拉普拉斯積分變換市公開課一等獎省賽課獲獎?wù)n件

§拉普拉斯(Laplace)積分變換1第1頁1．拉氏變換概念定義

設(shè)函數(shù)

當(dāng)

時有定義，而且積分

（s是一個復(fù)參量）

在s某一域內(nèi)收斂，則由此積分所確定函數(shù)稱為函數(shù)

拉普拉斯變換式（簡稱拉氏變換式）記為

F(s)稱為

拉氏變換（或稱為象函數(shù)）。

一、拉氏變換2第2頁若F(s)是

拉氏變換，則稱

為F(s)拉氏逆變換（或稱為象原函數(shù)），記為

能夠看出，

拉氏變換，實際上就是

傅氏變換。

3第3頁例1

求單位階躍函數(shù)

拉氏變換。

解

由拉氏變換定義

此積分在

時收斂，且

所以

4第4頁例2

求指數(shù)函數(shù)

拉氏變換（k為解

積分在

時收斂，且有

所以

實數(shù)）。5第5頁2.拉氏變換存在定理

能夠看出，拉氏變換存在條件要比傅氏變換存在條件弱得多。對于一個函數(shù)，滿足什么條件時，它拉氏變換一定存在呢？

6第6頁當(dāng)

時，

增加速度不超出某一指數(shù)函

，使得

成立（滿足此條件函數(shù)，稱它增大是指數(shù)級，c為它增加指數(shù)）。

拉氏變換存在定理

若函數(shù)

滿足以下條件：

在

任一有限區(qū)間上分段連續(xù)；

數(shù)，亦即存在常數(shù)M>0及7第7頁則

拉氏變換

在半平面

上一定存在，右端積分在

上絕對收斂而且一致收斂，

而且在

半平面內(nèi)，

為解析函數(shù)。

8第8頁例3

求正弦函數(shù)

（k為實數(shù)）拉解

一樣可得余弦函數(shù)拉氏變換：

氏變換。9第9頁例6

求單位脈沖函數(shù)

拉氏變換。

利用性質(zhì)：

，有

解

10第10頁例7

求函數(shù)

拉氏變換。

解

在實際工作中，求函數(shù)拉氏變換可經(jīng)過拉氏變換表查得。

11第11頁3．拉氏變換性質(zhì)

為了敘述方便起見，假定要求拉氏變換函數(shù)都滿足拉氏變換存在定理中條件，而且把這些函數(shù)增加指數(shù)都統(tǒng)一地取為c。以下均設(shè)12第12頁a.線性性質(zhì)

若

是常數(shù)，則有

依據(jù)定義，利用積分性質(zhì)就可推出這個性質(zhì)。此性質(zhì)表明：函數(shù)線性組合拉氏變換等于各函數(shù)拉氏變換線性組合。13第13頁

b．

微分性質(zhì)

證

由定義并利用分部積分法得

這個性質(zhì)表明：一個函數(shù)求導(dǎo)后取拉氏變換等于這個函數(shù)拉氏變換乘以參變數(shù)s，再減去函數(shù)初值。

14第14頁推論:

尤其，當(dāng)初值

時，有此性質(zhì)使我們有可能將

微分方程轉(zhuǎn)化為F(s)代數(shù)方程，所以它對分析線性系統(tǒng)有著主要作用。15第15頁例

求函數(shù)

拉氏變換。

解

因為

由微分性質(zhì)有

即

移項化簡得

16第16頁例

求函數(shù)

拉氏變換，其中m是正整數(shù)

解

因為

而

所以

17第17頁即

而

所以

由拉氏變換存在定理，可得到象函數(shù)微分性質(zhì)：

普通地，有

18第18頁例

求函數(shù)

拉氏變換。

解

因為

依據(jù)象函數(shù)微分性質(zhì)

同理可得，

19第19頁c．積分性質(zhì)

證

設(shè)

，則有

，且

由微分性質(zhì)，有

即

這個性質(zhì)表明：一個函數(shù)積分后再取拉氏變換等于這個函數(shù)拉氏變換除以復(fù)參數(shù)s。

20第20頁重復(fù)應(yīng)用積分性質(zhì)可得：

另外，由拉氏變換存在定理，還能夠得到象函數(shù)積分性質(zhì)：

或普通地，有

21第21頁例

求函數(shù)

拉氏變換。

解

因為

據(jù)象函數(shù)積分性質(zhì)可知

22第22頁其中

這一公式，慣用來計算一些積分。

存在，在象函數(shù)積分性質(zhì)公式中取s=0，則有假如積分

23第23頁例

求積分

解

因為

且所以24第24頁d．位移性質(zhì)

若

，則有

證

上式右方只是在

中把s換成

，所以

這個性質(zhì)表明：一個象原函數(shù)乘以指數(shù)函數(shù)

eat拉氏變換等于其象函數(shù)作位移a。25第25頁例

求

解

因為

利用位移性質(zhì)，可得

26第26頁例

求

解

因為

由位移性質(zhì)得

27第27頁5.延遲性質(zhì)

若

，又

時

則對于任一非負(fù)實數(shù)

有

或

證

28第28頁因為

時，

，所以上式右端第一個積分為零。對于第二個積分，令

，則

29第29頁函數(shù)

與f(t)相比，f(t)是從t=0開始有非零數(shù)值，而

是從

開始才有非零數(shù)值，即延遲了一個時間

。從它們圖象來講，

圖象是由f(t)圖象沿t軸向右平移距離而得。象函數(shù)乘以指數(shù)因子

。

這個性質(zhì)表明，時間函數(shù)延遲拉氏變換等于它30第30頁例

求函數(shù)

拉氏變換。

解

因為

依據(jù)延遲性質(zhì)，有

31第31頁二、拉氏逆變換

在實際應(yīng)用中常會碰到問題是：已知象函數(shù)求它象原函數(shù)f(t)。由拉氏變換概念可知，函數(shù)拉氏變換就是

傅氏變換。

32第32頁于是，當(dāng)

滿足傅氏積分定理條件時，按傅氏積分公式，在

連續(xù)點處有:

33第33頁等式兩邊乘以，并考慮到它與積分變量無關(guān)，則

令，有

這就是從象函數(shù)F(s)求它象原函數(shù)f(t)普通公式，右端積分稱為拉氏反演積分。34第34頁此公式是一個復(fù)變函數(shù)積分，通常計算起來比較困難，但當(dāng)F(s)滿足一定條件時，能夠用留數(shù)學(xué)方法來計算這個反演積分，尤其當(dāng)F(s)為有理函數(shù)時更為簡單。

35第35頁定理

若是函數(shù)全部奇點（適當(dāng)選取使這些奇點全在范圍內(nèi)），且當(dāng)時，，則有

即36第36頁例1：求逆變換。

解:

F(s)有兩個一級極點

由拉氏反演積分公式得

37第37頁

例2：

求逆變換。

解:

s=0為一級極點，s=1為二級極點，拉氏反演積分公式得38第38頁例3：

求逆變換。

解:利用部分分式方法將F(s)化成

所以39第39頁卷

積

拉氏變換卷積性質(zhì)，不但被用來求一些函數(shù)逆變換及一些積分值，而且在線性系統(tǒng)分析中起著主要作用。

40第40頁1.卷積概念傅氏變換中兩個函數(shù)卷積是指

在拉氏變換中函數(shù)假如都滿足條件：當(dāng)t<0時，

則上式可寫成

今后如不尤其申明，都假定這些函數(shù)在t<0時恒為零。

41第41頁

例1

求函數(shù)和卷積，即求。

解：依據(jù)定義得：42第42頁卷積性質(zhì)：

43第43頁2.卷積定理

假定，滿足拉氏變換存在定理中條件，且，則拉氏變換一定存在，且或44第44頁推論若滿足拉氏變換存在定理中條件，且，則有

在拉氏變換應(yīng)用中，卷積定理起著十分主要作用。下面舉例說明它在求函數(shù)逆變換中應(yīng)用。

45第45頁

例2

設(shè)，求f(t)。

解:令則依據(jù)卷積定理和例1得

46第46頁例3

設(shè)，求f(t)。

解：所以47第47頁

例4

設(shè) ，求f(t)。解：依據(jù)位移性質(zhì)，

所以48第48頁49第49頁微分方程拉氏變換解法

利用拉氏變換線性性質(zhì)和微分性質(zhì)來解常微分方程，其方法是先取拉氏變換把微分方程化為象函數(shù)代數(shù)方程，依據(jù)這個代數(shù)方程求出象函數(shù)，然后再對象函數(shù)取逆變換就得出原來微分方程解。解法過程以下列圖所表示。

50第50頁象函數(shù)象原函數(shù)(微分方程解)象函數(shù)代數(shù)方程微分方程取拉氏逆變換解代數(shù)方程取拉氏變換51第51頁例1

求方程解。滿足初始條件解:設(shè)L[y(t)]=Y(s)。在方程兩邊取拉氏變換，并考慮到初始條件，得這是含未知量Y(s)代數(shù)方程，整理后解出Y(s)，得所求函數(shù)拉氏變換52第52頁取它逆變換便能夠