5義88

V55，

2.2.1雙曲線的定義與標準方程

1.到兩定點內(nèi)（一3,0）,內(nèi)⑶0）的距離之差的絕對值等于6的點"的軌跡是（）.

A.橢圓B.線段

C.雙曲線D.兩條射線

22

2.雙曲線令一春=1的焦距為（）.

A.3^2B.4小

C.3^3D.4^2

3.已知定點￡（—2,0）,用（2,0）,在滿足下列條件的平面內(nèi)動點P的軌跡中為雙曲線的是（）.

A.1/^|-|/^|=±3

B.|冏|一|附=±4

C.|M|一|附=±5

D.|冏「一|網(wǎng)=±4

4.已知方程言一/匕=1的圖形是雙曲線，那么4的取值范圍是（）.

A.Q5

B.k>5,或一2<么<2

C.k>2,或AV—2

D.-2<k<2

5.設。為雙曲線V—=1上一點，R,凡是該雙曲線的兩個焦點，若|掰|：|次|=3：2,則△所出

12

的面積為（）.

A.673B.