《線上線下混合式計算機圖形學基礎(chǔ)實驗教程》課件-第4章

第4章二維幾何變換4.1實驗內(nèi)容簡述和實驗?zāi)繕?.2二維基本幾何變換4.3二維復(fù)合幾何變換4.4課外拓展性實驗

4.1實驗內(nèi)容簡述和實驗?zāi)繕?/p>

基本實驗內(nèi)容包括：二維基本幾何變換(非齊次平移變換、非齊次縮放變換、非齊次旋轉(zhuǎn)變換、非齊次對稱變換、非齊次錯切變換、齊次平移變換、齊次縮放變換、齊次旋轉(zhuǎn)變換、齊次對稱變換、齊次錯切變換)和二維復(fù)合幾何變換(繞任意點旋轉(zhuǎn)變換、相對任意點縮放變換)。

完成本實驗后，讀者能夠：

(1)列舉常見二維圖形的基本幾何變換，并能夠描述它們的概念(布魯姆知識模型：記憶)；

(2)解釋二維幾何圖形產(chǎn)生幾何變換的原理(布魯姆知識模型：理解)；

(3)描述出二維圖形基本幾何變換代數(shù)表達式在齊次和非齊次坐標下的推導(dǎo)過程，并牢記相應(yīng)的推導(dǎo)結(jié)果(布魯姆知識模型：記憶和理解)；

(4)歸納二維圖形基本幾何變換采用齊次坐標系下矩陣表示的原因(布魯姆知識模型：分析)；

(5)分解任意給定的二維圖形復(fù)合幾何變換為二維圖形基本幾何變換序列，并給出相應(yīng)的矩陣復(fù)合表示(布魯姆知識模型：應(yīng)用和分析)；

(6)運用矩陣與二維圖形基本幾何變換之間的對應(yīng)關(guān)系，預(yù)測任意給定的矩陣復(fù)合所對應(yīng)的幾何圖形發(fā)生的復(fù)合幾何變換(布魯姆知識模型：應(yīng)用)；

(7)編程實現(xiàn)——?通過鼠標、鍵盤交互，展現(xiàn)給定二維圖形的基本幾何變換和任意復(fù)合幾何變換(布魯姆知識模型：應(yīng)用)。

4.2二維基本幾何變換

4.2.1非齊次平移變換二維圖形非齊次平移的參數(shù)化表達式如下：

(4.1)其中，tx、ty分別表示物體在x、y軸方向上的平移量。

1.關(guān)鍵數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

自定義如下數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)用以表示二維非齊次坐標下的頂點和向量。該數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)應(yīng)用于本章所有的非齊次二維幾何變換實驗。

2.變換函數(shù)代碼實現(xiàn)

3.案例效果

采用非齊次平移變換方式，對如圖4-1(a)所示的中心在原點的三角形，向x軸正方向平移40個單位，向y軸正方向平移50個單位，最終效果如圖4-1(b)所示。

圖4-1采用非齊次平移變換方式示意圖

4.2.2非齊次縮放變換

二維圖形非齊次縮放的參數(shù)化表達式如下：

(4.2)

其中，sx、sy分別表示物體在x、y軸方向上的縮放量。

1.變換函數(shù)代碼實現(xiàn)

2.案例效果

采用非齊次縮放變換方式，對如圖4-2(a)所示的中心在原點的三角形，在x軸方向上縮放1.5倍，在y軸方向上縮放0.5倍，最終效果如圖4-2(b)所示。

圖4-2采用非齊次縮放變換方式示意圖

4.2.3非齊次旋轉(zhuǎn)變換

二維圖形非齊次旋轉(zhuǎn)變換的參數(shù)化表達式如下：

(4.3)

其中，θ表示物體逆時針繞點旋轉(zhuǎn)的角度。

1.變換函數(shù)代碼實現(xiàn)

2.案例效果

采用非齊次旋轉(zhuǎn)變換方式，對如圖4-3(a)所示的中心在原點的三角形逆時針旋轉(zhuǎn)50°，最終效果如圖4-3(b)所示。

圖4-3采用非齊次旋轉(zhuǎn)變換方式示意圖

4.2.4非齊次對稱變換

1.關(guān)于x軸的非齊次對稱

二維圖形關(guān)于x軸的非齊次對稱變換的參數(shù)化表達式如下：

(4.4)

1)變換函數(shù)代碼實現(xiàn)

2)案例效果

采用非齊次對稱變換方式，對如圖4-4(a)所示的中心在原點的三角形關(guān)于x軸進行對稱變換，最終效果如圖4-4(b)所示。

圖4-4關(guān)于x軸的非齊次對稱變換方式示意圖

2.關(guān)于y軸的非齊次對稱

二維圖形關(guān)于y軸的非齊次對稱變換的參數(shù)化表達式如下：

(4.5)

1)變換函數(shù)代碼實現(xiàn)

2)案例效果

采用非齊次對稱變換方式，對如圖4-5(a)所示的中心在原點的三角形關(guān)于y軸進行對稱變換，最終效果如圖4-5(b)所示。

圖4-5關(guān)于y軸的非齊次對稱變換方式示意圖

4.2.5非齊次錯切變換

1.在x軸方向上的非齊次錯切

二維圖形在x軸方向上的非齊次錯切變換的參數(shù)化表達式如下：

(4.6)

錯切變換過程中，y坐標值保持不變，x坐標值根據(jù)y坐標以shx為切變程度發(fā)生線性變化。

1)變換函數(shù)代碼實現(xiàn)

代碼如下：

2)案例效果

采用非齊次錯切變換方式，對如圖4-6(a)所示的中心在原點的三角形，設(shè)置相對于x軸方向上的錯切參數(shù)為1.2，最終效果如圖4-6(b)所示。

圖4-6在x軸方向上的非齊次錯切變換方式示意圖

2.在y軸方向上的非齊次錯切

二維圖形在y軸方向上的非齊次錯切變換的參數(shù)化表達式如下：

(4.7)

錯切變換過程中，x坐標值保持不變，y坐標值根據(jù)x坐標以shy為切變程度發(fā)生線性變化。

1)變換函數(shù)代碼實現(xiàn)

2)案例效果

采用非齊次錯切變換方式，對如圖4-7(a)所示的中心在原點的三角形，設(shè)置相對于y軸方向上的錯切參數(shù)為0.8，最終效果如圖4-7(b)所示。

圖4-7在y軸方向上的非齊次錯切變換方式示意圖

4.2.6齊次平移變換

二維圖形齊次平移的參數(shù)化表達式如下：

(4.8)

其中，tx、ty分別表示物體在x、y軸方向上的平移量。

對應(yīng)的齊次平移變換的矩陣乘積形式如下：

(4.9)

1.關(guān)鍵數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

自定義如下數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)用以表示二維齊次坐標下的頂點和向量。

2.變換函數(shù)及關(guān)鍵相關(guān)代碼實現(xiàn)

3.案例效果

應(yīng)用式(4.9)進行平移變換，對如圖4-8(a)所示的中心在原點的三角形，向x軸正方向平移40個單位，向y軸正方向平移50個單位，最終效果如圖4-8(b)所示。

圖4-8齊次平移變換示意圖

4.2.7

齊次縮放變換

二維圖形齊次縮放的參數(shù)化表達式如下：

(4.10)

其中，sx、sy分別表示物體在x、y軸方向上的縮放量。

對應(yīng)的齊次平移變換的矩陣乘積形式如下：

(4.11)

1.變換函數(shù)代碼實現(xiàn)

2.案例效果

應(yīng)用式(4.11)進行縮放變換，對如圖4-9(a)所示的中心在原點的三角形，在x軸方向上縮放1.5倍，在y軸方向上縮放0.5倍，最終效果如圖4-9(b)所示。

圖4-9齊次縮放變換示意圖

4.2.8齊次旋轉(zhuǎn)變換

二維圖形齊次旋轉(zhuǎn)的參數(shù)化表達式如下：

(4.12)

其中，θ表示物體繞點逆時針旋轉(zhuǎn)的角度。對應(yīng)的齊次旋轉(zhuǎn)變換的矩陣乘積形式如下：

(4.13)

1.變換函數(shù)代碼實現(xiàn)

2.案例效果

應(yīng)用式(4.13)進行旋轉(zhuǎn)變換，對如圖4-10(a)所示的中心在原點的三角形逆時針旋轉(zhuǎn)50°，最終效果如圖4-10(b)所示。

圖4-10齊次旋轉(zhuǎn)變換示意圖

4.2.9齊次對稱變換

1.關(guān)于x軸齊次對稱

二維圖形關(guān)于x軸的齊次對稱變換的參數(shù)化表達式如下：

(4.14)

對應(yīng)的齊次對稱變換的矩陣乘積形式如下：

(4.15)

1)變換函數(shù)代碼實現(xiàn)

2)案例效果

應(yīng)用式(4.15)進行關(guān)于x軸的對稱變換，對如圖4-11(a)所示的中心在原點的三角形關(guān)于x軸進行對稱變換，最終效果如圖4-11(b)所示。

圖4-11關(guān)于x軸的齊次對稱變換示意圖

2.關(guān)于y軸齊次對稱

二維圖形關(guān)于y軸的齊次對稱變換的參數(shù)化表達式如下：

(4.16)

對應(yīng)的齊次對稱變換的矩陣乘積形式如下：

(4.17)

1)變換函數(shù)代碼實現(xiàn)

2)案例效果

應(yīng)用式(4.17)進行關(guān)于y軸的對稱變換，對如圖4-12(a)所示的中心在原點的三角形關(guān)于y軸進行對稱變換，最終效果如圖4-12(b)所示。

圖4-12關(guān)于y軸的齊次對稱變換示意圖

4.2.10齊次錯切變換

1.相對于x軸方向上的齊次錯切

二維圖形關(guān)于x軸的齊次錯切變換的參數(shù)化表達式如下：

(4.18)

其中，shx為錯切參數(shù)。

對應(yīng)的齊次錯切變換的矩陣乘積形式如下：

(4.19)

1)變換函數(shù)代碼實現(xiàn)

2)案例效果

應(yīng)用式(4.19)進行齊次錯切變換，對如圖4-13(a)所示的中心在原點的三角形，設(shè)置x軸方向的齊次錯切參數(shù)為1.2，最終效果如圖4-13(b)所示。

圖4-13在x軸方向上的齊次錯切變換示意圖

2.相對于y軸方向上的齊次錯切

二維圖形關(guān)于y軸的齊次錯切變換的參數(shù)化表達式如下：

(4.20)

其中，shy為錯切參數(shù)。

對應(yīng)的齊次錯切變換的矩陣乘積形式如下：

(4.21)

1)變換函數(shù)代碼實現(xiàn)

2)案例效果

應(yīng)用式(4.21)進行齊次錯切變換，對如圖4-14(a)所示的中心在原點的三角形，設(shè)置y軸方向的齊次錯切參數(shù)為0.8，最終效果如圖4-14(b)所示。

圖4-14在y軸方向上的齊次錯切變換示意圖

4.3二維復(fù)合幾何變換

4.3.1

繞任意點旋轉(zhuǎn)變換二維圖形繞任意點旋轉(zhuǎn)的效果等價于多個二維基本幾何變換的有序復(fù)合。此處，假定要實現(xiàn)任一二維圖形繞點P(x，y)逆時針旋轉(zhuǎn)θ，其復(fù)合變換公式如下：

(4.22)

1.變換函數(shù)代碼實現(xiàn)

2.案例效果

采用繞任意點旋轉(zhuǎn)變換，對如圖4-15(a)所示的中心在原點的三角形繞點P(-20，30)逆時針旋轉(zhuǎn)30°，最終效果如圖4-15(b)所示。

圖4-15