第07講 一元二次方程及其應(yīng)用 課件中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

第二章方程與不等式第07講一元二次方程及其應(yīng)用4大考點精講+專訓(xùn)4大中考命題點+15大題型探究01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航中考考點考查頻率新課標(biāo)要求一元二次方程及其解法一元二次方程根的判別式一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系★★★理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根及兩個實根是否相等了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【考情分析1】本專題包括利用根的判別式確定一元二次方程解的情況、已知方程解的情況確定方程中未知字母的值及利用根與系數(shù)關(guān)系求解某些特定形式的代數(shù)式的值,試題形式多樣，難度一般，常與完全平方公式的各種變形結(jié)合考查.★★一元二次方程的實際應(yīng)用變化率問題利潤問題循環(huán)問題面積問題其它問題★★★★★★★能根據(jù)現(xiàn)實情境理解方程的意義；能針對具體問題列出方程；能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗方程解的合理性.【考情分析2】一元二次方程的應(yīng)用的考查多以解答題形式出現(xiàn)，難度一般，主要涉及的問題有變化率問題、利潤問題、幾何圖形問題等.解決實際問題時，要檢驗所求解是否滿足實際意義，注意取舍.【命題預(yù)測】本考點內(nèi)容以考查一元二次方程的相關(guān)概念、解一元二次方程、根的判別式、韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）、一元二次方程的應(yīng)用題為主，既有單獨考查，也有和二次函數(shù)結(jié)合考察最值問題，年年考查，分值為15分左右.預(yù)計2025年各地中考還將繼續(xù)考查上述的幾個題型，復(fù)習(xí)過程中要多注意各基礎(chǔ)考點的鞏固，特別是解法中公式法的公式，不要和后續(xù)二次函數(shù)頂點坐標(biāo)的縱坐標(biāo)公式記混了．02知識導(dǎo)圖·思維引航03考點突破·考法探究一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系考點三根的判別式考點二一元二次方程及解法考點一一元二次方程及解法一元二次方程的實際應(yīng)用考點四一元二次方程及解法考點一1.一元二次方程基礎(chǔ)一元二次方程的定義只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程一元二次方程的一般形式

等號左邊是一個關(guān)于未知數(shù)的二次多項式等號右邊是0.

a是二次項系數(shù)

b是一次項系數(shù)c是常數(shù)項.特征

易錯/熱考一元二次方程及解法考點一1.一元二次方程基礎(chǔ)一元二次方程的根的定義能使一元二次方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解（根）.判斷一個數(shù)是不是一元二次方程的根將此數(shù)代入這個一元二次方程的左、右兩邊，看左右兩邊的值是否相等，若相等，則是方程的根；若不相等，則不是方程的根.一元二次方程及解法考點一2.一元二次方程的解法基本思路降次轉(zhuǎn)化一元二次方程兩個一元一次方程得兩個一元一次方程解原一元二次方程的解解兩個一元一次方程（1）

直接開平方法（基礎(chǔ)）形如ax2=b（a≠0）的一元二次方程適合題型

當(dāng)b＝0時，則x1=x2，此時方程有兩個相等的實數(shù)根當(dāng)b＜0時，則方程無實數(shù)根.一元二次方程及解法考點一2.一元二次方程的解法（2）配方法（基礎(chǔ)）將方程化為（ax+b）2=m(a≠0)形式配方的實質(zhì)：當(dāng)m≥0時，直接用直接開平方法求解.用配方法解一元二次方程的一般步驟：移項①二次項系數(shù)化為1②配方③求解④將常數(shù)項移到等號右邊,含未知數(shù)的項移到等號左邊；如果二次項系數(shù)不是1，將方程兩邊同時除以二次項系數(shù)；方程兩邊都加上一次項系數(shù)一般的平方，把方程化為（x+p）2=q求解：若q≥0時，直接用直接開平方法求解一元二次方程及解法考點一2.一元二次方程的解法（3）公式法.用公式法解一元二次方程的一般步驟：把方程化為一般形式，確定a、b、c的值(若系數(shù)是分?jǐn)?shù)通常將其化為整數(shù)，方便計算)①求出b2-4ac的值，根據(jù)其值的情況確定一元二次方程是否有解②如果b2-4ac≥0，將a、b、c的值代入求根公式：③最后求出x1，x2④【補充說明】求根公式的使用條件一元二次方程及解法考點一2.一元二次方程的解法（4）因式分解法將方程右邊的各項移到方程左邊，使方程右邊為0①將方程左邊分解為兩個一次因式相乘的形式②令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程③最后求出x1，x2④依據(jù)如果兩個一次因式的積為0，那么這兩個因式中至少一個為0，即若ab=0，則a=0或b=0.用因式分解法解一元二次方程的一般步驟：易錯易混利用因式分解法解方程時，含有未知數(shù)的式子可能為零，所以在解方程時，不能在兩邊同時除以含有未知數(shù)的式子，以免丟根，需通過移項,將方程右邊化為0.針對練習(xí)一元二次方程及解法考點一

AD

03考點突破·考法探究一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系考點三根的判別式考點二一元二次方程及解法考點一根的判別式一元二次方程的實際應(yīng)用考點四根的判別式考點二1.根的判別式的定義定義

.通常用希臘字母Δ表示：根的情況與判別式的關(guān)系對應(yīng)的解方程有兩個不相等的實根方程有兩個相等的實根方程沒有的實根

【補充說明】一元二次方程有解分兩種情況：1）有兩個相等的實數(shù)根；

2）有兩個不相等的實數(shù)根．根的判別式考點二針對練習(xí)易錯易混2）當(dāng)Δ=

b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根，不能說方程只有一個實數(shù)根1）使用一元二次方程根的判別式時，應(yīng)先將方程整理成一般形式，再確定a，b，c的方程；

C

【解析】拋物線性質(zhì)

根的判別式考點二針對練習(xí)

∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，綜上，方程有1個或2個解，

函數(shù)與方程結(jié)合題03考點突破·考法探究一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系考點三根的判別式考點二一元二次方程及解法考點一一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程的實際應(yīng)用考點四一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系考點三

關(guān)系定理4）運用根與系數(shù)的關(guān)系和運用根的判別式一樣,都必須先把方程化為一般形式，以便正確確定a、b、c的值.補充說明1）一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的使用條件：2）當(dāng)一元二次方程的二次項系數(shù)為1時，如其兩根關(guān)系為:3）以兩個數(shù)x1,x2為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是x1+x2＝-p，x1?x2＝q.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系考點三針對練習(xí)

B

【解析】

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系考點三針對練習(xí)

【解析】

分式化簡要準(zhǔn)確03考點突破·考法探究一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系考點三根的判別式考點二一元二次方程及解法考點一一元二次方程的實際應(yīng)用一元二次方程的實際應(yīng)用考點四一元二次方程的實際應(yīng)用考點四1.解決實際問題的步驟審：理解并找出實際問題中的等量關(guān)系①設(shè)：用代數(shù)式表示實際問題中的基礎(chǔ)數(shù)據(jù);②列：找到所列代數(shù)式中的等量關(guān)系，以此為依據(jù)列出方程③解：求解方程;④驗：考慮求出的解是否具有實際意義③答：實際問題的答案.④一元二次方程的實際應(yīng)用考點四2.常見問題及數(shù)量關(guān)系2利潤問題利潤=售價-進(jìn)價；利潤率=利潤/進(jìn)價×100%總利潤=總售價-總成本=單個利潤×總銷售量.1變化率問題

a(1±x)

n=b

增長（或降低）的次數(shù)

增長（或降低）的基礎(chǔ)數(shù)

增長（或降低）的變化率

增長（或降低）后的數(shù)量一元二次方程的實際應(yīng)用考點四2.常見問題及數(shù)量關(guān)系3循環(huán)問題

4面積問題(a?2x)(b?2x)（x為空白部分的寬）(a?x)(b?x)（x為陰影部分的寬）一元二次方程的實際應(yīng)用考點四針對練習(xí)

A整張率問題C

增長的基礎(chǔ)數(shù)

增長后的數(shù)量

a(1±x)

n=b循環(huán)問題3．（2021·山西·中考真題）2021年7日1日建黨100周年紀(jì)念日，在本月日歷表上可以用一個方框圈出4個數(shù)（如圖所示），若圈出的四個數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為65，求這個最小數(shù)（請用方程知識解答）．

日歷的特征：左右相差1，上下相差704題型精研·考向洞悉已知一元二次方程的解求未知數(shù)/代數(shù)式的值題型01一元二次方程及其解法命題點一選用合適的方法解一元二次方程題型02以注重過程性學(xué)習(xí)的形式考查解一元二次方程題型03配方法的應(yīng)用題型04以開放性試題的形式考查解一元二次方程題型05命題點一一元二次方程及其解法?題型01已知一元二次方程的解求未知數(shù)/代數(shù)式的值

方法指導(dǎo)解題的關(guān)鍵：?熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系?通過代數(shù)式變形實現(xiàn)整體代入的方法6

【解析】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系把解m帶入方程配方命題點一一元二次方程及其解法?題型01已知一元二次方程的解求未知數(shù)/代數(shù)式的值

方法指導(dǎo)解題的關(guān)鍵：?熟練掌握二元一次方程的解的意義?通過化簡代數(shù)式實現(xiàn)整體代值

【解析】整體代值

命題點一一元二次方程及其解法?題型01已知一元二次方程的解求未知數(shù)/代數(shù)式的值

A

6

命題點一一元二次方程及其解法?題型02選用合適的方法解一元二次方程已知a，b，c分別為二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項.1）當(dāng)a=1，b為偶數(shù)，c≠0時，首選配方法；2）當(dāng)b=0時，首選直接開平方法；3）當(dāng)c=0時，可選因式分解法或配方法；4）當(dāng)a=1，b≠0，c≠0時，可選配方法或因式分解法；5）當(dāng)a≠1，b≠0，c≠0時，可選公式法或因式分解法.方法指導(dǎo)命題點一一元二次方程及其解法?題型02選用合適的方法解一元二次方程

解：【方法一】【方法二】因式分解法配方法

【方法一】因式分解法解：直接開平方法【方法二】

靈活選取適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠堂}點一一元二次方程及其解法?題型02選用合適的方法解一元二次方程

解：因式分解法公式法解：原方程化為：

b2-4ac=25-16=9

方法指導(dǎo)靈活選取適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠淌炀氄莆找辉畏匠谈鞣N解法的主要步驟命題點一一元二次方程及其解法?題型03以注重過程性學(xué)習(xí)的形式考查解一元二次方程

方法指導(dǎo)解題的關(guān)鍵：?熟練掌握二元一次方程配方法的步驟?靈活運用一元二次方程的各種解法二

命題點一一元二次方程及其解法?題型03以注重過程性學(xué)習(xí)的形式考查解一元二次方程

你認(rèn)為他們的解法是否正確？若正確請在框內(nèi)打“√”；若錯誤請在框內(nèi)打“×”，并寫出你的解答過程．

方程兩邊不能同時除以含未知數(shù)的代數(shù)式提公因式后去括號符號不對正確解答：

命題點一一元二次方程及其解法?題型03以注重過程性學(xué)習(xí)的形式考查解一元二次方程

(1)判斷：兩位同學(xué)的解題過程是否正確，若正確，請在框內(nèi)打“√”；若錯誤，請在框內(nèi)打“×”．(2)請選擇合適的方法求解此方程．

（1）兩位同學(xué)的解題過程都不正確．因式分解法解方程時要化簡方程為A×B=0的形式

正確解答：命題點一一元二次方程及其解法?題型04配方法的應(yīng)用

【利用配方法求代數(shù)式的最值】方法技巧

C

命題點一一元二次方程及其解法?題型04配方法的應(yīng)用變式方法指導(dǎo)解題的關(guān)鍵：?代入計算，再進(jìn)行比較?根據(jù)兩個式子的差比較出數(shù)的大小?配方法的應(yīng)用

命題點一一元二次方程及其解法?題型04配方法的應(yīng)用變式方法指導(dǎo)解題的關(guān)鍵：?代入計算，再進(jìn)行比較?根據(jù)兩個式子的差比較出數(shù)的大小?配方法的應(yīng)用

命題點一一元二次方程及其解法?題型04配方法的應(yīng)用變式方法指導(dǎo)解題的關(guān)鍵：?代入計算，再進(jìn)行比較?根據(jù)兩個式子的差比較出數(shù)的大小?配方法的應(yīng)用命題點一一元二次方程及其解法?題型04配方法的應(yīng)用

運用配方法將代數(shù)式化為非負(fù)數(shù)與常數(shù)代數(shù)和形式

命題點一一元二次方程及其解法?題型04配方法的應(yīng)用

一、三

命題點一一元二次方程及其解法?題型04配方法的應(yīng)用

模仿求解過程，利用配方法進(jìn)行求解

一、三

命題點一一元二次方程及其解法?題型04配方法的應(yīng)用

一、三

命題點一一元二次方程及其解法?題型04配方法的應(yīng)用

一、三

命題點一一元二次方程及其解法?題型05以開放性試題的形式考查解一元二次方程以開放性試題的形式考查直接解一元二次方程，解題時可以根據(jù)題目選擇不同的方法解決問題有利于培優(yōu)策略性思維。方法技巧

命題點一一元二次方程及其解法?題型05以開放性試題的形式考查解一元二次方程以開放性試題的形式考查直接解一元二次方程，解題時可以根據(jù)題目選擇不同的方法解決問題有利于培優(yōu)策略性思維。方法技巧

命題點一一元二次方程及其解法?題型05以開放性試題的形式考查解一元二次方程

一命題點一一元二次方程及其解法?題型05以開放性試題的形式考查解一元二次方程

命題點一一元二次方程及其解法?題型05以開放性試題的形式考查解一元二次方程

解：任選兩個方程解答如下

04題型精研·考向洞悉不解方程，判斷一元二次方程根的情況題型01根的判別式命題點二根據(jù)根的情況確定一元二次方程中字母的值/取值范圍題型02利用根的判別式求代數(shù)式的值題型03以開放性試題的形式考查根的判別式題型04命題點二根的判別式?題型01不解方程，判斷一元二次方程根的情況

D方法指導(dǎo)

命題點二根的判別式?題型01不解方程，判斷一元二次方程根的情況

AB

命題點二根的判別式題型02根據(jù)根的情況確定一元二次方程中字母的值/取值范圍

1）有根Δ≥0;2）有兩個不等根Δ＞0;3）有兩個相等根Δ=0;4）無實數(shù)根Δ＜0.方法技巧易錯點

命題點二根的判別式題型02根據(jù)根的情況確定一元二次方程中字母的值/取值范圍

方法指導(dǎo)

命題點二根的判別式題型02根據(jù)根的情況確定一元二次方程中字母的值/取值范圍

BD

命題點二根的判別式?題型03利用根的判別式求代數(shù)式的值

方法指導(dǎo)解題的關(guān)鍵：?熟練掌握二次根式的性質(zhì)?理解一元二次方程根的判別式A

命題點二根的判別式?題型03利用根的判別式求代數(shù)式的值

ACA

命題點二根的判別式?題型04以開放性試題的形式考查根的判別式

方法指導(dǎo)解題的關(guān)鍵：?根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況?正確解一元二次方程

因此可選擇②或③．命題點二根的判別式?題型04以開放性試題的形式考查根的判別式

方法指導(dǎo)解題的關(guān)鍵：?根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況?正確解一元二次方程

命題點二根的判別式?題型04以開放性試題的形式考查根的判別式

（答案不唯一）（答案不唯一）（答案不唯一）

04題型精研·考向洞悉不解方程，求方程中參數(shù)的值題型01一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系命題點三不解方程，求出與方程兩根有關(guān)的代數(shù)式的值題型02命題點三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系?題型01不解方程，求方程中參數(shù)的值

方法指導(dǎo)解題的關(guān)鍵：?掌握一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系?正確進(jìn)行等式恒等變形

命題點三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系?題型01不解方程，求方程中參數(shù)的值

方法指導(dǎo)解題的關(guān)鍵：?掌握一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系?正確進(jìn)行等式恒等變形

（2）解：命題點三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系?題型01不解方程，求方程中參數(shù)的值

方法指導(dǎo)解題的關(guān)鍵：?掌握一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系?正確進(jìn)行等式恒等變形

（3）解：

∵方程有兩個不相等的實數(shù)根

∴p＞2或p＜-2

利用跟的判別式確定p的取值范圍方法一命題點三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系?題型01不解方程，求方程中參數(shù)的值

方法指導(dǎo)解題的關(guān)鍵：?掌握一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系?正確進(jìn)行等式恒等變形

（3）解：

直接代入方程判斷方程的解的情況，再確定p的取值方法二命題點三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系?題型01不解方程，求方程中參數(shù)的值方法指導(dǎo)解題的關(guān)鍵：?掌握一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系?一元二次方程根的判別式是根與系數(shù)的關(guān)系的運用前提

（2）解：

命題點三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系?題型01不解方程，求方程中參數(shù)的值

A3

【解析】

【解析】

命題點三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系?題型02不解方程，求出與方程兩根有關(guān)的代數(shù)式的值

方法技巧命題點三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系?題型02不解方程，求出與方程兩根有關(guān)的代數(shù)式的值

方法指導(dǎo)解題的關(guān)鍵：?根與系數(shù)的關(guān)系和完全平方公式的應(yīng)用?正確化簡代數(shù)式

7方程解的意義根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】根據(jù)題意可得：命題點三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系?題型02不解方程，求出與方程兩根有關(guān)的代數(shù)式的值方法指導(dǎo)解題的關(guān)鍵：?根與系數(shù)的關(guān)系定理的逆用和方程解的意義?正確化簡分式命題點三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系?題型02不解方程，求出與方程兩根有關(guān)的代數(shù)式的值

【解析】方法一方法二

04題型精研·考向洞悉變化率問題題型01一元二次方程的實際應(yīng)用命題點四幾何圖形問題題型02以真實問題情境為背景考查一元二次方程的實際應(yīng)用題型03以數(shù)學(xué)文化為背景考查一元二次方程的實際應(yīng)用題型04命題點四一元二次方程的實際應(yīng)用?題型01變化率問題

方法指導(dǎo)解題的關(guān)鍵：?找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程?熟記連續(xù)增長率等量關(guān)系?理解售價與數(shù)量之間的對應(yīng)變化，正確列出表達(dá)式命題點四一元二次方程的實際應(yīng)用?題型01變化率問題【例1】（2024·山東淄博·中考真題）“我運動，我健康，我快樂！”隨著人們對身心健康的關(guān)注度越來越高．某市參加健身運動的人數(shù)逐年增多，從2021年的32萬人增加到2023年的50萬人．(1)求該市參加健身運動人數(shù)的年均增長率；方法指導(dǎo)解題的關(guān)鍵：?找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程?熟記連續(xù)增長率等量關(guān)系?理解售價與數(shù)量之間的對應(yīng)變化，正確列出表達(dá)式20212022202332萬

命題點四一元二次方程的實際應(yīng)用?題型01變化率問題

方法指導(dǎo)解題的關(guān)鍵：?找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程?熟記連續(xù)增長率等量關(guān)系?理解售價與數(shù)量之間的對應(yīng)變化，正確列出表達(dá)式

命題點四一元二次方程的實際應(yīng)用?題型01變化率問題

連續(xù)兩次增長

命題點四一元二次方程的實際應(yīng)用?題型01變化率問題2．（2023·湖南郴州·中考真題）隨旅游旺季的到來，某景區(qū)游客人數(shù)逐月增加，2月份游客人數(shù)為1.6萬人，4月份游客人數(shù)為2.5萬人．(1)求這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率；

(2)預(yù)計5月份該景區(qū)游客人數(shù)會繼續(xù)增長，但增長率不會超過前兩個月的月平均增長率．已知該景區(qū)5月1日至5月21日已接待游客2.125萬人，則5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是多少萬人？命題點四一元二次方程的實際應(yīng)用?題型02幾何圖形問題

方法指導(dǎo)解題的關(guān)鍵：?找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程?理解長方形的長與寬的變化，正確列出表達(dá)式

命題點四一元二次方程的實際應(yīng)用?題型02幾何圖形問題方法指導(dǎo)解題的關(guān)鍵：?找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程?理解長方形的長與寬的變化，正確列出表達(dá)式

AB×BC=640

命題點四一元二次方程的實際應(yīng)用?題型02幾何圖形問題方法指導(dǎo)解題的關(guān)鍵：?找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程?理解長方形的長與寬的變化，正確列出表達(dá)式

AB×BC=650

命題點四一元二次方程的實際應(yīng)用?題型02幾何圖形問題

方法一方法二命題點四一元二次方程的實際應(yīng)用?題型03以真實問題情境為背景考查一元二次方程的實際應(yīng)用

方法指導(dǎo)解題的關(guān)鍵：?熟練掌握一元二次方程的應(yīng)用?一元一次不等式的應(yīng)用及二