江西省智慧上進期末聯(lián)考2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

江西省2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)試卷試卷共4頁，19小題，滿分150分．考試用時120分鐘．注意事項：1．考查范圍：必修第一冊．2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡指定位置上．3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，請將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用集合的交集運算即可求解.【詳解】因，，所以．故選：D．2.命題“”的否定是（）A.， B.， C.， D.，【答案】C【解析】【分析】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題．【詳解】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題．命題“”的否定是.故選:C3.為了了解某縣中小學(xué)生課外閱讀時間情況，擬從該縣的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進行調(diào)查，事先已經(jīng)了解到該縣小學(xué)、初中、高中三個學(xué)段學(xué)生的課外閱讀時間存在較大差異，而男、女生的閱讀時間差異不大，則最合理的抽樣方法是（）A.按性別分層隨機抽樣 B.按學(xué)段分層隨機抽樣C.抽簽法 D.隨機數(shù)表法【答案】B【解析】【分析】由分層抽樣的概念即可判斷；【詳解】因為男、女生的閱讀時間差異不大，而小學(xué)、初中、高中三個學(xué)段學(xué)生的課外閱讀時間存在較大差異，故應(yīng)按照學(xué)段分層隨機抽樣．故選：B．4.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】判斷函數(shù)的奇偶性結(jié)合特殊的函數(shù)值可判斷得解.【詳解】易知是偶函數(shù)，排除，又且，排除C.故選：D.5.節(jié)氣是指二十四個時節(jié)和氣候，是中國古代訂立的一種用來指導(dǎo)農(nóng)事的補充歷法，是中華民族勞動人民長期經(jīng)驗積累的成果和智慧的結(jié)晶．若從立春、雨水、驚蟄、春分這四個節(jié)氣中隨機選擇兩個節(jié)氣，則其中一個節(jié)氣是立春的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】若從立春、雨水、驚蟄、春分這四個節(jié)氣中隨機選擇兩個節(jié)氣，共種情況，其中一個節(jié)氣是立春，有種情況，用古典概型概率計算公式即可.【詳解】記立春、雨水、驚蟄、春分這四個節(jié)氣分別為、、、，則樣本空間，記事件表示“其中一個節(jié)氣是立春”，則，由古典概型可知．故選：C．6.函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)零點存在性定理進行判斷.【詳解】因為冪函數(shù)和函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.因為冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，因為指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，.由零點存在定理知零點所在區(qū)間為.故選：B7.已知冪函數(shù)的圖象過點，函數(shù)，則“”的一個充分不必要條件為（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)過，求出，得到的解析式，并根據(jù)條件得到在上單調(diào)遞減，從而得到不等式，求出的取值范圍是，從而得到答案.【詳解】設(shè)冪函數(shù)，因為其圖象過點，所以，解得，所以，所以，又滿足，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以的取值范圍是，因為為的真子集，故為一個充分不必要條件，其他選項不合要求，故選：C.8.已知四個不同的實數(shù)，，，，其中，，的方差為，，，的方差為，若，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用方差的定義，帶字母進行運算，再利用相等關(guān)系進行變形化簡即可得結(jié)果.【詳解】，同理，由題意得，即，整理可得，因為，所以．故選:B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.2024年10月30日中國神舟十九號載人飛船成功發(fā)射，為了弘揚航天人頑強拼搏的精神，某校航天課外小組舉行一次航天知識競賽，隨機抽取獲得6名同學(xué)的分數(shù)（滿分30分）：20，22，24，24，26，28，則這組數(shù)據(jù)的（）A.極差為8 B.平均數(shù)為24C.80%分位數(shù)為25 D.眾數(shù)為24【答案】ABD【解析】【分析】分別通過極差、平均數(shù)、百分位數(shù)、眾數(shù)的概念逐個判斷即可；【詳解】極差為，故A正確；平均數(shù)，故B正確；，則80%分位數(shù)是第5個數(shù)據(jù)26，故C錯誤；眾數(shù)為24，故D正確．故選：ABD．10.拋擲兩枚大小相同質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件表示“第一枚擲出的點數(shù)為奇數(shù)”，事件表示“第二枚擲出的點數(shù)為偶數(shù)”，事件表示“兩枚骰子擲出的點數(shù)之和為6”，事件表示“第二枚擲出的點數(shù)比第一枚大5”，則（）A.與是互斥事件 B.與是相互獨立事件C. D.與是對立事件【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)互斥事件判斷A，應(yīng)用概率的乘法公式計算判斷B，應(yīng)用互斥事件結(jié)合概率性質(zhì)計算判斷C，根據(jù)對立事件定義判斷D.【詳解】事件與事件能同時發(fā)生，故事件A，B不是互斥事件，故A錯誤；因為，，，所以，故與互不影響，故B正確；事件，事件，不可能同時發(fā)生，故事件與互斥，故，故C正確；表示“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點，第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點”，，，事件與事件不是對立事件，故D錯誤．故選:BC．11.已知是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則（）A.當(dāng)時，B.的單調(diào)遞增區(qū)間為、C.若，，則的取值范圍是D.方程的所有實數(shù)根之積為【答案】ACD【解析】【分析】利用偶函數(shù)的基本性質(zhì)求出函數(shù)在上的解析式，可判斷A選項；數(shù)形結(jié)合可判斷B選項；數(shù)形結(jié)合得出函數(shù)在上的最大值，可判斷C選項；求出方程所有的根，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，當(dāng)時，，則，又由為偶函數(shù)可得，故A正確；對于B選項，由題意，函數(shù)的圖象如圖所示，的遞增區(qū)間有3個，故B錯誤；對于C選項，因為，，所以只需對于任意，，由圖知，即，故C正確；令，則，解得，即，若，即，解得或；若，即，解得，所以方程所有實數(shù)根之積為，故D正確.故選：ACD.【點睛】結(jié)論點睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.某校60名同學(xué)數(shù)學(xué)競賽的成績（滿分：100分）均在之間，進行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示，若從這60名參賽者中隨機選取1人，試估計其成績在的概率為_____．【答案】0.05【解析】【分析】由頻率分布直方圖的性質(zhì)面積和為1，即可求解；【詳解】由圖可知，，解得，成績在的頻率為，以頻率為概率估計概率為0.05．故答案為：0.0513.已知正數(shù)滿足，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】結(jié)合1的活用應(yīng)用常值代換，再應(yīng)用基本不等式計算求解即可.【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，取得最小值.故答案為：.14.函數(shù)的圖象的對稱中心坐標為__________.【答案】【解析】【分析】法一，根據(jù)函數(shù)對稱性的定義列式運算得解；法二，求出函數(shù)的定義域，且，根據(jù)對稱性可得對稱中心橫坐標為，代回求出對稱中心的縱坐標，得解.【詳解】解法一：設(shè)圖象的對稱中心坐標為，則，所以，整理可得，此式對定義域內(nèi)的任意值都成立，則必有，所以，回代可得，解得，故對稱中心坐標為.解法二：易知函數(shù)的定義域為，且，故圖象的對稱中心橫坐標為，將其代入中，可得，所以圖象的對稱中心坐標為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合.（1）當(dāng)時，求；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）解不等式，求集合A、B，運用集合交集及補集定義運算求解；（2）根據(jù)交集關(guān)系得出，列出對應(yīng)的不等式，求解即可．【小問1詳解】當(dāng)時，，又集合，所以，所以解或.【小問2詳解】因為，所以.又，故解得所以實數(shù)的取值范圍是.16.某班級舉辦趣味運動會，其中個人比賽分為限時滾鐵環(huán)和定點投籃兩個項目，每個項目只有“過關(guān)”與“不過關(guān)”兩種結(jié)果，每項過關(guān)積1分，不過關(guān)積0分．甲和乙兩位同學(xué)參加個人比賽，在限時滾鐵環(huán)和定點投籃兩個項目中，假設(shè)甲過關(guān)的概率分別為，，乙過關(guān)的概率分別為，，且甲、乙所有項目是否過關(guān)相互之間沒有影響．（1）求甲積2分的概率；（2）求甲、乙兩人的積分之和不超過3分的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先表示出每個事件，再利用獨立事件的概率公式求解即可.（2）設(shè)出各個事件的概率，再結(jié)合獨立事件和對立事件的概率公式求解即可.【小問1詳解】記事件“甲限時滾鐵環(huán)過關(guān)”，事件“甲定點投籃過關(guān)”，事件“甲積2分”，易知與相互獨立，則，由獨立事件概率公式得．【小問2詳解】設(shè)事件“乙限時滾鐵環(huán)過關(guān)”，事件“乙定點投籃過關(guān)”，事件“乙積2分”，易知與相互獨立，則，由獨立事件概率公式得．又與相互獨立，所以兩人的積分之和為4分的概率，所以兩人的積分之和不超過3分的概率為．17.某大學(xué)校園選擇了一個八邊形區(qū)域設(shè)計一個校園景觀，如圖所示，圖中四個三角形為全等的等腰直角三角形，主干路總面積（圖中陰影部分和中間白色正方形面積之和）為，在重合的部分處建一正方形特色涼亭，涼亭造價為600元；在四個空角（圖中四個三角形）建造水池和噴泉，造價為1600元；四個矩形路（圖中陰影部分）不處理，造價忽略不計.設(shè)長為（單位：），長為（單位：）.（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)校園景觀總造價為（單位：元），求的最小值.【答案】（1）（2）40000元【解析】【分析】（1）利用面積建立的關(guān)系，解得，并求得的范圍即可得；（2）用表示出，變形后由基本不等式得最小值．【小問1詳解】由題意可知，即，又，得，解得，所以關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為.【小問2詳解】由題意可得，涼亭總造價為元，水池和噴泉總造價為元，所以校園景觀總造價.當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，經(jīng)檢驗，所以當(dāng)時，取最小值40000元.18.已知定義域為的函數(shù)滿足，，且當(dāng)時，．（1）求的值；（2）用單調(diào)性定義證明：在定義域上是增函數(shù)；（3）若，求不等式的解集．【答案】（1）0（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）令，即可求解；（2）由，且，得到，再由當(dāng)時，，即可求證；（3）由，得到，再結(jié)合性質(zhì)可得，結(jié)合定義域和單調(diào)性求解即可；【小問1詳解】解：因為，，所以令，可得，得．【小問2詳解】證明：，且，則，顯然，，所以，又，所以，因當(dāng)時，，所以，即，所以在定義域上是增函數(shù)．【小問3詳解】解：因為函數(shù)的定義域為，所以解得．由，得等價于，而，所以，所以，解得，或（舍去），故，故不等式的解集為．19.定義一種新運算“”，.（1）計算，并判斷與的大小關(guān)系；（2）若函數(shù)有最小值，且最小值大于0，求所有滿足題意的整數(shù)的值；（3）已知關(guān)于的不等式的解集為中的整數(shù)恰有4個，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）根據(jù)新定義以及對數(shù)運算計算可得