《微積分競賽輔導(dǎo)》課件

《微積分競賽輔導(dǎo)》本課程旨在幫助學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)微積分知識，掌握競賽解題技巧，提升數(shù)學(xué)能力，為參加微積分競賽做好充分準(zhǔn)備。課程大綱1.函數(shù)及其性質(zhì)2.導(dǎo)數(shù)的概念和性質(zhì)3.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4.積分的概念和性質(zhì)1.函數(shù)及其性質(zhì)1函數(shù)的概念和定義2函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性、周期性3函數(shù)的圖像和性質(zhì)之間的關(guān)系4函數(shù)的復(fù)合、反函數(shù)、隱函數(shù)極限的定義和性質(zhì)極限的定義：ε-δ語言和數(shù)列的極限極限的性質(zhì)：極限的唯一性、極限的四則運(yùn)算、極限的保號性、夾逼定理、單調(diào)有界數(shù)列必有極限極限的計算方法利用函數(shù)的性質(zhì)和公式利用等價無窮小和洛必達(dá)法則利用夾逼定理和單調(diào)有界定理利用函數(shù)的連續(xù)性和圖形法連續(xù)函數(shù)的概念和性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的定義：ε-δ語言連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：介值定理、零點定理、最值定理連續(xù)函數(shù)的分類：一致連續(xù)、絕對連續(xù)函數(shù)的間斷點1第一類間斷點：可去間斷點、跳躍間斷點2第二類間斷點：無窮間斷點、振蕩間斷點3間斷點類型的判斷方法2.導(dǎo)數(shù)的概念和性質(zhì)導(dǎo)數(shù)的概念：瞬時變化率、切線斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的定義：差商的極限、導(dǎo)數(shù)的物理意義導(dǎo)數(shù)的計算方法：求導(dǎo)公式、求導(dǎo)法則導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)的定義計算函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)1極限求導(dǎo)過程本質(zhì)上是求差商的極限2差商函數(shù)在兩點間的變化率3函數(shù)待求導(dǎo)的目標(biāo)函數(shù)4導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算法則加法法則：f(x)+g(x)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)+g'(x)減法法則：f(x)-g(x)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)-g'(x)乘法法則：f(x)*g(x)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)除法法則：(f(x)/g(x))的導(dǎo)數(shù)為(g(x)*f'(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)1鏈?zhǔn)椒▌t復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于外函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2復(fù)合函數(shù)由兩個或多個函數(shù)組合而成3求導(dǎo)對復(fù)合函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)操作高階導(dǎo)數(shù)1二階導(dǎo)數(shù)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，描述函數(shù)的凹凸性2三階導(dǎo)數(shù)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，描述函數(shù)的拐點3高階導(dǎo)數(shù)函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)，用于描述函數(shù)的更復(fù)雜性質(zhì)3.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用極值問題單調(diào)性與凹凸性漸近線的確定微分中值定理及其應(yīng)用其他應(yīng)用極值問題求導(dǎo)找到函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點判別利用二階導(dǎo)數(shù)判斷極值點的類型求解計算函數(shù)在極值點的取值，得到極值單調(diào)性與凹凸性單調(diào)性：利用一階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間凹凸性：利用二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的凹凸區(qū)間漸近線的確定水平漸近線：當(dāng)x趨于正負(fù)無窮時，函數(shù)的值趨于一個常數(shù)垂直漸近線：當(dāng)x趨于某一點時，函數(shù)的值趨于正負(fù)無窮斜漸近線：當(dāng)x趨于正負(fù)無窮時，函數(shù)的值趨于一個斜率不為零的直線微分中值定理及其應(yīng)用1羅爾定理：在閉區(qū)間上，連續(xù)且在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)，如果在端點取值相等，那么在該區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得導(dǎo)數(shù)為零2拉格朗日中值定理：在閉區(qū)間上，連續(xù)且在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)，那么在該區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得函數(shù)在該點的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)在該區(qū)間上的平均變化率3柯西中值定理：在閉區(qū)間上，兩個函數(shù)都連續(xù)且在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，那么在該區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得兩個函數(shù)在該點的導(dǎo)數(shù)之比等于這兩個函數(shù)在該區(qū)間上的平均變化率之比4.積分的概念和性質(zhì)積分的概念：原函數(shù)、不定積分積分的性質(zhì)：不定積分的性質(zhì)、定積分的性質(zhì)積分的計算方法：積分公式、積分技巧不定積分的概念和性質(zhì)不定積分的定義：導(dǎo)數(shù)為被積函數(shù)的函數(shù)不定積分的性質(zhì)：不定積分的線性性質(zhì)、不定積分的常數(shù)項常見的不定積分常見積分法換元積分法：利用換元法將復(fù)雜積分轉(zhuǎn)化為簡單的積分分部積分法：利用分部積分公式將復(fù)雜積分轉(zhuǎn)化為簡單的積分三角函數(shù)積分法：利用三角函數(shù)的性質(zhì)和公式求解積分其他積分技巧：利用積分表、利用圖形法定積分的概念和性質(zhì)1定積分函數(shù)在某個區(qū)間上的積分，代表曲線與坐標(biāo)軸圍成的面積2積分區(qū)間定積分的計算范圍3被積函數(shù)定積分的被積函數(shù)微積分基本定理1第一基本定理定積分的值等于被積函數(shù)的原函數(shù)在積分區(qū)間的兩個端點的取值之差2第二基本定理導(dǎo)數(shù)與積分互為逆運(yùn)算3微積分基本定理連接微積分和代數(shù)的橋梁5.積分的應(yīng)用面積和體積的計算流體力學(xué)問題物理問題的建模微分方程的應(yīng)用其他應(yīng)用面積和體積的計算面積利用定積分計算曲線與坐標(biāo)軸圍成的面積體積利用定積分計算旋轉(zhuǎn)體積流體力學(xué)問題利用積分計算流體壓力、浮力、流量等積分在流體力學(xué)中的應(yīng)用，包括流體力學(xué)方程的推導(dǎo)和求解物理問題的建模將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，利用積分求解物理量積分在物理學(xué)中的應(yīng)用，包括牛頓定律、能量守恒定律等微分方程的應(yīng)用1微分方程：描述函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的方程2積分在微分方程的解法中的應(yīng)用3微分方程在物理、化學(xué)、生物等領(lǐng)域的應(yīng)用6.微積分思想在其他領(lǐng)域的應(yīng)用幾何問題：利用微積分解決幾何問題，如曲線的長度、曲面的面積、曲線的切線等概率統(tǒng)計問題：利用積分計算概率密度函數(shù)、期望、方差等經(jīng)濟(jì)問題：利用微積分分析經(jīng)濟(jì)增長、利潤最大化、成本最小化等問題生物問題：利用微積分分析種群增長、傳染病傳播等問題幾何問題利用積分計算曲線的長度利用積分計算曲面的面積利用積分計算曲線的切線利用積分解決其他幾何問題概率統(tǒng)計問題利用積分計算概率密度函數(shù)利用積分計算期望利用積分計算方差經(jīng)濟(jì)問題1利用微積分分析經(jīng)濟(jì)增長2利用微積分分析利潤最大化3利用微積分分析成本最小化生物問題利用微積分分析種群增長利用微積分分析傳染病傳播利用微積分解決其他生物問題7.競賽中微積分問題的解題技巧常見問題類型分析巧用不等式充分利用函數(shù)性質(zhì)建立合理的數(shù)學(xué)模型常見問題類型分析1求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和積分2求函數(shù)的極值、單調(diào)性、凹凸性3求曲線的長度、面積、體積4解決物理、經(jīng)濟(jì)、生物等領(lǐng)域的問題巧用不等式利用柯西-施瓦茨不等式利用均值不等式利用積分中值定理利用其他不等式充分利用函數(shù)性質(zhì)單調(diào)性凹凸性連續(xù)性建立合理的數(shù)學(xué)模型1分析問題，提取關(guān)鍵信息2建立數(shù)學(xué)模型，用微積分語言描述問題3求解數(shù)學(xué)模型，得到問題的答案8.總結(jié)與展望課程小結(jié)：回顧微積分知識體系，總結(jié)解題技巧學(xué)習(xí)建議：如何繼續(xù)學(xué)習(xí)微積分，提升數(shù)學(xué)能力未來發(fā)展方向：微積分在各個領(lǐng)域中的應(yīng)用趨勢課程小結(jié)微積分是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是許多