浙教版七年級(jí)下數(shù)學(xué)第一章平行線解答題及答案

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁(yè)（共2頁(yè)）浙教版七年級(jí)下數(shù)學(xué)第一章平行線解答題精選題號(hào)一總分得分注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上請(qǐng)點(diǎn)擊修改第I卷的文字說(shuō)明評(píng)卷人得分

解答題（共40小題）1．如圖，直線a、b被直線c、d所截，且∠1＝∠2，∠3＝115°，求∠4的度數(shù)．2．已知：如圖，AF∥CD，∠ABC＝∠DEF，∠BCD＝∠EFA，求證：AB∥DE，（提示：連接AD）3．已知：如圖，AE⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，∠1＝∠2．（1）求證：AB∥CD；（2）若∠D＝∠3+50°，∠CBD＝80°，求∠C的度數(shù)．4．如圖，已知AB∥CD，EF∥MN，∠1＝115°．（1）求∠2和∠4的度數(shù)；（2）本題隱含著一個(gè)規(guī)律，請(qǐng)你根據(jù)（1）的結(jié)果進(jìn)行歸納，試著用文字表述出來(lái)．（3）利用（2）的結(jié)論解答：如果兩個(gè)角的兩邊分別平行，其中一角是另一個(gè)角的2倍多6°，求這兩個(gè)角的大?。?．如圖（1），AB∥CD，試求∠BPD與∠B、∠D的數(shù)量關(guān)系，說(shuō)明理由．（1）填空：解：過(guò)點(diǎn)P作EF∥AB，∴∠B+∠BPE＝180°∵AB∥CD，EF∥AB∴（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）∠EPD+＝180°∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D＝360°∴∠B+∠BPD+∠D＝360°（2）依照上面的解題方法，觀察圖（2），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）觀察圖（3）和（4），已知AB∥CD，直接寫出圖中的∠BPD與∠B、∠D的數(shù)量關(guān)系，不用說(shuō)明理由．6．填空或填理由，完成下面的證明．已知：如圖，CD分別交AD、AE、BE于點(diǎn)D、F、C，連接AB、AC，AD∥BE，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求證：AB∥CD．證明：∵AD∥BE（已知）∴∠3＝∠CAD（）∵∠3＝∠4（已知）∴∠4＝（等量代換）∵∠1＝∠2（已知）∴∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE（等式的基本性質(zhì)）即∠BAE＝∴∠4＝（等量代換）∴AB∥CD．7．如圖，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求證：EF∥BC，請(qǐng)你補(bǔ)充完成下面的推導(dǎo)過(guò)程．證明：∵∠1+∠2＝180°（已知）∠2＝∠4（）∴∠+∠4＝180°（等量代換）∴DF∥AB（）∴∠B＝∠FDH（）∵∠3＝∠B（）∴∠3＝∠（）∴EF∥BC（）8．將一副三角板中的兩塊直角三角板的直角頂點(diǎn)C按如圖方式疊放在一起，友情提示：∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°．（1）①若∠DCB＝45°，則∠ACB的度數(shù)為．②若∠ACB＝140°，則∠DCE的度數(shù)為．（2）由（1）猜想∠ACB與∠DCE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）當(dāng)∠ACE＜90°且點(diǎn)E在直線AC的上方時(shí)，當(dāng)這兩塊三角尺有一組邊互相平行時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠ACE角度所有可能的值（不必說(shuō)明理由）．9．已知：如圖，AB∥CD，∠B＝70°，∠BCE＝20°，∠CEF＝130°，請(qǐng)判斷AB與EF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．解：，理由如下：∵AB∥CD，∴∠B＝∠BCD，（）∵∠B＝70°，∴∠BCD＝70°，（）∵∠BCE＝20°，∴∠ECD＝50°，∵∠CEF＝130°，∴+＝180°，∴EF∥，（）∴AB∥EF．（）10．已知，射線BC∥射線OA，∠C＝∠BAO＝100°，試回答下列問(wèn)題：（1）如圖①，求證：OC∥AB；（2）若點(diǎn)E、F在線段BC上，且滿足∠EOB＝∠AOB，并且OF平分∠BOC，Ⅰ）如圖②，若∠AOB＝30°，則∠EOF的度數(shù)等于多少（直接寫出答案即可）；Ⅱ）若平行移動(dòng)AB，當(dāng)∠BOC＝6∠EOF時(shí)，求∠ABO．11．觀察發(fā)現(xiàn)：已知AB∥CD，點(diǎn)P是平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P在直線AB、CD的異側(cè)，且在BC（不與點(diǎn)B、C重合）上時(shí)，如圖（1），容易發(fā)現(xiàn)：∠ABP+∠DCP＝∠BPC．拓展探究：（1）當(dāng)點(diǎn)P位于直線AB、CD的異側(cè)，且在BC左側(cè)時(shí)，如圖（2），∠ABP、∠DCP、∠BPC之間有何關(guān)系？并說(shuō)明理由．（2）當(dāng)點(diǎn)P位于直線AB、CD的異側(cè)，且在BC右側(cè)時(shí)，如圖（3），直接寫出∠ABP、∠DCP、∠BPC之間關(guān)系．（3）當(dāng)點(diǎn)P位于直線AB、CD的同側(cè)，如圖（4），直接寫出∠ABP、∠DCP、∠BPC之間關(guān)系．12．（1）如圖1，AM∥CN，求證：①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；（2）如圖2，若平行線AM與CN間有n個(gè)點(diǎn)，根據(jù)（1）中的結(jié)論寫出你的猜想并證明．13．如圖AD平分∠EAC．（1）若∠B＝50°，AD∥BC，則∠DAC＝°；（2）若∠C＝55°，∠EAC＝110°，AD與BC平行嗎？為什么？請(qǐng)根據(jù)解答過(guò)程填空（理由或數(shù)學(xué)式）解：（1）則∠DAC＝°；（2）AD∥BC．理由：∵AD平分∠EAC（已知）∴DAC＝∠EAC（角平分線的定義）∵∠EAC＝110°（已知）∴∠DAC＝∠EAC＝°（等式性質(zhì)）∵∠C＝55°（已知）∴∠C＝∠（）∴AD∥BC（）14．綜合與探究如圖，已知AM∥BN，∠A＝60°，點(diǎn)P是射線AM上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合）．BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，分別交射線AM于點(diǎn)C，D．【發(fā)現(xiàn)】（1）∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠；（2）求∠ABN、∠CBD的度數(shù)；解：∵AM∥BN，∴∠ABN+∠A＝180°，∵∠A＝60°，∴∠ABN＝，∴∠ABP+∠PBN＝120°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP＝2∠CBP、∠PBN＝，（）∴2∠CBP+2∠DBP＝120°，∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝．【操作】（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠APB與∠ADB之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若不變化，請(qǐng)寫出它們之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；若變化，請(qǐng)寫出變化規(guī)律．【探究】（4）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使∠ACB＝∠ABD時(shí)，∠ABC的度數(shù)是．15．（1）如圖1，已知AB∥CD，求證：∠BED＝∠1+∠2．（2）如圖2，已知AB∥CD，寫出∠1、∠EGH與∠2、∠BEG之間數(shù)量關(guān)系，并加以證明．（3）如圖3，已知AB∥CD，直接寫出∠1、∠3、∠5、與∠2、∠4、∠6之間的關(guān)系．16．填空，如圖，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求證：∠A＝∠F．證明：∵∠1＝∠2（已知）又∠1＝∠DMN（）∴∠2＝∠DMN（等量代換）∴DB∥EC（）∴∠DBC+∠C＝180°（）∵∠C＝∠D（已知）∴∠DBC+＝180°（等量代換）∴DF∥AC（）∴∠A＝∠F（）17．如圖，∠AEF＝80°，且∠A＝x°，∠C＝y(tǒng)°，∠F＝z°．若+|y﹣80﹣m|+|z﹣40|＝0（m為常數(shù)，且0＜m＜100）．（1）求∠A、∠C的度數(shù)（用含m的代數(shù)式表示）；（2）求證：AB∥CD；（3）若∠A＝40°，∠BAM＝20°，∠EFM＝10°，直線AM與直線FM交于點(diǎn)M，直接寫出∠AMF的度數(shù)．18．已知，如圖1，直線MN與直線AB、CD分別交于點(diǎn)E、F，∠1與∠2互補(bǔ)．（1）試判斷直線AB與CD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，∠BEF與∠EFD的角平分線交于點(diǎn)P，EP與CD交于點(diǎn)G，點(diǎn)H是MN上的一點(diǎn)且GH⊥EG．求證：PF∥GH．19．已知AB∥CD，點(diǎn)E為平面內(nèi)一點(diǎn)，BE⊥CE于E．（1）如圖1，請(qǐng)直接寫出∠ABE和∠DCE之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CD，垂足為F，求證：∠CEF＝∠ABE；（3）如圖3，在（2）的條件下，作EG平分∠CEF，交DF于點(diǎn)G，作ED平分∠BEF，交CD于D，連接BD，若∠DBE+∠ABD＝180°，且∠BDE＝3∠GEF，求∠BEG的度數(shù)．20．如圖，已知AD∥BC，∠A＝∠C＝50°，線段AD上從左到右依次有兩點(diǎn)E、F（不與A、D重合）（1）AB與CD是什么位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）觀察比較∠1、∠2、∠3的大小，并說(shuō)明你的結(jié)論的正確性；（3）若∠FBD：∠CBD＝1：4，BE平分∠ABF，且∠1＝∠BDC，求∠FBD的度數(shù)，判斷BE與AD是何種位置關(guān)系？21．已知AM∥CN，點(diǎn)B為平面內(nèi)一點(diǎn)，AB⊥BC于B（1）如圖1，直接寫出∠A和∠C之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AM于點(diǎn)D，求證：∠ABD＝∠C；（3）如圖3，在（2）問(wèn)的條件下，點(diǎn)E、F在DM上，連接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠ABF＝2∠ABE，求∠EBC的度數(shù)．22．如圖，已知AM∥BN，∠A＝52°，點(diǎn)P射線AM上，動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，分別交射線AM于點(diǎn)C，D．（1）求∠CBD的度數(shù)；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠APB與∠ADB之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若不變化，請(qǐng)寫出它們之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由，若變化，請(qǐng)寫出變化規(guī)律；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使∠ACB＝∠ABD時(shí)，求∠ABC的度數(shù)．23．如圖1，AB∥CD，點(diǎn)E是直線AB、CD之間的一點(diǎn)，連接EA、EC．（1）探究猜想：①若∠A＝20°，∠C＝50°，則∠AEC＝．②若∠A＝25°，∠C＝40°，則∠AEC＝．③猜想圖1中∠EAB、∠ECD、∠AEC的關(guān)系，并證明你的結(jié)論（提示：作EF∥AB）．（2）拓展應(yīng)用：如圖2，AB∥CD，線段MN把ABCD這個(gè)封閉區(qū)域分為I、Ⅱ兩部分（不含邊界），點(diǎn)E是位于這兩個(gè)區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出∠EMB、∠END、∠MEN的關(guān)系．24．（1）如圖①，若AB∥CD，求∠B+∠D+∠E1的度數(shù)？（2）如圖②，若AB∥CD，求∠B+∠D+∠E1+∠E2的度數(shù)？（3）如圖③，若AB∥CD，求∠B+∠D+∠E1+∠E2+∠E3的度數(shù)？（4）如圖④，若AB∥CD，猜想∠B+∠D+∠E1+∠E2+…+∠En的度數(shù)？25．如圖，已知∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°．（1）試判斷BF與DE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若BF⊥AC，∠2＝135°，求∠AFG的度數(shù)．（3）畫圖并猜想：在（2）的條件下，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中，過(guò)點(diǎn)G作∠AFB兩邊的垂線，垂足分別為M、N猜想線段GM、GN的大小．26．閱讀理解：閱讀下列解題過(guò)程：如圖1，已知AB∥CD，∠B＝38°，∠D＝35°，求∠BED的度數(shù)．解：過(guò)E作EF∥AB，則AB∥CD∥EF（平行于同一直線的兩直線平行）AB∥EF?∠B＝∠1＝38°又因?yàn)镃D∥EF?∠D＝∠2＝35°所以∠BED＝∠1+∠2＝38°+35°＝73°（等量代換）然后解答下列問(wèn)題：如圖2和圖3，是明明設(shè)計(jì)的智力拼圖玩具的一部分，現(xiàn)在明明遇到兩個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫他解決：?jiǎn)栴}（1）：∠D＝29°，∠ACD＝66°，為了保證AB∥DE，∠A＝；問(wèn)題（2）：∠G+∠F+∠H＝時(shí)，GP∥HQ，并說(shuō)明理由．27．在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們用兩個(gè)大小、形狀都相同的三角板畫平行線AB、CD，并說(shuō)出自己做法的依據(jù)．小琛、小萱、小冉三位同學(xué)的做法如下：小琛說(shuō)：“我的做法的依據(jù)是內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”小琛說(shuō)的是否正確？（回答正確或錯(cuò)誤）小萱做法的依據(jù)是小冉做法的依據(jù)是28．已知如圖，直線EF與AB、CD分別相交于點(diǎn)E、F．（1）如圖1，若∠1＝120°，∠2＝60°，求證AB∥CD；（2）在（1）的情況下，若點(diǎn)P是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PE、PF，探索∠EPF、∠PEB、∠PFD三個(gè)角之間的關(guān)系；①當(dāng)點(diǎn)P在圖2的位置時(shí)，可得∠EPF＝∠PEB+∠PFD；請(qǐng)閱讀下面的解答過(guò)程，并填空（理由或數(shù)學(xué)式）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)P作MN∥AB，則∠EPM＝∠PEB．∵AB∥CD（已知），MN∥AB（作圖）∴MN∥CD．∴∠MPF＝∠PFD∴∠+∠＝∠PEB+∠PFD（等式的性質(zhì)）即∠EPF＝∠PEB+∠PFD②當(dāng)點(diǎn)P在圖3的位置時(shí)，∠EPF、∠PEB、∠PFD三個(gè)角之間有何關(guān)系并證明．③當(dāng)點(diǎn)P在圖4的位置時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠EPF、∠PEB、∠PFD三個(gè)角之間的關(guān)系：．29．已知：∠1＝∠2，EG平分∠AEC．（1）如圖①，∠MAE＝45°，∠FEG＝15°，∠NCE＝75°．求證：AB∥CD；（2）如圖②，∠MAE＝140°，∠FEG＝30°，當(dāng)∠NCE＝°時(shí)，AB∥CD；（3）如圖②，請(qǐng)你直接寫出∠MAE、∠FEG、∠NCE之間滿足什么關(guān)系時(shí)，AB∥CD；（4）如圖③，請(qǐng)你直接寫出∠MAE、∠FEG、∠NCE之間滿足什么關(guān)系時(shí)，AB∥CD．30．有兩個(gè)∠AOB與∠EDC，∠EDC保持不動(dòng)，且∠EDC的一邊CD∥AO，另一邊DE與直線OB相交于點(diǎn)F．（1）若∠AOB＝40°，∠EDC＝55°，解答下列問(wèn)題：①如圖，當(dāng)點(diǎn)E、O、D在同一條直線上，即點(diǎn)O與點(diǎn)F重合，則∠BOE＝；②當(dāng)點(diǎn)E、O、D不在同一條直線上，畫出圖形并求∠BFE的度數(shù)；（2）在（1）②的前提下，若∠AOB＝α，∠EDC＝β，且α＜β，請(qǐng)直接寫出∠BFE的度數(shù)（用含α、β的式子表示）．31．如圖，某工程隊(duì)從A點(diǎn)出發(fā)，沿北偏西67°方向修一條公路AD，在BD路段出現(xiàn)塌陷區(qū)，就改變方向，由B點(diǎn)沿北偏東23°的方向繼續(xù)修建BC段，到達(dá)C點(diǎn)又改變方向，從C點(diǎn)繼續(xù)修建CE段，∠ECB應(yīng)為多少度，可使所修路段CE∥AB？試說(shuō)明理由．此時(shí)CE與BC有怎樣的位置關(guān)系？以下是小剛不完整的解答，請(qǐng)幫他補(bǔ)充完整．解：由已知平行，得∠1＝∠A＝67°（兩直線平行，）∴∠CBD＝23°+67°＝°，當(dāng)∠ECB+∠CBD＝°時(shí)，可得CE∥AB．（）所以∠ECB＝°此時(shí)CE⊥BC．（）32．如圖，已知直線AB∥CD，∠A＝∠C＝100°，E，F(xiàn)在CD上，且滿足∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF．（1）直線AD與BC有何位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）求∠DBE的度數(shù)；（3）若平行移動(dòng)AD，在平行移動(dòng)AD的過(guò)程中，是否存在某種情況，使∠BEC＝∠ADB？若存在，求出∠ADB；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．33．如圖，已知AB∥CD，C在D的右側(cè)，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直線交于點(diǎn)E．∠ADC＝70°．（1）求∠EDC的度數(shù)；（2）若∠ABC＝n°，求∠BED的度數(shù)（用含n的式子表示）；（3）將線段BC沿DC方向平移，使得點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，其他條件不變，畫出圖形并判斷∠BED的度數(shù)是否改變，若改變，求出它的度數(shù)（用含n的式子表示），不改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．34．如圖，已知直線l1∥l2，點(diǎn)A、B分別在l1與l2上．直線l3和直線l1、l2交于點(diǎn)C和D，在直線CD上有一點(diǎn)P．（1）如果P點(diǎn)在C、D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問(wèn)∠PAC，∠APB，∠PBD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）若點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（P點(diǎn)與點(diǎn)C、D不重合），試探索∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關(guān)系又是如何？35．如圖1，已知兩條直線AB，CD被直線EF所截，分別交于點(diǎn)E，點(diǎn)F，EM平分∠AEF交CD于點(diǎn)M，且∠FEM＝∠FME．（1）判斷直線AB與直線CD是否平行，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，點(diǎn)G是射線MD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M，F(xiàn)重合），EH平分∠FEG交CD于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H作HN⊥EM于點(diǎn)N，設(shè)∠EHN＝α，∠EGF＝β．①當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，若β＝50°，求α的度數(shù)；②當(dāng)點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，α和β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證明．36．如圖：已知AB∥CD，∠ABE與∠CDE的角分線相交于點(diǎn)F．（1）如圖1，若∠E＝80°，求∠BFD的度數(shù)；（2）如圖2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，寫出∠M與∠BED之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，設(shè)∠BED＝m°，直接寫出用含m°，n的代數(shù)式表示∠M＝．37．（1）請(qǐng)?jiān)跈M線上填寫適當(dāng)?shù)膬?nèi)容，完成下面的解答過(guò)程：如圖①，如果∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，試說(shuō)明AB∥CD．理由：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB所以∠ABE+∠BEF＝°（）又因?yàn)椤螦BE+∠BED+∠CDE＝360°所以∠FED+∠CDE＝°所以EF∥又因?yàn)镋F∥AB所以AB∥CD（2）如圖②，如果AB∥CD，試說(shuō)明∠BED＝∠B+∠D．（3）如圖③，如果AB∥CD，∠BEC＝α，BF平分∠ABE，CF平分∠DCE，則∠BFC的度數(shù)是（用含α的代數(shù)式表示）．38．（1）如圖①，若∠B+∠D＝∠BED，試猜想AB與CD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖②，要想得到AB∥CD，則∠1、∠2、∠3之間應(yīng)滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系，試說(shuō)明理由．39．如圖所示，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子變彎了，它真的彎了嗎？其實(shí)沒有，這是光的折射現(xiàn)象，光從空氣中射入水中，光的傳播方向發(fā)生了改變．（1）請(qǐng)指出與∠1是同旁內(nèi)角的有哪些角？請(qǐng)指出與∠2是內(nèi)錯(cuò)角的有哪些角？（2）若∠1＝115°，測(cè)得∠BOM＝145°，從水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折彎了多少度？請(qǐng)說(shuō)明理由．40．實(shí)驗(yàn)證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等．（1）如圖，一束光線m射到平面鏡上，被a鏡反射到平面鏡b上，又被b鏡反射，若被b鏡反射出的光線n與光線m平行，且∠1＝50°，則∠2＝°，∠3＝°．（2）在（1）中，若∠1＝55°，則∠3＝°，若∠1＝40°，則∠3＝°；（3）由（1）（2）請(qǐng)你猜想：當(dāng)兩平面鏡ab的夾角∠3＝°時(shí)，可以使任何射到平面鏡a上的光線m與反射光線n平行，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案與試題解析一．解答題（共40小題）1．解：∵∠1＝∠2，∴a∥b，∴∠4＝∠5，∵∠3＝115°，∴∠5＝180°﹣∠3＝65°，∴∠4＝65°．2．證明：如圖，連接AD，∵AF∥CD，∴∠DAF＝∠CDA，又∵∠ABC＝∠DEF，∠BCD＝∠EFA，四邊形ABCD與四邊形ADEF的內(nèi)角和都等于360°，∴∠BAD＝∠EDA，∴AB∥DE．3．（1）證明：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行）．（2）解：設(shè)∠C＝x°．∵AB∥CD，∴∠C＝∠3＝x°，∴∠D＝（x+50）°，在△BDC中，x+x+50+80＝180，∴x＝25，∴∠C＝25°．4．解：（1）∵AB∥CD，∴∠2＝∠1＝115°，∵EF∥MN，∴∠4+∠2＝180°，∴∠4＝180°﹣∠2＝65°；（2）由（1）可知：如果一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，故答案為：如果一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)；（3）由（2）可知這兩個(gè)角互補(bǔ)，設(shè)一個(gè)角為x°，則另一個(gè)角為2x°+6°，根據(jù)兩個(gè)角互補(bǔ)可得，x+2x+6＝180，解得x＝58，∴這兩個(gè)角分別為58°和122°．5．解：（1）過(guò)點(diǎn)P作EF∥AB，∴∠B+∠BPE＝180°，∵AB∥CD，EF∥AB，∴CD∥EF（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行），∴∠EPD+∠D＝180°，∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D＝360°，∴∠B+∠BPD+∠D＝360°，故答案為：CD∥EF，∠D；（2）猜想∠BPD＝∠B+∠D，理由：過(guò)點(diǎn)P作EP∥AB，∵EP∥AB，∴∠B＝∠BPE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵AB∥CD，EP∥AB，∴CD∥EP（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行），∴∠EPD＝∠D，∴∠BPD＝∠B+∠D；（3）圖③結(jié)論：∠D＝∠BPD+∠B，理由是：過(guò)點(diǎn)P作EP∥AB，∵EP∥AB，∴∠B＝∠BPE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵AB∥CD，EP∥AB，∴CD∥EP（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行），∴∠EPD＝∠D，∴∠D＝∠BPD+∠B；圖④結(jié)論∠B＝∠BPD+∠D，理由是：∵EP∥AB，∴∠B＝∠BPE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵AB∥CD，EP∥AB，∴CD∥EP（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行），∴∠EPD＝∠D，∴∠B＝∠BPD+∠D．6．解：證明：∵AD∥BE（已知）∴∠3＝∠CAD（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等）∵∠3＝∠4（已知）∴∠4＝∠CAD（等量代換）∵∠1＝∠2（已知）∴∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE（等式的基本性質(zhì)）即∠BAE＝∠CAD∴∠4＝∠BAE（等量代換）∴AB∥CD．故答案為（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等），∠CAD，∠CAD，∠BAE．7．證明：∵∠1+∠2＝180°（已知）∠2＝∠4（對(duì)頂角相等）∴∠1+∠4＝180°（等量代換）∴DF∥AB（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）∴∠B＝∠FDH（兩直線平行，同位角相等）∵∠3＝∠B（已知）∴∠3＝∠FDH（等量代換）∴EF∥BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）故答案為：對(duì)頂角相等，1，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；已知，F(xiàn)DH，等量代換，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．8．解：（1）①∵∠DCE＝45°，∠ACD＝90°∴∠ACE＝45°∵∠BCE＝90°∴∠ACB＝90°+45°＝135°故答案為：135°；②∵∠ACB＝140°，∠ECB＝90°∴∠ACE＝140°﹣90°＝50°∴∠DCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣50°＝40°故答案為：40°；（2）猜想：∠ACB+∠DCE＝180°理由如下：∵∠ACE＝90°﹣∠DCE又∵∠ACB＝∠ACE+90°∴∠ACB＝90°﹣∠DCE+90°＝180°﹣∠DCE即∠ACB+∠DCE＝180°；（3）30°、45°．理由：當(dāng)CB∥AD時(shí)，∠ACE＝30°；當(dāng)EB∥AC時(shí)，∠ACE＝45°．9．解：AB∥EF，理由如下：∵AB∥CD，∴∠B＝∠BCD，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵∠B＝70°，∴∠BCD＝70°，（等量代換）∵∠BCE＝20°，∴∠ECD＝50°，∵CEF＝130°，∴∠E+∠DCE＝180°，∴EF∥CD，（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）∴AB∥EF．（平行于同一直線的兩條直線互相平行）故答案為：AB∥EF，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；等量代換，∠E，∠DCE，CD，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；平行于同一直線的兩條直線互相平行．10．（1）證明：∵BC∥OA，∴∠C+∠COA＝180°，∠BAO+∠ABC＝180°，∵∠C＝∠BAO＝100°，∴∠COA＝∠ABC＝80°，∴∠COA+∠OAB＝180°，∴OC∥AB．（2）Ⅰ）∵∠AOB＝∠EOB＝30°，∠AOC＝50°，∴∠COE＝80°﹣60°＝20°，∠COB＝80°﹣30°＝50°，∵CF平分∠COB，∴∠COF＝∠COB＝25°，∴∠EOF＝25°﹣20°＝5°Ⅱ）如圖②中，設(shè)∠EOF＝x，則∠BOC＝6x，∠BOF＝3x，∠BOE＝∠AOB＝4x，∵∠AOB+∠BOC+∠OCB＝180°，∴4x+6x+100°＝180°，∴x＝8°，∴∠ABO＝∠BOC＝6x＝48°．如圖③中，設(shè)∠EOF＝x，則∠BOC＝6x，∠BOF＝3x，∠BOE＝∠AOB＝2x，∵∠AOB+∠BOC+∠OCB＝180°，∴2x+6x+100°＝180°，∴x＝10°，∴∠ABO＝∠BOC＝6x＝60°．綜上所述，滿足條件的∠ABO為48°或60°．11．解：（1）∠ABP+∠DCP＝∠BPC．理由：如圖，過(guò)點(diǎn)P作直線PQ∥AB，∴∠ABP＝∠BPQ，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵AB∥CD，（已知）∴DC∥PQ，（如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩條直線平行）∴∠DCP＝∠CPQ，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∴∠ABP+∠DCP＝∠BPQ+∠CPQ＝∠BPC；（等量代換）（2）∠ABP+∠BPC+∠DCP＝360°，理由：如圖，過(guò)P作PQ∥AB，則DC∥PQ，∴∠ABP+∠BPQ＝180°，∠DCP+∠CPQ＝180°，∴∠ABP+∠BPC+∠DCP＝360°；（3）∠BPC＝∠DCP﹣∠ABP，理由：如圖，過(guò)P作PQ∥AB，則PQ∥DC，∴∠DCP＝∠CPQ，∠ABP＝∠BPQ，∴∠BPC＝∠CPQ﹣∠BPQ＝∠DCP﹣∠ABP．12．解：（1）①證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)作BG∥AM，則AM∥CN∥BG∴∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°∴∠ABG+∠BAM+∠CBG+∠BCN＝360°∴∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°②如圖，過(guò)E作EP∥AM，過(guò)F作FQ∥CN，∵AM∥CN，∴EP∥FQ，∴∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°∴∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝180°×3＝540°；（2）猜想：若平行線間有n個(gè)點(diǎn)，則所有角的和為（n+1）?180°．證明：如圖2，過(guò)n個(gè)點(diǎn)作AM的平行線，則這些直線互相平行且與CN平行，∴所有角的和為（n+1）?180°．13．解：（1）∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC，∵AD∥BC，∠B＝50°，∴∠EAD＝∠B＝50°，∴∠DAC＝50°，故答案為：50；50；（2）∵AD平分∠EAC（已知）∴DAC＝∠EAC（角平分線的定義）∵∠EAC＝110°（已知）∴∠DAC＝∠EAC＝55°（等式性質(zhì)）∵∠C＝55°（已知）∴∠C＝∠DAC（等量代換）∴AD∥BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）故答案為：55，DAC，等量代換；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行14．解：（1）∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠CBN；故答案為：CBN；（2）：∵AM∥BN，∴∠ABN+∠A＝180°，∵∠A＝60°，∴∠ABN＝120°，∴∠ABP+∠PBN＝120°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP＝2∠CBP、∠PBN＝2∠PBD，（角平分線的定義）∴2∠CBP+2∠DBP＝120°，∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝60°，故答案為：120°；2∠PBD；角平分線的定義；60°；（3）不變，∠APB：∠ADB＝2：1．∵AM∥BN，∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN＝2∠DBN，∴∠APB：∠ADB＝2：1；（4）∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠CBN，當(dāng)∠ACB＝∠ABD時(shí)，則有∠CBN＝∠ABD，∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，∴∠ABC＝∠DBN，由（1）可知∠ABN＝120°，∠CBD＝60°，∴∠ABC+∠DBN＝60°，∴∠ABC＝30°，故答案為：30°．15．解：（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠3＝∠1，∠4＝∠2，∴∠3+∠4＝∠1+∠2，即∠BED＝∠1+∠2；（2）∠1+∠EGH＝∠2+∠BEG，理由如下：如圖，分別過(guò)點(diǎn)E、G作EF∥AB，GH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥GH∥CD，∴∠1＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠2，∴∠1+∠5+∠6＝∠3+∠4+∠2，即∠1+∠EGH＝∠2+∠BEG；（3）由題可得，向左的角度數(shù)之和與向右的角度數(shù)之和相等，∴∠1、∠3、∠5與∠2、∠4、∠6之間的關(guān)系為：∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4+∠6．16．證明：∵∠1＝∠2（已知）又∠1＝∠DMN（對(duì)頂角相等）∴∠2＝∠DMN（等量代換）∴DB∥EC（同位角相等，兩直線平行）∴∠DBC+∠C＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）∵∠C＝∠D（已知）∴∠DBC+∠D＝180°（等量代換）∴DF∥AC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）∴∠A＝∠F（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）故答案為：對(duì)頂角相等；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；∠D；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．17．解：（1）∵+|y﹣80﹣m|+|z﹣40|＝0，∴x﹣m﹣20＝0，y﹣80﹣m＝0，z﹣40＝0，∴x＝m+20，y＝m+80，z＝40°，即∠A＝m+20°，∠C＝m+80°；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)F作FG∥AB，過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB，∴EH∥FG，∴∠BAE＝∠AEH＝m+20°，∠EFG＝∠FEH，∴∠EFG＝∠AEF﹣∠AEH＝80°﹣（m+20°）＝60°﹣m，∵∠CFG+∠FCD＝z+60°﹣m+y＝40°+60°﹣m+m+80°＝180°，∴CD∥FG，∴AB∥CD；（3）當(dāng)∠A＝m+20°＝40°時(shí)，∠C＝m+80°＝100°，如圖，分四種情況，∠AMF的度數(shù)分別為50°、70°、30°、10°．18．解：（1）AB∥CD；理由：如圖1，∵∠1與∠2互補(bǔ)，∴∠1+∠2＝180°．又∵∠1＝∠AEF，∠2＝∠CFE，∴∠AEF+∠CFE＝180°，∴AB∥CD；（2）如圖2，由（1）知，AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD＝180°．又∵∠BEF與∠EFD的角平分線交于點(diǎn)P，∴∠FEP+∠EFP＝（∠BEF+∠EFD）＝90°，∴∠EPF＝90°，即EG⊥PF．∵GH⊥EG，∴PF∥GH．19．解：（1）結(jié)論：∠ECD＝90°+∠ABE．理由：如圖1中，從BE交DC的延長(zhǎng)線于H．∵AB∥CH，∴∠ABE＝∠H，∵BE⊥CE，∴∠CEH＝90°，∴∠ECD＝∠H+∠CEH＝90°+∠H，∴∠ECD＝90°+∠ABE．（2）如圖2中，作EM∥CD，∵EM∥CD，CD∥AB，∴AB∥CD∥EM，∴∠BEM＝∠ABE，∠F+∠FEM＝180°，∵EF⊥CD，∴∠F＝90°，∴∠FEM＝90°，∴∠CEF與∠CEM互余，∵BE⊥CE，∴∠BEC＝90°，∴∠BEM與∠CEM互余，∴∠CEF＝∠BEM，∴∠CEF＝∠ABE．（3）如圖3中，設(shè)∠GEF＝α，∠EDF＝β．∴∠BDE＝3∠GEF＝3α，∵EG平分∠CEF，∴∠CEF＝2∠FEG＝2α，∴∠ABE＝∠CEF＝2α，∵AB∥CD∥EM，∴∠MED＝∠EDF＝β，∠KBD＝∠BDF＝3α+β，∠ABD+∠BDF＝180°，∴∠BED＝∠BEM+∠MED＝2α+β，∵ED平分∠BEF，∴∠BED＝∠FED＝2α+β，∴∠DEC＝β，∵∠BEC＝90°，∴2α+2β＝90°，∵∠DBE+∠ABD＝180°，∠ABD+∠BDF＝180°，∴∠DBE＝∠BDF＝∠BDE+∠EDF＝3α+β，∵∠ABK＝180°，∴∠ABE+∠B＝DBE+∠KBD＝180°，即2α+（3α+β）+（3α+β）＝180°，∴6α+（2α+2β）＝180°，∴α＝15°，∴∠BEG＝∠BEC+∠CEG＝90°+15°＝105°．20．解：（1）AB∥CD，∵AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，∵∠A＝50°，∴∠ABC＝130°，∵∠C＝50°，∴∠C+∠ABC＝180°，∴AB∥CD；（2）∠1＞∠2＞∠3，∵AD∥BC，∴∠1＝∠EBC，∠2＝∠FBC，∠3＝∠DBC，∵∠EBC＞∠FBC＞∠DBC，∴∠1＞∠2＞∠3．（3）∵AD∥BC，∴∠1＝∠EBC，∵AB∥CD，∴∠BDC＝∠ABD，∵∠1＝∠BDC，∴∠ABE＝∠DBC，∵BE平分∠ABF，設(shè)∠FBD＝x°，則∠DBC＝4x°，∴∠ABE＝∠EBF＝4x°，∴4x+4x+x+4x＝130°，∴x＝10°，∴∠1＝4x+x+4x＝90°，∴BE⊥AD．21．解：（1）如圖1，∵AM∥CN，∴∠C＝∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠A+∠AOB＝90°，∴∠A+∠C＝90°；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG＝90°，又∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG＝90°，∴∠ABD＝∠CBG，∵AM∥CN，BG∥AM，∴CN∥BG，∴∠C＝∠CBG，∴∠ABD＝∠C；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，由（2）可得∠ABD＝∠CBG，∴∠ABF＝∠GBF，設(shè)∠DBE＝α，∠ABF＝β，則∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝β＝∠AFB，∠BFC＝3∠DBE＝3α，∴∠AFC＝3α+β，∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°，∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，①由AB⊥BC，可得β+β+2α＝90°，②由①②聯(lián)立方程組，解得α＝15°，∴∠ABE＝15°，∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．22．解：（1）∵AM∥BN，∴∠A+∠ABN＝180°，∵∠A＝52°，∴∠ABN＝128°，∵BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，∴∠CBP＝∠ABP，∠DBP＝∠NBP，∴∠CBD＝∠ABN＝64°；（2）不變化，∠APB＝2∠ADB，證明：∵AM∥BN，∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，又∵BD平分∠PBN，∴∠PBN＝2∠DBN，∴∠APB＝2∠ADB；（3）∵AD∥BN，∴∠ACB＝∠CBN，又∵∠ACB＝∠ABD，∴∠CBN＝∠ABD，∴∠ABC＝∠DBN，由（1）可得，∠CBD＝64°，∠ABN＝128°，∴∠ABC＝（128°﹣64°）＝32°．23．解：（1）①如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∵∠A＝20°，∠C＝50°，∴∠1＝∠A＝20°，∠2＝∠C＝50°，∴∠AEC＝∠1+∠2＝70°；故答案為：70°；②同理可得，∴∠AEC＝∠1+∠2＝65°；故答案為：65°；③猜想：∠AEC＝∠EAB+∠ECD．理由：如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EF∥CD，∵AB∥DC∴EF∥AB（平行于同一條直線的兩直線平行），∴∠1＝∠EAB，∠2＝∠ECD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠EAB+∠ECD（等量代換）．（2）當(dāng)點(diǎn)E位于區(qū)域Ⅰ時(shí)，∠EMB+∠END+∠MEN＝360°，理由：過(guò)E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠BME+∠MEF＝180°，∠DNE+∠NEF＝180°，∴∠EMB+∠END+∠MEN＝360°；當(dāng)點(diǎn)E位于區(qū)域Ⅱ時(shí)，∠EMB+∠END＝∠MEN，理由：過(guò)E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠BMN＝∠FEM，∠DNE＝∠FEN，∴∠EMB+∠END＝∠MEF+∠NEF＝∠MEN．24．解：（1）如圖①，過(guò)E1作E1F∥AB，則E1F∥CD，∴∠B+∠1＝180°①，∠D+∠1＝180°②，①+②得∠B+∠1+∠D+∠2＝360°，即∠B+∠D+∠E1＝360°；（2）如圖②，分別過(guò)E1，E2作E1F∥AB，E2G∥AB，則E1F∥E2G∥CD，∴∠1+∠B＝∠2+∠3＝∠4+∠D＝180°，∴∠B+∠D+∠E1+∠E2＝∠1+∠B+∠2+∠3+∠4+∠D＝540°＝3×180°；（3）如圖③，分別過(guò)E1，E2，E3作E1F1∥E2F2∥E3F3∥AB，則E1F1∥E2F2∥E3F3∥CD，∴∠B+∠BE1E2＝180°，∠E2E1F1+∠E1E2F2＝180°，∠E3E2F2+∠E2E3F3＝180°，∠DE3F3+∠D＝180°，∴∠B+∠D+∠E1+∠E2+∠E3＝720°；（4）由（1）（2）（3）知，拐點(diǎn)的個(gè)數(shù)n與角的和之間的關(guān)系是（n+1）?180°，∴∠B+∠D+∠E1+∠E2+…+∠En＝（n+1）?180°．25．解：（1）結(jié)論：BF∥DE，理由：∵∠AGF＝∠ABC，∴FG∥BC，∴∠1＝∠3，∵∠1+∠2＝180°，∴∠3+∠2＝180°，∴BF∥DE；（2）∵∠2＝135°，BF∥DE，∴∠3＝45°，∵∠1＝∠3，∴∠1＝45°，又∵BF⊥AC，∴∠AFG＝90°﹣45°＝45°；（3）如圖所示，在（2）的條件下，F(xiàn)G平分∠AFB，又∵GM⊥AC，GN⊥FB，∴GM＝GN．26．解：（1）由例題的結(jié)論可知，若AB∥DE，則∠A＝∠ACD﹣∠D＝66°﹣29°＝37°；故答案為：37°；（2）過(guò)F作FE∥GP，若GP∥HQ，則FE∥GP∥HQ，∴∠1+∠G＝180°，∠2+∠H＝180°，∴∠1+∠2+∠G+∠H＝360°，即∠G+∠GFH+∠H＝360°．故答案為：360°．27．解：小琛說(shuō)法正確；小萱做法的依據(jù)是同位角相等兩直線平行或同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行；小冉做法的依據(jù)是內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行或同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行；故答案為：正確；同位角相等兩直線平行或同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行或同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行；28．解：（1）∵∠1＝120°，∴∠BEF＝120°，又∵∠2＝60°，∴∠2+∠BEF＝180°，∴AB∥CD；（2）①如圖2，過(guò)點(diǎn)P作MN∥AB，則∠EPM＝∠PEB（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∵AB∥CD（已知），MN∥AB（作圖），∴MN∥CD（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）．∴∠MPF＝∠PFD，∴∠EPM+∠FPM＝∠PEB+∠PFD（等式的性質(zhì)），即∠EPF＝∠PEB+∠PFD，故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；平行于同一條直線的兩條直線互相平行；∠EPM，∠MPF；②∠EPF+∠PEB+∠PFD＝360°；證明：如圖3，過(guò)作PM∥AB，∵AB∥CD，MP∥AB，∴MP∥CD，∴∠BEP+∠EPM＝180°，∠DFP+∠FPM＝180°，∴∠BEP+∠EPM+∠FPM+∠PFD＝360°，即∠EPF+∠PEB+∠PFD＝360°；③∠EPF+∠PFD＝∠PEB．理由：如圖4，過(guò)作PM∥AB，∵AB∥CD，MP∥AB，∴MP∥CD，∴∠PEB＝∠MPE，∠PFD＝∠MPF，∵∠EPF+∠FPM＝∠MPE，∴∠EPF+∠PFD＝∠PEB．29．證明（1）∵∠1＝∠2∴AB∥EF∴∠MAE＝∠AEF＝45°，且∠FEG＝15°∴∠AEG＝60°∵EG平分∠AEC∴∠AEG＝∠CEG＝60°∴∠CEF＝75°∵∠ECN＝75°∴∠FEC＝∠ECN∴EF∥CD且AB∥EF∴AB∥CD（2）∵∠1＝∠2∴AB∥EF∴∠MAE+∠FEA＝180°且∠MAE＝140°∴∠AEF＝40°∵∠FEG＝30°∴∠AEG＝70°∵EG平分∠AEC∴∠GEC＝∠AEG＝70°∴∠FEC＝100°∵AB∥CD，AB∥EF∴EF∥CD∴∠NCE+∠FEC＝180°∴∠NCE＝80°∴當(dāng)∠NCE＝80°時(shí)，AB∥CD（3）∵∠1＝∠2∴AB∥EF∴∠MAE+∠FEA＝180°∴∠FEA＝180°﹣∠MAE，∴∠AEG＝∠FEA+∠FEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG∵EG平分∠AEC∴∠GEC＝∠AEG∴∠FEC＝∠GEC+∠FEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG+∠FEG＝180°﹣∠MAE+2∠FEG∵AB∥CD，AB∥EF∴EF∥CD∴∠FEC+∠NCE＝180°∴180°﹣∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝180°∴2∠FEG+∠NCE＝∠MAE∴當(dāng)2∠FEG+∠NCE＝∠MAE時(shí)AB∥CD（4）∠1＝∠2∴AB∥EF∴∠MAE+∠FEA＝180°∴∠FEA＝180°﹣∠MAE，∴∠AEG＝∠FEG﹣∠FEA＝∠FEG﹣180°+∠MAE∵EG平分∠AEC∴∠GEC＝∠AEG∴∠FEC＝∠FEA+2∠AEG＝180°﹣∠MAE+2∠FEG﹣360°+2∠MAE＝∠MAE+2∠FEG﹣180°∵AB∥CD，AB∥EF∴EF∥CD∴∠FEC+∠NCE＝180°∴∠MAE+2∠FEG﹣180°+∠NCE＝180°∴∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝360°∴當(dāng)∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝360°時(shí)，AB∥CD30．解：（1）①∵CD∥AO，∴∠AOE＝∠D＝60°，又∵∠AOB＝45°，∴∠BOE＝∠AOE﹣∠AOB＝60°﹣45°＝15°，故答案為：15°；②如圖，當(dāng)點(diǎn)E、O、D不在同一條直線上時(shí)，過(guò)F作GF∥AO，∵CD∥AO，∴GF∥CD，∴∠GFE＝∠D＝60°，∠GFB＝∠AOB＝45°，∴∠BFE＝∠GFE﹣∠BFG＝60°﹣45°＝15°；如圖，當(dāng)點(diǎn)E、O、D不在同一條直線上時(shí)，過(guò)F作GF∥AO，∵CD∥AO，∴GF∥CD，∴∠GFE＝∠D＝60°，∠GFB＝∠AOB＝45°，∴∠BFE＝∠GFE+∠BFG＝60°+45°＝105°；（2）由（1）②可得，若∠BOA＝α，∠EDC＝β，則∠BFE＝β﹣α或β+α．31．解：由已知平行，得∠1＝∠A＝67°（兩直線平行，同位角相等），∴∠CBD＝23°+67°＝90°，當(dāng)∠ECB+∠CBD＝180°時(shí)，可得CE∥AB．（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）所以∠ECB＝90°，此時(shí)CE⊥BC（垂直定義），故答案為：同位角相等；90；180；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；90；垂直定義．32．解：（1）直線AD與BC互相平行，理由：∵AB∥CD，∴∠A+∠ADC＝180°，又∵∠A＝∠C∴∠ADC+∠C＝180°，∴AD∥BC；（2）∵AB∥CD，∴∠ABC＝180°﹣∠C＝80°，∵∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF，∴∠DBE＝∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝40°；（3）存在．設(shè)∠ABD＝∠DBF＝∠BDC＝x°．∵AB∥CD，∴∠BEC＝∠ABE＝x°+40°；∵AB∥CD，∴∠ADC＝180°﹣∠A＝80°，∴∠ADB＝80°﹣x°．若∠BEC＝∠ADB，則x°+40°＝80°﹣x°，得x°＝20°．∴存在∠BEC＝∠ADB＝60°．33．解：（1）∵DE平分∠ADC，∠ADC＝70°，∴∠EDC＝∠ADC＝×70°＝35°；（2）過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝70°，∴∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝35°，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝n°+35°；（3）過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝70°，∴∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝35°，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝180°﹣n°，∠CDE＝∠DEF＝35°，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝180°﹣n°+35°＝215°﹣n°．34．解：（1）如圖，當(dāng)P點(diǎn)在C、D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，則有∠APB＝∠PAC+∠PBD．理由如下：過(guò)點(diǎn)P作PE∥l1，∵l1∥l2，∴PE∥l2∥l1，∴∠PAC＝∠1，∠PBD＝∠2，∴∠APB＝∠1+∠2＝∠PAC+∠PBD；（2）若點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（P點(diǎn)與點(diǎn)C、D不重合），則有兩種情形：①如圖，當(dāng)點(diǎn)P在在l2下方時(shí)，有結(jié)論：∠APB＝∠PAC﹣∠PBD．理由是：過(guò)點(diǎn)P作PE∥l1，則∠APE＝∠PAC，又∵l1∥l2，∴PE∥l2，∴∠BPE＝∠PBD，∵∠APE＝∠APB+∠BPE，∴∠PAC＝∠APB+∠PBD，∴∠APB＝∠PAC﹣∠PBD；②如圖，當(dāng)點(diǎn)P在l1上方時(shí)，有結(jié)論：∠APB＝∠PBD﹣∠PAC．理由是：過(guò)點(diǎn)P作PE∥l2，則∠BPE＝∠PBD，又∵l1∥l2，∴PE∥l1，∴∠APE＝∠PAC，∵∠BPE＝∠APE+∠APB，∴∠PBD＝∠PAC+∠APB，∴∠APB＝∠PBD﹣∠PAC．35．解：（1）∵EM平分∠AEF∴∠AEF＝∠FME，又∵∠FEM＝∠FME，∴∠AEF＝∠FEM，∴AB∥CD；（2）①如圖2，∵AB∥CD，β＝50°∴∠AEG＝130°，又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，∴∠MEH＝∠AEG＝65°，又∵HN⊥ME