新高考藝術生40天突破數(shù)學第17講 數(shù)列求和（解析版）

第17講數(shù)列求和【知識點總結】求數(shù)列前項和的常見方法如下：（1）公式法：對于等差、等比數(shù)列，直接利用前項和公式.（2）錯位相減法：數(shù)列的通項公式為或的形式，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列.（3）分組求和法：數(shù)列的通項公式為的形式，其中和滿足不同的求和公式.常見于為等差數(shù)列，為等比數(shù)列或者與分別是數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項，并滿足不同的規(guī)律.（4）裂項相消法：將數(shù)列恒等變形為連續(xù)兩項或相隔若干項之差的形式，進行消項.（5）倒序相加：應用于等差數(shù)列或轉化為等差數(shù)列的數(shù)列求和.【典型例題】例1．（2022·全國·高三專題練習）數(shù)列的通項公式，它的前項和，則（）A．9 B．10 C．99 D．100【答案】C【詳解】數(shù)列的通項公式，則．解得．故選：C．例2．（2022·全國·高三專題練習）在公差大于0的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，則數(shù)列的前21項和為（）A．12 B．21 C．11 D．31【答案】B【詳解】由題意，公差大于0的等差數(shù)列中，，可得，即，由，，成等比數(shù)列，可得，即為，解得或（舍去），所以數(shù)列的通項公式，所以數(shù)列的前21項和為：.故選：B.例3．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列{an}滿足：an+1=an-an-1（n≥2，n∈N*），a1=1，a2=2，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則S2021=（）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【詳解】∵an+1=an-an-1，a1=1，a2=2，∴a3=1，a4=-1，a5=-2，a6=-1，a7=1，a8=2，…，故數(shù)列{an}是周期為6的周期數(shù)列，且每連續(xù)6項的和為0，故S2021=336×0+a2017+a2018+…+a2021=a1+a2+a3+a4+a5=1+2+1+（-1）+（-2）=1.故選：C.例4．（2022·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列的前項和為，則___________.【答案】【詳解】解：設公差為，因為，所以，解得，所以，所以，所以，所以故答案為：例5．（2021·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和，函數(shù)對一切實數(shù)總有，數(shù)列滿足分別求數(shù)列、的通項公式.【詳解】當當時滿足上式，故；∵=1∴∵①∴②∴①②，得例6．（2022·全國·高三專題練習）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，且滿足．（1）求和的通項公式；（2）對任意的正整數(shù)n，設，求數(shù)列的前n項和．【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，由，則1＋3d＝4d，可得d＝1，所以，因為，所以，整理得，解得q＝2，所以；（2），，兩式相減，得所以．例7．（2022·全國·高三專題練習）數(shù)列的前項和為，.（1）求，；（2）設，數(shù)列的前項和為.證明：.【詳解】（1）①②得：令時，滿足上式數(shù)列是為首項，為公比的等比數(shù)列.（2）證明：由①得：又為遞增數(shù)列例8．（2021·福建·永安市第三中學高中校高三期中）已知數(shù)列是前項和為（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和．【詳解】（1）∵當時，當時，滿足上式，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）得，，則.【技能提升訓練】一、單選題1．（2021·全國·高三專題練習（文））已知函數(shù)，利用課本中推導等差數(shù)列的前項和的公式的方法，可求得（）.A．25 B．26 C．13 D．【答案】C【分析】先根據(jù)已知條件求出，再利用倒序相加法求和即可.【詳解】解：，，即，設，①則，②則①＋②得：，故.故選：C.2．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前20項和為（）A．100 B．105 C．110 D．115【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)滿足，利用倒序相加法求出，再求前20項和.【詳解】因為函數(shù)滿足，①，②，由①②可得，，所以數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列，其前20項和為.故選：D.【點睛】本題主要考查函數(shù)的性質及倒序相加法求和，屬于基礎題.3．（2020·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則的值為A．4033 B．-4033C．8066 D．-8066【答案】D【詳解】試題分析：，所以原式.考點：函數(shù)求值，倒序求和法.【思路點晴】本題主要考查函數(shù)求值與倒序相加法.注意到原式中第一個自變量加上最后一個自變量的值為，依此類推，第二個自變量加上倒數(shù)第二個自變量的值也是，故考慮是不是定值.通過算，可以得到，每兩個數(shù)的和是，其中，所以原式等價于個即.4．（2021·全國·高三專題練習（文））已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3=7，S6=63，則數(shù)列{nan}的前n項和為（）A．-3+(n+1)×2n B．3+(n+1)×2nC．1+(n+1)×2n D．1+(n-1)×2n【答案】D【分析】利用已知條件列出方程組求解即可得，求出數(shù)列{an}的通項公式，再利用錯位相減法求和即可.【詳解】設等比數(shù)列{an}的公比為q，易知q≠1，所以由題設得，兩式相除得1+q3=9，解得q=2，進而可得a1=1，所以an=a1qn-1=2n-1，所以nan=n×2n-1.設數(shù)列{nan}的前n項和為Tn，則Tn=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1，2Tn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n，兩式作差得-Tn=1+2+22+…+2n-1-n×2n=-n×2n=-1+(1-n)×2n，故Tn=1+(n-1)×2n.故選：D.【點睛】本題主要考查了求等比數(shù)列的通項公式問題以及利用錯位相減法求和的問題.屬于較易題.5．（2022·全國·高三專題練習）化簡的結果是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】用錯位相減法求和．【詳解】，（1），（2）（2）－（1）得：．故選：D．6．（2022·全國·高三專題練習）根據(jù)預測，某地第個月共享單車的投放量和損失量分別為和（單位：輛），其中，，則該地第4個月底的共享單車的保有量為（）A．421 B．451 C．439 D．935【答案】D【分析】根據(jù)題意求出前四個月的共享單車投放量，減去前四個月的損失量，即為第四個月底的共享單車的保有量.【詳解】由題意可得該地第4個月底的共享單車的保有量為故選：D.二、填空題7．（2022·上海·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前n項和為______．【答案】【分析】由與兩式相減，得出，進而得出的通項公式，再由裂項相消法求和即可.【詳解】當時，由，得，兩式相減，得，又，適合，所以所以所以．故答案為：8．（2022·江蘇·高三專題練習）已知數(shù)列的通項公式，，其前項和為，則______．【答案】1010【分析】計算前項，結合周期得出.【詳解】，周期故答案為：【點睛】關鍵點睛：解決本題的關鍵在于推理得出數(shù)列是周期數(shù)列，再由周期性得出.9．（2022·上海·高三專題練習）設數(shù)列有，則_______.【答案】【分析】根據(jù)對數(shù)性質化簡計算即可.【詳解】所以故答案為：【點睛】本題考查利用對數(shù)性質進行化簡，考查基本分析化簡能力，屬基礎題.三、解答題10．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=5，nSn+1-（n+1）Sn=n2+n.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）令bn=2nan，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.【答案】（1）證明見解析；（2）Tn=（2n+1）2n+1-2.【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義證明即可.（2）利用錯位相減法即可求解.【詳解】（1）證明：由nSn+1-（n+1）Sn=n2+n得，又=5，所以數(shù)列是首項為5，公差為1的等差數(shù)列.（2）由（1）可知=5+（n-1）=n+4，所以Sn=n2+4n.當n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2+4n-（n-1）2-4（n-1）=2n+3.又a1=5也符合上式，所以an=2n+3（n∈N*），所以bn=（2n+3）2n，所以Tn=5×2+7×22+9×23+…+（2n+3）2n，①2Tn=5×22+7×23+9×24+…+（2n+1）2n+（2n+3）·2n+1，②所以②-①得Tn=（2n+3）2n+1-10-（23+24+…+2n+1）=（2n+3）2n+1-10-=（2n+3）2n+1-10-（2n+2-8）=（2n+1）2n+1-2.11．（2022·河北·高三專題練習）己知數(shù)列的前n項和為，且，_______.請在①；②；成等比數(shù)列；③，這三個條件中任選一個補充在上而題干中，并解答下面問題.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】根據(jù)與的關系可得為等差數(shù)列，（1）選①，利用等差數(shù)列的通項公式基本量的計算即可求解；選②，利用等比中項以及等差數(shù)列的通項公式即可求解；選③，利用等差數(shù)列的前項和公式即可求解.（2）利用錯位相減法即可求解.【詳解】因為，所以，即，所以數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，其公差.（1）選①.由，得，即，所以，解得.所以，即數(shù)列的通項公式為.選②.由，成等比數(shù)列，得，則，所以，所以.選③.因為，所以，所以，所以.（2）由題可知，所以，所以，兩式相減，得，所以.12．（2022·全國·高三專題練習）有一正項等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn，滿足a2a4=64，S3=14.設bn=log2an（n∈N*）.（1）求a1，a2的值，并求出數(shù)列{an}的通項公式；（2）判斷數(shù)列{bn}是否為等差數(shù)列，并說明理由；（3）記，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.【答案】（1）a1=2，a2=4，an=2×2n-1=2n（n∈N*）；（2）{bn}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，理由見解析；（3）Tn=.【分析】（1）利用等比中項以及等比數(shù)列的通項公式即可求解.（2）利用等差數(shù)列的定義即可證明.（3）利用裂項求和法即可求解.【詳解】（1）由a2a4=64，得=64.又∵an>0，∴a3=8.∵S3=a1+a2+a3，∴a1+a2+8=14，∴a1+a1q=6，即a1（1+q）=6，∴（1+q）=6，即3q2-4q-4=0，解得q=2或q=-（舍去）.∴a1=2，a2=4，an=2×2n-1=2n（n∈N*）.（2）數(shù)列{bn}為等差數(shù)列.理由如下：由（1）知an=2n，∴bn=log2an=log22n=n，∴bn+1=n+1，∴bn+1-bn=1.又b1=1，∴{bn}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列.（3）由（2）可知，bn=n，∴cn=，∴Tn=c1+c2+c3+…+cn=13．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，可得當時，，兩式相減化簡可得，再驗證是否滿足，（2）由（1）得，然后利用分組求和和裂項相消求和法求【詳解】解：（1）數(shù)列滿足①當時，，②①②，得：，故；當時，解得，首項符合通項，故．（2）由（1）得：所以．14．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）記，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）先求出，然后當時，化簡可得，兩邊加1可得，從而可證得數(shù)列是等比數(shù)列；（2）由（1）得，則可得，然后利用裂項相消求和法可求得【詳解】（1）證明：由，可得，解得，時，，可得，則，所以數(shù)列是首項和公比均為2的等比數(shù)列；（2）由（1）可得，則，所以.15．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項公式：（2）設，數(shù)列的前項和為，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）利用，求得數(shù)列的通項公式.（2）求得數(shù)列的通項公式，進而利用裂項求和法求得，結合數(shù)列的單調(diào)性證得.【詳解】（1）解：，令，解得時，兩式相減，得數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以；（2）證明單調(diào)遞增，所以1即16．（2022·全國·高三專題練習）在①；②；③成等差數(shù)列這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答.問題：數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，前n項和為Sn，a1＝2，且___.（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若（），求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）若選①，由，有，兩式相減，可得數(shù)列為等比數(shù)列，再由首項可求通項；若選②，由，得，再由首項可求通項；若選③，由成等比數(shù)列，得，再由首項可求通項.（2）先帶入化簡，再裂項求和即可.【詳解】（1）若選①，由，有，兩式相減并整理有，可知數(shù)列是首項為2，公比也為2的等比數(shù)列，所以；若選②，因為數(shù)列是等比數(shù)列，且首項為2，由，有，即，得，所以數(shù)列是首項為2，公比也為2的等比數(shù)列，所以；若選③，由成等比數(shù)列，有，即，因為有，所以有，解得，（舍），數(shù)列是首項為2，公比也為2的等比數(shù)列，所以.（2）因為，，所以.17．（2022·全國·高三專題練習）設數(shù)列的前項和為，已知且數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，數(shù)列的前項和為，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）由題意可得，再利用可求出數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可得，化簡后利用裂項相消法可求得，再利用放縮法可證得結論【詳解】（1）∵，∴，∴，即當時，∴當時，，符合上述通項，所以（2）∵，∴．18．（2022·全國·高三專題練習）已知等比數(shù)列的前項和為，，．（1）求數(shù)列的通項公式：（2）令，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先由，結合題中條件，求出公比，進而可得通項公式；（2）根據(jù)裂項相消的方法得到，再由等比數(shù)列的求和公式，即可得出結果.【詳解】（1）由可得，則，因為為等比數(shù)列，所以其公比為；又，所以；（2）由（1）可得；，所以.【點睛】結論點睛：裂項相消法求數(shù)列和的常見類型：（1）等差型，其中是公差為的等差數(shù)列；（2）無理型；（3）指數(shù)型；（4）對數(shù)型.19．（2022·全國·高三專題練習）設等比數(shù)列的前n項和為，已知，且成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）設等比數(shù)列的公比是q，由，可求得q值，根據(jù)等差中項的性質，求得值，代入公式，即可得答案.（2）根據(jù)（1）可求得，由題意，利用裂項相消法求和，可得表達式，代入，即可得答案.【詳解】（1）設等比數(shù)列的公比是q，由得，∴，解得．∵成等差數(shù)列，∴，即，解得．∴．（2）∵數(shù)列是以1為首項，以3為公比的等比數(shù)列，∴．∵，∴．20．（2022·浙江·高三專題練習）已知數(shù)列，，滿足，，，，成等差數(shù)列．（1）證明：是等比數(shù)列；（2）數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為，求．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）由已知得，根據(jù)等差中項的性質有，由等比數(shù)列的定義即可證是等比數(shù)列；（2）由（1）得，寫出通項，根據(jù)裂項相消法求.【詳解】（1）證明：由數(shù)列，，滿足，，∴，由，，成等差數(shù)列，則有，整理得（常數(shù)），∴數(shù)列：以為首項，公比為2的等比數(shù)列．（2）由（1）知：，∴，∴．21．（2022·全國·高三專題練習）在正項數(shù)列中，，，且.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）對已知等式進行化簡，結合等差中項的定義、等差數(shù)列的通項公式進行求解即可；（2）利用裂項相消法進行求解即可.【詳解】解：（1）因為，所以，即.因為，，所以數(shù)列是首項為1，公差為3的等差數(shù)列，從而.因為，所以；（2）因為，所以，故.22．（2022·全國·高三專題練習）設等差數(shù)列的前n項和為，數(shù)列為正項等比數(shù)列，其滿足，，.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若_______，求數(shù)列的前n項和.在①，②，③這三個條件中任一個補充在第（2）問中；并對其求解.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1），；（2）見解析.【分析】（1）由題設條件可得公差和公比的方程組，解方程組后可得兩個數(shù)列的通項.（2）根據(jù)所選的數(shù)列分別選分組求和、錯位相減法、裂項相消法可求.【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，公比為，則，解得或（舍），故，.（2）若選①，，故，若選②，則，故，所以，所以即.若選③，則，故.【點睛】數(shù)列求和關鍵看通項的結構形式，如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯位相減法；如果通項可以拆成一個數(shù)列連續(xù)兩項的差，那么用裂項相消法；如果通項的符號有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項求和法.23．（2022·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列滿足公差，前n項的和為，，，，成等比數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前100項的和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)題中條件，列出方程求解，得出首項和公差，即可求出通項公式；（2）根據(jù)（1）的結果，得到，利用裂項相消法，即可求出結果.【詳解】（1）由及，，成等比數(shù)列得，即，解得（舍去），，所以；（2），所以.【點睛】結論點睛：裂項相消法求數(shù)列和的常見類型：（1）等差型，其中是公差為的等差數(shù)列；（2）無理型；（3）指數(shù)型；（4）對數(shù)型.24．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設，證明：.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)1，結合等差數(shù)列的定義可證結論；（2）由（1）知，，根據(jù)放大后裂項求和，可證不等式成立.【詳解】（1）因為，所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列.（2）由（1）知，，所以，當時，，所以.【點睛】本題考查了用定義證明等差數(shù)列，考查了利用放縮法證明數(shù)列不等式，考查了裂項求和法，屬于基礎題.25．（2021·全國·高三專題練習）設{an}是等差數(shù)列，(n∈N*)；是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項和為Sn(n∈N*).已知，，b5=a3+a5，b7=a4+2a6.（1）求Sn與an；（2）若，求數(shù)列的前項和.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）首先根據(jù)已知條件得到，解得，從而得到，根據(jù)，解方程組即可得到.（2）首先根據(jù)，得到前項和為，再分類討論求數(shù)列的前項和即可.【詳解】（1）設等比數(shù)列的公比為，且.由，，可得，因為，可得，所以.所以，解得，.（2）因為，前項和為，當時，，所以，當時，，所以.所以.26．（2021·全國全國·模擬預測）已知數(shù)列滿足，，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記在區(qū)間上，的項數(shù)為，求數(shù)列的前m項和.【答案】（1），；（2）前m項和為，.【分析】（1）由題設可知為等差數(shù)列，根據(jù)已知條件求基本量，進而寫出通項公式.（2）由（1）求出區(qū)間項數(shù)，再應用分組求和及等比數(shù)列前n項和公式求的前m項和.（1）由題意知：為等差數(shù)列，設其公差為d，由，得，又，∴，則.（2）由題