上海市閔行區(qū)2024屆高考數(shù)學(xué)一模試卷(文科)(解析版)

2024年上海市閔行區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）

一、填空題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生應(yīng)在答題紙上相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)干脆填寫(xiě)

結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得4分，否則一律得零分.

1.若復(fù)數(shù)Z滿意-i|（i為虛數(shù)單位），則|Z|.

I

2.若全集U=R,函數(shù)萬(wàn)的值域?yàn)榧螦,則CuA:

Jy=x1

3.方程4X-2X-6R的解為.

4函"⑸二|：：：2二；二^的最小正周期"------------

5.不等式可的解集是?

6.已知圓錐的底面半徑為3,體積是12n,則圓錐側(cè)面積等于

7.已知△ABC中，底二行+3?，|正二-3彳+4耳,其中|晨［是基本單位向量,則△ABC的面積

為?

8.在2024年的上海高考改革方案中，要求每位考生必需在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理

6門(mén)學(xué)科中選擇3門(mén)學(xué)科參與等級(jí)考試.小明同學(xué)確定在生物、政治、歷史三門(mén)中至多選擇一門(mén)，

那么小明同學(xué)的選科方案有種.

9.若Sn是等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，且二二，+5,則

32

10.若函數(shù)f（x）=2限"1且f：x）在［m,+8）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的最小值等于.

22

11.若點(diǎn)P、Q均在橢圓「：$+F—=1（a>l）上運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)|、F2是橢圓「的左、右焦點(diǎn)，則

a2a2-l

|呵+畫(huà)-2而|帆最大值為.

TV

-,、COST^X,04X44

12.已知函數(shù)f(x)二，2,若實(shí)數(shù)a、b、c互不相等，且滿意f（a）=f（b）=f

-x+5,x>4

（c）,貝ija+b+c的取值范圍是.

13.我國(guó)南北朝數(shù)學(xué)家何承天獨(dú)創(chuàng)的“調(diào)日法”是程序化尋求精確分?jǐn)?shù)來(lái)表示數(shù)值的算法，其理論依

據(jù)是：設(shè)實(shí)數(shù)x的不足近似值和過(guò)剩近似值分別為g和目(a,b,c,dGN*),則圖是x為更為精

確的不足近似值或過(guò)剩近似值.我們知道產(chǎn)3.14159...,若令常<兀<々，則第一次用“調(diào)口法”后

JLU1..

的更為精確的過(guò)剩近似值，即會(huì)〈冗〈羋，若每次都取最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，那么第四次用"調(diào)日

ULO_____5J

法”后可得n的近似分?jǐn)?shù)為

nn3

14.數(shù)列出｝的前n項(xiàng)和為Sn，若對(duì)隨意n6N",都彳j【一1)an-^-,則數(shù)列｛a2n-

I｝的前n項(xiàng)和為.

二、選擇題(本大題滿分20分)本大題共有4題，每題只有一個(gè)正確答案.考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)

編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得5分，否則一律得零分.

15.若a,beR,且ab>0,則“a=b”是"找等號(hào)成立〃的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既非充分乂非必要條件

16.(x)=2+5X+10X2+10X3+5X4+X5,則其反函數(shù)的解析式為()

A.y=l+狙-1B.尸]一'x-]C.尸-[+狙一]D.尸――迫一]

a-b+c,c

17.△人8(2的內(nèi)角人，8,(2的時(shí)邊分別為@,1),<:,滿意一--<—^―,則角A的范圍是()

ba+b—c

A.(0,爺B.(0,?C.[-y,冗)D.育，冗)

18.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-1,I],圖象如圖1所示；函數(shù)g(x)的定義域?yàn)閇-1,2],圖象如圖

A.1B.2C.3D.4

三、解答題(本大題滿分74分)本大題共有5題，解答下列各題必需在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域

內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟.

n

19.如圖，三棱柱ABC-A|B|C|中，側(cè)棱AA|J_底面ABC,AA)=AB=2,BC=1,NBAC二二，D

6

為棱AA|中點(diǎn)，證明異面直線B[C]與CD所成角為得，并求三棱柱ABC-A[B]C]的體積.

TT

20.如圖，點(diǎn)A、B分別是角a、B的終邊與單位圓的交點(diǎn)，0＜8＜干＜€1〈九

(1)若CI=4兀，cos(a-B)二f求sin2|3的值；

A

(2)證明：cos(a-p)=cosacosp+sinasinp.

21.某沿海城市的海邊有兩條相互垂直的直線型馬路h、12,海岸邊界MPN近似地看成一條曲線段.為

開(kāi)發(fā)旅游資源，需修建一條連接兩條馬路的直線型觀光大道AB,且直線AB與曲線MPN有且僅有

一個(gè)公共點(diǎn)P(即直線與曲線相切)，如圖所示.若曲線段MPN是函數(shù)屈圖象的一段，點(diǎn)M到

1|、12的距離分別為8千米和1千米，點(diǎn)N到12的距離為1。千米，點(diǎn)P到12的距離為2千米.以11、

12分別為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy.

(1)求曲線段MPN的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域;

(2)求直線AB的方程，并求出馬路AB的長(zhǎng)度(結(jié)果精確到1米).

22.已知橢圓「的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,-|)，它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線E：y2=4x的焦點(diǎn)

------M--

重合，斜率為k的直線I交拋物線E于A、B兩點(diǎn)，交橢圓「于C、D兩點(diǎn).

(1)求橢圓「的方程；

(2)直線1經(jīng)過(guò)點(diǎn)F(1,0),設(shè)點(diǎn)P(-1,k),且△PAB的面積為求k的值；

(3)若直線I過(guò)點(diǎn)M(0,-I),設(shè)直線OC,OD的斜率分別為如，k2，且上，p看成等差

數(shù)列，求直線1的方程.

23.已知數(shù)列｛a"的各項(xiàng)均為整數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn.規(guī)定：若數(shù)列｛a。｝滿意前r項(xiàng)依次成公差為1

的等差數(shù)列，從笫1項(xiàng)起往后依次成公比為2的等比數(shù)列，則稱(chēng)數(shù)列｛aj為“r關(guān)聯(lián)數(shù)列“.

(1)若數(shù)列｛a"為"6關(guān)聯(lián)數(shù)列〃，求數(shù)列｛a"的通項(xiàng)公式；

(2)在⑴的條件下,求出Sn，并證明:對(duì)隨意nwN*,anS/a6s6；

(3)若數(shù)列｛aj為“6關(guān)聯(lián)數(shù)列〃，當(dāng)*6時(shí)，在a。與an+i之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)

公差為dn的等差數(shù)列，求dn，并探究在數(shù)列｛品｝中是否存在三項(xiàng)dm，dk,dp(其中m,k,p成等差

數(shù)列)成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的三項(xiàng)；若不存在，說(shuō)明理由.

2024年上海市閔行區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）

參考答案與試題解析

一、填空題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生應(yīng)在答題紙上相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)干脆填寫(xiě)

結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得4分，否則一律得零分.

1.若復(fù)數(shù)z滿意-寸（i為虛數(shù)單位）,則回2.

【考點(diǎn)】里數(shù)求模.

【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù).

【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，然后計(jì)算復(fù)數(shù)的長(zhǎng)度即可

【解答】解：'■?|iz^/3-i],

-zW^i+1,

?，-z=-1-?i，

憶|47Hl=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查里數(shù)的計(jì)算，要求嫻熟駕馭更數(shù)的四則運(yùn)算以及更數(shù)長(zhǎng)度的計(jì)算公式，比較

基礎(chǔ).

2.若全集U=R,函數(shù)的值域?yàn)榧螦'則G】A=（-8,0）

【考點(diǎn)】補(bǔ)集及其運(yùn)算.

【專(zhuān)題】計(jì)算題.

【分析】求出函數(shù)的值域確定出A,依據(jù)全集U=R,找出A的補(bǔ)集即可.

【解答】解：函數(shù)y=x^0,得到A=[0,+8）,

「全集U=R,

CuA=（-8，0）.

故答案為：（?8,0）

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了補(bǔ)集及其運(yùn)算，嫻熟駕馭補(bǔ)集的定義是解本題的關(guān)鍵.

3.方程4x-2x-6=0的解為1?；?.

【考點(diǎn)】指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化：二次函數(shù)的性質(zhì).

【專(zhuān)題】計(jì)算題.

【分析】由4X-2X-6=0,得（2X）2-2x-6=0,由此能求出方程4X-2X-6=0的解.

【解答】解：由4X-2X-6R,得

⑵）2-2X-6=0,

解得2*:3,或2x=-2（舍去），

x=log23.

故答案為：］Og23.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查指數(shù)方程的解法，解題時(shí)要仔細(xì)審題，留意指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化.

cos(兀-乂)sinx

4.函數(shù)f(x)=的最小正周期t二n

sin(冗+x)cosx

【考點(diǎn)】二階行列式的定義；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；三角函數(shù)的周期性及其求法.

【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；矩陣和變換.

【分析】利用二階行列式綻開(kāi)式法則和余弦函數(shù)二倍角公式求解.

cos(兀-x)sinx

【解答】解:函數(shù)f(x)=

sin(兀+x)cosx

=cos(R-x)cosx-sin(H+X)sinx

=-cos2x+sin2x

=-cos2x,

??函數(shù)手（X）=sinI：；；：：；：的最小正周期^

故答案為；n.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的最小正周期的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要仔細(xì)審題，留意二階行列式

綻開(kāi)法則的合理運(yùn)用.

不等式［＞曰的解集是（。2）

5.

【考點(diǎn)】其他不等式的解法.

【專(zhuān)題】不等式的解法及應(yīng)用.

【分析】移項(xiàng)、通分，化為等價(jià)的不等式，即可求出分式不等式的解集.

通分得P焉

即導(dǎo);

等價(jià)于2x（x-2）<0,

解得0VxV2.

故答案為：（0,2）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式不等式的解法與應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)通常化為等價(jià)的不等式進(jìn)行解答，是基

礎(chǔ)題.

6.已知圓錐的底面半徑為3,體積是12”則圓錐側(cè)面積等于」

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積；旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）.

【專(zhuān)題】空間位置關(guān)系與距離.

【分析】依據(jù)圓錐的體積計(jì)算出圓錐的高，以及圓錐的母線，進(jìn)而求出圓錐的側(cè)面積.

【解答】解：設(shè)圓錐的高為h.底面半徑為r,

,??圓錐的底面半徑為3,體積是12n,

19

??--^KX3V3Hh=12H，

即h=4,

圓錐的母線長(zhǎng)i=|“+h2T32+42=5）,

圓錐的側(cè)面積S=7irl=3x5n=：5n,

故答案為：15m

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考杳圓錐的體積和側(cè)面積的計(jì)算，要求嫻熟駕馭圓錐的體積和側(cè)面積公式.

7.已知△ABC中，九二4『+3不1AC二-3i+41,其中|i、口是基本單位向量,則4ABC的面積

【考點(diǎn)】三角形的面積公式.

【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想：綜合法；解三角形.

【分析】依據(jù)平面對(duì)量的數(shù)量積以及坐標(biāo)運(yùn)算，求出向量的模長(zhǎng)，推斷三角形是直角三角形，求出

面積即可.

【解答】解：依據(jù)題意，得:向=（4,3）,晝（?3,4），

-&（-7，I）,

.?.屈2=42+32=25,聞2=（_3）2+42=25,02=（-7）2+12=50；

圓二廚十廚,

△ABC是直角三角形，它的面積為S=[x5x5招.

故答案為：除

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳了平面對(duì)量的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)依據(jù)平面對(duì)量的數(shù)量積以及坐標(biāo)運(yùn)算，進(jìn)行解

答，是基礎(chǔ)題.

8.在2024年的上海高考改革方案中，要求每位考生必需在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理

6門(mén)學(xué)科中選擇3門(mén)學(xué)科參與等級(jí)考試.小明同學(xué)確定在生物、政治、歷史三門(mén)中至多選擇一門(mén)，

那么小明同學(xué)的選科方案有10種.

【考點(diǎn)】排列、組合的實(shí)際應(yīng)用.

【專(zhuān)題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；排列組合.

【分析】分類(lèi)探討：選擇兩門(mén)理科學(xué)科，一門(mén)文科學(xué)科；選擇三門(mén)理科學(xué)科，即可得出結(jié)論.

【解答】解：選擇兩門(mén)理科學(xué)科，一門(mén)文科學(xué)科，有C32c3「9種；選擇三門(mén)理科學(xué)科，有1科1，

故共有10種.

故答案為：10.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力，比較基礎(chǔ).

9.若Sn是等差數(shù)列｛a"的前n項(xiàng)和，且醫(yī)二立+5,則lim"5

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.

【專(zhuān)題】方程思想：極限思想；定義法：等差數(shù)列與等比數(shù)列.

【分析】設(shè)等差數(shù)列但目的公差為d,由已知可得烏的表達(dá)式，求極限可得.

【解答】解：設(shè)等差數(shù)列｛a"的公差為d,

故答案為：5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的求和公式，涉及極限的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

10.若函數(shù)f(x)=*71且f：x)在向，+8)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的最小值等于1.

【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用；指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用.

【專(zhuān)題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】先將函數(shù)解析式化為分段函數(shù)的形式，進(jìn)而求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合已知可得答案.

2口X<1

【解答】解：函數(shù)f(x)=2*11=

2X-1，x>l

則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為［1,+8),

若函數(shù)f(x)=2伙-11且f(x)在［m,+8)上單調(diào)遞增,

則[m,+8)c[|,+oo),

即m>1,

即實(shí)數(shù)m的最小值等于1,

故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的學(xué)問(wèn)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，單調(diào)

性的性質(zhì)，難度中檔.

22

II.若點(diǎn)P、Q均在橢圓「：吃+一^—=1(a>l)上運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)i、F2是橢圓「的左、右焦點(diǎn)，則

a2a2-l

|可+畫(huà)-2而||的最大值為

【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)潔性質(zhì).

【專(zhuān)題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】利用向量的平行四邊形法則可得：西+引二痼,代入再利用向量的三角形法則、橢

圓的性質(zhì)即可得出.

【解答】解：二,同+而二痼，

.??1可+畫(huà)-2同#|2而-2的|M屈||?2a,

|可+畫(huà)-2同(的最大值為2a,

故答案為：2a.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程、向量的平行四邊形法則與三角形法則，考查了推理

實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.

/、coscx,04x44

12.已知函數(shù)f(x)二’2，若實(shí)數(shù)a、b、c互不相等，且滿意f(a)=f(b)=f

-x+5,x>4

(c),則a+b+c的取值范圍是(8,10).

【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用.

【專(zhuān)題】計(jì)算題：函數(shù)思想；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】作出f(x)的函數(shù)圖象，由三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知a+b=4,由交點(diǎn)個(gè)數(shù)可得4Vc<6.

【解答】解：作出f<x)的函數(shù)圖象如圖：

?/f(a)=f(b)=f(c),

不妨設(shè)aVbVc,依據(jù)余弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可得a+b=4.且4VcV6.

a+b+c=4+c.8Va+b+cV10.

故答案為(8,10).

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳了分段函數(shù)的函數(shù)圖象，三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，零點(diǎn)的個(gè)數(shù)推斷，屬于基礎(chǔ)題.

13.我國(guó)南北朝數(shù)學(xué)家何承天獨(dú)創(chuàng)的“調(diào)日法”是程序化尋求精確分?jǐn)?shù)來(lái)表示數(shù)值的算法，其理論依

據(jù)是：設(shè)實(shí)數(shù)x的不足近似值和過(guò)剩近似值分別為2和月(a,b,c,dGN*),則|I圖是X的更為精

確的不足近似值或過(guò)剩近似值.我們知道冗=3.14159...,若令?！慈摺淳?，則第?次用“調(diào)日法"后

-1U_________

尋的更為精確的過(guò)剩近似值，喘＜冗尚若每次都取最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù),那么第四次用“調(diào)日

法〃后可得n的近似分?jǐn)?shù)為

【考點(diǎn)】歸納推理.

【專(zhuān)題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；推理和證明.

【分析】利用“調(diào)日法”進(jìn)行計(jì)算，即可得出結(jié)論.

【解答】解：其次次用“調(diào)口法”后得段是n的更為精確的過(guò)剩近似值，即￡4

<R<n

15II~5

第三次用“調(diào)FI法''后得6今-是n的更為精確的過(guò)剩近似值，即復(fù)6c

<n<

1v

第四次用“調(diào)日法〃后得號(hào)是n的更為精確的過(guò)剩近似值，即22

I

故答案為:

【點(diǎn)評(píng)】本題考查"調(diào)口法"，考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力，比較基礎(chǔ).

14.數(shù)夕ij{a"的前n項(xiàng)和為Sn，若對(duì)隨意n￡N’?,都有則數(shù)夕由azn.

【考點(diǎn)】數(shù)列的求和.

【專(zhuān)題】方程思想：轉(zhuǎn)化思想；等差數(shù)列與等比數(shù)列.

-1)%^n-

【分析】S=(■3,由ai=?aj+3,解得當(dāng)n=2k-l>3,kwN,時(shí)，

nn2n

3

利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公

a2k-尸S2k-1-S2k-3，變形為32k-14k

式可得a2k.,?再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出.

【解答】解：.??

..a)=-a(1-3,解得aj=

當(dāng)n=2k-lN3,kEN*時(shí)，a2kJ=S2k-1-S2k-3=-a2k-1+0+(2k-1)-3-

[-熟一尸/寸(2k-3)-3]

4KJ2^-KJ

化為:2a2k.產(chǎn)a2k.3

31(3_

變形為三二2=2(a2k-3尸，

?'?數(shù)列｛啾-1一3?2｝是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為-2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系，考查了推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)

力，屬于中檔題.

二、選擇題(本大題滿分20分)本大題共有4題，每題只有一個(gè)正確答案.考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)

編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得5分，否則一律得零分.

15.若a.bFR,且ah>0.則是"上等號(hào)成立〃的()

lab，1

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既非充分又非必要條件

【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的推斷.

【專(zhuān)題】定義法：不等式的解法及應(yīng)用：簡(jiǎn)易邏輯.

【分析】依據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合基本的性質(zhì)進(jìn)行推斷即可.

【解答】解：「abAO,

當(dāng)a*'則^用口+口？，此時(shí)等號(hào)成立，

冊(cè)聞轉(zhuǎn)2,當(dāng)且僅當(dāng)：

即a=b時(shí)取等號(hào)，

2等號(hào)成立“的充要條件,

故“a二b”是"

故選：A

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的推斷，依據(jù)基本不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

16.設(shè)f(x)=2+5x+10x2+1OX3+5X4+X5,則其反函數(shù)的解析式為()

A.y=l+姒—1B.y=]x-]C.y=-1+"x]D.尸—]—迫.]

【考點(diǎn)】反函數(shù).

【專(zhuān)題】定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；二項(xiàng)式定理.

【分析】依據(jù)二項(xiàng)式定理:(1+x)5=1+5X+10X2+10X3+5X4+K5,原函數(shù)可寫(xiě)成y=l+(1+x)5,再求

其反函數(shù)即可.

【解答】解：因?yàn)閥=f(x)=2+5x+10X2+10X3+5X4+X5

=1+[1+5x+10x2+1OX3+5X4+X5]=1+(1+x)5,

即y=l+(1+x)5,所以，1+x=y/y-1>

因此，x=-1+—1,

再交換X,y得，y=_1+燈X1，

所以，f(x)的反函數(shù)的解析式為C(x)=-KGR,

故答案為：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了反函數(shù)及其解法，涉及二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，根式的運(yùn)算和函數(shù)定義域與值

域的確定，屬于中檔題.

17.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,滿意三空則角A的范圍是()

ba+b—c

A.(0,為B.(0,-y]C.量兀)D.[-y,冗)

【考點(diǎn)】余弦定理.

【專(zhuān)題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；分析法；解三角形.

【分析】由已知可得(a-b+c)(a+b-c)<bc,整理可得：b2+c2-a2>bc,利用余弦定理可得

利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解A的范圍.

ab+c/c

【解答】解:

ba+b-c

又,「由于三角形兩邊之和大于第三邊，可得a+c-b>0.a+b-c>0,且b,c>0.

(a-b+c)(a+b-c)<bc,整理可得：b2+c2-a2>bc,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算實(shí)力和數(shù)形結(jié)

合實(shí)力，屬于中檔題.

18.函數(shù)f(X)的定義域?yàn)閇-1,1],圖象如圖1所示；函數(shù)g(x)的定義域?yàn)閇-1,2],圖象如圖

2所示.A={x|f(g(x))=0),B={x|g(f(x))=0},則AcB中元素的個(gè)數(shù)為()

【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象；交集及其運(yùn)算.

【專(zhuān)題】數(shù)形結(jié)合；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；集合.

【分析】結(jié)合圖象，分別求出集合A,B,再依據(jù)交集的定義求出ACB,問(wèn)題得以解決.

【解答】解：由圖象可知，

若f(g(x))=0,

則g(x)=0或g(x)=1,

由圖2知，g(x)=0時(shí)，x=0,或x=2,

g(x)=10'j',x=1或x=-1

故A={-1,0,I,2},

若g(f(x))=0,

由圖1知，f(x)=0,或f(x)=2(舍去)，

當(dāng)f(x)=0時(shí)，x=-l或。或1,

故B=[-1,0,1},

所以AcB={-1,0,1),

則AcB中元素的個(gè)數(shù)為3個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方程的根與函數(shù)的圖象的關(guān)系應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題.

三、解答題(本大題滿分74分)本大題共有5題，解答下列各題必需在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域

內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟.

19.如圖，三棱柱ABC-A|BQ中，側(cè)棱AA|_L底面ABC,AA|=AB=2,BC=I,/BAC二下，D

61

-jf

為棱AA|中點(diǎn)，證明異面直線B]J與CD所成角為三，并求三棱柱ABC-A]B|C|的體積.

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積.

【專(zhuān)題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法：空間位置關(guān)系與距離.

【分析】在△ABC中運(yùn)用正弦定理得出NACB=90。，即AC_LBC,又AA]_L平面ABC得AA】_LBC,

故BC_L平面ACC|A|,于是BCJXD,由BCIIB|Q得出B[C]_LCD,利用棱柱的體積公式;求出棱

柱的體積.

------------------2_l_r

【解答】證明：在4ABC中，由正弦定理得，合E)即sin/ACB=l工，

sinzlACBsi-NBA?！?/p>

____________乙

-7f

sinZACB=I,即NACB=―?-BC±AC.

AA|JL平面ABC,BCu平面ABC,

/.BC±AA|,又ACu平面ACCiAi，AA】u平面ACQA],AAgAC二A,

BC3面平面ACJAi，CDu平面ACCiA],

BC±CD,,/BCIIB|Ci，

B|Cj±CD,

五

???異面直線B]C]與CD所成角為7.

—M.

五

/AB=2,BC=1,ZACB=—,

L21

AC=2^?

...三棱柱ABC-A)B|C1的體積V=SAABC*AAI=1X1X夷X￡=?.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面垂直的判定，棱柱的結(jié)構(gòu)特征，棱柱的體積計(jì)算，屬于中檔題.

20.如圖，點(diǎn)A、B分別是角a、。的終邊與單位圓的交點(diǎn)，兀

(1)若af打，cos(a-B)二士，求Sin2p的值；

_4______'___3

(2)證明：cos(a-P)=cosacosp+sinasinp.

【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的余弦函數(shù)；隨意角的三角函數(shù)的定義.

【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值.

【分析】（1）由條件利用二倍角公式，誘導(dǎo)公式，求得sin20的值.

（2）由條件利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式、兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，證得公式成立.

【解答】解：（1）由卜os（a-B）二.可得cos（2a-20）=2cos2（a-p）--

■-cos（^^-2。）=用，.,.sin2B=f.

（2）由題意可得，血1=1顯1=1，且感與屈的夾角為a-B，晶=（cosa,sina）,|Q§=（COS。，sin。）,

cos(a-3)=cosacosp+sinasinp成立.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二倍角公式，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題.

21.某沿海城市的海邊有兩條相互垂直的直線型馬路h、12,海岸邊界MPN近似地看成一條曲線段.為

開(kāi)發(fā)旅游資源，需修建一條連接兩條馬路的直線型觀光大道AB,且直線AB與曲線MPN有且僅有

一個(gè)公共點(diǎn)P（即直線與曲線相切），如圖所示.若曲線段MPN是函數(shù)目圖象的一段，點(diǎn)M到

h、12的距離分別為8千米和1千米，點(diǎn)N到b的距離為1。千米，點(diǎn)P到12的距離為2千米.以h、

h分別為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy.

（1）求曲線段MPN的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域；

（2）求直線AB的方程，并求出馬路AB的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到1米）.

【考點(diǎn)】依據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類(lèi)型：函數(shù)解析式的求解及常用方法.

【專(zhuān)題】應(yīng)用題：函數(shù)思想；數(shù)學(xué)模型法：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】(1)由題意得M(1,8),則a=8,故曲線段MPN的函數(shù)關(guān)系式為日，可得其定義域;

(2)依據(jù)直線和曲線相切，利用判別式△=()進(jìn)行求解即可.

【解答】解：(1)由題意得M(1,8),則a=8,故曲線段MPN的函數(shù)關(guān)系式為目，

又得N(10,-I)，所以定義域?yàn)閇1,10].

(2)由(I)知P(2,4),設(shè)直線方程為y-4=k(x-2),

聯(lián)立方程H，得kx2+2(2-k)x-8=0,

由判別式^=0得4(2-k)2+32k=4(k+2)2=0,得k=-2,

即直線AB的方程為y=-2x+8,

當(dāng)x=0時(shí)，y=8,當(dāng)y=0時(shí)，x=4,

即A(0,8),B(4,0),

則AB=R/64+16^/^=47^8944米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，利用數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)解決實(shí)際問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的實(shí)力，

確定函數(shù)關(guān)系是關(guān)鍵.

22.已知橢圓「的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,與)，它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線E：y2=4x的焦點(diǎn)

_______乙

重合，斜率為k的直線1交拋物線E于A、B兩點(diǎn)，交橢圓「于C、D兩點(diǎn).

(I)求橢圓「的方程；

(2)直線1經(jīng)過(guò)點(diǎn)F(1,0),設(shè)點(diǎn)P(-1,k),且4PAB的面積為囤求k的值；

(3)若直線I過(guò)點(diǎn)M(0,-1),設(shè)直線OC,OD的斜率分別為k|,k2,且上，p看成等差

數(shù)列，求直線1的方程.

【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)潔性質(zhì).

【專(zhuān)題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】(1)設(shè)橢圓方程為岸+^=1040),由橢圓「的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1),

它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線E：y2=4x的焦點(diǎn)重合，列出方程組求出a,b,由此能求出橢圓「的方程.

fy=k(x-1)

(2)設(shè)直線I：y=k(x-1)，由(，得k2x2?2(k2+2)x+k2=O,由此利用根的判別

y二叔

式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線距離公式，結(jié)合已知條件能求出k的值.

(3)設(shè)直線1：y=kx-1,代入橢圓，得(4k2+3)x2-8kx-8=0,由此利用M(0,-I)在橢圓內(nèi)

部，得I與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，依據(jù)韋達(dá)定理、等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合已知條件能求出直線I的方程.

【解答】解：(1)設(shè)橢圓方程為商吉1(a>b>0),

由題設(shè)］a2P4b2-1,

?二b?+l|

解得a2=4,b2=3,

橢圓「的方程為式十^二1.

而3寸

(2)設(shè)直線1：y=k(x-1),

fy=k(x-1)

由｛,k2x2-2(k2+2)x+k2=0,

y&x

1與拋物線E有兩個(gè)交點(diǎn)，kM,

△=16(k2+l)>0,

hllllARI(k4+4k2+4)-+k1D~(lAl)

則IAB|=----------------z----------------*Vl+k2=---------2------，

P(-1,k)至ijI的距離d就崗,

乂S|2kPAB二仄耳

.七x”詈斗高:即4『=3k2+3,

解得解士耳

.?.1與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn),

=8k8

設(shè)C（xi，yi）,D（X2?y2）則Xi+X22X1X廠——

4k2+31-4k2+3

121

由虧￡r成等差數(shù)列,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程、直線斜率.、直線方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要仔細(xì)審題，留意根

的判別式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線距離公式，等差數(shù)列等學(xué)問(wèn)點(diǎn)的合理運(yùn)用.

23.已知數(shù)列｛a"的各項(xiàng)均為整數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn.規(guī)定：若數(shù)列｛aj滿意前r項(xiàng)依次成公差為1

的等差數(shù)列，從笫r-I項(xiàng)起往后依次成公比為2的等比數(shù)列，則稱(chēng)數(shù)列｛aj為“r關(guān)聯(lián)數(shù)列“.

（1）若數(shù)列｛a"為"6關(guān)聯(lián)數(shù)列〃，求數(shù)列｛a。｝的通項(xiàng)公式；

（2）在⑴的條件下，求出Sn，并證明:對(duì)隨意nWN*,anS/a6s6；

（3）若數(shù)列｛aj為“6關(guān)聯(lián)數(shù)列〃，當(dāng)*6時(shí),在an與am之間插入n個(gè)數(shù),使這n+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)

公差為dn的等差數(shù)列，求dn，并探究在數(shù)列｛dn｝中是否存在三項(xiàng)dm，dk